線性系統(tǒng)的頻域分析

關(guān)于線性系統(tǒng)的頻域分析第1頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。第2頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第3頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性設(shè)輸入其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為求拉氏反變換，得其中暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量第4頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性ＲＣ電路的頻率響應(yīng)為ＲＣ電路的頻率特性為式中為幅頻特性為相頻特性第5頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性（１）幅頻特性反映系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性．（２）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號下輸出的相位移．（３）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令，可得系統(tǒng)的頻率特性。（４）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)．第6頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性２．頻率特性的圖形表示（１）幅相頻率特性圖 又稱極坐標(biāo)圖，乃魁斯特圖．用描點法繪制例１．繪制慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性，其中解：第7頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性描點后可得慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖列表第8頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性（2）對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）由對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩個圖組成，橫坐標(biāo)是對數(shù)坐標(biāo)。例２繪制慣性環(huán)節(jié)的伯德圖，其中慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為（單位分貝，記為dB）相頻特性為第9頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性伯德圖中的對數(shù)幅頻特性用近似曲線方法繪制。b.當(dāng)?時，

（在半對數(shù)坐標(biāo)系中是直線方程，斜率為-20dB/dec,dec表示10倍頻程）a.當(dāng)?時，

（在半對數(shù)坐標(biāo)系中是和橫軸重合的水平線）-20dB/dec第10頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，水平線和斜率為－20dB/dec的直線在該處連接。第11頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－１頻率特性慣性環(huán)節(jié)近似曲線和精確曲線的最大誤差發(fā)生在處，為相頻特性可用描點方法繪制，其特點是曲線關(guān)于奇對稱。第12頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第13頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性對數(shù)幅頻特性為一直線第14頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性二．慣性環(huán)節(jié)

第15頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性三．積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 它的輸出量是輸入量對時間的積分． 幅相頻率特性上式表明，積分環(huán)節(jié)的幅頻特性與頻率成反比，而相頻特性恒為．第16頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性轉(zhuǎn)折點第17頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性四．微分環(huán)節(jié)１．理想微分環(huán)節(jié)第18頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性２．比例微分第19頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性五．振蕩環(huán)節(jié)—時間常數(shù)—阻尼比，只討論欠阻尼情況，因為過阻尼可分解成兩個慣性環(huán)節(jié)

—自然振蕩角頻率第20頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性第21頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性在低頻段（?），．在高頻段（?），高頻段漸進(jìn)線是一條斜率為－40dB/dec的直線．交接頻率為．在轉(zhuǎn)折頻率附近，實際幅頻特性與漸近線之間存在較大的誤差。誤差的大小取決于值。越小，誤差越大。當(dāng)時，在幅頻特性上出現(xiàn)峰值．振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，可以在漸近線的基礎(chǔ)上，根據(jù)書上誤差校正曲線進(jìn)行修正．第22頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第23頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第24頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性六．滯后環(huán)節(jié)相位滯后角與成正比。越大，相位滯后隨ω的增長越快．第25頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第26頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制幅相頻率特性特點：（１），曲線起始于正實軸的（Ｋ，０）點（２），曲線沿－(n－m)×90°的方向趨近于坐標(biāo)原點．其中n為傳遞函數(shù)分母階次，m為分子階次．第27頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制２．Ⅰ型系統(tǒng)幅相頻率特性如圖。特點：（１）時，，是一條平行于虛軸，趨向無窮遠(yuǎn)的直線．（２），曲線沿－(n－m)×90°的方向趨近于坐標(biāo)原點．第28頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制３．Ⅱ型系統(tǒng)特點：（１），，是一條和實軸平行伸向無窮遠(yuǎn)的直線．（２），曲線沿－(n－m)×90°的方向趨近于坐標(biāo)原點．幅相頻率特性如圖。第29頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制二．系統(tǒng)伯德圖的繪制設(shè)開環(huán)系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成可見，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分列為各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性之和．因此繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的方法之一，就是畫出各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性，然后相加．第30頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制例5-3第31頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制第32頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制例5-41.為避免差錯，必須將化成如上標(biāo)準(zhǔn)形式，即典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積。寫出幅頻特性、對數(shù)幅頻特性和相頻特性表達(dá)式第33頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五比例環(huán)節(jié)：４，20lg4=12dB積分環(huán)節(jié)：2.分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)，并按轉(zhuǎn)折頻率從大到小的順序列出．第34頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制慣性環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：３．選定伯德圖各坐標(biāo)軸的比例尺，和頻率范圍，一般取最低頻率為最小轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，最高頻率為最大轉(zhuǎn)折頻率的１０倍左右，注意，軸是對數(shù)刻度，最低頻率不可能取作０．在取最低頻率為0.1，最高頻率為100．從低頻到高頻畫出對數(shù)幅頻特性的漸近線．第35頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制①低頻漸近線是斜率為-20vdB/dec的直線，其中v為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，在處，漸近線通過20lgK這一點 此處，v=1,20lg4=12dB,通過作斜率為-20dB/dec的直線．②在最小轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，這是慣性環(huán)節(jié)起作用的結(jié)果．③當(dāng)頻率高于轉(zhuǎn)折頻率時，一階微分環(huán)節(jié)將起作用，漸近線斜率從-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec.

