電磁場理論講義-大學(xué)教案

電磁場理論講義電磁場理論教案教師緒論0.1電磁場理論的研究內(nèi)容在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，存在大量與電磁現(xiàn)象相關(guān)的問題。在以前的學(xué)習(xí)中，我們有過如電壓、電流等電路方面的概念，這些概念可以看作是對電學(xué)現(xiàn)象的一種宏觀的認(rèn)識-電壓是電勢差的表述，電流是大量帶電粒子定向運(yùn)動的結(jié)果。而電磁理論則是可以看作從微觀的角度去解釋這些現(xiàn)象：如電荷之間的相互作用力的規(guī)律是怎樣的、電流的熱效應(yīng)是如何的。由于是從場的角度研究問題，所以是討論電磁現(xiàn)象在空間的分布情況。0.2電磁場理論的研究方法.以實(shí)驗(yàn)定律作為基礎(chǔ)，歸納出一些一般的定律。.從一般形式的規(guī)律（Maxwell方程）出發(fā)，演繹各種特殊現(xiàn)象。.既注重物理意義，又注重?cái)?shù)學(xué)演繹。（場論知識）第一章靜電場真空中的靜電場庫侖定律(Coulomb'sLaw)帶電物體吸附其他物體的現(xiàn)象說明電荷的力學(xué)性質(zhì)。庫侖定律從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出真空中兩個(gè)靜止電電荷切,儀之間相互作用力的定律為：o圖i-i:電荷之間的相互作用力F=史&.皿5- (1-1)4兀4)|r2-rj3其中F為％對42的力，比稱為真空介電常數(shù)或真空電容率，其值約為8.854xio-12FAn.疊加原理(LinearSuperposition)關(guān)于電荷之間的相互作用力的實(shí)驗(yàn)規(guī)律還表明：一系列點(diǎn)電荷作為整體作用在某一特定點(diǎn)電荷上的電場力等于每個(gè)點(diǎn)電荷的電場力的矢量和。電場(ElectricField)電荷之間的相互作用是通過一種中間媒質(zhì)，以有限的速度傳遞過去的。電力是通過電場以光速來傳遞的。電荷在自身周圍的空間要激發(fā)電場，電場對處于場中的其他電荷有力的作用。為了表征電場的特性，可以引入電場強(qiáng)度的概念。電場中某點(diǎn)電場強(qiáng)度定義為：在該處放置一個(gè)單位正的試驗(yàn)點(diǎn)電荷40,其上所受到的電場力，即 FE=— (1-2)qo.電場強(qiáng)度的單位為V/rxio.關(guān)于電場強(qiáng)度的定義不僅對靜電場適用，對時(shí)變場也適用。

.雖然電場強(qiáng)度是通過力來定義的，但是它和電場力是兩個(gè)完全不同的物理量。電場是獨(dú)立于試驗(yàn)電荷而存在的。結(jié)合庫侖定律，容易得到真空中點(diǎn)電荷激發(fā)的電場TOC\o"1-5"\h\z (1-3)4?！阰|r-r|3其中r’表示源點(diǎn)的位置，r表示場點(diǎn)的位置，它們是彼此獨(dú)立的參量。如果令R=r-r,R=|r-r'|=(x-x')2+(y-y')2+(z-z')2,則真空中點(diǎn)電荷的電場還可以表示為 ??_qRE- .__ (i-4)砌)R3 Jw對于N個(gè)點(diǎn)電荷所組成的系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，空間任意一點(diǎn)的電場為(1-5)1.1.4電荷密度(ChargeDensity)體電荷密度實(shí)際中，電荷不會集中于一個(gè)點(diǎn)上，而總是分布在一定的空間。物質(zhì)結(jié)構(gòu)的理論表明，帶電體的總電荷應(yīng)該是某一基本電荷的整數(shù)倍。即電荷量不是連續(xù)變化的。但是對于實(shí)際中的宏觀物體，其帶電量總是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于基本電量，因此可以把電荷的離散分布近似用它的連續(xù)分布代替。這樣，就可以引入電荷密度的概念 人Jp=lim切=4 (1-6)av'->oAV，dV'注意此時(shí)△/'應(yīng)有1.在宏觀上足夠小,1.在宏觀上足夠小,△V，以內(nèi)的電荷可以看作均勻分布.2.在微觀上足夠大，以內(nèi)包含存足娘多的電札當(dāng)引入電荷密度的概念以后，對于一個(gè)體分布帶電體，可以看作許多"(r')dV’的疊加，從而由疊加原理的它產(chǎn)生的電場為E=」JP6R— (1-7)4砌)VR3面電荷密度雖然電荷的真實(shí)分布是體電荷分布，但是實(shí)際中會遇到電荷分布于厚度可以忽略的面積上，此時(shí)可以引入面電荷密度im絲2=駕2於一。dV

或者dq=p.,ds'(1-9)線電荷密度與面電荷密度類似，如果電荷沿橫截面可以忽略的線型區(qū)域分布時(shí)，就存在線電荷密度，定義為單位長度上的電荷量2 dopi=hm_j.=或者dq=p.,ds'(1-9)線電荷密度與面電荷密度類似，如果電荷沿橫截面可以忽略的線型區(qū)域分布時(shí)，就存在線電荷密度，定義為單位長度上的電荷量2 dopi=hm_j.=a/-?o△/ d/(1-10)或者d<7=pidf綜上三種情況，對于任何電荷分布，可以把它們分成許多元電荷曲，而把每一元電荷看成點(diǎn)電荷，位于r'處的元電荷dq在場點(diǎn)r引起的電場強(qiáng)度為dEl.r-r4?！辏ǎ﹟r-r|3應(yīng)用疊加原理，全部電荷在場點(diǎn)i?引起的場強(qiáng)為,J_,E=~~~ rr%4兀￡（） |r-r'|3(1-12)(1-13)例1：求線電荷密度為0均勻分布的無限長電荷在真空中引起的電場.圖1-2：均勻分布的線電荷如取圓柱坐標(biāo)系并將線電荷置于z軸，則電場將為軸對稱且與z無關(guān)。由與電場E于圓柱坐標(biāo)中的z,夕均無關(guān)，因此可以在z=O,夕=0的。軸上取一場點(diǎn)而不失一般性?？紤]z'處的元電荷dq=p/dz,由對稱性可知電場僅存在方向的分量，故而只考慮元電荷產(chǎn)生的電場在p方向上的分量1p/（z'）dz' pidz'pp/dz'pdE?=dEcos3= cos0= ___= （1-14）" 4?！辏ǎ㏑2 4兀匐R2r 47rcos2+z2）3"

