2020年中考數(shù)學(xué)壓軸解答題13 幾何中的最值與定值問題 (學(xué)生版)

精品資源?戰(zhàn)勝咼考精品資源?戰(zhàn)勝咼考備戰(zhàn)2020中考數(shù)學(xué)之解密壓軸解答題命題規(guī)律專題13幾何中的最值與定值問題【類型綜述】線段和差的最值問題,常見的有兩類：第一類問題是“兩點(diǎn)之間,線段最短”．兩條動(dòng)線段的和的最小值問題,常見的是典型的“牛喝水”問題,關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”第二類問題是“兩點(diǎn)之間,線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．【方法揭秘】?jī)蓷l動(dòng)線段的和的最小值問題,常見的是典型的“牛喝水”問題,關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如圖1）．三條動(dòng)線段的和的最小值問題,常見的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題,關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題,一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng).如圖3PA與PB的差的最大值就是AB,此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即P.解決線段和差的最值問題,有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便,本講不涉及函數(shù)最值問題．D迸牛,HBNMP"D迸牛,HBNMP"圖1圖2圖3如圖4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4AE平分ABAC交BC于E.點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么△BPQ周長(zhǎng)的最小值是多少呢？如果把這個(gè)問題看作“牛喝水”問題,AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定啊.第一步，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”.如圖5,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對(duì)稱點(diǎn)為F,那么此刻PF+PQ的最小值是線段FQ.第二步，應(yīng)用“垂線段最短”.如圖6,在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中,FQ的最小值是垂線段FH.這樣,因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的,所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的.圖4圖5圖6【典例分析】【例1】如圖1QABC是邊長(zhǎng)為【例1】如圖1QABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形AD丄BC于點(diǎn)D,DE丄AB于點(diǎn)E.￡E圖1PD圖2（1）求證：AE=3EB（2）若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE,PF如圖2所示，求PE+PF的最小值及此時(shí)BP的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，連接EF當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)qPEF的面積是.【例2】問題探究（1）請(qǐng)?jiān)趫D①的正方形ABCD的對(duì)角線BD上作一點(diǎn)P,使PA+PC最小；（2）如圖②，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),AB=2,BC二2、巨，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，請(qǐng)作一點(diǎn)P,使PE+PC最小，并求這個(gè)最小值；問題解決（3）如圖③，李師傅有一塊邊長(zhǎng)為1000米的菱形采摘園ABCD,AC=1200米,BD為小路RC的中點(diǎn)E為一水池，李師傅現(xiàn)在準(zhǔn)備在小路BD上建一個(gè)游客臨時(shí)休息納涼室P為了節(jié)省土地，使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短,那么是否存在符合條件的點(diǎn)P?若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離；若不存在,請(qǐng)說明理由．

圖②圖③【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,4)B(加,0)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C,O關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)D在線段AB上．如圖1,若皿=8,求AB的長(zhǎng)；如圖2,若m=4,連接OD,在y軸上取一點(diǎn)E,使OD=DE,求證：CE=、込DE；如圖3,若m=4爲(wèi)，在射線AO上裁取AF,使AF=BD,當(dāng)CD+CF的值最小時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)D的位置,并直接寫出這個(gè)最小值．【例4】如圖，一次函數(shù)y=-2x+2的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，0)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).求二次函數(shù)的解析式如圖1,已知點(diǎn)D(l，n)在拋物線上,作射線BD,點(diǎn)Q為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QM丄y軸于點(diǎn)M,作QN丄BD于點(diǎn)N,過Q作QPIIy軸交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)QM與QN的積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=「號(hào)X2+竽X+沁3【例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=左側(cè)),左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C．求出hABC的周長(zhǎng).在直線BC上方有一點(diǎn)Q,連接QC、QB,當(dāng)hQBC面積最大時(shí),一動(dòng)點(diǎn)P從Q出發(fā)，沿適當(dāng)路徑到達(dá)y軸上的M點(diǎn),再沿與對(duì)稱軸垂直的方向到達(dá)對(duì)稱軸上的N點(diǎn)，連接BN,求QM+MN+BN的最小值.在直線BC上找點(diǎn)GK是平面內(nèi)一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使以O(shè)、C、G、K為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,求出K的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B,C,已知A(-1,0),C(0,3).atE圖1E圖1圖2【變式訓(xùn)練】一、單選題1.如圖,△APB中,AP二4,BP二3,在ab的同側(cè)作正AABD、正VAPE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是()

DECPABA．12B．15C．20D．25DECPAB2.如圖，在RtAABC中,ZBAC=90°,ZACB=45。,AB=2邁，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA，以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連結(jié)PQ，則PQ的最小值為（）B.€'2C.2邁D.4B.€'2C.2邁D.43.如圖，矩形ABCD為（）中,AB=3,BC=8,點(diǎn)P為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足ZPBC=ZPCD3.如圖，矩形ABCD為（）A.5B.1C.2D.34.已知：AB是eO的直徑,AD,BC是eO的切線,p是eO上一動(dòng)點(diǎn)，若AD=10,OA=4,BC=16,則APCD的面積的最小值是（）

