《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版）》第一章隨機(jī)事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一個(gè)人自稱能以90%的準(zhǔn)確性來辨別兩種不同的酒,并以此提出應(yīng)推銷哪一種酒的合理建議.為了檢驗(yàn)他的辨酒能力并決定是否錄用,公司對(duì)這個(gè)人進(jìn)行了下面的測(cè)試.讓他品嘗兩種酒9次,每次品嘗間隔3分鐘,并給出辨別的結(jié)果.若這個(gè)人在9次辨別中至少6次正確,則錄用他.隨機(jī)事件與概率他能否被聘為品酒師？

擲骰子抽牌拋擲硬幣下一年國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率隨機(jī)事件與概率概率問題

隨機(jī)事件與概率概率問題天氣預(yù)報(bào)

1.1隨機(jī)事件與概率確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象問題1

：隨機(jī)現(xiàn)象是雜亂無章的現(xiàn)象嗎？隨機(jī)事件與概率

1.1.1隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱試驗(yàn),通常用字母E表示.例如:E1:拋擲一枚均勻的硬幣,觀察它正、反面出現(xiàn)的情況;E2:對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,記錄射擊次數(shù);E3:某車站每隔5分鐘有一輛汽車到站,乘客對(duì)汽車到站的時(shí)間不知道,觀察乘客候車時(shí)間.隨機(jī)事件與概率

試驗(yàn)結(jié)果的情況可能不一樣,但它們都具有以下三個(gè)特點(diǎn):(1)在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行;(2)有多種可能的結(jié)果,但是試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果;(3)事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果.問題2：把硬幣放在桌子上，是不是隨機(jī)試驗(yàn)？隨機(jī)事件與概率

每一個(gè)可能發(fā)生的不能再分解的事件稱為該試驗(yàn)的基本事件或樣本點(diǎn),用ω表示;而由全體基本事件組成的集合稱為樣本空間,通常用U表示.

一般地,我們把試驗(yàn)E的樣本空間U的子集稱為E的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱為事件.通常用英文大寫字母A,B,C,…隨機(jī)事件與概率

必然事件：樣本空間U不可能事件：在一定條件下必定不會(huì)發(fā)生的事件稱為,用?表示.

例如,上述試驗(yàn)E2中,{沒有射擊就擊中目標(biāo)}的事件顯然是不可能發(fā)生的.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件具有以下特點(diǎn):在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的,即隨機(jī)性;在相同的條件下重復(fù)試驗(yàn)時(shí),發(fā)生可能性的大小是確定的,即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.隨機(jī)事件與概率

例1設(shè)試驗(yàn)E為投擲一顆骰子,觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).例2設(shè)10件同一種產(chǎn)品中有8件正品,2件次品,現(xiàn)任意抽取3件,記錄抽取結(jié)果.例3盒子中有紅、白、黃三個(gè)球,現(xiàn)隨機(jī)取出2個(gè),記錄取出的結(jié)果.隨機(jī)事件與概率

1.1.2事件間的關(guān)系和運(yùn)算的性質(zhì)一、事件間的關(guān)系1.事件的包含與相等

設(shè)事件A={點(diǎn)落在小圓內(nèi)},事件B={點(diǎn)落在大圓內(nèi)},如圖所示。顯然,若所投擲的點(diǎn)落在小圓內(nèi),則該點(diǎn)必落在大圓內(nèi),也就是說,若A發(fā)生,則B一定發(fā)生.

圖1—1事件的包含隨機(jī)事件與概率

如果事件A發(fā)生,必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則說B包含A,或者說A包含于B,記作A?B.如果A?B和B?A同時(shí)成立,則稱事件A與B相等,記作A=B.隨機(jī)事件與概率

例4一批產(chǎn)品中有合格品與不合格品,合格品中有一、二、三等品,從中隨機(jī)抽取一件,是合格品記作A,是一等品記作B,

圖1—2事件的和顯然B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生,因此B?A.隨機(jī)事件與概率

2.事件的和

設(shè)事件A={點(diǎn)落在小圓內(nèi)},事件B={點(diǎn)落在大圓內(nèi)},大圓和小圓的位置關(guān)系如圖1—2所示.考慮事件{點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)}.顯然,只要點(diǎn)落在小圓或大圓之內(nèi),點(diǎn)就落在陰影部分內(nèi).

