2020屆北京各區(qū)高三二模數(shù)學(xué)分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含答案)

/23(ii)由(匚)可矢口f(x)=2sinx-xcosx,f'(x)=cosx+xsinx.設(shè)g(x)=f'(x)，則g'(x)=xcosx.n令g'(x)=0,又xG(0,n)，得x=.2TOC\o"1-5"\h\znn當(dāng)xG(0，T時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)xG(三,n)時(shí)，g'(x)<0,22nn所以g(x)在(0,—)內(nèi)單調(diào)遞增，在(牙,n)內(nèi)單調(diào)遞減.22又g(0)=1，g(|)=2，g(n)=-1，nn因此，當(dāng)xG(0,-］時(shí)，g(x)>g(0)>0，即f'(x)>0，此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,-］上無極值點(diǎn)；22當(dāng)xG(一,n)時(shí)，g(x)=0有唯一解x，即f'(x)=0有唯一解x，200且易知當(dāng)xG(Z,x)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xG(xn)時(shí)，f'(x)<0，200n故此時(shí)f(x)在區(qū)間(|,n)內(nèi)有唯一極大值點(diǎn)x.2TOC\o"1-5"\h\z綜上可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,n)內(nèi)有唯一極值點(diǎn).10分(II)因?yàn)閒'(x)=cosx+xsinx-a，設(shè)h(x)=f'(x)，則h'(x)=xcosx.nnn令h'(x)=0，又xG(0,n)，得x=.且當(dāng)xG(0,—)時(shí)，h'(x)>0；當(dāng)xgF,n)時(shí)，h'(x)<0,222nn所以f'(x)在(0,-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(-,n)內(nèi)單調(diào)遞減.22當(dāng)aW1時(shí)，f'(0)=1—a>0，f'()=—a>0，f'(冗)=—1—a.22當(dāng)f'(冗)=—1—a>0，即a<—1時(shí)，f'(x)>0.此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,n)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)>f(0)=0；當(dāng)f'(冗)=—1—a<0，即一1<a<1時(shí)，因?yàn)閒'(0)=1—a>0，f'(-)=-—a>0，nn所以，在(0,2)內(nèi)f(x)>0恒成立，而在區(qū)間(2,n)內(nèi)f'(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為X，22貝y函數(shù)f(x)在(0,X)內(nèi)單調(diào)遞增，在(X,n)內(nèi)單調(diào)遞減.11又因?yàn)閒(0)=0，f(兀)=(1—a)K>0，所以此時(shí)f(x)>0.TOC\o"1-5"\h\z由(1)(2)可知，當(dāng)a<1時(shí)，對(duì)任意xg(0,n)，總有f(x)>0.15分34．(本小題滿分15分)解：(I)由煮舟=妙血疋，得廣(工)=口也工+口，2分則/dm.所以曲線?=在點(diǎn)處的切線為s-1)4分將點(diǎn)32)代入切線方程，得左=1.5分(II)由題意，得乳舄=刃"，廣⑴=血+1.令廣〔兀)=。，得乳=-7分e隨著兀變化，廣(Q與冗門的變化情況如下表所示:兀(巧(g+8)0+極小值/所以函數(shù)盤門在卩丄)上單調(diào)遞減，在(L+巧上單調(diào)遞增.9分ee所以函數(shù)存在極小值，且極小值為/(-)=--；函數(shù)了〔門不存在極大值.ee10分TOC\o"1-5"\h\zV2TK2(III)“y(R二〒-等價(jià)于“工由工-飛亠—11分eeee由(II),得蝕=血啟-1(當(dāng)且僅當(dāng)"1時(shí)等號(hào)成立)?①ee