從而有 J 「K="聞8dz'-01-(1-15)(1-16)上"dEp= ~ —2 (1-15)(1-16)4^0-oo(P+Z) 2?！?P或者E=*一如

2?！暧?.1.5點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)表述-狄拉克函數(shù)(DiracDeltaFunction)點(diǎn)電荷可以視為一個(gè)體積很小而密度很大的帶電球體的極限。為了從數(shù)學(xué)描述點(diǎn)電荷的電荷密度，可以使用狄拉克函數(shù)的概念。我們注意到點(diǎn)電荷的分布具有如下的性質(zhì)：除了在電荷所在的點(diǎn)外，電荷密度為零。整個(gè)空間的電荷總量為電荷帶電量。與點(diǎn)電荷的這兩個(gè)性質(zhì)相對應(yīng)，我們引入具有如下性質(zhì)的一維狄拉克函數(shù)對于x/=a有<5(x-a)=0。如果積分區(qū)域包含x=a這一點(diǎn)，疝<5(x-a)dr=lo對于三維情況，在直角坐標(biāo)系中，有<5(r-r0)=<5(x-x0M(>一Vo)d(z-z0) (1-17)三維狄拉克函數(shù)具有如下性質(zhì)：對于r/=ro有d(r-r0)=Oo如果積分區(qū)域V'吟°這一點(diǎn)，則vV-ro)dV，=>引入上述狄拉克函數(shù)后，點(diǎn)電荷的電荷的電荷密度可以表示為P(r)=qd[r'-r0) (1-18)對于N個(gè)分離點(diǎn)電荷，電荷密度分布可以表示為p(r')= %6(r'-r,) (1-19)狄拉克函數(shù)還具有如下重要性質(zhì)d(x)=d(-x)對于包含x=a的區(qū)間，%/(x)d(x—a)d_r=/(a)(篩選性質(zhì))。對于包含x=a的區(qū)間，'有./(x)d'("-“)dx=J(“)借助狄拉克函數(shù)，我們還可以表示出線電荷和面電荷密度。例如對于在Z=O的平面上密度為小的面電荷可以表示為而位于z軸的密度為P/的線電荷可以表示為"血x”(y)。1.2靜電場的散度與旋度高斯定理(Gauss'sLaw)人們曾經(jīng)用電力線的概念來描述電場，電力線的切線方向表示電場的方向,電力線的密度表示電場強(qiáng)度的大小。而從數(shù)學(xué)上可以用電場在某一面上的通量來表示電力線的密度，即EYS。下面我們考慮點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場在空間某一面上的通量。如圖1-3所示，電場在面元dS上的通量為圖1-3：點(diǎn)電荷在面元上的通量qCOS0qE-dS=E-ndS=odS= dQ (1-20)4兀qH4?！?其中dQ為面元dS對點(diǎn)電荷所張的空間角。如果我們選擇一個(gè)封閉的簡單曲面進(jìn)行積分，則有I{、k q/網(wǎng)ifqliesinsideS , 、E.dS=f . (1-21)s oif<7liesoutsideS式(1-21)為單個(gè)點(diǎn)電荷積分形式的高斯定理。對于多個(gè)電荷，由疊加原理容易得到1 1xi (1-22)E-dS=七。a其中％是位于S內(nèi)部的電荷。而對于連續(xù)分布的體電荷，有fIJE?dS=-p(r)dV (1-23)￡0VV這就是積分形式的真空中的高斯定理。上面的高斯定律是通過庫侖定律導(dǎo)出的，它適合于靜電場的情況。其直觀物理圖像是單位電荷激發(fā)比0根電力線，它反映的電荷和電力線的關(guān)系，即使在運(yùn)動電荷的一般情況下，實(shí)驗(yàn)和理論分析都沒有發(fā)現(xiàn)不符合的地方。也就是說,在普遍的情況下，無論是靜止的還是運(yùn)動的電荷，高斯定理都成立。1.2.2靜電場的散度(divergence)f h由積分形式的高斯定理，結(jié)合散度定律yV?EdV=sE-dS可以得到J(V-E-p/M)dv=o (1-24)v由于上式對于任何體積丫都成立，我們可以得到P , 、V?E=— (1-25)跖這就是微分形式的高斯定律。與積分形式的高斯定律一樣，它也是在普遍的情況下成立。靜電場的散度還可以直接通過對式(1-7)求散度得到。其中我們需要用到關(guān)于R的運(yùn)算TOC\o"1-5"\h\zC) R▽— =— (1-26)(R) R3V2~=-4兀d(r-r') (1-27)R式(1-7)可以寫為 , )E(r)=--p(r)V-dV' (1-28)4?！?v' R兩邊取散度得到 rI()S▽?E=-,P(r)V2-dV'=— "(F)漢r-r')dV'=3(1.29)4兀4)v, R ￡0v ￡0例2:半徑為。的球內(nèi)，均勻分布著電荷，總電量為小求各點(diǎn)的電場，并計(jì)算電場E的散度(課本第7頁)。圖1-4：高斯面解：采用球坐標(biāo)系，置球心與坐標(biāo)原點(diǎn)。由于電荷分布的對稱性，電場E只有??方向上的分量，并且在與帶電球同心的球面上電場E的值處處相同。因此，圖1-5：球坐標(biāo)系可以取半徑為r的同心球面為高斯面，如圖1-4所示。高斯面上各點(diǎn)與面元dS的方向相同。于是，利］積分形式的高『斤定理有E?dS=ErdS=4兀尸Er=如 (1-3。)s s ￡。其中為高斯面內(nèi)電荷的總量。當(dāng)r>。時(shí)有g(shù)m=<7；而當(dāng)r<a時(shí)，有<?汨=qP后,從而有4兀戶&={￡0。3ifr>aifr<a(1-31)從而得到電場為{—unE=47rcor3ST.4底0。3r<a(1-32)電場的散度可以在球坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算1d2 1 。1dE,p1d2V-E=戶打O+rsinffdff(sinOEo)+rsin6即r2dr(1-33)當(dāng)〃>a時(shí)=q/47V￡or,所以i°2qV-E==26(r：°2)=。r2dr 4萬￡rz(1-34)當(dāng)，,v〃時(shí)，Er=qr/^7t￡Qa1d&E=/加2qr q q i= 1 - ?4?！阛， ￡4兀涼￡V0 O3 0ball(1-35)顯然，與微分形式的高斯定理得到的結(jié)論一致。1.2.3靜電場的旋度(curl)式(1-25)給出了場的散度，但是僅僅知道場的散度卻不能唯一的確定場。場論知識告訴我們，只有同時(shí)知道了場的散度和旋度才能將場確定下來。因此，我們在這里考察靜電場的旋度。借助于前面我們已經(jīng)得到的式(1-28),我們有r7 <) (J)E(r)=--p(r)VXdV'=-\7~ 夕dV' (1-36)4?！?v R 4?！?yR即靜電場可以寫成某一標(biāo)量的梯度，而根據(jù)▽xv①=o的結(jié)論，我們有VxE=o (1-37)稱為微分形式的靜電場環(huán)路定理，該式表明：靜電場是無旋場。如果芋式(1-37)兩端普開放曲面S上積分，并利用斯托克斯定理(Stockes'stheorem)sVxE-dS=CE-d］得到E-dl=o (1-38)c該式為積分形式的靜電場環(huán)路定理，它表明：靜電場為保守場。1.3介質(zhì)中的靜電場(課本22頁)介質(zhì)的極化(polarization)電偶極子討論有電介質(zhì)存在的電場時(shí)，常常用到電偶極子這一概念。電偶極子是指相距很近的兩個(gè)符號相反而量相等的電荷。電偶極子在其周圍引起電場，同時(shí)在外場中也受到力的作用。由于電偶極子相距很近，可以認(rèn)為場點(diǎn)到偶極子中心的距離比起正負(fù)電荷間的距離要大得多。對于一個(gè)偶極子，人們通常用它的電偶極矩(dipolemoment)p表征其特性，p=c/d,方向從負(fù)電荷指向正電荷。極化電介質(zhì)的分子可以分為兩大類，一類是非極性分子，其分子內(nèi)部所有正負(fù)電荷作用中心重合；另一類是非極性分子，其分子內(nèi)部所有正負(fù)電荷中心不重合而形成一個(gè)偶極子。在沒有外場的情況下，無論那一種分子，就電介質(zhì)的一部分體積來看，它們所有分子的等效偶極子的電偶極矩矢量和都為零。在外場的作用下，非極性分子的正負(fù)電荷的作用中心發(fā)生相對位移，極性分子的電偶極矩發(fā)生轉(zhuǎn)向，這時(shí)它們的等效偶極子的偶極矩矢量和便不再為零。這種情況被稱為電介質(zhì)的極化。極化的結(jié)果是使束縛電荷的分布發(fā)生變化，從而在介質(zhì)內(nèi)部或者表面形成極化電荷。極化電荷與自由電荷一樣，都會引起電場強(qiáng)度。為了描述極化的狀態(tài)，我們引入極化強(qiáng)度矢量P,定義為單位體積元內(nèi)AV總的電偶極矩與AV之比。p_ZjPi

H— 由于極化強(qiáng)度是由外加電場引起的，故而P一定和外電場E有關(guān)。實(shí)驗(yàn)指出,對于各向同性線性介質(zhì)，P=Ze￡()E (1-4。)改稱為電極化率。極化電荷當(dāng)介質(zhì)在電場下被極化時(shí)，如圖1-6所示，其內(nèi)部的束縛電荷將重新分布，從而有可能出現(xiàn)在一定的體積內(nèi)正負(fù)電荷不完全抵消的情況，即在一定區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生束縛電荷，稱為極化電荷。圖1-6:極化電荷如圖1-6所示，在介質(zhì)中任意取一體積V,其內(nèi)的束縛電荷Qp是極化時(shí)由丫外通過界面S移進(jìn)來的。令每個(gè)分子的正電荷g都位移了1,則通過面元dS移進(jìn)丫內(nèi)的束縛電荷為dQp=-Nql-dS=-P-dS (1-41)其中N為單位體積的分子數(shù)。P=Nql為極化強(qiáng)度。對整個(gè)曲面進(jìn)行積分可以得到總的束縛電荷IJQP=-P,dS=ppdV (1-42)其中必為極化電荷密度。由高斯定理很容易得到極化電荷密度Pp=-v-P (1-43)可以看出，只有當(dāng)P非常數(shù)，即介質(zhì)非均勻極化時(shí)，才會產(chǎn)生體極化電荷。在介質(zhì)的分界面上，P一般不連續(xù)，因而不能進(jìn)行簡單的微分運(yùn)算。而通常在分界面上產(chǎn)生面極化電荷，假設(shè)其密度為psp。如圖1-7所示，在界面上作一扁平的柱狀盒子。盒子高〃，上下底面積為AS。〃和A5都很小，可以認(rèn)為在底面上極化強(qiáng)度是均勻的。將式(1-42)應(yīng)用于盒子內(nèi)，則得到盒內(nèi)總的極化電荷為Qp=PphAS,當(dāng)人時(shí)，就得到面極化電荷Qsp/AS=psp，而此時(shí)P?dS=-(P2-Pt)-nAS=pgs (1-44)V圖1-7：面極化電荷密度從而得到極化強(qiáng)度所滿足的邊界條件Psp=-(P2-P1)-n (1-45)其中n為分界面上介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法向單位矢量。如果介質(zhì)2為真空，則P?=0,則有處于真空中的電介質(zhì)表面的面極化電荷密度為Psp=P?n (1-46)處于真空中的一個(gè)電介質(zhì)，設(shè)其內(nèi)電極化矢量為P(r),則其體極化電荷密度為％=-V-P(r),面極化電荷密度為小p=P(r)?no從而總的極化電荷為IJIJ IIQp=ApdS+pPdV=P-ndS-V-PdV=PdS-P-dS=oS V S V(1-47)其中最后一步運(yùn)用了散度定律?？梢娍偟臉O化電荷為零，遵守電荷守恒定律。極化電流當(dāng)外電場隨時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，極化電荷也會隨時(shí)間發(fā)生變化，從而在介質(zhì)內(nèi)部形成極化電流。舉據(jù)電荷守恒定律TOC\o"1-5"\h\z【I/組n …)酩, T 生JP-dS--c=V-JpdV+臂：=。=V-JpdV-v,dV=0s Stv Vdt v vdt(1-48)從而得到極化電流密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系6P , 、JP=— (1-49)dt1.3.2電位移矢量(electricdisplacement)雖然極化電荷與自由電荷的來源不同，但它們都能夠激發(fā)電場。如果把介質(zhì)中的極化電荷與自由電荷全部考慮進(jìn)去，則可以把真空中電場的結(jié)果推廣到介質(zhì)中。由高斯定律的微分形式(1-25)可以得到其中"為自由電荷，而"P為極化電荷。結(jié)合極化電荷體密度的表達(dá)式有V?E=S-V?P)/￡o (1-51)或者V(fioE+P)=〃 (1-52)等式右邊僅僅出現(xiàn)自由電荷。由于極化電荷不是預(yù)先給定了，為了處理方面，我們引入一個(gè)新的矢量D=￡()E+P (1-53)稱為電位移矢量，它的單位為CAn，結(jié)合式(1-4。)有D=￡()E+￡()ZeE=￡()(1+/e)E=e()￡rE=eE (1-54)￡=￡而稱為介質(zhì)的介電常量，而￡>=1+xe稱為相對介電常量。對電位移矢量有V?D=" (1-55)這就是介質(zhì)中高斯定律的微分步式。其對p的積分形式是D?dS=pdV (1-56)s v其中"為自由電荷。電場的邊界條件電位移矢量D的邊界條件圖1-8:電位移矢量的邊界條件電位移矢量的邊界條件可以類似與面極化電荷密度的方法得到。在界面上作一扁平的柱狀盒子。盒子高〃，上下底面積為dS?！ê蚫5都很小，可以認(rèn)為在底面上電位移矢量是均勻剪。將式(1巧6)應(yīng)用于盒子內(nèi)，則得到盒內(nèi)總的自由電荷為(2=口5,當(dāng)Zzo時(shí)，自由電荷而此 sH時(shí)D?S=(D?-DD?dS從而得到n-(D2-D])=ps (1-57)在沒有自由電荷的界面上，有

