語篇分析概要讀書報告2200字

語篇分析概要讀書報告2200字

語篇分析概要作者：黃國文篇章語言學(xué)也稱話語語言學(xué)，是一門年輕的學(xué)科，它是50年代以后才發(fā)展起來的；作為獨立的學(xué)科，它直到70年代才有比較快的進(jìn)展。篇章語言學(xué)的研究對象是比句子更大的語言單位，包括書面語言和口頭語言。語篇的結(jié)構(gòu)、句子的排列、句際關(guān)系、會話結(jié)構(gòu)、語篇的指向性、信息度、句子間的語句銜接和語句連貫等等，都是篇章語言學(xué)的研究內(nèi)容。篇章語言學(xué)與語法學(xué)、文體學(xué)、語用學(xué)、語義學(xué)等學(xué)科關(guān)系十分密切，這些領(lǐng)域的研究通常都涉及篇章語言學(xué)的研究內(nèi)容。Chapterone篇章語言學(xué)（textlinguistics）作為一門學(xué)科是50年代以后才發(fā)展起來的。語篇分析通常指的是對比句子/話段（sentence/utterance）更大的語言單位所作的語言分析，目的在于解釋人們?nèi)绾螛?gòu)造和理解各種連貫（coherent）的語篇。早期的語篇研究：在英美國家最早進(jìn)行語篇分析應(yīng)首推哈里斯（Harris）和米切爾（Mitchell）。哈里斯在19xx年發(fā)表的“話語分析”一文中第一次使用了“話語分析”這一術(shù)語。19xx年，西德語言學(xué)家魏因里希（Weinrich）提出了篇章語言學(xué)（textlinguistik）。在我國討論篇章結(jié)構(gòu)的論著首推劉勰的《文心雕龍》：夫人之立言，因字而生句，積句而成章，積章而成篇。什么是語篇？語篇通常指一系列連續(xù)的話段或句子構(gòu)成的語言整體。它可以使獨白、對話，也可以說眾人交談；可以是文字標(biāo)志，也可以是詩歌、小說。還可以是講話，也可以是文章。語篇特征（texture）：cohesionandcoherentChapterTwo銜接：銜接是語篇特征的重要內(nèi)容,它體現(xiàn)在語篇的表層結(jié)構(gòu)上。語法手段（如照應(yīng)、替代、省略等）和詞匯手段（如復(fù)現(xiàn)關(guān)系、同現(xiàn)關(guān)系）的使用，都可以表現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的粘著性，即結(jié)構(gòu)上的銜接。銜接是語篇的有形網(wǎng)絡(luò)。連貫：連貫指的是語篇中語義的關(guān)聯(lián)，連貫存在于語篇的底層，通過邏輯推理來達(dá)到語義連接。它是語篇的有形網(wǎng)絡(luò)。句子：句子是語法的最高一層的單位，它是人們交際的最基本的語言單位。一句話不論長短，如果能表達(dá)相對完整的意義，用一定的語調(diào)，末尾有較長的停頓，那它就是句子。在書面語中每個句子的末尾都有句號、問好或感嘆號。句組（sentence-group）:句組由兩個或更多的獨立的句子構(gòu)成，是具有句法上的組織性和交際上的獨立性的一段話，它大于句子，但通常小于段落或等于段落，它是一組按照邏輯句法規(guī)則組成的相對完整的超句統(tǒng)一體，它通常處在由句到篇的過渡性位置上。一般來說，句組中的句子之間存在句際關(guān)系。句組與段落：段落通常介乎于句子和語篇之間的語言單位。段落與句組既有聯(lián)系又有區(qū)別。段落是從篇章的結(jié)構(gòu)的角度劃分出來的文章組成部分，而句組則是交際的單位。段落是由句子（或句子和句組）構(gòu)成的。語篇：語篇是篇章結(jié)構(gòu)中的最高層次，句子是最低層次。句際關(guān)系的類別：并列關(guān)系；對應(yīng)關(guān)系；順序關(guān)系；分解關(guān)系；分指關(guān)系；重復(fù)關(guān)系轉(zhuǎn)折關(guān)系；解釋關(guān)系；因果關(guān)系。語篇的結(jié)構(gòu)：語篇的結(jié)構(gòu)是有條理、上下連貫、前后一致的有機(jī)的語言整體。較大的語篇通常都有開頭、中間、結(jié)尾等部分。不同的語體的語篇通常用不同的結(jié)構(gòu)形式表示開頭、中間、結(jié)尾等部分。ChapterThree語境與與語篇分析：語境指的是言語活動在一定的時間和空間里所處的境況。語言是人們交流思想的工具，語言交際總是離不開交際的參與者、談話的主題、時間、地點等情景。因此，一定的語言活動總是處于一定的語境中。語篇的含義主要依賴于語境，語篇與語境相互依存，相輔相成。語篇產(chǎn)生于語境，又是語境的組成部分。語言性語境與非語言性語境：語言性語境通常指的是上下文。非語言性語境通常指語段或句子的意義所反映的外部世界的特征。非語言語境有時可以告訴我們句子所陳述的內(nèi)容是以哪種言外之力（illocutionaryforce）來表達(dá)的。語篇的指向性：時間、地點、真實性和參加者的關(guān)系（timeplacefactualityandparticipantrelations）書面語篇的表現(xiàn)形式：如果語篇是書面形式，就需考慮其書寫形式和其版面的安排問題，這關(guān)系到語篇的交際效果。ChapterFour信息與語句排列：語言的線性表現(xiàn)這一特點決定了發(fā)話者在傳遞信息時必須考慮語言結(jié)構(gòu)的排列。一般來說，在語言結(jié)構(gòu)的安排上，要遵循從已知到未知，從確定到不確定的原則。同時還要考慮句末中心(end-focus)和句末重心（end-weight）原則。實義切分法：（actualdivisionofthesentence）最早由布拉格學(xué)派的創(chuàng)建者馬泰休斯提出的。它是一種意義分析法，從句子的交際功能的角度來分析句子的結(jié)構(gòu)，分析句子的結(jié)構(gòu)如何表達(dá)句子所要傳遞的信息，如何揭示語篇在一定的語境中的直接、具體的意義。一個句子可以從交際功能的角度劃分為兩個語義組成部分：主位（theme）和述位（rheme）。主位往往是句子的第一個成分，說明談話的主題，從而成為句子其余部分?jǐn)⑹鰞?nèi)容的起點，因此主位是敘述的出發(fā)點、對象或基礎(chǔ)；述位則是對主位的敘述、描寫和說明，它是敘述的核心內(nèi)容。主位通常都傳遞交際雙方已經(jīng)熟悉或由所聞的內(nèi)容，即已知信息，述位則通常傳達(dá)受話者未知的內(nèi)容，即新信息。