1五21x所以血一尹產(chǎn)丁尹故只要證明尹。即可（需驗(yàn)證等號(hào)不同時(shí)成立）?12分設(shè)烈力土-合，工€〔乩+坷，貝y才（花）=孚.13分因?yàn)楫?dāng)ke（Q1）時(shí)，宵（工*￥期；當(dāng)兀E（l,+co）時(shí)，宵所以函數(shù)且〔門在（山1）上單調(diào)遞減，在1+3）上單調(diào)遞增.所以gW^g（O=0（當(dāng)且僅當(dāng)兀"時(shí)等號(hào)成立）?②因?yàn)棰佗趦蓚€(gè)不等式中的等號(hào)不同時(shí)成立，所以當(dāng)xe（0,+8）時(shí)，/（或〉15分（本小題滿分14分）解：（1）當(dāng)位時(shí),.1分.2分所以曲線尸了⑴在點(diǎn)W）處的切線方程為5T二0.4分（II）定義域?yàn)槌咭驗(yàn)?(“=￡—厲衛(wèi)eR當(dāng)"°時(shí)，了⑴"恒成立.所以函數(shù)在e上單調(diào)遞增..5分當(dāng)位C°時(shí)，了〔X）n°恒成立.所以函數(shù)在e+03）上單調(diào)遞增..6分

③當(dāng)詛沁③當(dāng)詛沁時(shí)，令廣帥二0,貝yK=_品或左=.7分所以當(dāng)時(shí)，代一石或“需;當(dāng)了⑴cO時(shí)，一程“罷所以函數(shù)尸了⑴在（一叫一血）和?眄上單調(diào)遞增綜上可知，當(dāng)詛三°時(shí)，函數(shù)》=冷在（呦，十°°）上單調(diào)遞增；當(dāng)"0時(shí)，函數(shù)，二/㈤在（兩一庖和（血+冏上單調(diào)遞增在（-石，石）上單調(diào)遞減.（III）法一：由（II）可知，（1）當(dāng)區(qū)￡°時(shí)，函數(shù)廠畑在皿嚴(yán)）上單調(diào)遞增；所以當(dāng)迂（°很）時(shí)，AhW>A°）=^-?io分?io分⑵當(dāng)小o時(shí)，函數(shù)尸"力在（-氓-拓）和〔五+眄上單調(diào)遞增在（—騙忌上單調(diào)遞減.①當(dāng)0<Vs<1，即0<盤蘭1時(shí)，-卩-咋0.所以當(dāng)龍氏（工2）時(shí),函數(shù)"如在上單調(diào)遞減，，血2〕上單調(diào)遞增九3打雨）

所以.11分②當(dāng)1vJ7<2，即1弋口c4時(shí),由上可知人C）=皿廠所以.11分②當(dāng)1vJ7<2，即1弋口c4時(shí),由上可知人C）=皿廠貳一護(hù)+1）,因?yàn)閰?）=2-五沁,所以小工）在①4）上單調(diào)遞增.UQ>烈1)=|>0所以3所以所以.13分③當(dāng)罷王2，即時(shí),-11-d|=1-acO因?yàn)楹瘮?shù)戸一了㈤在（乂血、上單調(diào)遞減,所以當(dāng)心0②時(shí),QAn?=/0=--^>l-^綜上可知，當(dāng)雄（°⑵時(shí)了㈤:>-|1-門|時(shí),.14分(III)法二:因?yàn)榱刷?〔-|1-叫）二克對(duì)+|1-。|,

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)閤e(0,2),所以—伽蘭—X./(x)+|1-斜+1-尬二+1>—x5-^+1所以10分②當(dāng)詛>1②當(dāng)詛>1時(shí),』/—IIIrr->,1=—A5-ffy+2t3-l=-2?H-l3(2-a)-1TOC\o"1-5"\h\z了㈤+|1-們于E+吃-133因?yàn)樾?0⑵,所以a〔2-x)2(2-；0./(x)+|1-lj|=—j;3+￡j(2-y)-l>—z3+(2-x)-1=-a^-^+1