兩個(gè)事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生的事件,稱為事件A與B的和,記作A+B.問題3：A+A=2A嗎？隨機(jī)事件與概率

例5在10件產(chǎn)品中,有8件正品,2件次品,從中任意取出2件,記A1={恰有1件次品},A2={恰有2件次品},B={至少有1件次品},則{至少有1件次品}的含義就是所取出的2件產(chǎn)品中,或者是{恰有1件次品},或者是{恰有2件次品},二者必有其一發(fā)生,因此

B=A1+A2.問題4：若A+B=A，則事件A，B滿足什么條件？隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

3.事件的積

設(shè)事件A={點(diǎn)落在小圓內(nèi)},事件B={點(diǎn)落在大圓內(nèi)},如圖1—3所示.考慮事件{點(diǎn)落在兩圓的公共部分內(nèi)}.顯然,只有點(diǎn)落在小圓內(nèi)而且點(diǎn)也落在大圓內(nèi),才有點(diǎn)落在兩圓的公共部分內(nèi).

兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生也是一個(gè)事件,稱為事件A與B的積,記作AB.

圖1—3事件的積隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

4.事件的差

如圖1—4所示,設(shè)事件A={點(diǎn)落在小圓內(nèi)},事件B={點(diǎn)落在大圓內(nèi)},考慮事件{點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)}.顯然,只有點(diǎn)落在小圓內(nèi)而且點(diǎn)不落在大圓內(nèi),才有點(diǎn)落在陰影部分內(nèi).

圖1—4

事件的差隨機(jī)事件與概率

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件稱為事件A與事件B的差,記作A-B。例7已知條件同例6,設(shè)事件D={甲廠生產(chǎn)的次品},則D就是{甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品}與{合格品}這兩個(gè)事件的差,即D=A-B隨機(jī)事件與概率

5.互不相容事件

如圖1—5所示,設(shè)事件A={點(diǎn)落在小圓內(nèi)},事件B={點(diǎn)落在大圓內(nèi)},顯然,點(diǎn)不能同時(shí)落在兩個(gè)圓內(nèi).

事件A與B不能同時(shí)發(fā)生,即AB=?,稱事件A與B互不相容,或者稱A與B是互斥的.

圖1—5互不相容事件

隨機(jī)事件與概率

如果對(duì)任意的i≠j(i,j=1,2,…,n)都有AiAj=?,則稱n個(gè)事件A1,A2,…,An兩兩互不相容.如果事件A1,A2,…,An是兩兩互不相容的,則稱這n個(gè)事件是互不相容的.同一試驗(yàn)中的各個(gè)基本事件是兩兩互不相容的.隨機(jī)事件與概率

例8觀察某電話臺(tái)5分鐘內(nèi)被呼叫的次數(shù),記A={5分鐘內(nèi)被呼叫10次},B={5分鐘內(nèi)被呼叫18次}.因?yàn)?在確定的時(shí)間內(nèi),呼叫次數(shù)是唯一的,即當(dāng)5分鐘內(nèi)被呼叫10次,就不可能是18次.同理,事件B出現(xiàn),A就不可能出現(xiàn).所以事件A,B是互不相容的,即AB=?.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

（概率的統(tǒng)計(jì)定義）定義1.1在一組相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn),如果事件A發(fā)生的頻率fn(A)在某個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng),而且隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,擺動(dòng)的幅度將減小,則稱常數(shù)p為事件A的概率,記作

P(A)=p問題9：若P(A)=0，則有A=?嗎？隨機(jī)事件與概率

表1—1給出了“投擲硬幣”試驗(yàn)的幾個(gè)著名的記錄0.5作為投擲硬幣“出現(xiàn)正面”的概率.