第二篇：《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告16600字《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告趙海林學(xué)習(xí)本學(xué)期的《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》主要包括泛函分析（FunctionalAnalysis）和點集拓?fù)鋵W(xué)（PointSetTopology）有關(guān)的知識。在學(xué)習(xí)《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》之前，需要有扎實的《實變函數(shù)》和《點集拓?fù)洹分R。大學(xué)期間，曾用一年時間學(xué)習(xí)過高等教育出版社《實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》，前半年學(xué)習(xí)了實變函數(shù)，后半年學(xué)習(xí)了泛函分析基礎(chǔ)，而點集拓?fù)渌鶎W(xué)甚微，在進(jìn)入研究生學(xué)習(xí)階段，《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》作為數(shù)學(xué)研究生的基礎(chǔ)理論課程，是必修學(xué)位課。本學(xué)期學(xué)完該門課后的讀書報告主要寫泛函分析，可能存在諸多問題，希望老師見諒！下面我從幾個方面寫本學(xué)期學(xué)習(xí)《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》的感受和認(rèn)識。該讀書報告主要的框架結(jié)構(gòu)：1）了解泛函分析是什么，泛函的發(fā)展史；2）把空間的理論知識膚淺的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，對于其他理論的學(xué)習(xí)作拋磚引玉之用；3）學(xué)習(xí)泛函分析的實際應(yīng)用。摘要泛函分析理論是為克服黎曼積分理論的缺陷而創(chuàng)立的新積分理論，Lebsgue積分是黎曼(Riemann)積分的完備化，在數(shù)學(xué)分析中,Riemann積分的概念與理論是十分重要的一部分.它的威力在數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程———常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、概率論以及力學(xué)課程中,已經(jīng)相當(dāng)充分地表現(xiàn)出來了.但是Riemann積分有一個很大的缺點,就是Riemann可積函數(shù)列的極限并不一定是可積的,或者說Riemann可積函數(shù)類對極限運算是不封閉的，所以學(xué)習(xí)泛函分析具有必要性。其基礎(chǔ)是集合與測度理論，所以也可以稱為測度與積分理論。它是數(shù)學(xué)專業(yè)特別是將來從事與分析數(shù)學(xué)有關(guān)系的科技工作者的必備工具。一、泛函分析的概念以及發(fā)展史1、泛函分析的概念所謂的泛函，就是一般函數(shù)，泛函分析當(dāng)然就是一般函數(shù)的分析研究。泛函分析是研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射的分支學(xué)科，是二十世紀(jì)三十年代形成的一個數(shù)學(xué)分支，隸屬于分析學(xué)。從變分法、微分方程、函數(shù)論以及量子物理等的研究中發(fā)展起來的，它運用幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)的觀點和方法研究分析學(xué)的課題，可看作無限維的分析學(xué)。其研究的主要對象是函數(shù)構(gòu)成的空間，主要研究無限維空間（具有各種拓?fù)洌┑慕Y(jié)1/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告構(gòu)、它們之間的映射以及映射的微積分。另外，也研究各種子集的解析結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。泛函分析是一門綜合性很高的數(shù)學(xué)分支,在數(shù)學(xué)物理方程，概率論，計算數(shù)學(xué)等分科中都有應(yīng)用，也是研究具有無限個自由度的物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具。它的誕生和發(fā)展受到數(shù)學(xué)的抽象化、公理化以及量子物理的推動。由于它的高度抽象化,其概念和方法廣泛地滲透和應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個分支以及自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)。經(jīng)典的泛函分析綜合運用函數(shù)論、幾何學(xué)，代數(shù)學(xué)的觀點來研究無限維向量空間上的函數(shù)，算子和極限理論。