所以..11分”或2二+?-工+1因?yàn)間V>?-l=Cx+l)C^-l),所以當(dāng)了㈤時(shí)，1或兀>1,當(dāng)艸小時(shí)，一1"燈..12分所以武匕)在(°’D上單調(diào)遞減，在⑴習(xí)上單調(diào)遞增.13分呂血(亦二烈1)二;>o所以所以當(dāng)心⑴時(shí)，”"-|1-糾..14分(本小題共15分)x+1解：(1)因?yàn)閒(x)=，定義域R,exx所以f'(x)一—.ex令f'(x)=0，解得x=0.X3O?0)0(0t+m)/w+0f(x)極大:值、隨x的變化，f'(x)和f(x)的情況如下:由表可知函數(shù)f(x)在x=0時(shí)取得極大值f(0)=1，無極小值.5分(II)令g(x)=f(x)+-x2—1=A+丄x2—1(x〉0),2ex2x1ex—1g(x)=Fx=x(1)=x().exexex由x〉0得ex—1〉0，于是g'(x)>0,故函數(shù)g(x)是［0,+g)上的增函數(shù).1所以當(dāng)xg(0，+g)時(shí)，g(x)〉g(0)=0，即f(x)>——x2+19分211(III)當(dāng)a<—時(shí)，由(II)知f(x)〉—x2+1>ax2+1，滿足題意.22令h(x)=f(x)—ax2—1=xF1—ax2—1，exh'(x)=ex1—2ax=—x(—+2a).ex當(dāng)—-<a<0時(shí)，若xg(0,ln(-丄)),22ah'(x)<0，則h(x)在［0，n(-扌)］上是減函數(shù).所以xg(0,ln(-丄))時(shí)，h(x)<h(0)=0，不合題意.2a當(dāng)a>0時(shí)h'(x)<0，則h(x)在(0,+g)上是減函數(shù),所以h(x)<h(0)=0，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍(-]215分(本小題15分)n解：(1)由sinx-1，得xH-—+2kn(kgZ)2所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x豐-n+2kn(kgZ)}2cos0(H)f(0)-帀+e0-2-sinx(1+sinx)-cos2x1f'(x)-+ex--+ex1+sinx(1+sinx)2(nx豐一2)+2kn(kgZ)f'(0)二0所以，曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y-21(III)法一：由f'(x)-—+ex，1+sinx令g(x)--廠1—+ex'則g'(x)-(1cosx)+ex1+sinx(1+sinx)2當(dāng)nn時(shí)，g'(x)>0，則g(x)在nn上單調(diào)遞增,xg(一2邁)(一丹時(shí)，g(0)-0所以當(dāng)n時(shí)，f\x)<0，f(x)單調(diào)遞減,xg(-2,0)當(dāng)mn.時(shí)，f，(x)>0，f(x)單調(diào)遞增,xg(0,~)f(x)的極小值為f(0)=2時(shí)，所以，當(dāng)nn時(shí)，f(x)三2xg(—,—)22法二：法二：f'(x)=一+ex1+sinx當(dāng)X二0時(shí)，f'(0)—1+e0二01+sin0當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，sinxw(一1'0)'1+sinXw(°」)，亠e(1,+Q宀e(-。-]),21+sinx1+sinxexe(e-：,1)，所以當(dāng)xe(-上,0)時(shí)，廣(x)<0，f(x)單調(diào)遞減'2當(dāng)xe(0,^)時(shí)，sinxG(0，1)，1+sinxe(1,2),--^e(|,1),1^e(-1,-1),21+sinx21+sinx2exe(1,e：)，所以當(dāng)xe(0二時(shí)，廣⑴>0，f(x)單調(diào)遞增'(‘2丿f(x)的極小值為f(0)=2所以，當(dāng)nnXG(一勺込38.(本小題滿分14分)(I)解：當(dāng)詛二1時(shí),孑(町=丸一血也,所以，因此上二/U)二又因?yàn)榱?1)二1,所以切點(diǎn)為〔1」).所以切線方程為》二1.(II)解：也(t)=x—盤In兀+比蘭，0f-a1十口(;r十1}(x-a所以血(工因?yàn)閍>0，所以a+1>0.(1)當(dāng)區(qū)+1<0，即區(qū)<一1時(shí)因?yàn)閍