隨機(jī)事件與概率表1—1“投擲硬幣”試驗(yàn)的幾個(gè)著名的記錄試驗(yàn)者投擲次數(shù)n出現(xiàn)“正面向上”的頻數(shù)m頻率fn(A)摩根204810610.5180蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998

隨機(jī)事件與概率

例13表1—2和表1—3是甲、乙兩人在相同條件下重復(fù)投籃的次數(shù)與投中的次數(shù).隨機(jī)事件與概率表1—2甲投籃情況的統(tǒng)計(jì)投籃次數(shù)n1520253035405060投中次數(shù)m1013162023263340頻率m/n0.6670.6500.6400.6670.6570.6500.6600.667表1—3乙投籃情況的統(tǒng)計(jì)投籃次數(shù)n203035404550投中次數(shù)m152226313338頻率m/n0.7500.7330.7430.7750.7330.760

可以看出,雖然不能確切地預(yù)測(cè)球員每一次是否能夠投中,但是可以近似地得到甲、乙兩人的投籃命中率

p甲≈0.667,p乙≈0.749從命中率看出乙的投籃水平比甲的高.隨機(jī)事件與概率

1.1.4古典概型

觀察“投擲硬幣”、“投擲骰子”等試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)它們具有下列特點(diǎn):(1)試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的,即基本事件的個(gè)數(shù)是有限的;(2)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相同的;(3)在任一試驗(yàn)中,只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果,也就是有限個(gè)基本事件是兩兩互不相容的.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

例16設(shè)盒中有8個(gè)球,其中紅球3個(gè),白球5個(gè).(1)若從中隨機(jī)取出1球,記A={取出的是紅球},B={取出的是白球},求P(A),P(B);(2)若從中隨機(jī)取出2球,設(shè)C={2個(gè)都是白球},D={1紅球1白球},求P(C),P(D);(3)若從中隨機(jī)取出5球,設(shè)E={取到的5個(gè)球中恰有2個(gè)白球},求P(E).隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

*1.1.5排列與組合1.加法法則

如果完成一件事情共有m類辦法,其中任何一類辦法均可以完成這件事情.假設(shè)第i類辦法中有ni種不同方法(i=1,2,…,m),那么,完成這件事情共有

m=n1+n2+…+nm種不同方法.隨機(jī)事件與概率

例17從甲地到乙地,有輪船、汽車和火車三種交通工具可供使用.如果一天內(nèi),輪船有3班,汽車有5班,火車有4班,問從甲地到乙地一天中共有多少種走法?解從甲地到乙地一天中共有3+4+5=12種走法.隨機(jī)事件與概率

2.乘法法則

如果完成一件事情要經(jīng)過m個(gè)不同步驟,其中第i步有ni種方法(i=1,2,…,m),那么,完成這件事情共有

m=n1×n2×…×nm種方法.例18在某城市的選舉中,有4位市長(zhǎng)候選人,3位副市長(zhǎng)候選人,6位市長(zhǎng)辦公室主任候選人和2位秘書候選人.問可能有多少種方法使這4個(gè)公職得到補(bǔ)缺?隨機(jī)事件與概率

解對(duì)應(yīng)4位可能當(dāng)選市長(zhǎng)中的每一候選人,都有3位副市長(zhǎng)候選人,這兩個(gè)公職可以用4×3=12種不同的方法補(bǔ)缺.對(duì)應(yīng)這12種可能的方法中的每一種方法,都有6種不同市長(zhǎng)辦公室主任的選擇方法,那么,共有12×6=72種不同的方法.最后,對(duì)應(yīng)這72種不同的方法中的每一種方法,有2種秘書候選人的選擇方法.所以,這4個(gè)公職可以用