它可以看作數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何到無限維向量空間的推廣，被認(rèn)為是無限維空間上的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的綜合。Banach是經(jīng)典泛函分析理論的一個主要奠基人;數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Volterra對泛函分析的廣泛應(yīng)用有重要貢獻(xiàn)。現(xiàn)代泛函分析已演變成一個龐大的數(shù)學(xué)體系。僅就Hilbert空間上算子的研究而言，其上算子結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究形成算子理論、其上由算子生成代數(shù)的研究又形成算子代數(shù)，就這兩個密切相關(guān)的研究領(lǐng)域，掌握和了解這兩個領(lǐng)域的進(jìn)展和方法已變得十分困難。2、泛函分析的發(fā)展史十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個新的階段。這就是，由于對歐幾里德第五公設(shè)的研究，引出了非歐幾何這門新的學(xué)科；對于代數(shù)方程求解的一般思考，最后建立并發(fā)展了群論；對數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準(zhǔn)備了條件。本世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪發(fā)表的著作中，出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲來創(chuàng)了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般分析學(xué)，也就是泛函分析的基本概念。由于分析學(xué)中許多新部門的形成，揭示出分析、代數(shù)、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現(xiàn)得就更為突出了。泛函分析的產(chǎn)生正是和這種情況有關(guān)，有些乍看起來很不相干的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發(fā)人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬于本質(zhì)的東西。非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認(rèn)知，n維空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進(jìn)一步推廣，以至最后把歐氏空間擴(kuò)充成無窮維數(shù)的空間。這時候，函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應(yīng)關(guān)系。這里我們先介紹一下算子的概念。算子也叫算符，在數(shù)學(xué)上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。研究無限維線性空間上的泛函數(shù)和算子理2/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告論，就產(chǎn)生了一門新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。在二十世紀(jì)三十年代，泛函分析就已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門獨立的學(xué)科了。二、泛函分析的空間理論知識1、度量空間我們在作物理、化學(xué)、生物等實驗時，通過觀察會得到很多值，但總是近似的，這時自然要考慮近似值與準(zhǔn)確值的接近程度，反映在數(shù)學(xué)上這是一個極限問題。數(shù)學(xué)分析中定義R中點列xn的極限是x時，我們是用|xn?x|來表示xn和x的接近程度，事實上，|xn?x|可表示為數(shù)軸上xn和x這兩點間的距離，那么實數(shù)集R中點列xn收斂于x也就是指xn和x之間的距離隨著n??而趨于0，即limd(xn,x)?0。n??于是人們就想，在一般的點集X中如果也有“距離”，那么在點集X中也可借這一距離來定義極限，而究竟什么是距離呢？1.1度量空間的定義定義1.1設(shè)X為一非空集合。若存在二元函數(shù)d:X?X?R，使得?x,y,z?X，均滿足以下三個條件：（1）d(x,y)?0,且d(x,y)?0?x?y（非負(fù)性）（2）d(x,y)?d(y,x)（對稱性）（3）d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)（三角不等式），則稱d為X上的一個距離函數(shù)，（X,d）為度量空間或距離空間，d(x,y)為x,y兩點間的距離。注意：若（X,d）為度量空間，Y是X的一個非空子集，則（Y,d）也是一個度量空間，稱為（X,d）的子空間。我們可以驗證：歐式空間Rn，離散度量空間，連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]，有界數(shù)列空間l?，p次冪可和的數(shù)列空間lp，p次冪可積函數(shù)空間Lp[a,b](p?1)，均滿足距離空間的性質(zhì)。Appendix：p次冪可積函數(shù)空間Lp[a,b](p?1)介紹Lp[a,b]?{f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可積}，在Lp[a,b]中，我們把幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)。Lp[a,b]有下列重要性質(zhì)：（1）對線性運算是封閉的。