電場強(qiáng)度矢量E的邊界條件為了得到E的邊界條件，我們在分界面上取一個(gè)扁平回路C如圖1-9所示，回路一邊在介質(zhì)1中，另一邊在介質(zhì)2中，兩邊都平行且緊貼界面。兩頭用垂直與界面的短線右連接起來。設(shè)兩邊長△/很小，在每個(gè)邊上電場強(qiáng)度均勻。在回路。上運(yùn)用靜電環(huán)路定理，得到(1-59(1-59)(i-6o)(1-61)(1-62)E-dl=oc當(dāng)〃to時(shí)，有Ei-tAr-E2-tAr=o從而得到電場強(qiáng)度在邊界上的滿足條件E\t=E2t或者nx(Ei-E2)=o理想導(dǎo)體邊界條件所謂理想導(dǎo)體是指其電導(dǎo)率為無窮大的導(dǎo)體，根據(jù)歐姆定律J=oE,在導(dǎo)體內(nèi)部電場強(qiáng)度E必定為零（同時(shí)D也為零）。前面的邊界條件中，如果我們假設(shè)介質(zhì)1為理想導(dǎo)體，并去掉下標(biāo)，則有(1-63)其中Ps為導(dǎo)體表面的面電荷密度，n為導(dǎo)體外法線方向的分量。例3：有一內(nèi)、外半徑分別為a和。的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為a,使介質(zhì)均勻帶電，其電荷密度為外，求:（1）空間各點(diǎn)的電場。（2）極化電荷體密度和極化電荷面密度（課本第32頁）。圖1-10：介質(zhì)殼解：（1）由對稱性，電場及電位移存量均只有,方向的分量。取以。為球心的球面作為高斯面，利用高斯定理得由D-dS2在廠＜。的區(qū)域有4兀廣。=o(1-64)從而Dr=O,=O(1-65)當(dāng)。4r4力時(shí)，有4兀/D,=一乃（/一a3）po3從而 /一^ 尸_。3Dr=3r2優(yōu)'&=3r(1-66)(1-67)當(dāng)r＞力時(shí)4兀Dr2=乃（〃3一(1-68)'3 °從而 … …Dr=3r2P。，Er=3￡0r3PO(1-69)（2）為求極化電荷密度，首先計(jì)算電極化矢量Pr="-￡oEr,顯然只有在aVrV力的區(qū)域內(nèi)非零，為Pr—9￡0）E「-（1--） pg￡ 3戶廠(1-70)體極化電荷密度1分 r ( on)Pp=-V-P=- (rP,)=-1-—Por-or ￡(1-71)而面極化電荷密度為，在r=a的面上Psp=-Pr\r=a=O(1-72)在r二人的面上 / 、_p. _（能）。3_/PspPr\r=b 1 3枚PO(1-73)E靜電勢靜電勢(scalarpotential)式(1-36)表明，靜電場可以寫為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。由于標(biāo)量函數(shù)在數(shù)學(xué)處理上要比矢量容易，人們更趨向于通過研究標(biāo)量來研究電場的性質(zhì)。為此人們給這個(gè)標(biāo)量函數(shù)一個(gè)特定的名稱，稱為靜電場的勢，即E=-V。 (1-74)式(1-36)表明靜電勢可以通過如下的積分得到0(r)= P^ldV (1-75)4吟 |r-r|由式(1-74)定義的靜電勢的值不是唯一的，不同的值之間可以相差一各常數(shù)。為了唯一的確定空間中任意一點(diǎn)的靜電勢，需要首先確定空間某一點(diǎn)的靜電勢作為參考。而式(1-75)所計(jì)算的值則默認(rèn)電勢在無窮遠(yuǎn)處為零。(當(dāng)然前提是該積分收斂)靜電勢的物理意義可以通過考察當(dāng)電荷運(yùn)動時(shí)，靜電力對電荷所做的功來得到。點(diǎn)q電荷電場中A電運(yùn)動到8點(diǎn)時(shí)，在任意一點(diǎn)所受到的力為F=qE,電場力對電荷所作的功為JBJB JB JBW=F.dl=qE-dl=-^7V。?dl= 超=4(。人—舞)(1-76)a a _q aA由此可以看出電場中任意兩點(diǎn)的電勢差等于單位電荷從A點(diǎn)移動到3點(diǎn)時(shí)電場力所作的功，在電路中通常用U表示。同時(shí)我們還可以得到，靜電場中兩點(diǎn)的電勢差為Jb0A-0B=E-dl (1-77)A且積分與路徑無關(guān)。而積分與路徑無關(guān)正是無旋場的特性，也可以這樣說：靜電場的旋度為零，而任何梯度場的旋度為零。X(V0)=o),故而靜電場可以用標(biāo)量勢函數(shù)來描述。例4：考察點(diǎn)電荷q的靜電勢。解：假設(shè)點(diǎn)電荷位于ro點(diǎn)，則電荷密度為外(/-7)，其靜電勢為“(r)=——「。)dr'= 2 (人78)4^o|r-r| 4兀￡o|r-ro|例5：求均勻電場Eo的靜電勢(課本第55頁)。解：由于題設(shè)條件沒有給出電荷分布，因而無法通過式(1-75)來進(jìn)行計(jì)算。因此我們可以通過式(1-77)來進(jìn)行計(jì)算。首先應(yīng)當(dāng)確定空間中某一點(diǎn)的電

位。在本題中，不能選取無窮遠(yuǎn)處，否則會原點(diǎn)電位無窮大的現(xiàn)象。為此，我們選。點(diǎn)的電位為O,則容易得到任意一點(diǎn)的電位為JO0（p）= E（）dr'=-Eo-r （1-79）p很容易得到，疊加原理也適用于靜電勢。例6:考察電偶極子所產(chǎn)生的靜電勢（課本55頁）圖1-11圖1-11：電偶極子另一個(gè)負(fù)電荷位于z=（i-8o）解：設(shè)電偶極子的正電荷位于z另一個(gè)負(fù)電荷位于z=（i-8o）（b= -4?！阰R+R.當(dāng)觀察點(diǎn)尸距離原點(diǎn)的距離r遠(yuǎn)大于兩點(diǎn)電荷之間的距離/,即/〃《1時(shí)，有上=勺 1*+ /+(#->cos。11_ 7=〃l+(撤一r((/21z_lr、icose\(1-jcoi^y 14-r +?(1-81)r 2r同理1」R「r工一Icos62r(1-82)從而有也-〃1co§0(1-83)于是電偶極子在遠(yuǎn)處P點(diǎn)產(chǎn)生的電位為.qlcos6pr(1-84)4兀47rar3

