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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.2.給出個(gè)數(shù),,,,,,其規(guī)律是:第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,以此類推,要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖,請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能()A.; B.;C.; D.;3.已知圓:,圓:,點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是()A. B.9 C.7 D.4.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.335.如圖,圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),,則的最大值為()A. B. C.2 D.6.雙曲線:(),左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時(shí),,則()A.2 B. C.1 D.9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.10.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)11.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.12.大衍數(shù)列,米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,是平面向量,是單位向量.若,,且,則的取值范圍是________.14.若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),.給出下列四個(gè)結(jié)論:①為的重心;②;③當(dāng)時(shí),平面;④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.15.已知,,,則的最小值是__.16.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若為的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對(duì)任意n,恒成立.①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí),求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請(qǐng)寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請(qǐng)說明理由.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,,,,,為的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn).(1)證明:面面;(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角余弦值.21.(12分)已知三點(diǎn)在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),若直線過點(diǎn),求此時(shí)直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時(shí),求面積的最小值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.2.A【解析】
要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和,這就需要循環(huán)50次,這樣可以確定判斷語句①,根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和,循環(huán)變量的初值為1,所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1,故判斷語句①應(yīng)為,第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,這樣可以確定語句②為,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu),正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.3.B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),,故的最大值為,故選B.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對(duì)稱性,求出所求式子的最大值.4.C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
建立坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用,以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.6.B【解析】
首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為,一條漸近線的方程為,由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,屬于中檔題.7.A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè),由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個(gè),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).9.C【解析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.11.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.12.B【解析】
直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時(shí)B也滿足,,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先由題意設(shè)向量的坐標(biāo),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解.【詳解】由是單位向量.若,,設(shè),則,,又,則,則,則,又,所以,(當(dāng)或時(shí)取等)即的取值范圍是,,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14.①②③【解析】
①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點(diǎn),連接,則點(diǎn)在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設(shè),則由可得,然后對(duì)應(yīng)邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí),三棱錐的體積最大,而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)到平面的距離最大,此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設(shè)由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當(dāng)與重合時(shí),最大,為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.15..【解析】
因?yàn)?,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),取等號(hào).故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.16.【解析】
當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根,令,通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,故不是函數(shù)的零點(diǎn);當(dāng)時(shí),即,令,,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實(shí)數(shù)根,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N,連結(jié)MN,由中位線定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中點(diǎn)為G,連結(jié)BG,EG,則可證四邊形ABGD是矩形,由面面垂直的性質(zhì)得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,從而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入體積公式即可計(jì)算出體積.【詳解】(1)證明:設(shè)與交于點(diǎn),連接,在矩形中,點(diǎn)為中點(diǎn),∵為的中點(diǎn),∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中點(diǎn)為,連接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的長(zhǎng)即為四棱錐的高,在梯形中,,∴四邊形是平行四邊形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【點(diǎn)睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,注意求體積的一些特殊方法——分割法、補(bǔ)形法、等體積法.①割補(bǔ)法:求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí),常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.②等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí),這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值.18.(1);(2)或.【解析】
(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無解;當(dāng)時(shí),;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問題,屬于中檔題.19.(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn),奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進(jìn)行求解;(2)①設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),得出;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設(shè)可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進(jìn)而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,若,則當(dāng)時(shí),,即,與題意不符,所以,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,,若,則當(dāng)時(shí),,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設(shè)可以為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因?yàn)椋?,所以,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以當(dāng)n為偶數(shù),且時(shí),,即當(dāng)n為偶數(shù),且時(shí),不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時(shí)一般是結(jié)合通項(xiàng)公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細(xì)思細(xì)算,本題綜合性較強(qiáng),難度較大,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)要證明面面,只需證明面即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為,,軸建系,分別計(jì)算出面法向量,面的法向量,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】證明:(1)因?yàn)榈酌鏋檎叫危杂忠驗(yàn)?,,滿足,所以又,面,面,,所以面.又因?yàn)槊?,所以,面?(2)由(1)知,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為,,軸建系如圖所示,則,,,,則,.所以,,,,設(shè)面法向量為,則由得,令得,,即;同理,設(shè)面的法向量為,則由得,令得,,即,所以,設(shè)二面角的大小為,則所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)
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