即若f,g?Lp[a,b]，則?f?Lp[a,b],f?g?Lp[a,b]，其中?是常數(shù)。（2）Lp[a,b]?L[a,b](p?1)。設(shè)f?Lp[a,b]，令A(yù)?E(|f|?1)，B?E(|f|?1),E?[a,b]，則?|f|dm??|f|dm??|f|dmaABb??|f|pdm?(b?a)A??|f|dm?(b?a)???abp3/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告故f?L(a,b)。（3）?f,g?Lp[a,b]，定義1p?b?dp(f,g)???|f(t)?g(t)|dm??a?則dp是一個距離函數(shù)。稱(Lp[a,b],dp)為p次冪可積函數(shù)空間，簡記為pLp[a,b]。1.2度量空間有重要的定理定理1對度量空間(X,d)有（1）任意個開集的并集是開集;有限個開集的交集是開集;（2）任意個閉集的交集是閉集;有限個閉集的并集是閉集;（3）X與?既是開集又是閉集.定理2設(shè)(X,d)是度量空間,x0?X,E?X,則x0是E的聚點的充要條件是存在E中點列?xn?(xn?x0),使d(xn,x0)?0(n??).定理3設(shè)(X,d)是度量空間,E?X,x?E,則下面的三個陳述是等價的:(1)x?E;(2)x的任一鄰域中都有E的點;（3）有點列xn?E,使d(xn,x0)?0(n??).定理4設(shè)(X,d)是度量空間,E是X的非空子集,則E為閉集的充要條件是E??E.定理5閉集套定理：設(shè)X是完備的，并且非空閉集套F1?F2?F3????滿足diamFn?supx,y?Fnd(x,y)?0，則存在唯一的點y?nFn.稱X的一個子集E是疏朗的(也稱無處稠的)，如果E的閉包E不含任何開集。易見一個開集O在X中稠當(dāng)且僅當(dāng)O的補集Oc是疏朗的；一個閉集F是疏朗的當(dāng)且僅當(dāng)Fc是周密的開集。度量空間的一個子集稱為第一綱的，如果它能表為可列個疏朗集之并；否則稱為第二綱的。完備的度量空間享有一個深刻的結(jié)構(gòu)定理－Baire綱定理。定理6Baire綱定理：完備的度量空間是第二綱的。在微積分的發(fā)展歷程中，一個重要問題是討論函數(shù)間斷點集的特征。讀者容易驗證定義在閉區(qū)間[0,1]上的函數(shù)4/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告1p有理數(shù)x?是不可約形式;qqr(x)?{0x是無理數(shù);1x?0.y?x在有理點是間斷的，在無理點是連續(xù)的（驗證當(dāng)0?x?1,limr(y)?0.）一個自然的問題是：是否在閉區(qū)間上存在一個函數(shù)h使得它在有理點連續(xù)，無理點間斷。注意到[0,1]中的無理數(shù)集是第二綱的，下面的命題表明這樣的函數(shù)是不存在的。命題：設(shè)X是完備的度量空間，f是[0,1]上的實函數(shù)，Cf?{x:f在x點連續(xù)｝，若Cf在X中稠密，那么Df是第?{x:f在x點間斷｝一綱。定理7Banach不動點定理：完備度量空間X上的壓縮映射A有唯一的不動點,即存在唯一的x?X滿足Ax?x.2、映射的連續(xù)性與一致連續(xù)定義2.1設(shè)X，Y是度量空間，f是X到Y(jié)的一個映射。x0?X如果對任何??0，存在??0當(dāng)?(x,x0)??時，有?(fx,fx0)??則稱f在x0連續(xù)。又若f在X中每一點都有連續(xù)，則稱f是X上的連續(xù)映射。若對任何??0，存在???(?)?0，只要x1,x2?X，且d(x1,x2)??，就有?(f(x1),f(x2))??成立，則稱f在X上一致連續(xù)。定理2.1設(shè)(X,d)，(Y,?)是度量空間，f:X?Y,x0?X,則下列各命題等價。(1)f在x0連續(xù)；(2)對于fx0的任一鄰域B(Tx0,?)，都存在x0的一個鄰域B(x0,?)使得f?B(x0,?)??B(Tx0,?)；(3)對于X中的任意點列{xn}，若xn?x0(n??)，則f(xn)?f(x0)(n??)。定理2.2設(shè)(X,d)，(Y,?)是度量空間，f:X?Y。則f是連續(xù)映射的充分必要條件是，對Y中的任一開集G，其原象f?1(G)??xx?X,f(x)?G}是開集。定義2.25/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告設(shè)(X,d)，(Z,?)是兩個度量空間，f:X?X?Z，點(x0,y0)?X?X，若對任意??0，都存在?(x0,y0,?)?0，使得當(dāng)(x,y)?X?X，且d(x,x0)??，d(y,y0)??時，恒有?(f(x,y),f(x0,y0)??成立，則稱二元映射f在(x0,y0)點是連續(xù)的。若f在X?X上每點都連續(xù)，則稱f是X?X上點連續(xù)二元映射。若上述?與點(x0,y0)無關(guān)，則稱f在X?X上一致連續(xù)。定理2.3度量空間(X,d)中的距離函數(shù)d(x,y)是X?X上的連續(xù)二元函數(shù)。3、稠密性（掌握概念）設(shè)A,B是距離空間X的兩個子集，則（1）A稱為X中的稠集，若A?X；（2）A稱為B的稠子集，若A?B?A；（3）A稱為在B中稠密，若B?A.4、完備性實數(shù)空間R具有完備性，即R中任何基本列必收斂于某實數(shù)?，F(xiàn)在我們將這些概念引到一般距離空間中來。4.1完備性概念定義4.1設(shè)?xn?是距離空間X中的一個點列，若對任何??0，存在N，當(dāng)。m,n?N時，有?(xm,xn)??則稱?xn?是X中的一個基本列（或Cauchy列）如果X中的任何基本列都在X中收斂，則稱X是完備的距離空間。如:C?a,b?是完備的距離空間；空間Lp[a,b](p?1)是完備的距離空間。定理4.1設(shè)(X,d)是度量空間，則（1）收斂點列是基本列；（2）基本列是有界的；（3）若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，其極限即該子列之極限。