1.5.2靜電勢的微分方程由靜電勢的定義后=-\70、本構(gòu)關(guān)系D=￡E及高斯定理V-D=〃可以得到靜電勢滿足的方程▽?D=V?0E)=-V?(W。)=p (1-85)即2 1 pV。+ ?Vf=- (1-86)￡ ￡如果電介質(zhì)是均勻的，則上式變?yōu)?PV0=-1 (1-87)即泊松方程(Poissonequation)o而如果求解區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷存在，則泊松方程可以化簡為拉普拉斯方程(Laplaceequation)=o (1-88)泊松方程的一個(gè)特解正是前面的(1-75)式。分面上任意一點(diǎn)的電勢。(課本57頁)f PCnO.O)分面上任意一點(diǎn)的電勢。(課本57頁)f PCnO.O)圖1-12：一段長為L的線解：在圓柱坐標(biāo)系中，取帶電線與z軸重合，如易得到電勢與9無關(guān)。在帶電線上任意取一線元dz',V L到P的距離為/?=t2+z'2o利用式(1-75)得到0=—~s dz 工4g _o ,4兀R 4%￡0—SV〃2+*-27cto[( 7 )1s? -U-= 'Inz+盧+*. = 12?！阰 0 27r￡當(dāng)L《廠時(shí)，上式變?yōu)?r(P= ln-2^or圖1-12所示。由軸對稱性容其上的電荷為dq=p/dz,Jsdz'°°V ； 才\*&+(J2+「2In2 2 (1-89)0 r(1-90)例7：真空中一段長為乙的細(xì)直均勻帶電線，其線電荷密度為川，求此帶電線平當(dāng)LT+8時(shí)，即變?yōu)闊o限長帶電線的情況。計(jì)算的結(jié)果為無窮大，這時(shí)因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢薜膮^(qū)域內(nèi)，而將參考電勢選取在無窮遠(yuǎn)處所致。由于電勢之間可以相差一常數(shù)，我們通過選擇適當(dāng)?shù)某?shù)，使得的當(dāng)r=。時(shí)，0=0,即得到從而電勢為+C=o27r得到從而電勢為+C=o27r￡()ar=-^ln-2兀a▲Inf2乃￡or(1-91)(1-92)(1-93)2.5.1靜電勢的邊界條件如果介質(zhì)是分塊均勻的，則應(yīng)該討論在界面上靜電勢作滿足的邊界條件。由于電勢差的計(jì)算式(1-77)可以得到，在界面的兩側(cè)，由于電場為有限值，從而得到電勢滿足的一個(gè)邊界條件(1-94)另外，由11?(Di-D2)=%可以得到靜電勢滿足的令一個(gè)邊界條件(1-95)例8:有一段長直同軸電纜，其內(nèi)、外半徑分別為a和6,內(nèi)外導(dǎo)體間填充有介電常數(shù)￡的電介質(zhì)，兩導(dǎo)體間外加電壓”(外導(dǎo)體接地)，求此電纜內(nèi)外導(dǎo)體間的場分布。(課本56頁)解：采用圓柱坐標(biāo)系，令z軸為電纜軸線。由對稱性，靜電勢僅僅是r的函數(shù)。由于在兩導(dǎo)體之間無自由電荷夕=0,因此電勢滿足拉普拉斯方程1a4效)心產(chǎn)=o (1-96)rdrdr方程的通解為(1-97)(1-98)。⑺=CjInr(1-97)(1-98)由邊界條件。(。)=U0,?(b)=0得到__fZo_r_tZoJnA

G= ,C[= ~In6F-In/? In6?-InZ?從而得到任意點(diǎn)的電勢為人—tZo—]r(P=一ln_Ina-InZ?h相應(yīng)的電場為 UqE=—V”{nln份a「 ⑴】。。)在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常遇到的邊界是由金屬導(dǎo)體構(gòu)成的。在靜電場中的導(dǎo)體具有如下的特點(diǎn)導(dǎo)體上的電荷均為自由電荷。導(dǎo)體內(nèi)部不可能帶電，所有電荷都以面電荷的形式分布在導(dǎo)體表面上。每個(gè)導(dǎo)體都是等勢體，自然導(dǎo)體的表面就是等勢面。2.5.2靜電場的解唯一性定理(UniquenessofSolution)式(1-75)給出了在知道電荷分布的情況下求解靜電勢的方法。在沒有邊界的情況下，積分的方法原則上可以給出靜電勢的空間分布。但是實(shí)際中，人們設(shè)計(jì)的往往是在有限區(qū)域內(nèi)的靜電問題。區(qū)域內(nèi)有可能存在電荷，也有可能不存在電荷。而在邊界上往往沒有直接給出電荷的分布。此時(shí)，直接按照積分的方法求解靜電勢就變得非常困難甚至不可能。人們需要通過其他方法求解在一定邊界條件下的泊松方程或者拉普拉斯方程。而此時(shí)，有一個(gè)基本的問題擺在我們面前，那就是，在怎樣的條件下，靜電勢的解是位移的。回答這個(gè)問題的答案就是靜電場的唯一性定理。靜電場的唯一性定理表述如下：已知丫內(nèi)的自由電荷分布和V邊界上的電勢力值或者附/加值，則V內(nèi)的電勢分布，除一附加常數(shù)外，由泊松方程即介質(zhì)界面上的邊界條件唯一確定。我們把知道邊界上。值的邊界條件稱為狄利克雷(Dirichlet)邊界條件，而把知道邊界上紈左〃值的邊界條件稱為紐曼(Neumann)邊界條件。唯一性定理的證明如下：證明假設(shè)靜電場分布不是唯一的，存在至少兩組解“和夕滿足相同的泊松方程V.[6V。]=，和邊界條件。令①=</>'-料則在體積v內(nèi)v-rv?]=o-且在邊界s上有@=o或者a””_0,根據(jù)矢層橫的恒等式V(^A)=t/(V?A+A?Vt/) (1-101)并令U=(D和A=R①，代入上式可得V?(①W①)=①(V?(W①))+H①?V0=到(1-102)將上產(chǎn)在區(qū)域V上積產(chǎn)，得到 [目▽①|(zhì)2dV= ▽?(①W①)dV=￡<I>VC>-dS=通跡d5 (1-103)V V SI 0〃s由于邊界條件，等式右邊顯然為零，因而有顯然有V①=o,即①為一常數(shù)。即不同解之間僅僅相差一個(gè)常數(shù)。而對于狄利克雷邊界條件，則由于在邊界上①=0,從而有靜電場的唯一性定理不僅告訴我們需要知道哪些條件，靜電場的解才能被唯一的確定，而且還指出在具體求解靜電問題時(shí)，可以根據(jù)一只條件對問題提出嘗試，只要嘗試解能滿足唯一性定理所要求的條件，則這個(gè)嘗試解就是唯一正確的解。1.6鏡像法(MethodofImages)在實(shí)際的靜電為問題中，經(jīng)常涉及到求解當(dāng)存在一定的邊界時(shí)一個(gè)或數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷所激發(fā)的場的問題，而邊界條件常常是接地或者具有某一固定電勢的導(dǎo)體。此時(shí)，點(diǎn)電荷會在導(dǎo)體表面上激發(fā)感應(yīng)電荷，總的電場為所有電荷所產(chǎn)生的場的和。一般情況下，導(dǎo)體表面上的電荷分布是很難甚至無法提前得到的。然而當(dāng)邊界的幾何形狀比較特殊時(shí)，有可能通過在求解區(qū)域之外引入適當(dāng)?shù)碾姾煞植紒砟M導(dǎo)體上電荷的效應(yīng)。這樣的電荷稱為鏡像電荷(imagecharge)o當(dāng)引入鏡像電荷后，原來帶有邊界條件的靜電問題則可以轉(zhuǎn)換為無邊界條件的問題。原求解區(qū)域的電場可以看作是原電荷和鏡像電荷所產(chǎn)生的電場之和。鏡像電荷的引入應(yīng)該滿足如下兩個(gè)條件.鏡像電荷必須處于求解區(qū)域之外。因?yàn)殓R像電荷的引入不能破壞求解區(qū)域場所滿足的方程。.鏡像電荷和原電荷所產(chǎn)生的場在邊界上滿足原來題設(shè)的邊界條件。1.6.1平面鏡像法當(dāng)邊界為平面時(shí)，鏡像電荷往往可以放置在相對于分界面與原電荷對稱的位置上。界面好像一面鏡子，鏡像電荷就是原來電荷在“鏡”中的“像”。例9：設(shè)真空中離接地?zé)o限大導(dǎo)體平面附近〃處有一點(diǎn)電荷夕，求空間任意一點(diǎn)的電勢。(課本93頁)解：如圖1-13所示，在z>0的半空間的電勢是點(diǎn)電荷q和導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。導(dǎo)體面為接地面。導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷對z>o的空間場的貢獻(xiàn)可以用z<O空間中的一定電荷分布來代替。很容易想到，在原點(diǎn)電荷的鏡像位置上放置一-q,就可能滿足邊界條件。當(dāng)引入鏡像電荷而去掉邊界后，整個(gè)空間的電勢可以寫為[ J」7q-7q_能面)=4?！阰 x2+y2+Qz-h)2 N+丁2+(z+02由于鏡像電荷位于Z<0的區(qū)域，顯然在原求解區(qū)域Z>O的半空間，場所滿足的方程沒有發(fā)生變化。而在邊界上，容易得到4(x,y,o)=o,滿足原題的邊界條件。從而原求解區(qū)域內(nèi)，靜電勢的解即為(1-105)o圖1?13：點(diǎn)電荷的鏡像導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷的分布可以通過邊界條件ps=D-n得到qhPs="￡°aTlz=0=-2兀。2+y2+-2)3〃(1-106)當(dāng)邊界不僅僅是一個(gè)簡單的平面，而包含多個(gè)平面時(shí)，可能需要引入多個(gè)鏡像電荷。鏡像電荷的引入方法類似于光學(xué)中的成像過程。鏡像電荷的位置處于像點(diǎn)處；而電荷的符號取決于像是通過幾次反射的形成的。如果通過奇數(shù)次反射，則于原電荷符號相反，否則與原電荷相同。例1O：有兩個(gè)相交的接地導(dǎo)體平板，其夾角為呢若在所夾的區(qū)域內(nèi)有一點(diǎn)電荷q,求在下列情況下所夾區(qū)域內(nèi)的電位：（l）a=兀/;（2）a=兀匕。（課本95頁）解⑴a=兀%的情況下，如圖1-14所示，需要在1,2,3位置分別引3-q.2.q圖1-14：點(diǎn)電荷的鏡像入-q,q,p三個(gè)鏡像電荷。由對稱性不難看出，在引入鏡像電荷后，整個(gè)空間的電勢在金屬板所在位置為零，滿足題設(shè)邊界條件。因而在求解空間的電勢為（）（2）a=.丫--Il

