復(fù)變函數(shù)習(xí)題及解答

第一章復(fù)變函數(shù)習(xí)題及解答寫出以下復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部；模和輻角以及輻角的主值；并分別寫成代數(shù)形式，三角形式和指數(shù)形式．(此中,R,為實(shí)常數(shù))2(cosπisinπ（1）13)；（3）1cosisin；3i；（2）3（4）e1i；（5）eiRsin；（6）ii（1）實(shí)部－1；虛部3；模為4π2kπ,k0,1,2,L4π答案2；輻角為3；主輻角為3；4π4πi4π原題即為代數(shù)形式；三角形式為33；指數(shù)形式為2e3．5π5π5π2[cosisini33],2e（2）略為3[2sin()]eiarctan[ctan(/2)]（3）略為24）略為eei;e(cos1isin1)5）略為：cos(Rsin)isin(Rsin)6）該復(fù)數(shù)取兩個(gè)值22(cosisin)22ei,arctan(12);略為22(cosisin)22ei,πarctan(12);計(jì)算以下復(fù)數(shù)1011）1i3；2）1i3；13π/42kπik0,1,2；答案1）512i5123；2）26e3計(jì)算以下復(fù)數(shù)（1）aib；（2）3i；2[a2b2aia2b2a]答案（1）22）ei(/62n/3)已知x為實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)12ixx21的實(shí)部和虛部．【解】令12ixx21piq,(p,qR)，即p,q為實(shí)數(shù)域(Real).平方獲得12xix21(p2q2)2xyi，依據(jù)復(fù)數(shù)相等，所以p2q21pqxx21px,qx2112ixx21(xx21i)即實(shí)部為x,虛部為x21說明已考慮根式函數(shù)是兩個(gè)值，即為值．假如|z|1,試證明對(duì)于任何復(fù)常數(shù)|azb|1a,b有bza【證明】由于|z|1,zz1z1/z，所以|azb||(azb)z(azb)1|azb||1||azb|||bzzz|1bza(bza)zazbazzbaz假如復(fù)數(shù)aib是實(shí)系數(shù)方程Pza0zna1zn1an1zan0的根，則aib必定也是該方程的根．證由于a0，a1，，an均為實(shí)數(shù)，故a0a0，a1a1，，anan．且zkkz，故由共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)有：PzPz．則由已知Paib0．兩頭取共軛得PaibPaib00即Paib0．故aib也是Pz0之根．注本題僅經(jīng)過共軛的運(yùn)算的簡(jiǎn)單性質(zhì)及實(shí)數(shù)的共軛為其自己即得證．此結(jié)論說明實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)零點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的．這一點(diǎn)在代數(shù)學(xué)中早已被大家認(rèn)識(shí)．特別地，奇次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式起碼有一個(gè)實(shí)零點(diǎn)．證明：|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2),并說明其幾何意義．若(1i)n(1i)n，試求n的值.i)nnisin4)nn(cosn4(122(cos422isin【解】由于(1i)nnisin4)nn(cosn422(cos422isin

n4n4

))nnn0nk,n4k,(k0,1,2,L)所以sin4sin4即為sin4所以4將以下復(fù)數(shù)表為sin,cos的冪的形式（1）cos5；（2）sin5(1)cos510cos3sin25cossin4答案(2)5cos4sin10cos2sin3sin5證明：假如w是1的n次方根中的一個(gè)復(fù)數(shù)根，可是w1即不是主根，則必有1ww2Lwn10對(duì)于復(fù)數(shù)k,k，證明復(fù)數(shù)形式的柯西(Cauchy)不等式：nkk|2nk||k|)2nk|2nk|2|(|||k1k1k1k1建立?！咀C明】對(duì)隨意n個(gè)復(fù)數(shù)，由三角不等式知nn|kk||k||k|k1k1再由對(duì)于實(shí)數(shù)的柯西不等式得nnnn|kk|2(|k||k|)2|k|2|k|2k1k1k1k1,證畢。sin(n1)sin2;coscos2cos3Lcosn2證明2sin2coscos(n12)sinsin2sin3Lsinn22sin建立．2以下不等式在復(fù)數(shù)平面上表示如何的點(diǎn)集？1）0Rez1；2）2zz03；3）0argz1；4）0Imzπ；z125）z1（答1）平面上由x0與x1所組成的寬度為1的鉛直帶形域；2）以z0為心，內(nèi)半徑為2，外半徑為3的圓環(huán)域；3）極點(diǎn)在原點(diǎn)，開度為10的角形地區(qū)；4）寬度為πy0，y5z0R4的說平帶形域，界限為；5）以33為半徑的圓以外為心，部地區(qū)）指出以下關(guān)系表示的點(diǎn)之軌跡或范圍；并說明是何種點(diǎn)集？πargzi1）42）z2z25argzπ解1）令zxiiy，由4知Rezix0arctany1πImziy10且x4yx1即x0這樣的點(diǎn)為z平面上從點(diǎn)z0i出發(fā)（但不含z0點(diǎn)）與實(shí)軸傾角為π4的射線．此射線所形成的點(diǎn)集既非開集，也非閉集．2）設(shè)zxiy，則原條件即為25z222z225z210z2z2222510z2即z2由模的定義得8x252100z2100x24x4100y22化簡(jiǎn)得x2y2122532253這是一橢圓，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為2，中心在原點(diǎn)，它是有界閉集（所有為界限點(diǎn)）．描繪以下不等式所確立的點(diǎn)集，并指出是地區(qū)仍是閉地區(qū)，有界仍是無界，單連通仍是多（或復(fù)）連通.（1）2zi3（2）Reiz2z31（4）1argz1π（3）z2（5）z12z1（6）z1z25（7）z2z21（8）zziziz1解（1）是以i為圓心、在以2為半徑的圓外，3為半徑的圓內(nèi)的圓環(huán)，是有界閉地區(qū)、多連通．（圖形略）（2）即y2是下半平面，無界單連通閉地區(qū)．（3）z到3的距離比z到2z21，去掉z2一的距離大，所以，它是左半平面2點(diǎn)，是無界的多連通的地區(qū).（4）在直線ykx的上方，此中ktan1．無界單連通地區(qū)（5）即z1z14z1z13zz5z5z30x2y225x10或35216xy239是無界多連通地區(qū)（6）此不等是焦點(diǎn)在z1和z2初，長(zhǎng)半軸為5/2的橢圓內(nèi)部，為有界單連通閉地區(qū)）．4x24y211（7）這是半支雙曲線：x17，2部分是無界單連通地區(qū)．（8）不等式即x2y22y1，或x2y120，只有當(dāng)x0，y1建立，所以，只代表復(fù)平面上一個(gè)點(diǎn)zi．w1已知映照z，求(1)圓周的象；（2）直線yx的象；（3）地區(qū)x1的象．11答案(1)|w||z|||z|22，為圓周（2）直線w11i)1i,u1,v=-1,uvzx(12x2x2xw11iyu1,vy,u2v2u1iy1y21y21y2（3）先看直線x=1的象，而z＝0的象w在圓的外面，所以x1的象是圓的內(nèi)部即為u2v2u議論以下函數(shù)在指定點(diǎn)的極限存在性，若存在求出其值，并判斷在該點(diǎn)的連續(xù)性．fz1zz1）fz2xiy2，z02i2izz，z002)解1）fzux,yivx,y，z0x0iy0則ux,y2x，vx,yy2，x0,y00,2，limux,ylim2x0x,y0,2x,y0,2limvx,ylimy24x,y0,2x,y0,2limfz04i4izz0又注意fz0ux0,y0ivx0,y04ilimfzfz04izz0即fz2xiy2在點(diǎn)z02i處極限存在且連續(xù)．2）設(shè)zxiy，則fz1zz14ixy2xyux,yivx,y2izz2ix2y2x2y2明顯，vx,y0在0,0點(diǎn)極限存在且連續(xù)．lim2xy22但注意x,y0,0xy不存在，事實(shí)上，令ykx，有l(wèi)im22xy2lim2k22k2lim2xyx00xyx001k1kx2y2x,y0,0ykxykx，對(duì)不一樣k值有不一樣結(jié)果，故知不存在．lim1zz所以，z02izz不存在．由連續(xù)與極限的關(guān)系知fz在z0處極限不存在、不連續(xù)．注這兩個(gè)問題均經(jīng)過極限存在的充要條件將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)x0,y0處極限存在性的判斷問題，這是最常用的方法．在問題1）中，又依據(jù)連徐的另一limfzfz0在z02i處不單極限存在，并且在該點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義zz0，立刻獲得fz結(jié)論；在2）中，fz其實(shí)是一復(fù)變量實(shí)值函數(shù)，即vx,y0，所以由充要條件只要判ux,yxyy2在0,00,0點(diǎn)極斷一個(gè)二元實(shí)函數(shù)x2點(diǎn)的極限存在性．由該二元實(shí)函數(shù)在限不存在即得fz在z0處極限的不存在性．若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0x0iy0點(diǎn)連續(xù)，證明1）f(z)在該點(diǎn)連續(xù)；2）|f(z)|的模在該點(diǎn)連續(xù)．本章計(jì)算機(jī)編程實(shí)踐與思慮(說明：讀者可參照第五部分計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐)使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic計(jì)算機(jī)仿真求解以下復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部;共軛復(fù)數(shù)；模與輻角；3i;(2)1(3)(23i)(34i)(4)i717(1)i2;2i;i4i1i3i計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算：1i;i)6;11(1)(3i)(2)(1(3)(1i)3;(4)(1)613i計(jì)算機(jī)仿真求解方程z380計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐：若zl(l1,2,,n)對(duì)應(yīng)為zn10的根，此中n2且取整數(shù).試用計(jì)算機(jī)仿真編程驗(yàn)1n0,k1(zkzm)證以下數(shù)學(xué)恒等式

m1(mk)建立.用計(jì)算機(jī)編程實(shí)踐方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C