我們知道，有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點以后得到的實數(shù)空間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng)用。對于一般的距離空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用。那么是否對于任一不完備的距離空間都可以添加一些點使之成為完備的距離空間呢？答案是肯定的。下面給出空間完備化的定義與結(jié)論。設(shè)X，Y是距離空間，T:X→Y,如果對任何的x1,x2∈X,都有?(Tx1,Tx2)??(x1,x2)則稱T是X到Y(jié)上的等距映射，并稱X與Y等距?？梢宰C明，對于每一個距離空間X，必存在一個完備化的距離空間X0，使得X等距于X0中的一個稠密子空間X′，如果除去等距不計，X0還是唯一確定的。6/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告5、可分性在實數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間R的可分性。同時，實數(shù)空間R還具有完備性，即R中任何基本列必收斂于某實數(shù)。現(xiàn)在我們將這些概念引到一般距離空間中來。定義5.1設(shè)X是距離空間，A?B?X，如果對任何x?B，總存在。又xn?x(n??)，則稱A在B中稠密（或A是B的稠密子集）?xn??A,使若B=X，通常稱A在X中處處稠密。定理5.1設(shè)(X,d)是度量空間，A在B中稠密與下列各命題互相等價，（1）B?（其中?A?{A的聚點}稱為A的閉包）。（2）對任何x?B及??0,N?(x)（x的鄰域）內(nèi)都含有A的點。（3）任取一個??0,?S(x,?)x?A??B。即由以A中每一點為中心?為半徑的開球組成的集覆蓋B。另外，稠密集還有如下性質(zhì)：若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密。定義5.2距離空間X叫做可分的，是指在X中存在一個稠密的可列子集。A?X叫做可分的，是指存在X中的可列子集B，使B在A中稠密，即?A。歐氏空間Rn是可分的，因為坐標(biāo)為有理數(shù)的點組成的集構(gòu)成Rn的一個可列稠密子集?？臻gC?a,b?是可分的，可以證明：具有有理系數(shù)的多項式的全體P0在C?a,b?中稠密，而P0是可列集還可以證明空間Lp[a,b],lp等都是可分的。存在著不可分的距離空間。考慮l?中的子集A?{x?(x1,x2,?,xn,?)xn?0或1}則當(dāng)x,y?A,x?y時，有?(x,y)?1。因[0,1]中每一個實數(shù)可用二進(jìn)制表示，所以A與[0,1]一一對應(yīng)，故A不可列。1假設(shè)l?可分，即存在一個可列稠密子集A0，以A0中每一點為心，以為3半徑作開球，所有這樣的開球覆蓋l?，也覆蓋A。因A0可列，而A不可列，則必有某開球內(nèi)含有A的不同的點，設(shè)x與y是這樣的點，此開球中心為X0，于是1121??(x,y)??(x,x0)??(x0,y)???333矛盾，因此l?不可分。6、范數(shù)與范數(shù)的等價性驗證范數(shù)的三條公理：ⅰ正定性?f??，有7/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告f?0；f?0?f??；ⅱ齊次性???R，f?sup{x?0?f(x)x??sup{x?0f(x)x??f；ⅲ三角不等式定義6.1設(shè)||.||1和||.||2是線性空間X上的兩個范數(shù)，若?｛xn｝?X，lim||xn??n||1?0?lim||xn||2?0，n??則稱||.||1與||.||2是等價的。定理6.2（等價范數(shù)定理）線性空間X上的兩個范數(shù)||.||1與||.||2等價的充分必要條件是：?C1,C2?0，使得?x?X,有C1||x||1?||x||2?C2||x||1證必要性：設(shè)||.||1與||.||2等價，若不存在C2?0，使得?x?X，均有||x||2?C2||x||1，1則?n?N,?xn?X,使得||xn||2?n||xn||1，記yn?xn，則當(dāng)n??時，||xn||2||yn||1?11||xn||1＜?0||xn||2n7、賦范線性空間與Banach空間、Hilbert空間定義7.1設(shè)X是實（或復(fù)）線性空間，如果對于X中每個元素x按照一定的法則對應(yīng)于一個實數(shù)x，滿足：（1x?0,x?0的充分必要條件是x?0;(2)?x??x(???);(齊次性）（3x?y?x?y,(三角不等式）或簡稱X為賦范線性空間。則稱x是x的范數(shù)，稱（.）為賦范線性空間，設(shè)X是賦范線性空間，對于x,y?X及??K令?(x,y)?x?y,那么從范數(shù)的定義可以驗證??x,y?滿足距離的所有條件，我們稱這樣得到的距離為由范數(shù)||?||誘導(dǎo)出的距離，這時X構(gòu)成一個距離空間。已知賦范線性空間是特殊的距離空間，如果??x,y?是范數(shù)所誘導(dǎo)出來的距離，那么這種距離和線性運算之間存在著以下關(guān)系。對任何x,y?X及??K有8/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告(1)?(x?y,?)??(x,y);(2)?(?x)???(x).反之，設(shè)X是線性空間，又其上有距離?(x,y)，滿足上述條件（1）和（2），我們定義x??(x,?)可以驗證它滿足范數(shù)條件，并且由這個范數(shù)誘導(dǎo)出來的距離即原來的距離?(x,y)。這就是說，對于具有線性運算的距離空間，如果它的距離與線性運算之間滿足條件（1），（2），即可成為賦范線性空間。