（p= 一+ -兀/3的情況下，如笛叫-1卷斤示需嬖在1鼻2（1-107）,3,4,5位置分別引入五個(gè)鏡像電荷。由對稱性不難看出，在引入鏡像電荷后，整個(gè)空間的電勢在金屬板所在位置為零，滿足題設(shè)邊界條件。因而在求解空間的電勢為=孟二一k-后+B+及-后(1-108)q圖1-15：點(diǎn)電荷的鏡像一般來說，只要。=兀/〃，其中"為自然數(shù)的情況，都可以用鏡像電荷法求解。此時(shí)像電荷的個(gè)數(shù)為〃-lo若不滿足這個(gè)條件，鏡像電荷會出現(xiàn)在求解的區(qū)域內(nèi),一般不能用鏡像電荷法求解。關(guān)于點(diǎn)電荷對導(dǎo)體平面的像還可以推廣到線電荷對接地導(dǎo)體平面的鏡像。例11：在2=O的無限大接地導(dǎo)體板的一側(cè)Z=處放置一平行于平面的長直導(dǎo)線，設(shè)其線電荷密度為求空間電勢分布。（課本96頁）解：根據(jù)鏡像電荷法，在與0對稱的位置上放置一鏡像電荷-0。取兩電荷連線中點(diǎn)處電勢為零，根據(jù)式1-93于是兩線電荷產(chǎn)生的電勢分別為(1-109)其中Inh

鴛之

4九￡。R-(1-109)其中7 7 R+=x2+(z—h)2,R~=x2+(z+h)2從而在Z>0的區(qū)域電勢為+ _QR' x2+(z+h)2°=0_0=In=In2r、2 (1-110)4兀R4兀X14-(.2-n)1上面討論的都是導(dǎo)體與介質(zhì)分界面為平面的情況，下面討論介質(zhì)與介質(zhì)的分界面為平面的例子。例12：設(shè)介電常數(shù)分別為均和及的兩種介質(zhì)，各均勻充滿辦無限大空間，兩者的分界面為平面。在介質(zhì)1中有一點(diǎn)電荷，求整個(gè)空間任意一點(diǎn)的電勢。（課本96頁）解：在點(diǎn)電荷電場的作用下，介質(zhì)分界面上將會出現(xiàn)極化電荷分布。雖然極化電荷和感應(yīng)電荷的物理機(jī)制不同，但是從產(chǎn)生場的效果來看，用鏡像電荷

來等效地代替極化電荷還是可能的。在相同的原電荷分布的條件下，無論是導(dǎo)體還是介質(zhì)，其上出現(xiàn)電荷的分布都是類似的?，F(xiàn)不妨認(rèn)為鏡像電荷的位置和導(dǎo)體界面時(shí)相同，而大小則由邊界條件來確定。圖1-16:圖1-16:介質(zhì)鏡像介質(zhì)分界面將空間分為兩個(gè)區(qū)域1和2,如圖i-i6(a)所示，電勢。滿足2q?. —<5(x,y,z-〃)，(z>o)▽0]=一2 ￡1V02=o,(z<o)在介質(zhì)分解面上先討論區(qū)域1。為了不改變電勢所滿足的方程，以界面為對稱面，在原點(diǎn)電荷的對稱位置用一鏡像電荷箱來代替界面上的極化電荷，同時(shí)認(rèn)為此時(shí)整個(gè)空間充滿介質(zhì)1,如圖i-i6(b)所示。因此區(qū)域1內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢為弧= 7r +74-h)24啊N+y2+(Z_ 4乃￡]N+y2+(4-h)2對于區(qū)域2,仍采用等效電荷代替界面上的極化電荷。為了保持區(qū)域2電勢所滿足的方程不變，鏡像電荷應(yīng)該放在區(qū)域1內(nèi)，如圖1-16(C)所示。將鏡像電荷q”放置在與g相同的位置上，同時(shí)認(rèn)為整個(gè)空間充滿介電常數(shù)為￡2的介質(zhì)，于是區(qū)域2內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢為q+qM=7 (1-114)Y 4?！?22X+y+2 、力q,和。'的值由邊界條件來確4W~^^面2=O處，由機(jī)=。2有±0?+4)=±(4+/) (1-115)￡1 ￡2又由￡嚏1"%有q—p” (1-116)聯(lián)合兩式得到q=_q= (1-117)ei+￡2根據(jù)上述結(jié)果，可以得到空間的電勢分布為q (￡1-￡2)401— + 74?！闿x2+y2+(z-A)2 4兀為(￡+￡)-遂+儼+(z+/z)202= 7 (1-118)2兀(￡1+母)x2+y2+(z-A)21.6.2球面鏡像法例13：一接地金屬球前放置一個(gè)點(diǎn)電荷％如圖1-17所示，求球外電勢分布。(課本1OO頁)R'一圖1-17：球面鏡像解：球外的電勢是由點(diǎn)電荷q和球面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。球面上感應(yīng)電荷在球外產(chǎn)生的場可以用球面內(nèi)一定的鏡像電荷來代替，其條件是鏡像電荷與原點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢在導(dǎo)體球面上應(yīng)是電勢為零的等勢面。由于z軸是球面電荷分布的對稱軸，可在球面內(nèi)z軸上試取一鏡像電荷q',其位置距離球心”，這樣球外任意一點(diǎn)的電位為“-4?！阰R衣 Z兀￡o r2+hi2-2rhcos0r2+h'2—2^cos0(1-119)對于球面上任意一點(diǎn)，有q2(a2+h'2-2ah'cos。)=q'2(a2+h2-2ahcos6) (1-120)要使上式對球面上任一點(diǎn)成立，則對任何。都成立，只有等式兩端關(guān)于。的相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，由此可以得到/(/+/?2)=(y，2(a2+川)q2h'=q'2h (1-121)求解可以得到

