課件線性代數(shù)

第一章矩陣第一節(jié)矩陣的概念第二節(jié)矩陣的運(yùn)算第三節(jié)逆矩陣第四節(jié)分塊矩陣第一節(jié)矩陣的概念定義1.1由m

n

個(gè)數(shù)ai

j

(1

i

m,1

j

n)排列成m行n列的表21A

a

m1

m2

mn

a

a

a11

a12

a22

a1n

2n

a

a稱為m

n

矩陣。記為A

(ai

j

)mn

，其中數(shù)ai

j

稱為矩陣A

的第i

行第j

列的元素，簡(jiǎn)稱(i,j)元素。例如，2

3

矩陣A

12

3546實(shí)矩陣

A

(a

i

j

)m

n

ai

j為實(shí)數(shù)復(fù)矩陣

A

(a

i

j

)m

n

ai

j

為復(fù)數(shù)矩陣i

jA

(a

)m

n

n

1

m維列向量n

m

n

階方陣m

1

n維行向量n

m

1

數(shù)零矩陣Om

n

元素都是

0

的矩陣定義

1.2

設(shè)

A

(ai

j

)nn

，稱a

ii

為

A

的第

i

主對(duì)角線元，a11,a22

,ann

組成A

的主對(duì)角線。對(duì)角矩陣

除主對(duì)角線元外其余元素都是

0

的方陣，記21

2n0

n

diag

,

,,

1

0 0

0

00例如010diag

1,

2

,

3

0020

0

3n

階單位陣n0

E

1

1

0010

00例如3010E

0010

0

1定義1.3設(shè)A

(ai

j

)nn

，若i

j

時(shí)ai

j

0

，稱A

為上三角矩陣；若i

j

時(shí)ai

j

0

，稱A

為下三角矩陣。例如3101022023

10上三角矩陣

，下三角矩陣

0

0

3

1

2

3注意：若ai

j

bi

j

(1

i

m,1

j

n)，則稱矩陣A

(ai

j

)mn

與矩陣B

(bi

j)mn

相等，記為A

B

.第二節(jié)矩陣的運(yùn)算—矩陣的加法及減法定義

1.4

設(shè)矩陣

A

(a

i

j

)mn

，B

(bij

)mn

則

A

與

B

的和A

B

(a

i

j

bi

j

)mn

。即：21

bA

B

2n

21a

b

m1

m2mn

m1

m2mn

b1n

2n

a12

b12

a11

b11

aa1n

b1n

2n

2n

a

m1

m1m2

m2mn mn

a

ab

b

a11

a12

a22

a1n

b11

b1222a

ab

b

b

a

ba

b21

2122

22

b

a

ba

b加法運(yùn)算律(A、B、C、O

均為m

n

矩陣)：A

B

B

A(

A

B)

C

A

(B

C)A

O

A定義1.5設(shè)矩陣A

(ai

j

)mn

，B

(bi

j)mn

則A

與B的差A(yù)

B

(ai

j

bi

j

)mn二矩陣的數(shù)乘定義1.6數(shù)

與矩陣A(a

i

j

)mn

的乘積A

(ai

j

)mn

，即：22m

2

m1m

2a1n

a11

A

2n

21

m1

mn

mn

a

aa12

a1n

a

a

a11

a12

a21

22

a

a

aa

aaa

2n

數(shù)乘運(yùn)算律(A、B

為m

n

矩陣，1、2、

為數(shù))：（1）

1(2

A)

(12)

A

；

（2）

(1

2

)

A

1A

2

A（3）

(

A

B)