既然任何一個賦范線性空間都可以看成是距離空間，那么距離空間中的鄰域、開集、閉集、可分性與完備性、列緊性與緊性等概念都可以相應(yīng)定義。下面給出賦范線性空間中的收斂概念。定義7.2：設(shè)X是賦范線性空間，，若xn?x?0(n??),則稱點列?xn?依范數(shù)收x，x（,2,3,?）nn?1斂于x，記作limxn?x，有時簡記為xn?x(n??)。n??定義7.3完備的賦范線性空間稱為Banach空間。（1）設(shè)?是Rn(或Cn）中的一個緊子集。C(?)表示?上連續(xù)函數(shù)全體，定義f?maxf(x).x??容易驗證C(?)是一個Banach空間。（2）Lp(?)空間:設(shè)?是Rn的一個有界開集。?i?當(dāng)1?p??,定義Lp(?)?{f是Lebsguefp?(??f(x)dV)??}.?p1p?ii?當(dāng)p??,定義L?(?)?{f是Lebsguef????supf(x)??}.x??使用HOlder不等式，可以證明Lp(?)是Banach空間。定義7.4Hilbert空間:設(shè)H是復(fù)數(shù)域上的一個線性空間，如果泛函??,??:H?H?C滿足?i??ax?by,z??a?x,z??b?y,z?,[對第一個變量線性]?ii??x,y???y,x?,[共軛對稱性]?iii??x,x??0,若<x,x??0,則x?0.[正定性]稱這樣的H為一個內(nèi)積空間。內(nèi)積空間自然是一個賦范空間，其范數(shù)為x??x,x?。若在此范數(shù)下，內(nèi)積空間是完備的，稱129/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告為Hilbert空間。Hilbert空間的一個核心概念是正交性。如果?x,y??0,稱它們正交的，記為x?y。8、線性算子與線性泛函從一個線性賦范空間X到另一個線性賦范空間Y中的映射，亦稱算子．如果Y是數(shù)域，則稱這種算子為泛函．事實上，我們對算子和泛函的概念并不陌生，例如微分算子D?d就是從連續(xù)可微函數(shù)空間到連續(xù)函數(shù)空間上的算子；dx積分算子(黎曼積分)?af(x)dx就是連續(xù)函數(shù)空間上的泛函．保持兩個線性賦范空間代數(shù)運算的簡單算子：線性算子和線性泛函．定義8.1算子設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，若T是X的某個子集D到Y(jié)中的一個映射，則稱T為子集D到Y(jié)中的算子．稱D為算子T的定義域，或記為D(T)；并稱Yb的子集TD?{yy?T(x),x?D}為算子T的值域．對于x?D，通常記x的像T(x)為Tx．注1：當(dāng)X?Y?R時，算子T為函數(shù)；若Y?R，算子T為實泛函．定義8.2連續(xù)算子設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，x0?D?X，T為D到Y(jié)中的算子，如果???0，???0，當(dāng)x?x0??，有?Tx0??，則稱算子T在點x0處連續(xù)．若算子T在D中每一點都連續(xù)，則稱T為D上的連續(xù)算子．注2：f(x)在x0點連續(xù)??{xn}?D，若xn?x0，則有f(xn)?f(x0)．定義8.3線性算子設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，D?X，T為D到Y(jié)中的算子，如果?x,y?D，??,??K，有T(?x??y)??T(x)??T(y)，則稱T為D上的線性算子．容易看出，上述等式可推廣到更一般的情形：T(??ixi)???iTxi。ii定義8.4線性有界算子設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，D?X，T:D?Y為線性算子，如果存在M?0，?x?D，有?Mx，則稱T為D上的線性有界算子，或稱T有界．注3：上述的有界與數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)有界不同：例如函數(shù)f(x)?x是實數(shù)域R上的無界函數(shù)，即不存在M?0，使得f(x)?M，但是f(x)?x?Mx(M?1)可見，無界函數(shù)可能是線性有界泛函．10/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告T:D?Y的有界的等價刻畫：（1）?k?0,?x?D，有Tx?kx;或（2）T映D中的有界集為Y中的有界集。若T?L(D,Y)，則對任給的x?D有Tx?x注3：范數(shù)定義的幾種等價形式（i?supTxx?1（iiT?supTxx?1（iiiT?inf{k?0:Tx?kx(?x?D).下面是幾個線性算子．例1(1)恒等算子I恒等算子I：X?X定義為，?x?X，Ix?x．(2)零算子0零算子0：X?Y定義為，?x?X，0x??．(3)微分算子D設(shè)C(1)[a,b]是[a,b]上所有一階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的函數(shù)組成的空間，微分算子D：C(1)[a,b]?C[a,b]定義為，?x(t)?C(1)[a,b]，Dx?dx(t)．dt(4)積分算子T積分算子T：C[a,b]?C[a,b]定義為，?x(t)?C[a,b]，Tx??x(?)d?at，t?[a,b]．(5)矩陣算子T設(shè)矩陣A?(aij)m?n，aij?R，矩陣算子T：Rn?Rm定義為，?x?(x1,x2,,xn)?Rn，Tx?Ax?y其中y?(y1,y2,,yn)?Rm．定理8.1設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，D?X，T:D?Y為線性算子，則T在D上連續(xù)?算子T在某點x0?D處連續(xù)．