(1-122)hi=h,(1-122)后一組解表示鏡像電荷在球外，應(yīng)當(dāng)舍去。于是球外任意一點(diǎn)的電位為(0=V1 _7 14兀r2+h2-2rhcos0a2+(rh/a)2-2rhcos0知道的電勢分布后，就可以得到導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷密度ddf- ddf- _2 a-1—(1-124)由此可見，球面上的感應(yīng)電荷均為負(fù)值。當(dāng)。=O也就是距離點(diǎn)電荷q最近時(shí)，電荷密度最大，當(dāng)。=加時(shí)，距離點(diǎn)電荷最遠(yuǎn)時(shí)，電荷密度最小。球面上總的感應(yīng)電荷可以通過面電荷積分得到，其結(jié)果為，。這與高斯定律的結(jié)論是一致的。上面討論的是假定點(diǎn)電荷夕位于球外的情況。對于點(diǎn)電荷夕在球內(nèi)的情況，可以把夕'看作原電荷，而夕看作鏡像電荷。此時(shí)邊界條件仍然是滿足的。而求解鏡像電荷的公式仍然為="2①q=-°^關(guān)系與點(diǎn)電蹦F球內(nèi)的結(jié)果也因此我怵g。所在的兩點(diǎn)稱為共趣點(diǎn)。例14：在例13中，如果：(1)導(dǎo)體球?yàn)閹щ娏縌的孤立球(2)導(dǎo)體球的電勢為U。其余條件不變，分別求這兩種情況下的電勢分布。(課本102頁)解：(1)當(dāng)引入鏡像電荷/時(shí)，可以滿足導(dǎo)體球面為接地面。而為了使得導(dǎo)體球帶電量Q,則需要進(jìn)一步引入鏡像電荷等效導(dǎo)體球上的電量Q。引入夕'，q”后，導(dǎo)體球外總的電場為E=Eq+Ed+Eq” (1-125)從而由導(dǎo)體面的邊界條件得到導(dǎo)體球面總的電荷為I I I IQ=￡oE-dS=￡oE??dS+soE9f-dS+coE^--dS=q'+q”(1-126)從而鏡像電荷/=Q-q'。同時(shí)，鏡像電荷/的引入不能破壞導(dǎo)體球面為等勢面的邊界條件，故而q”應(yīng)位于球心，故而球外任意一點(diǎn)的電勢為( , 八，)(1-127).14+4_+Q(1-127)4?！?RR'r此時(shí)孤立帶電導(dǎo)體對點(diǎn)電荷q的作用力大小為小q”對q的靜電作用力，為(1-128)F=中^<2_。七-- 1(1-128)42q〃(〃2-。2)2當(dāng)〃>>a時(shí)，方括號中第二項(xiàng)可以忽略，這時(shí)作用力就項(xiàng)兩個(gè)點(diǎn)電荷的庫侖力。當(dāng)〃t。時(shí)，方括號中第二項(xiàng)的值可能超過第一項(xiàng)，使得力變?yōu)槲Α４藭r(shí)不論Q多大，符號如何，由于球面感應(yīng)電荷的影響，使得孤立帶電導(dǎo)體表面附近的力總是吸引力。這說明了金屬表面的剩余電荷不會因?yàn)橥栯姾傻南嗷ヅ懦舛⒖屉x開表面。只有外界對某一部分電荷做了足夠的功，才能克服這種吸引力而脫離金屬表面。金屬的功函數(shù)主要時(shí)為了克服這種吸引力使電子離開金屬表面所作的功。（2）當(dāng)金屬的電勢為仇時(shí)，鏡像電荷/應(yīng)該使得金屬表面的電勢為仇。而等勢面的條件仍然可以確定q”位于球心，只是其大小應(yīng)該滿足條件"Ia，=Uo,得到q”=4兀￡（）aUo,從而金屬球外電勢為（，）〃（/,=- 。+平 （1-129）4?！阰RR1.7分離變量法（SeparationofVariables）正交函數(shù)（Orthogonalfunction）及其展開很多的靜電問題以及其它類型的物理問題很難直接得到解析解，此時(shí)，通過級數(shù)的形式將解寫成一系列正交函數(shù)之和是一種被經(jīng)常用到的方法。傅立葉級數(shù)就是這一應(yīng)用的典型實(shí)例。具體的展開形式很大程度上取決于邊界的情況。為了介紹該類方法在靜電學(xué)中的應(yīng)用，我們首先討論對該類方法的一般形式作一介紹。我們考慮在區(qū)間（a,分內(nèi)，自變量為x的一系列函數(shù)n=1,2,?一（其值可能為實(shí)數(shù)，也可能是復(fù)數(shù)）這些函數(shù)在區(qū)間（a,與上平方可積且滿足正交歸一化性質(zhì) ?Jb=6mn （1-130）a其中歸一化性質(zhì)可以通過給函數(shù)乘上適當(dāng)?shù)南禂?shù)得到。對區(qū)間3。）上任意一個(gè)平方可積的函數(shù)尺），可以把它展開乘正交函數(shù)U.G）的級數(shù)的形式。假設(shè)使用了有限值項(xiàng)（N）,即小）-anUn^x） （1-131）n=\則我們需要知道當(dāng)如何選擇即時(shí)，我們的展開式最接近原來的函數(shù)。我們將最接近定義為兩者差異的平方積根最小Jb. 工 2Mn= —anUn{x）dr （1-132）a? 71=1通過一定的計(jì)算，我們得到系數(shù)滿足的條件為Jban= （1-133）上式正是正交函數(shù)展開系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。如果我們將展開使用的項(xiàng)數(shù)增加，我們可以預(yù)想其結(jié)果將變得更加接近。當(dāng)我們所選擇的正交函數(shù)積是完備的(complete)時(shí)，這一結(jié)論是正確的。我們不去討論怎樣的函數(shù)積才是完備的，在實(shí)際過程中，我們涉及到的函數(shù)積總是正交完備的。如果展開的項(xiàng)數(shù)區(qū)域無窮大，此時(shí)有入幻=anUn{x) (1-134)72=1稱級數(shù)收斂于Hx)oTOC\o"1-5"\h\z將式(1-133)和式(1-134)相結(jié)合，可以得到. 、匕) )^00^ * ' ' ' '1 * ' ' './(x)= Un{x}f{x}dxU"(x)= U"(x)U"G)./(x)drn=la an=\(1-135)由于上式對任意的函數(shù)/(x)成立，我們可以得到U；(x')U〃(x)=d(x—x) (1-136)n=l矩坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的解在靜電學(xué)中有一類問題，自由電荷僅僅分布在導(dǎo)體表面上，而在求解區(qū)域中沒有體電荷的分布，這時(shí)靜電問題就簡化為根據(jù)邊界條件求解拉普拉斯方程的問題。當(dāng)邊界與某一坐標(biāo)面一致時(shí)，用分離變量法求解拉普拉斯方程時(shí)方便的。分離變量法可以分為兩步：第一步時(shí)在選定的坐標(biāo)系下求解拉普拉斯方程的通解，第二步是根據(jù)給定的邊界條件來確定所得到的通解中的待定系數(shù)。在矩坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程的形式為嬴+皆■+而=° (1T37)假設(shè)其解可以分離變量為“(X,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) (1-138)代入方程后，兩邊同時(shí)除以。(x,y,z)得到1d2X1d2y 1d2ZX(x)dx2+r(y)dy2+Z(z)dz2=° (1T39)由于上式中三部分分別僅僅是xy,z的函數(shù)，而其和為零，故而只有當(dāng)三部分同時(shí)為常數(shù)是才能成立1d2X 21d2y 21d?z2Xd^=~a^dy2=/，Id7r "MO)其中兄夕一稱為分離常數(shù)，它們滿足條件a2+/=y2。上述三個(gè)方程的通解為X(x)=Acosax+Bsinaxy(y)=Ccosfiy+Dsin[iyZ(z)=Fcoshyz+Gsinhyz (1-141)值得注意的是，式中a/"可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。當(dāng)a是虛數(shù)時(shí)，X函數(shù)將是sinh,cosh的形式。實(shí)際上，直角坐標(biāo)系中變量x,y,z是平等的。此外，如果a=O,4=O,則有X= +ni2X,Y= +may,Z=65+m^z (1-142)這些解在需要時(shí)可以補(bǔ)充進(jìn)去。如果電位。與某個(gè)變量(例如z)無關(guān)，則拉普拉斯方程可以簡化為京+前=。 (1T43)設(shè)。(x,y)=X(x)y(y),則有1d2X 1d2yXdx2+Ydy2=° (1T44)得到二維拉普拉斯方程的通解為0(x,y)=(mi+m2龍)(加3+m4y)+(Acoshax+Bsinhax)(Ccosay+Dsinay)(1-145)需要指出的是，有時(shí)需要將sinh,cosh換成指數(shù)。以上解中各系數(shù)需要由邊界條件確定。例15：有一根長矩形金屬管沿z軸放置，在工=。的一側(cè)保持=OX=a的一側(cè)保持電位為Uo,而在y=O,y=b的上下底均接地。求金屬管內(nèi)的電勢分布。(課本67頁)效=0效=0圖1-18:二維分離變量法解：由于是二維問題，電勢力的通解為式(1-145)，其中系數(shù)由邊界條件確定。1.在y=o,o wa處，有“=o.由此條件可以得到加3=o;C=o,所以°=(61+加2%)，％4y+(AcoshaxBsinhay)Dsinay(1-146)2..y=hfO<x<a處，有“=O.得到m4=O,sinab=O,mt/b,(//=1,2,??),所以(/)=Dnsin

n=\)[()()]H7T/l1 ,r7 —?0n7t,」~y47cosh~x4-Bnsinh~xbob(1-147)3.在x=O,OWy4處，有d（/）/dx=O.由此條件可以得到&=O,所以n=l— i(〃兀).(〃乃)AJPrposhxsinybb(1-148)4.在x=a,O<y<b處,。=U。,有￥()(),、n兀.miUq=A,p/7coshasmy

. bbn=i(1-149)上式正是Uo的傅立葉正弦級數(shù)，上式兩端同乘以sin］姓并在區(qū)間（o,b）,上積分，利用三角函數(shù)的正交性可以得到2Uq_b,neevenAnDn= 1()bcosh誦sinb4Uo“cosh(皿)nEodd(1-150)7TziGodd7TziGoddxsm~yb于是管內(nèi)電勢分布為1】(血)coshncosh,bG=U(ibb/2.xgo圖1-20：例16圖例16：如圖1-20所示，有兩塊一端彎成直角形的導(dǎo)體板相對放置，中間留有一小縫。設(shè)導(dǎo)體在X軸和z軸方向上遠(yuǎn)大于兩導(dǎo)體板間的距離仇上導(dǎo)體板的電位為Uo,下導(dǎo)體板接地，求兩板間的電勢分布。(課本68頁)解：由于電勢與Z無關(guān)，所以為二維問題。同時(shí)由于求解區(qū)域在+X方向上無限大，該方向上應(yīng)該選取指數(shù)關(guān)系，電勢的通解為0=(如+，”2幻(加3+rn4y)+(Acosay+Bsinay)(Ce""+De-") (1-152)系數(shù)由邊界條件確定.當(dāng)X—+8時(shí)，。趨于平板電容的電勢，即?！猆()y必因此C=O,同時(shí)關(guān)于的線性部分應(yīng)為即°=~y+(Acosay+Bsinaj^)De_ar (1-153)b.在y=0,x2O處，0=O由此得到A=0,所以=~y+BDsinaye-^ (1-154)b.在y=b,x>O處，(/>=Uq由此可以得到sinab=O,即a”=nn/h,(h=2,???),因此有tTo史(.(n7i)</>=-y+—ye~ (1-155)bn=\ b4.在x=0處，當(dāng)OWy<從2時(shí)，°=O,當(dāng)時(shí)，°=U()由此條件得到X」.%兀)-Uoy/b,O<y<b/2. ,八Asin y=z 7 (1-156)nb Uo-Uoy/b,b/2<y<b將右邊的函數(shù)在(o,份展開成傅立葉級數(shù)，即得到系數(shù)A=也0cos竺 (1-157)

