概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-獨(dú)家課件6.第六章

現(xiàn)在轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多,社會(huì)的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問題。從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、

、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作。但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的簡(jiǎn)單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)

出

這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷。到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所的問題作出推斷和，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議.計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢(shì).學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)無須把過多時(shí)間花在計(jì)算上，可以更有效地把時(shí)間用在基本概念、方法原理的正確理解上.

國內(nèi)外著名的統(tǒng)計(jì)軟件包：

SAS，SPSS，STAT等，都可以讓你快速、簡(jiǎn)便地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科,它們都以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律為研究對(duì)象.但在研究問題的方法上有很大區(qū)別：概率論

——

已知隨

量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、數(shù)字特征、及其應(yīng)用;數(shù)理統(tǒng)計(jì)——通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征,從而推斷總體的規(guī)律性.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的問題——由樣本推斷總體第一節(jié)隨機(jī)樣本和樣本分布函數(shù)一、總體與二、隨機(jī)樣本的定義三、樣本分布函數(shù)的定義四、小結(jié)總體一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.研究對(duì)象的全體稱為總體()，總體中每個(gè)對(duì)象稱為.研究某批燈泡的質(zhì)量總體國產(chǎn)轎車的質(zhì)量該批燈泡的全體就是總體燈泡的每公里的耗油量所有國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí)，每個(gè)具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.稱總體中所含的數(shù)目為總體容量,總體容量有限的稱為有限總體,總體容量無限的稱為無限總體.一、總體與可見,

X的概率分布反映了總體中各個(gè)值的分布情況.

很自然地,就用隨

量X

來表示所 的總體.X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征就是總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.今后不必區(qū)分總體和其相應(yīng)的隨

量.

并常用隨 量的記號(hào)或用其分布函數(shù)表示總體.

比如說

總體X

或

總體

F(x).也就是說，總體可以用一個(gè)隨

量

X

或其分布來描述.設(shè)該大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的分布如下.5

0.3

0.1

0.07

0.03若從該大學(xué)一年級(jí)學(xué)生中任意 學(xué)生的

，所得結(jié)果為一隨 量，記作X

.X

的概率分布是：某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的某大學(xué)一年級(jí)全體學(xué)生的 構(gòu)成問題的總體X概率那么,

此總體就可用描述其函數(shù)F

(x)表示.再如,

若研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時(shí),

關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨

量(X,Y)

或其聯(lián)合分布函數(shù)F

(x,

y)來表示.總體概念的要旨:

總體就是一個(gè)隨

量或一個(gè)概率分布！如研究某批燈泡的時(shí),

關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是

,的隨

量X

或用其分

布為推斷總體分布及各種特征,按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)以獲得有關(guān)總體的信息.

這一抽取過程稱為抽樣,

所抽取的部分 稱為樣本.

樣本中包含的 數(shù)目稱為樣本容量.從國產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)抽到哪5

輛是隨機(jī)的！樣本是隨

量容量為n

的樣本可以看作n

維隨 量(

X1,

X2,

…,

Xn

).但是，一旦取定一組樣本，得到的是n

個(gè)具體的數(shù)x1,x2,…,xn

,稱為樣本(X1,X2,…,Xn

)的一組觀測(cè)值，簡(jiǎn)稱樣本值.樣本容量為5二、隨機(jī)樣本的定義獨(dú)立性：

X1,

X2,

…,

Xn

是相互獨(dú)立的隨

量;代表性：

Xi

(i

=1,2,…,n)

與所 的總體

X

同分布.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它可以用與總體同分布的

n

個(gè)相互獨(dú)立的隨

量X1,

X2,

…,

Xn表示.抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,它要求抽取的樣本X1,

X2,

…,

Xn

滿足下面兩點(diǎn):簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形,今后,說到“X1,…,Xn

是來自某總體的樣本”時(shí),就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.若總體X

的分布函數(shù)為F(x),則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為ni

1若總體X

的概率密度為f

(x),則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度為.*ni11

n

f

(

x

,,

x

)

F＊(

x1,

x2,

…,

xn

)=

F(x1)F(x2)…F(xn)

F

(

xi

).if

(

x

)是,(,來自總體的樣本,求樣本,(概率密度.2121例1布設(shè)總體X

服從參數(shù)為

)0的(指數(shù)分解總體X

的概率密度為x

0,

0,

x

0,f

(

x)

ex

,有相同的分布,因?yàn)?/p>

21

,,所以(n

)的概率密度為n

12ni

1n

(,,(),)ff

x

ni其他.x

0,0,n

xii

1X1

X

2

,(,

Xn

的分布律.),例2

設(shè)總體X

服從兩點(diǎn)分布B

1,(p),

其中

p

1,0解總體X

的分布律為P{

X

i}

pi

(1

p)1i因?yàn)?/p>

21

,,

互獨(dú)立,(i

0,

1)的分布律為且與X

有相同的分布,所以X12

(X,,),

2211

P{

X1

x1

}P{

X2

x2

}

P{

Xn

xn

}n

nn

xii

1

xi

pi

1(1

p)中取{值0,1.}其中x1

,x2

,,集合三、經(jīng)驗(yàn)（樣本）分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的做法如下:中不大設(shè)

21,,,

n是總體F

個(gè)樣本,用(S)

(x

x

的個(gè)數(shù),于定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn

(x)為nF

(

x)

1

S(

x), (

x

)n實(shí)例1設(shè)總體F

具有一個(gè)樣本值1,2,3,3F

(x)的觀察值為則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)1,3120,

x

1,,

1

x

2,3, 2

x

3,x

3.F

(

x)

3實(shí)例2

設(shè)總體F

具有一個(gè)樣本值

1,

1,

2,則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F3

(x)的觀察值為0,

x

1,21

x

2,1,

x

2.F3

(

x)

3

,一般地，設(shè)n

是總體F

的一個(gè)容量為n

樣本值,自小到大的次序排列,(n)

,先將x1

,x2

,,并重新

,(

k

1)

,1,

x

x(

n)

.則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn

(x)的觀察值為0,

x

x(1)

,kFn

(

x)

n

,0

Fn

(

x)

1Fn

(x)是非減函數(shù)；Fn

()

0,

Fn

()

1易知樣本分布函數(shù)Fn

(x)具有下列性質(zhì)：樣本分布函數(shù)Fn

(x)的圖形

xX}的{P

概率；經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是事件

xX}{的頻率.根據(jù)

大數(shù)定理可知，當(dāng)n

時(shí)，

對(duì)于任意的整數(shù)ε,

有對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,總體分布函數(shù)()xF是事件nlim

((1.)xεF)

xFPn對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,當(dāng)n

時(shí),Fn

(x)以概率1一致收斂于分布函數(shù)F

(x),即

P

lim

sup

F

(

x)

F

(

x)

0

1.nn

x

對(duì)于任一實(shí)數(shù)x當(dāng)n

充分大時(shí),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè)觀察值Fn

(x)與總體分布函數(shù)F

(