A．36B．32C．24D．10.45.OO是半徑為1的圓，點(diǎn)O到直線L的距離為3,過直線L上的任一點(diǎn)P作0O的切線，切點(diǎn)為Q；若以PQ6.在△ABC中,AB=BC,點(diǎn)D在AC上,BD=6cm,E,F分別是AB,BC邊上的動(dòng)點(diǎn),'DEF周長(zhǎng)的最小值為6cm,則ZABC=（）A.20°B.25°C.30°D.35°7.如圖，已知點(diǎn)A（1，—3）,BQ,—】）,點(diǎn)P（m,O）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，要使四邊形ABPQ的周長(zhǎng)最小,m的值為（）

A．3.5B．4C．7D．2.58.如圖，四邊形ABCD中,ZBAD=130°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使三角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則ZAMN+ZANM的度數(shù)為（）A．80°B．90°C．100°D．130°二、填空題9.如圖,AABC是等邊三角形,AD=1AB，點(diǎn)e、F分別為邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ADEF的周長(zhǎng)最小時(shí),ZFDE的度數(shù)是.10.如圖,△ABC中,AB=8,AC=5,BC=7,點(diǎn)D在AB上一動(dòng)點(diǎn)，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,AE的最小值為

11.在RtAABC中,ZBAC=90AB=AC,AD丄BC于點(diǎn)D,P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角的頂點(diǎn)，向上TOC\o"1-5"\h\z作等腰直角三角形PBE,連接DE,若在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,DE的最小值為3,則AD的長(zhǎng)為.12.如圖示，在RtAABC中,ZACB=90。,AC=3,BC=爲(wèi)，點(diǎn)P在RtAABC內(nèi)部，且ZPAB=ZPBC,連接CP，則CP的最小值等于.13.如圖，在半徑為2的0O中，弦AB丄直徑CD,垂足為E,ZACD=30°,點(diǎn)P為0O上一動(dòng)點(diǎn),CF丄AP于點(diǎn)F.弦AB的長(zhǎng)度為；點(diǎn)P在0O上運(yùn)動(dòng)的過程中，線段OF長(zhǎng)度的最小值為.14.如圖，矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM=2,點(diǎn)P在矩形ABCD所在的平面中，且ZBPD=90。，則PM的最大值是.三、解答題15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=8,OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒?將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o,得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA?(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)求t為何值時(shí),ADPA的面積最大,最大為多少?⑶在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中,ADPA能否成為直角三角形?若能，求t的值:若不能，請(qǐng)說明理由.VBCD0PA(4)VBCD0PA(4)請(qǐng)直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D所經(jīng)過的長(zhǎng)度.16.已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上,OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，且OB=8OD=6?現(xiàn)將紙片折疊,折痕為EF(點(diǎn)E,F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn))，點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上,如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí),EF與DP交于點(diǎn)G若OP=7，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當(dāng)OP取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)。壓軸解答題?直面高考?jí)狠S解答題?直面高考17.如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置,BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形,AB仝,擺動(dòng)臂AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),AD=42.（1）在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)A、D、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求BD的長(zhǎng)，當(dāng)A、D、B三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求BD的長(zhǎng).（2）若擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)D的位置由AABC外的點(diǎn)D轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)D2處，如圖2,此時(shí)ZAD2C=135。,CD2=1,求BD2的長(zhǎng).（3）若連接（2）中的￡<,將（2）中aad1d2的形狀和大小保持不變，把AAD1d2繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),分別取Dg、CD2、BC的中點(diǎn)M、p、N，連接mp、PN、NM、M隨著AMDp繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，AMPN的面積是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)直接寫出AMPN的面積;若變化,AMPN的面積是否存精品資源?戰(zhàn)勝高考?jí)狠S解答題?直面高考?jí)狠S解答題?直面高考精品資源?戰(zhàn)勝咼考精品資源?戰(zhàn)勝咼考在最大與最小?若存在，請(qǐng)直接寫出AMPN面積的最大值與最小值，(溫馨提示\：'2x\：5=\:2x5=、；10)18?如圖①，在^ABC中,AB=AC=2,ABAC=120。，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接de.ABAD⑴在圖①中,BC的值為______；瓦的值為______AD若將ACDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到ACD1E點(diǎn)D、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D、耳，在旋轉(zhuǎn)過程中方的1111BE1大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明.當(dāng)ACDE在旋轉(zhuǎn)一周的過程中,A,D1，E1三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段BE］的長(zhǎng).19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(-3,4)、B(-3,0)、C(-1,0),以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)B,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒?過點(diǎn)P作PE丄CD交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF丄AD于點(diǎn)F交拋物線于點(diǎn)G,求拋物線的解析式；當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使△PQF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在,請(qǐng)說明理由．廈”_DAFD20.如圖①,在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s).連接PC,以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF.設(shè)APCD的面積為y(cm2).y與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.AB—cm,AD=cm;點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)D的移動(dòng)過程中，點(diǎn)E的路徑是cm.(3)當(dāng)t為何值時(shí),ADEF的面積最小?并求出這個(gè)最小值；⑷當(dāng)t為何值時(shí),ADEF為等腰三角形?請(qǐng)直接寫出結(jié)果。21.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3)，拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn),連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點(diǎn)E.求點(diǎn)E的坐標(biāo)；求拋物線的函數(shù)解析式；點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O、B重合)，直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)N在y軸右側(cè))，連接ON、BN,當(dāng)四邊形ABNO的面積最大時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)并求出四邊形ABNO面積的最大值.22.如圖1,拋物線y=x2+仝3x+2<3與x軸相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)63C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、BD.（】）求AABD的面積；（2）如圖2,連接AC、BC,若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PE