4×3×6×2=144種不同的方法來補(bǔ)缺.隨機(jī)事件與概率

例19有3個(gè)盒子,分別裝有4個(gè)紅球,3個(gè)黃球,2個(gè)白球,從3個(gè)盒子中各取一個(gè)球,問共有多少種方法?解從3個(gè)盒子中各取一球,要經(jīng)過三個(gè)步驟:首先從第一個(gè)盒子里的4個(gè)紅球中取出1個(gè)紅球,其次從第二個(gè)盒子里的3個(gè)黃球中取出1個(gè)黃球,最后從第三個(gè)盒子里的2個(gè)白球中取出1個(gè)白球.實(shí)現(xiàn)第一步有4種方法,實(shí)現(xiàn)第二步有3種方法,實(shí)現(xiàn)第三步有2種方法.根據(jù)乘法原理可知:從3個(gè)盒子里各取一球的方法共有

4×3×2=24(種)隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

4.重復(fù)排列

從n個(gè)不同的元素中,每次取出m個(gè)元素,每個(gè)元素可以重復(fù)出現(xiàn),按照一定的順序排成一列.在這種情況下,第一,第二……第m位上選取元素的方法都有n種,所以,從n個(gè)不同的元素中,每次取出m個(gè)元素的重復(fù)排列的種數(shù)是

n×n×…×n=nm這種允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列叫做重復(fù)排列.隨機(jī)事件與概率

例21某單位用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字組成單位內(nèi)部電話的分機(jī)號(hào)碼.(1)問共可組成多少個(gè)電話分機(jī)號(hào)碼?(2)若規(guī)定0不能作為號(hào)碼的首位,問共可組成多少個(gè)電話分機(jī)號(hào)碼?解(1)這是由0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字組成的重復(fù)排列問題,即n=m=4,因此,由重復(fù)排列公式可知,共可組成

44=256個(gè)電話分機(jī)號(hào)碼.隨機(jī)事件與概率

(2)0作為號(hào)碼首位的排列數(shù),實(shí)際上就是后三位數(shù)的重復(fù)排列問題,即由0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的重復(fù)排列數(shù),這里n=4,m=3,故共有

43=64個(gè)0作為號(hào)碼首位的排列數(shù).因此,0不能作為號(hào)碼首位的電話分機(jī)號(hào)碼個(gè)數(shù)應(yīng)是

256-64=192隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

例23投票悖論假設(shè)有三位投票者,對(duì)三項(xiàng)計(jì)劃(或三位候選人)A,B,C進(jìn)行投票,而且預(yù)先將他們偏愛順序全部列出,那么,有六種可能的順序:

ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA問三位投票者有多少種不同的方法選擇他們的順序?解為了回答這個(gè)問題,我們考慮三種可能的情況:(1)三位投票者選擇同樣的順序;隨機(jī)事件與概率

(2)兩位投票者選擇同樣的順序,而另一位投票者選擇了剩下五個(gè)順序中的一個(gè);(3)三位投票者每人選擇一個(gè)不同樣的順序.對(duì)于(1),三位投票者選擇同一順序,顯然只有6種方法.對(duì)于(2),若指定兩位投票者選擇同一順序,有6種方法;第三位投票者只有5種選法,故有6×5=30種選擇方法.然而,從三個(gè)人中指定兩人選擇同一順序,有3種可能的配對(duì).這樣,兩位投票者選擇同樣的順序,另一位選擇其他一個(gè)順序的選擇方法就可能有3×6×5=90(種)隨機(jī)事件與概率

對(duì)于(3),如果三位投票者必須選擇一個(gè)不同樣的順序,那么,對(duì)第一個(gè)投票者有6種順序可以選擇,第二個(gè)投票者只有5種順序可以選擇,第三個(gè)投票者只有4種選擇.所以,有

6×5×4=120種不同的選擇方法.隨機(jī)事件與概率

如果(1)或(2)是投票結(jié)果,這90+6=96(種)可能清楚地說明了多數(shù)的意見是喜歡某個(gè)順序.在(3)的120種可能的方法中,至少有12種①因似是而非而無結(jié)果.例如,投票的結(jié)果是

ABC,BCA,CAB或ABC,CAB,BCA六種可能的順序每個(gè)都至少對(duì)應(yīng)類似列舉的兩種結(jié)果.