第36頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制④考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用，在處，漸近線的斜率將有-40dB/dec的改變，形成斜率為-60dB/dec的漸近線．５．必要時，按誤差校正曲線，對漸近線進(jìn)行修正，得到精確的對數(shù)幅頻特性。６．根據(jù)各環(huán)節(jié)的相頻特性，可以繪制系統(tǒng)的相頻特性．第37頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，往往對對數(shù)幅頻特性曲線與ω軸交點頻率—稱剪切頻率附近的相頻特性比較感興趣．因此也可以在附近取幾個頻率點，代入的表達(dá)式，用解析的方法求出相頻特性的幾個點．低頻段和高頻段均可按的變化趨勢畫出．如此例有第38頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制第39頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制三．最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)—系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點，零點都位于 左半Ｓ平面．非最小相位系統(tǒng)—在右半Ｓ平面存在極點，零點．最小相位系統(tǒng)的特點：１．不含有滯后環(huán)節(jié)，或不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)２．對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最?。常l特性和相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系，因此只要知道其對數(shù)幅頻特性，就可以畫出其相頻特性，也可以寫出其傳遞函數(shù)。而非最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間不存在這種唯一對應(yīng)關(guān)系．第40頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制例５－５有二個系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)分別為比較它們對數(shù)頻率特性．解：中含有滯后環(huán)節(jié)，為非最小相位系統(tǒng)．第41頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性和相頻特性的關(guān)系：１．低頻段對數(shù)幅頻特性的斜率為-20υdB/dec時，相頻特性趨于－90°×υ２．高頻段對數(shù)幅頻特性的斜率-20（n－m）dB/dec時，相頻特性趨近于－90°×（n－m）第42頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第43頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五

§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性應(yīng)用的兩種情況１．不含有積分環(huán)節(jié)時例５－５解：系統(tǒng)穩(wěn)定Ｐ＝０第44頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性含有積分環(huán)節(jié)時 根據(jù)映射定理，Ｓ沿小半圓從變化到時，在平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從經(jīng)過０轉(zhuǎn)到例５－６Ｐ＝０，v=1,順時針轉(zhuǎn)過π弧度系統(tǒng)穩(wěn)定第45頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例５－７Ｐ＝０，V=2，從順時針順時針包圍點兩周，，系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個閉環(huán)極點在右半Ｓ面．第46頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性二．根據(jù)Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性Ngquist圖和Bode圖的對應(yīng)的關(guān)系１．單位圓與０分貝線對應(yīng)，單位圓外,２．ＧＨ平面上的負(fù)實軸與的－180°線對應(yīng)．采用Bode圖的Ngquist判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由０變到時，在的頻段內(nèi)，曲線穿越線的次數(shù)（正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差）為，Ｐ為Ｓ右半平面的開環(huán)極點個數(shù)．第47頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（即最小相位系統(tǒng)），Ｐ＝０，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是曲線正、負(fù)穿越線的次數(shù)等于零．例５－６用伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：①作系統(tǒng)伯德圖

②因為在的頻段內(nèi)，相頻特性 不穿越線．按照乃氏穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的．第48頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性三．系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量至此為止我們討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題只涉及定性的概念，根據(jù)穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定?，F(xiàn)在要進(jìn)一步討論系統(tǒng)能夠的相對穩(wěn)定性問題．穩(wěn)定裕量就是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量．它是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。的軌跡越接近于包圍點，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差．因此，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性靠近點的程度可以用來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕度和增益裕度來表示．第49頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性剪切頻率—對應(yīng)于的頻率，記為相角裕量—在剪切頻率處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所要附加的相角滯后量．為使系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值．增益裕度—在相角特性等于的頻率處，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)若系統(tǒng)增益Ｋ增大到，則系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)?；虻?0頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定的系統(tǒng)，為正．第51頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第52頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性考慮到系統(tǒng)中元件參數(shù)的變化可能對穩(wěn)定性帶來不利影響，系統(tǒng)必須具有適當(dāng)?shù)南嘟窃Ａ亢驮鲆嬖Ａ浚谠O(shè)計系統(tǒng)時，相角裕量常取30°～60°，增益裕量應(yīng)大于６分貝。此時，系統(tǒng)將具有較滿意的暫態(tài)響應(yīng)特性。

最小相位系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性存在唯一對應(yīng)關(guān)系，故可只計算相角裕量。

為保證系統(tǒng)有足夠的相角裕量，要求開環(huán)對數(shù)幅頻特性在剪切頻率處的斜率為-20dB/dec，并且有相當(dāng)?shù)闹蓄l段長度.第53頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例５－７求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度解：（１）作對數(shù)幅頻特性漸近線（２）求剪切頻率二個三角形第54頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（３）求相角裕量（４）作相頻特性

對應(yīng)的取幾點

第55頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五（５）求增益裕量

量得處的值系統(tǒng)穩(wěn)定，且即最小相位系統(tǒng)的相角裕度和增益裕度是對應(yīng)的。§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第56頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第57頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五例5－8

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的相角裕度和增益裕度。用MATLAB可繪制系統(tǒng)Bode圖、計算穩(wěn)定裕度。系統(tǒng)的相角裕度=51.85o，增益裕度GM=67.45dB，相角剪切頻率=3.92rad/s，增益剪切頻率=242.97rad/s。

第58頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第59頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五第60頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－５閉環(huán)頻率特性及頻域性能指標(biāo)性能指標(biāo)為—諧振峰—諧振頻率—帶寬頻率（或截止頻率），是下降到時幅值的所對應(yīng)的頻率．

反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 時，相當(dāng)于阻尼比為．此時，可以得到比較滿意的暫態(tài)響應(yīng)，當(dāng)時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將出現(xiàn)幾次振蕩．第61頁，共68頁，2022年，5月20日，18點43分，星期五§５－５閉環(huán)頻率特性及頻域性能指標(biāo)２．