定理8.2設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，D?X，T:D?Y為線性算子，則T在D上線性有界?算子T把D中的任何有界集映射成Y中的有界11/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告集．定理8.3設(shè)X和Y是同一數(shù)域K上的線性賦范空間，D?X，T:D?Y為線性算子，則T在D上連續(xù)?T在D上線性有界．對于線性算子T:D?K有T線性有界?T連續(xù)?T在某一點處連續(xù)開映射定理，一致有界原理和Hahn-Banach延拓定理被認(rèn)為是泛函分析的“三大基本定理”。除此之外，由這些基本定理派生的Banach逆算子定理，閉圖像定理，范數(shù)等價定理以及閉值域定理常常為應(yīng)用帶來方便。開映射定理:設(shè)X,Y是Banach空間，T:X?Y是有界線性算子。如果T是滿的，則T是開映射,即將開集映為開集。Banach逆算子定理：設(shè)X,Y是Banach空間，T:X?Y是可逆的有界線性算子，則其逆T?1也是有界的設(shè)X,Y是賦范空間，T:X?Y是一個線性算子，T的圖像定義為{(x,Tx)|x?X}，它是X×Y的一個線性子空間,這里X×Y的范數(shù)定義為。(x,y)?x?X,y?Y.稱T是閉算子，如果T的圖像是X×Y的閉子空間。容易檢查T是閉的當(dāng)且僅當(dāng)它滿足：若xn?x0,Txn?y0,則有y0?Tx0.閉圖像定理：設(shè)X,Y是Banach空間，T:X?Y是閉線子，則T是有界的。一致有界原理，也叫共鳴定理或Banach?Steinhaus定理。一致有界原理：設(shè)X是Banach空間，Y是賦范空間,T?:X?Y,???是一族有界線性算子，若對每個x?X,supT?x??則???supT?x??.???事實上，下面幾個定理是等價的；開映射定理?Banach逆算子定理?閉圖像定理?一致有界原理12/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告8.2線性泛函對一個賦范空間X，其上的函數(shù)稱為泛函，這樣的稱呼源自于其自變量x?X可能是很抽象的，如取X?Lp(?),自變量是函數(shù)。研究賦范空間X上一般的泛函是不可能的，就像研究Rn上一般的函數(shù)一樣。Rn上最簡單的函數(shù)是線性函數(shù)，即滿足：f(ax?by)?af(x)?bf(y),這時f必有形式f(x)?a1x1?…+anxn.顯然，Rn上的線性函數(shù)是連續(xù)的?？紤]復(fù)的賦范空間X上的線性泛函f:X?C,即滿足：f(ax?by)?af(x)?bf(y).下面的例子表明線性泛函未必是連續(xù)的。設(shè)?是復(fù)平面上復(fù)多項式全體,p??,定義p?maxp(z).那么?是一個賦范空間。z?Dzn容易驗證線性泛函p?p(1)是不連續(xù)的。事實上，取pn(z)?，n''那么pn?0,但pn(1)?1、對線性泛函f:X?C,定義其范數(shù)f?supf(x)x1如果f??，稱f是有界的，此時，f將有界集映為有界集。下面是等價的：1.f是有界的；2.f在X上連續(xù)；3.f在原點x?0處連續(xù);4.kerf是閉的。X*表示X上連續(xù)線性泛函全體，在上述范數(shù)下，X*是一個Banach空間，稱為X的對偶空間。定義給定K上的賦范空間X，約定X*?L(X,K)，稱其為X的對偶空間（X*為Banach空間）。稱每個u?X*為X上的有界線性泛函。注：（1）因有界線性泛函是有界線性算子的特殊情況，故關(guān)于一般有界線性算子的概念與結(jié)論，均適應(yīng)于有界線性泛函。（2）對u?X*，有13/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告u?supx?0u(x)x?supu(x)?supu(x)?min{k?0:u(x)?kx(?x?X)}。x?1x1（3）u(x)?ux（4）對X上的線性泛函u，u有界?u連續(xù)。定義對0?f?X*與c?K，稱f?1(c)?{x?X:f(x)?c}為X中由f決定的超平面，也記為{f?c}。注：過原點的超平面f?1(0)?N(f)是X的閉子空間。命題8.2.1設(shè)A?X是一子空間。則以下兩條件等價：（1）有0?f?X*，使得A?N(f)；除一個常數(shù)因子的差別外，f由A惟一決定。（2）存在拓?fù)渲焙头纸釾?A?Kx0，此處x0?0,Kx0?{?x0:??K}是X中的由x0生成的1維子空間。推論若0?f?X*,f(x0)?0，則X?N(f)?Kx0。9、線性賦范空間的共軛空間線性泛函是一類特殊的線性算子，設(shè)X為一線性賦范空間，X上的全體有界線性泛函組成的集合記為X*，即X*?{ff:X?R,f為線性有界泛函}．(1)X*是線性空間．*?x?X，定義?(x)?0，顯然零泛函?是X上的線性有界泛函，即??X，X*??．其次定義X*上的加法和數(shù)乘如下：?f,g?X*，??R，定義(f?g)(x)?f(x)?g(x)，(?f)(x)??f(x)易驗證X*是線性空間．(2)X*是線性賦范空間．?f?X*，存在M?0，使得?x?X，有f(x)?Mx，當(dāng)x?0，可得f(x)x?M，于是數(shù)集{范數(shù)為f(x)xx?X,x?0}為一有界集，即它的上確界存在．因此可在X*上定義f?sup{x?0,x?Xf(x)x．14/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告稱線性賦范空間X*為X的共軛空間注1：當(dāng)f?X*，x?X時，有f(x)?f?x．注2：對于f?X*，由范數(shù)的定義知f?x?0f(x)x?sup{f(x?0x)}x?sup{f(yy?1?sup{f(yy1?sup{f?yy?1?fsup{y?fy1因此f?x?0f(x)x?sup{f(x?sup{f(x．□x?1x?1可見所謂“泛函”就是“函數(shù)”的“函數(shù)”．