注意,兩位投票者認(rèn)為A比B好,兩位投票者認(rèn)為B比C好,兩位投票者認(rèn)為C比A好,這就叫做“投票悖論”.因此由這個(gè)結(jié)果不能定案.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

表1—5列出了r取某些值時(shí)兩人以上同一天生日的概率值.由表中數(shù)據(jù)可知,本節(jié)開始提出的{50人的一個(gè)班級(jí)中,至少兩人同一天生日}的概率是0.97.注意,人數(shù)超過22的任何一組,它的概率都大于50%.

推論2設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且B?A,則

P(A-B)=P(A)-P(B)隨機(jī)事件與概率

定理1.2(廣義加法公式)對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)問題10：兩個(gè)加法公式可以統(tǒng)一嗎？問題11：當(dāng)A?B時(shí)，P(A+B)=？隨機(jī)事件與概率

例3某設(shè)備由甲、乙兩個(gè)部件組成,當(dāng)超載負(fù)荷時(shí),各自出故障的概率分別為0.82和0.74,同時(shí)出故障的概率是0.63,求超載負(fù)荷時(shí)至少有一個(gè)部件出故障的概率.解設(shè)事件A={甲部件出故障},B={乙部件出故障},則

P(A)=0.82,P(B)=0.74,P(AB)=0.63于是

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.82+0.74-0.63=0.93即超載負(fù)荷時(shí)至少有一個(gè)部件出故障的概率是0.93.隨機(jī)事件與概率

例4已知一、二、三班男、女生的人數(shù)如表1—6所示.從中隨機(jī)抽取一人,求該學(xué)生是一班學(xué)生或是男生的概率.隨機(jī)事件與概率表1—6各班男、女生的人數(shù)情況班級(jí)性別一班二班三班總計(jì)男23222469女25242271總計(jì)484646140

隨機(jī)事件與概率

三個(gè)隨機(jī)事件的加法公式:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)隨機(jī)事件與概率

1.2.2條件概率和乘法公式例5甲、乙兩車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品100件,各車間的產(chǎn)量、合格品數(shù)、次品數(shù)的情況如表1—7所示.隨機(jī)事件與概率表1—7甲、乙兩車間產(chǎn)品的抽查情況

合格品數(shù)次品數(shù)總計(jì)甲車間55560乙車間38240總計(jì)937100

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

問題12：當(dāng)A?B時(shí)，P(A|B)=？例6

人壽保險(xiǎn)問題

一年期的人壽保險(xiǎn)規(guī)定,若受保人在一年內(nèi)因意外事故死亡,保險(xiǎn)公司賠償5萬元,而因非意外事故死亡,則保險(xiǎn)公司賠償2.5萬元.假設(shè)某受保人群1年內(nèi)因意外事故死亡和非意外事故死亡的概率分別是0.0005和0.002,求一年內(nèi)該人群的死亡率以及保險(xiǎn)公司賠償5萬元和2.5萬元的概率.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

定理1.3(乘法公式)設(shè)P(A)≠0,P(B)≠0,則事件A與B之積AB的概率等于其中任一事件的概率乘以在該事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的概率,即

P(AB)=P(A)P(B|A)

P(AB)=P(B)P(A|B)隨機(jī)事件與概率

你隨機(jī)事件與概率

例10已知100件產(chǎn)品中有4件次品,無放回地從中抽取2次,每次抽取1件.求下列事件的概率:(1)第一次取到次品,第二次取到正品;(2)兩次都取到正品;(3)兩次抽取中恰有一次取到正品.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

三個(gè)隨機(jī)事件的乘法公式:

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(1.20)例11據(jù)以往資料表明,某三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:孩子得病的概率為0.6,在孩子得病的情況下母親得病的概率是0.5,在母親及孩子得病的情況下父親得病的概率是0.4.求母親及孩子得病,但父親未得病的概率隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

例12有趣的蒙特莫特問題

新年同學(xué)聚會(huì),要求每人帶1件小禮物,混放在一起,用抽簽的方式?jīng)Q定每人帶回1件禮物作紀(jì)念.問每人都得到別人的禮物的概率是多少?解可能有人馬上會(huì)說,這與參加聚會(huì)同學(xué)人數(shù)的多少有關(guān).人數(shù)越多,每人都得到別人的禮物的概率越大.這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎?到底每人都得到別人的禮物的概率是多少?