即得到電勢分布為必、-2必—“nn?)一0金0y+ ~ —cos—sin-ye力YbJnn2b,n=l實(shí)際上，該題可以有嚴(yán)格的解析解，為,U0U0￥《 1 )0=一~一arctan.小.(1-158)(1-159)圖1-21：等電勢線2it(1-158)(1-159)圖1-21：等電勢線1.7.3圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程的解在圓柱坐標(biāo)系中，電勢滿足的拉普拉斯方程為id尸迦1s2。aVrdrdra +222+22=0 (1-160)rdr rlo(pldz1設(shè)其可以分離變量為0=R⑺①(夕)Z(z) (1-161)從而得到TOC\o"1-5"\h\z1ddR1d?① 1d2Zr rRdrdrrRdr+r2<Dd^2=~Zdz2 (1-162)要使上式對一切r,S，z都成立，則只有兩端同時(shí)等于一常數(shù)，令常數(shù)為-d，則有d-Z2 , 、一4Z=。 (1-163)az2rd' ) 22 1d?中Rdrrdr,=力率 a"#7?dr …夕為了使上式對一切r,9都成立，只有兩端同時(shí)等于一常數(shù)，設(shè)為〃2,則有d20 2rd7?dR,222Rdrdr方程1-163和1-165的通解為Z(z)=Acoshkz+Bsinhkz①(W)=Ccosn(p+Dsinn(p (1-167)同時(shí)，由于。關(guān)于夕應(yīng)該式以2兀為周期的函數(shù)，故而〃只能取整數(shù)。方程1-166的通解是R(r)=FJ”(b)+GMkr) (1-168)其中JG)和匕⑺分別為〃階第一類和第二類貝賽爾(Bessel)函數(shù)。由于這兩個(gè)函數(shù)比較復(fù)雜，我們不予過多的介紹。實(shí)際中經(jīng)常能夠遇到的一種情況是電勢”與z無關(guān)，此時(shí)％=0,此時(shí)方程的通解為(/>=mi+m2Inr+r(A?cosn(p+Bnsinn(p)+廣(Cncosn(p+Dnsinn<p)n=l(1-169)例17：一介電常數(shù)為名半徑為a的長圓柱放置在一真空勻強(qiáng)電場E°中，圓柱體的軸與電場垂直。求圓柱內(nèi)外電勢分布。(課本75頁)圖1-22：電場中的介質(zhì)棒解：根據(jù)分界面與坐標(biāo)面一致的要求，選取圓柱軸為Z軸的圓柱坐標(biāo)系并使E的方向?yàn)椤?o的方向。柱內(nèi)外電勢為由原電場產(chǎn)生的電勢與極化電荷產(chǎn)生的電勢之和，原電場產(chǎn)生的電勢為-E()rcos夕。由于柱內(nèi)外的電場均與z無關(guān)，則其電勢如和出的通解為應(yīng)為1-169式的形式。由于場關(guān)于夕=0對稱，因此不包含正弦項(xiàng)，故而有M=m\+m2lnr+Anrcosn(p+C”廠“cosnip (1-170)n=\02=癡14-Inr4-Anrcosn(p+Cnr~cosn(p-Forcos(p(1-171)n=\各系數(shù)由邊界條件確定.在r=O處，有限，得到他=O,C〃=O,即￡n弧=m\+Anrcosn(p (1-172)n=\.當(dāng), 8時(shí),02T-E()rcoscp由此可以得到M=。'/58oA，n=o,即TOC\o"1-5"\h\z7- /n。2=-Eo〃cose+Cnr~cos〃0 (1-173)n=\3.在分界面〃=a處，有。1=。2和^^=右。繁從而有OO OOm\+anAncosn(p=-E()acos(/)+^~nCncosn(p(1-174)n=l n=\8 OOenaH~]Ancosn(p=-3E0cos(p—e。na~{n+})Cncosn(p(1-175)n=1 n=l比較以上兩式兩邊cosn(p,sin八夕的系數(shù)可以得到m\=O2co￡oA=一」

(*J°)c= 2+a)Ea=Cn=O(n/=1) (1-176)所以圓柱內(nèi)外的電勢為0=一-^^-Ercos(p

1 ￡+“0 )/=-E^rcoscp+柱~~——cos9 (1T77J￡+￡0r2+￡o1.7.4球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的解(不作要求)在球坐標(biāo)系(r,0,9)中電勢。所滿足的拉普拉斯方程為1S2 1d( / 1叫+r2sin6d0‘血陰十啟si/。眥=° (1*8)

圖1-23圖1-23：球坐標(biāo)系(1-179)設(shè)其解可以分離變量為。=①(9),代入到上述方程中得到,()(),,siir0d2&Rsin6dd? 1十(1-179)R'drf@dJsm°一中d^2Rdrdr0此此欲使上式對一切r,仇夕都成立，只有兩端都等于一個(gè)常數(shù)，令其為nA則有d20> 2,、+加①=0dg2(i-i8o)1d<2dp 1d' d€)，m2Rdrdr ..“a’ =-八. ，sinU+7?drdr OsinOd。 曲sin?。(1-181)欲使方程(1-181)對一切r,儲噢立，f有兩端都等于一個(gè)常數(shù)，令其為/(/+1),于是有 d'，d/P,,,。、drdrTOC\o"1-5"\h\z,(口[ 2]1dd€) msin0 ?=o (1-180sin此+/(/+i)一°° CMsin'。方程i-i8o的通解為(1-184)①(8)=Fmcosm(p+Gmsinm(p(1-184)由于當(dāng)夕變?yōu)橄?2乃時(shí)，”值相同，得到機(jī)只能取整數(shù)。方程1-182的通解為R狂)=Atr'+Br('+i) (1-185)方程(1-183)中，對自變量例乍如下替換：O=arccosx,方程變?yōu)?rq[ 1衛(wèi)2-d0 _21,(1-X), +Z(Z+1)- 90=0 (1-186)drdr 1-x2

該方程稱為締合勒讓德(generalizedLegendre)方程。它的通解比較復(fù)雜。這里我們僅僅討論簡單的情況，即。關(guān)于z軸對稱，于夕無關(guān)的情況，此時(shí)加=o.方程(1-186)變?yōu)閖(1-f)普+1(1+1)0=o (1-187)該方程稱為/次勒讓德方*(Legendr案由于在實(shí)際中，要求在x=±1處有界，此時(shí)只有當(dāng)/為0,1,2,?一時(shí)方程才有解，對應(yīng)的解為勒讓德多項(xiàng)式尸□)，可以寫為(Rodgrigues'formula)(1-188)修(幻=2!/山府-1)1(1-188)修(幻=2!/山府-1)容易看出/次勒讓德多項(xiàng)式中x的最高次基為』，且級數(shù)階勒讓德多項(xiàng)式僅僅包含X的奇數(shù)次塞，偶數(shù)階僅僅包含偶數(shù)次幕。勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間［-1,1］上滿足正交關(guān)系 IIJ1 2P(x)P/(x)d_r=6mn (1-189)-1 2/+1對于［T,1］上的函數(shù)/lx)可以展開成勒讓德函數(shù)的級數(shù).fix)= A/P/(x) (1-190)/=0則系數(shù) I2/4-1 1Al- /(X)P/(X)(1￥ (1-191)2-I或者對于在［0,兀的函數(shù)V(。)，也可以展開為P/(COS。)的形式V(。)=乙A/P/(cos8) (1-192)/=oTOC\o"1-5"\h\z其中系數(shù) J2/4-1nA/= V(0)P/(cos0)sinOdf) (1-193)2 0在對z軸對稱時(shí)，包括極軸在內(nèi)的區(qū)域中拉普拉斯方程的通解為W［ 10=A/+B廠("DP(qos。) (1-194)1=0例18:設(shè)有一半徑為a的接地導(dǎo)體球，放置于均勻的外電場E。中，球外為真空,求空間任意一點(diǎn)的電場分布。(課本83頁)解：取球z軸為E()的球坐標(biāo)系。球內(nèi)為等勢體，設(shè)為參考電位。球外電位可以寫成(1-194)的形式。各系數(shù)由邊界條件確定。圖1-24：勻強(qiáng)電場中的導(dǎo)體球.當(dāng)ft8時(shí)，->-Egrcos6O由此條件有4=-瓦,A/=o(〃=o),因此A°=_E0rPi(cosff)+Br"+i)P/(cos。) (1-195)/=0.在導(dǎo)體表面上，0(0=0由此條件有XEoaP^cosO')=Bta-(/+l)P/(cos6?) (1-196)/=o要是上式成立，只有P/(cos。)項(xiàng)的系數(shù)都為零，得到各系數(shù)為8I=0,瓦=0(〃=1)從而得到球外的電勢為e/。=-Eo〃cos6+_cos。=向+” (1-197)其中“=Eoacos6/r2為球外感應(yīng)電荷所激發(fā)的電勢。它可以寫為，Eo/cos。pcosp?r°= _ =r= , (1-198)r2 4兀跖r24兀￡0「3可見導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷對球外區(qū)域電位的貢獻(xiàn)與球心放置一個(gè)電偶極子的情況一樣，其電偶極矩為p=4^oa3Eo (1-199)1.8格林函數(shù)法(Green'sfunction)前面的給出了求解靜電問題的幾種方法。其中鏡像法適合于邊界條件相對簡單，而空間電荷分布僅僅為點(diǎn)電荷的情況。分量變量法適合于邊界形狀與一定的坐標(biāo)軸平行，且求解區(qū)域內(nèi)無電荷分布的情況。而當(dāng)求解區(qū)域既存在一定的邊界條件，又存在一定的電荷分布時(shí)，前面的方法求解就比較困難。介紹一種格林函數(shù)法。格林原理TOC\o"1-5"\h\z格林原理的出發(fā)點(diǎn)是散步定理 [V-AdV=A-dS (1-200)v s在上式中，令A(yù)= 貝t//?dS=Mdw/dnMS,于是我們得到格林第一等式\o"CurrentDocument"J 1d(°V23+V。.vj)dv=產(chǎn)QS (1-201)v sdn將上面式中。,W相交換后相減，則VW頁將相互抵消，于是得到格林第二等式J I(A鑄3V2”^V2^)dV= 0華一-笠ds(1-202)上式中，如果我。拎。為求解區(qū)域的電勢分漏，的有V。色-p/s,而此時(shí)如果選擇適當(dāng)?shù)腤，就可以得到關(guān)于。的積分方程。格林函數(shù)就是這樣的函數(shù)。由于場應(yīng)該式場點(diǎn)和源點(diǎn)的函數(shù)，因而格林函數(shù)也應(yīng)是場點(diǎn)和源點(diǎn)的函數(shù)。我們令格林函數(shù)滿足條件 ，V2G(r,r)=--__—(1-203)E由于d(r,r')函數(shù)的對稱性，格林函數(shù)也具有對稱性G(r,r)=G(r,r'),從而得到G(r,r')的物理意義是，在r'放置一個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)在I?點(diǎn)產(chǎn)生的場。將格林第二公式中原為G(r,r'),同;寸,積分變量換為r',從而得到]

J[p(r)G(r,r)-^(r)J(r-r)]dVr= 0(r)—(1r)_ 「，).(「)西￡v s Sn dn(1-204)我們考察y內(nèi)的電場，此時(shí)場點(diǎn)辨于丫內(nèi)，由d函數(shù)的篩選性質(zhì)得科0(r)=G(r,r')2(r')dV'+￡ G(r,；?')'"[)_ 「)dS’(1-205)v s 3〃’ 加這就是格林原理。上式中需要。(r')和附/?！?在邊界上的值，而實(shí)際中，根據(jù)解的唯一性定理，只要知道其中一個(gè)就可以確定唯一的解，因此在不同的邊界條件下，我們需要選擇不同的格林函數(shù)來解決出現(xiàn)的問題。1.8.2第一類邊值問題的格林函數(shù)如果知道了電勢在邊界上的值，我們可以選擇格林函數(shù)在邊界上的值為零,即G(r,r)=o,ronS (1-206)

稱為第一類格林函數(shù)。此時(shí)格林原理中右邊面積分的一部分為零，方程簡化為J ?dG(rr)0(r)= G(r,r')/?(r')dV'0(r') ；_dS (1-207)v s例19：一半徑為a的導(dǎo)體球，被一極薄的絕緣介質(zhì)分隔為兩個(gè)半球，上半球電勢為V,下半球?yàn)?V,如圖1-25,所示，求球外電勢分布。zz圖1-25：例19題圖解：因?yàn)榻o定的時(shí)球面的電勢值，所以首先需要求球外空間的第一類格林函數(shù)。按照格林函數(shù)的物理意義，只要令r’處有一單位點(diǎn)電荷，求空間r處的電勢即可，利用鏡像法可以得到第一類格林函數(shù)為[]G(r,r)= 7 1 -7 1 (1-208)4?！? r2+r2-2.rrcosy(rrZrz)2+a2-2rrcosy其中y為r,r'之間的夾角。因?yàn)闀r(shí)求解球外的電勢，故而n'方向與r'方向相反。(1-209)SG SG r2—a2(1-209).__.=— dn-r=a-—Qr'-r=a 4?！昙?+a2-2?rcosy)3Z2由于在球外p(r')=o,所以有_1 , -a2')—(a2_1 , -a2')—(a2+r2+2arcosy)_372]d。'd(cos〃)[(/+/-2arcosy)0 ，-3/2(1-210)由于COSy=COSeCOSe'+sin%in”cos(P-。，)，關(guān)系比較復(fù)雜，上述積分無法得到解析解，但是原則問題已經(jīng)解決了。對于z軸而言，此時(shí)6=o,cosy=cos夕，此時(shí)可以得到如下形式的簡單解[(721渝“(Z)=V1-V (1-211)zzz4-在已知區(qū)域內(nèi)電荷分布和邊界上的電勢值的情況下，使用格林函數(shù)法進(jìn)行求解的一般步驟為：.取一邊界形狀與題給相同的區(qū)域，令其邊界上電勢為零。在F’處放置一點(diǎn)單位電荷，求出r處的電勢格林函數(shù).求出邊界上dG(r,r,yam4-利用格林原理計(jì)算電勢4(r)O(r)= G(r,r)p(r)dV，-e )dSv s加第二類邊值問題的格林函數(shù)對于第二類邊值問題，我們可以取dG/加'為常數(shù)。由于6G/加表示了單位點(diǎn)電荷在邊界上的場，根據(jù)高斯定理，應(yīng)該有/dS'=1A (1-212)dn故而取SG/加'=-"?s為邊界面積.二維情況下的格林函數(shù)格林函數(shù)的物理意義是點(diǎn)電荷在一定邊界條件下所產(chǎn)生的場，因而一般是三維問題。而有些情況下，求解區(qū)域是一個(gè)二維問題，或者可以化簡為二維問題，此時(shí)使用二維形式的格林函數(shù)將更加簡單。在二維情況下，滿足條件(1-203)的場為線電荷所產(chǎn)生的場。例20：有一無限導(dǎo)體平板，中間有一細(xì)縫將其一分為二。在兩部分之間加上電壓Vo,求空間電場的分布。解：因?qū)儆诙S問題，應(yīng)該使用二維格林函數(shù)。對于第一類邊值問題，令格林函數(shù)滿足導(dǎo)體板上值為零。此時(shí)對一處于r'處的單位線電荷，空間產(chǎn)生的場即為格林函數(shù)-‘ 1a-x)2+(y+y)2G(x,y,x,y)=--In (1-213)在邊界上dGdG_ 1y dn飛- y=0一?！?(x—x')2+廿 1-214在求解區(qū)域內(nèi)無電荷分布，故有I(t)(x,y)=一￡0 08 ,dSson( rJ0dG> +°°dG=一￡。%。，出一￡。-ooon odn/drdn/dr(1-215)-8『)2+(1-215)arctan71 x1.9有限差分法前面我們介紹的求解靜電勢的方法都是設(shè)法得到場的解析解。雖然我們總是希望能夠得到場的解析解，在實(shí)際過程中，很多情況下，嚴(yán)格的解析解是很難甚至無法得到。為此，人們也試圖通過一定的途徑去求解方程的近似解。這些方法的共同點(diǎn)是將求解區(qū)域用點(diǎn)分解成許多小的格子，把拉普拉斯方程在給定點(diǎn)附近用近似的代數(shù)方程代替而直接計(jì)算電勢。如果格子足夠密集，則能夠足夠精確的得到場的分布情況。由于往往需要進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，通常需要借助于電子計(jì)算機(jī)。我們僅僅以二維情況為例介紹有限差分法。它首先把平面場的區(qū)域分成許多方形的格子，如圖1-26所示。假設(shè)P點(diǎn)的電位為加，其周圍方格頂圖1-26圖1-26：有限差分法點(diǎn)尸1,P2,P3,P4的電位分別為機(jī)，02,。3,。4。下面我們推導(dǎo)一個(gè)。1至。4表示辦的公式。為此，假設(shè)函數(shù)。(x,y)在二維平面上滿足拉普拉斯方程V20=o.首先，利用泰勒(Tylor)級數(shù)將電勢函數(shù)。在P(x0,%)附近展開為d(/)12評弧=0(xo+hi,yo)~</>p+hldx+c〃la2 (1-216)2dxfd(f><h=0(x()-九3,y())“p-飽亦?12啊1-〃3a, (1-217)25dx2將第一式乘上飽加上第二式乘上也得到—1—21,@3 _2p_+ y ++〃3h\加id2(/)-vy (1-218)2dxzh\+hyh\3 3在y方向上，同理可以得到 (—1—h.曲)4一+〃2+力4 4。 〃2Id2^〃42dy2(1-219)上述兩式相加，并利用6/=o得到Op~m\</)\+m2。2+帆3。3+加4。4 (1-220)其中 〃2飽飽 (h\+〃3)(〃1〃3+人2〃4) 41A3^4 (〃2+力.4)(〃1〃3+人2人4)= hih211A {h\+Zl3)(〃l〃3+〃2〃4)_ (〃2+九+人2包)(1-221)上式表明，拉普拉斯方程在某點(diǎn)的解可以通過四個(gè)相鄰的