定理9.1設(shè)X為線性賦范空間，則其共軛空間X*是Banach空間．定義9.2設(shè)X為線性賦范空間，如果在線性等距同構(gòu)意義下X自共軛空間．注3：進(jìn)一步可證明(Cn)*?Cn；對于1?p???及??1，有(lp)*?lq，(Lp[a,b])*?Lq[a,b]；?X*，則稱X是1p1q特別地，(l2)*?l2，(l1)*?l?,(L2[a,b])*?L2[a,b]．還可以證明(C[a,b])*?V0[a,b]．可見Rn、Cn及l(fā)2的共軛空間是它們本身(稱其為自共軛空間)，而且可知線性連續(xù)泛函fa?(Rn)*可用內(nèi)積來表示，即fa(x)?(a,x)10、可測集與可測函數(shù)10.1可測集定義10.1.1設(shè)X是基本空間，R是X上的??代數(shù)，且X?E?RE，則稱(X,R)是可測空間(measurablespace)，R中的元素E是(X,R)上的可測集(measurableset)。特別地，當(dāng)X?R1，R?L時，稱(R1,L)是Lebsgue可測空間；Lebsgue可測空間上的可測集稱為Lebsgue可測集；當(dāng)X?R1，R?S(R0)=B時，稱(R1,B)是Borel可測空間；Borel可測空間上的可測集（即：Borel集）稱為Borel可測集.注定義可測空間、可測集時，嚴(yán)格地說，并不要求在??代數(shù)R上已經(jīng)具有某個測度，即把可測空間、可測集的概念本質(zhì)上當(dāng)作集合論范疇的概念，這已是通行的看法。15/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告定義10.1.2設(shè)(X,R)是可測空間，E?X，f是定義在E上的有限實函數(shù)。若對一切實數(shù)c，集E(c?f)?{xc?f(x),x?E}都是(X,R)上的可測集（即：E(c?f)?R），則稱f是E上關(guān)于R的可測的函數(shù)，簡稱E上的可測函數(shù)(measurablefunction)。特別地，當(dāng)(X,R)?(R1,L)時，稱f是E上關(guān)于L的Lebsgue可測函數(shù)；當(dāng)(X,R)?(R1,B)時，稱f是E上關(guān)于B的Borel可測函數(shù)。定理10.1.1設(shè)(X,R)是可測空間，f是定義在E?X上的有限實函數(shù)。則f是E上的可測函數(shù)的充分必要條件是：對任意實數(shù)c,d，集E(c?f?d)是可測集。10.2可測函數(shù)定理10.2.1設(shè)(X,R)是可測空間，f是定義在E?X上的有限實函數(shù)，則(1)若f是E上的可測函數(shù)，則E必是可測集；反之不然。(2)若f是E上的可測函數(shù)，E1?E可測，當(dāng)f作為E1上的函數(shù)時，f是E1上的可測函數(shù)；(3)設(shè)E1E2??,E1E2?E，若E1,E2是可測集，則f是E上的可測函數(shù)的充分必要條件是：f是E1,E2上的可測函數(shù)。(4)集E是可測集的充分必要條件是：集E的特征函數(shù)?E(x)是X上可測函數(shù)。定理10.2.2設(shè)(X,R)是可測空間，f是定義在E?X上的有限實函數(shù)，則下面三個條件中的任何一個都是f是E上的可測函數(shù)的充分必要條件：(1)對任意實數(shù)c，E(c?f)是可測集；(2)對任意實數(shù)c，E(f?c)是可測集；(3)對任意實數(shù)c，E(f?c)是可測集。定理10.2.3設(shè)(X,R)是可測空間，E?X，f,g都是E上的可測函數(shù)，則(1)對任意實數(shù)?，?f是E上的可測函數(shù)；(2)f?g是E上的可測函數(shù)；(3)f?g及fg（對?x?E,g(x)?0）是E上的可測函數(shù)；(4)max(f,g),min(f,g)都是E上的可測函數(shù)。推論1設(shè)(X,R)是可測空間，E?X，f1,f2,任意實數(shù)?1,?2,,fn都是E上的可測函數(shù)，則對,?n，?1f1??2f2???nfn是E上的可測函數(shù)。推論2設(shè)(X,R)是可測空間，E?X，f是E上的可測函數(shù)，則f是E上的16/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告可測函數(shù)。Infact由f?max(f,?f)知：f是E上的可測函數(shù)。11、Lebsgue積分及其性質(zhì)定義11.1設(shè)(X,R,?)是測度空間，E是一個可測集，?(E)??，f是定義在E上的可測函數(shù)，設(shè)f是有界的（即：存在實數(shù)c,d，使得f(E)?(c,d)），在[c,d]中任取一分點組D:c?l0?l1?記?ln?1?ln?d.?(D)?max(l?li?1),1?i?niEi?E(li?1?f?li)，并任取?i?[li?1,li?1](i?1,2,,n)，作和式S(D)???i??(Ei)，i?1n稱它為f在分點組D下的一個“和數(shù)”.若存在數(shù)s，它滿足如下條件：對???0,???0，使得對任意分點組D，當(dāng)?(D)??時，有S(D)),S(D)?s??(即：s??(limD)?0則稱f在E上關(guān)于測度?是可積（分）的，并稱s是f在E上關(guān)于測度?的積分，記作s??fd?.E特別地，當(dāng)測度空間(X,R,?)是Lebsgue測度空間(R1,L,m)，f關(guān)于測度m可積時，稱f是Lebsgue可積函數(shù)；稱s是f在E上關(guān)于測度m的Lebsgue積分，記作(L)?fdx.通常就簡記E作?fdx.E當(dāng)E?[a,b]時，Lebsgue積分又記作?fdx.ab定理11.1設(shè)(X,R,?)是測度空間，E?R，且?(E)??，則E上的一切有17/19《現(xiàn)代分析基礎(chǔ)》讀書報告界可測函數(shù)f（關(guān)于測度?）必是可積的。定義11.2