假設(shè)有n個(gè)人參加聚會(huì),所以有n個(gè)小禮物.為了計(jì)算這個(gè)概率,我們將禮物隨機(jī)編號(hào):從1~n(n≥2).隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

列表計(jì)算如表1—8所示.隨機(jī)事件與概率表1—8蒙特莫特問題的概率值表n2345678…p0.5000.3330.3750.3670.3680.36790.3679…

隨機(jī)事件與概率

例14如果將例13中的10個(gè)球改為2個(gè)紅球,5個(gè)白球,3個(gè)黑球,取法不變,求第二個(gè)人取得紅球的概率.解設(shè)事件A1={第1個(gè)人取得紅球},A2={第1個(gè)人取得白球},A3={第1個(gè)人取得黑球},顯然A1,A2,A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組,且有

A=(A1+A2+A3)A=A1A+A2A+A3A隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

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例15

超級(jí)女聲選拔問題

據(jù)了解,在某賽區(qū)的超級(jí)女聲預(yù)選賽中,有80%的人是通過資格審查的初次參賽者,20%的人是往屆淘汰掉的選手.為把超級(jí)女聲節(jié)目辦得更好,主辦方認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和分析不足,修改了比賽程序和評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)這樣會(huì)使初次參賽者30%通過,而往屆選手90%通過.求該賽區(qū)參加超級(jí)女聲預(yù)選賽的人能通過初選的概率隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

例16已知某批產(chǎn)品100件為一包,抽樣檢查時(shí),從其中的一包中任取10件檢查,如果發(fā)現(xiàn)其中有次品,則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.假定已知每包產(chǎn)品的次品數(shù)不超過4個(gè),并且次品數(shù)為0,1,2,3,4的概率分別為0.1,0.2,0.4,0.2,0.1,求這批產(chǎn)品通過檢查的概率.解設(shè)B表示{這批產(chǎn)品通過檢查},Ai分別表示{一包產(chǎn)品中有i個(gè)次品}(i=0,1,2,3,4),則

P(A0)=0.1,P(A1)=0.2,P(A2)=0.4

P(A3)=0.2,P(A4)=0.1隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

例17某汽車修理廠的經(jīng)理根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知道,當(dāng)汽車不能啟動(dòng),車主報(bào)修時(shí),各種故障(假設(shè)不會(huì)有兩個(gè)故障同時(shí)發(fā)生)的概率如下:

水箱漏水的概率是0.3,電池導(dǎo)線松動(dòng)的概率是0.2,接觸不良的概率是0.1,無油的概率是0.3,其他故障的概率是0.1.經(jīng)理還知道,如果在上述故障情況下去踩離合器,試圖在30秒鐘內(nèi)啟動(dòng)汽車,將車開出去的概率分別是0.9,0,0.2,0,0.2.隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

1..3事件的獨(dú)立性與貝努里概型1.3.1事件的獨(dú)立性例1設(shè)袋中有5個(gè)球,2個(gè)為白球,3個(gè)為紅球,現(xiàn)從中有放回地抽取兩球.設(shè)事件A表示第一次抽得白球,事件B表示第二次抽得紅球.由于第一次抽取以后,把球放回再抽第二次,因此第一次抽取的結(jié)果,對(duì)第二次抽取絲毫沒有影響,也即P(B|A)=P(B),這時(shí)我們可以認(rèn)為事件A與事件B之間具有某種獨(dú)立性.隨機(jī)事件與概率

定義1.4如果兩個(gè)事件A,B中任一事件的發(fā)生不影響另一事件的概率,即

P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)則稱事件A與事件B是獨(dú)立的.定理1.5兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立的充分必要條件是

P(AB)=P(A)P(B)隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率

例3甲、乙兩人考大學(xué),甲考上的概率是0.7,乙考上的概率是0.8.假定兩人考上大學(xué)與否是獨(dú)立的,問: