2018年秋九年級數(shù)學(xué)浙教版上冊 專題提升五 相似三角形基本圖形一線三等角

專題提升五相似三角形基本圖形(2)一線三等角1．如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP＝1，D為AC上一點(diǎn)，若∠APD＝60°，則CD的長為(

)A.

B.

C.

D.第1題圖2．如圖，等腰直角△ABC的直角邊長為3，P為斜邊BC上一點(diǎn)，且BP＝1，D為AC上一點(diǎn)，若∠APD＝45°，則CD的長為________．第2題圖3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10.直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動時(點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合)，一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E.我們知道，結(jié)論“Rt△EPA∽Rt△PCD”成立．第3題圖(1)當(dāng)∠CPD＝30°時，求AE的長；(2)設(shè)DP＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(1)“一線三等角”型相似基本圖形，通俗地講，當(dāng)一條直線上有三個相等的角時，總有兩三角形相似．(2)一線三等角可以在直線的同側(cè)(如圖1)，也可在直線的兩側(cè)(如圖2)．等角常見的有30°，45°，60°，90°，也可以是一般的角．(3)“一線三等角”＋中點(diǎn)，如圖3，已知∠1＝∠2＝∠3，BD＝DC，則有△BED∽△DEF∽△CDF.例1在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P為BC上的動點(diǎn)，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板可繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時，求證：△BPE∽△CFP；(2)將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點(diǎn)E、F.△BPE與△CFP還相似嗎？(只需直接寫出結(jié)論)(3)在(2)的情形下，連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△BPE與△PFE相似？請說明理由．例2如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x＝4，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A、C點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2，0)、(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上有一點(diǎn)P，滿足∠PBC＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，問在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△PBC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．1．(連云港中考)如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，則邊AC的長為________．第1題圖2．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝－(x<0)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，且∠AOB＝90°，則的值為(

)第2題圖A．6

B．3

C.

D．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B.(1)求證：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時，求BP的長．第3題圖4．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結(jié)EF.(1)證明：EF＝CF；(2)若AD＝3AE，求CF的長．第4題圖專題提升五相似三角形基本圖形(2)一線三等角【課前熱身】1．B2．3．(1)AE＝10－12；(2)y＝＝－x2＋x.【典型例題】例1(1)證明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝135°，∵∠EPF＝45°，又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∴∠BPE＋∠CPF＝135°，∴∠BEP＝∠CPF，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP(兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似)．(2)還相似；(3)動點(diǎn)P運(yùn)動到BC中點(diǎn)位置時，△BPE與△PFE相似，證明：同(1)，可證△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此PB∶BE＝PF∶PE.又因?yàn)椤螮BP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似)．例2(1)設(shè)拋物線的解析式是y＝a(x－4)2＋b，根據(jù)題意得：解得：則函數(shù)的解析式是：y＝x2－2x＋3；(2)過P作PF⊥x軸，則△PBF∽△BCO，∴＝＝＝2，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，則n＝2(m－6)①，又點(diǎn)P在拋物線上，∴n＝m2－2m＋3②，①②聯(lián)立解得m1＝10，m2＝6(舍去)，∴n＝2(10－6)＝8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(10，8)．(3)∵PF⊥x軸，∴在Rt△PBF中，PB＝＝4，在Rt△OBC中，BC＝＝3，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(0，y)，∵△AOE與△PBC相似，∴①若AO與PB是對應(yīng)邊，則＝，解得|y|＝1.5，∴y＝±1.5，②若AO與BC是對應(yīng)邊，則＝，解得|y|＝，∴y＝±，∴在y軸上存在點(diǎn)E，使得△AOE與△PBC相似，點(diǎn)E坐標(biāo)為E，E(0，±)．【針對練習(xí)】1.2.C3.(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝.∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.第4題圖4．(1)證明：過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，∵DE⊥DC，∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG，∴∠ADE＝∠GDC.又∵∠A＝∠DGC且AD＝GD，在△ADE和△GDC中，∴△ADE≌△GDC，∴DE＝DC且AE＝GC.在△EDF和△