A

B

；

（4）1A

A

，

0

A

Omn（5）

A

B

A

(1)B

，且記(1)B

為B三矩陣的乘法定

義

1.7

矩陣A

(ai

j

)ms，

B

(bi

j

)sn的乘積AB

C

(ci

j

)mn

，其中：sis

s

j

a

b

a

b

ik

kcij

ai1b1

j

ai

2b2

jjk

1

b(1

i

m,1

j

n)i1i

jmn1jbs

j

is

ms

snA

B

aa

cC

例

設(shè)4

12A

0

，3

02B

35 1

則4

117

72

32

AB

02

10

5 1

3

0

9

6BA

沒意義。例

設(shè)A

11

1

1，B

11

11

C

1 1

，

11則AB

11

11

0

01

0

01

1

1

1

1 1

2 2

BA

11 1

11

2

2

1

1 1

0

0AC

10

01

1

1

1

注意：1由AB

0

一般不能推出A

0

或B

0

；一般情況下AB

BA

；由AB

AC

,A

0

一般不能推出B

C23矩陣乘法運(yùn)算律(假設(shè)運(yùn)算可行)(

AB)C

A(BC)

；A(B

C)

AB

AC，

(B

C

)

A

BA

CA

；

(AB)(

A)B

A(B)（

為數(shù)）；4

Em

Amn

Amn

En

Amn方陣的冪設(shè)A

為n階方陣，則A

的n

次冪為：n

個(gè)An

A

A A

，

A0

E且滿足：Am

An

Amn

，

(

Am

)n

Amn但一般情況下(AB)n

An

Bn(n、m

為正整數(shù))設(shè)多項(xiàng)式mm

m11f

(x)

a

x

axm1

a

x

a則有矩陣多項(xiàng)式：mf

(

A)

a

Am

aAm1

0

a

A

am1

E1

0線性變換設(shè)變量x1,x2

,,

xn

及y1,

y2

,

,y

m滿足：

y1

a11x1

a12

x2

a1n

2 21

1 22

22n

nxny

a x

a x

axym

am1x1

am

2

x2

amn

xn其中ai

j

(1

i

m,1

j

n)為常數(shù)，則稱之為由變量x1,

x2

,

,xn到變量y1,y2

,。,y

m的線性變換線性變換的矩陣形式：若記x

(xj

)n1

，y

(yi

)m1

，A

(ai

j

)mn

，則21

y1

a1n

x1

y

a

x

2n

y

2

2

Ax

y

a

x

m

m1

m2

mn

na

a

a11

a1222

a

a且稱矩陣A

為線性變換y

Ax

的系數(shù)矩陣，y

稱為x

的像，x稱為y

的原像.四矩陣的轉(zhuǎn)置i

j

mn矩陣

A

(a

)的轉(zhuǎn)置Ti

j

nmA

(a

)，其中21A

a

m1

m2mn

a1n

2n

，a

a定義1.8aij

aj

i

，即：

a11

a12

a22

a

a12AT

1n

2nmn

am1

m2

a

aa11

a21a22

aa

a轉(zhuǎn)置矩陣性質(zhì)：（1）

(

AT

)T

A

；

（2）

(

A

B)T

AT

BT

；（3）

(

A)T

AT

（為數(shù)）；（4）(AB)T

BT

AT轉(zhuǎn)置矩陣性質(zhì)（4）證明：設(shè)矩陣A

(ai

j

)ms

，B

(bi

j

)sn

，AB

C

(cij

)mn

，

TTi

j

nmAB

C

(c

)，其中sk

1cij

aikbk

j

，sk

1cij

c

j

i

a

j

kbki

，并設(shè)TA

(aij

)sm，Ti

j

nsi

j

nmB

(b

)

，

D

BT

AT

(d)，其中，aij

a

j

i，bij

bji

，則s

s

sdi

j

bik

ak

j

bkiajk

ajkbki

cjik

1

k

1

k

1即(AB)T

BT

AT

.(1

i

n,1

j

m)定義

1.9

設(shè)

n

階方陣

A，若

AT

A

，則稱

A

為對(duì)稱矩陣；若

AT

A

，則稱

A

為

稱矩陣。A

(a

i

j

)n

n

對(duì)稱

AT

A

aj

i

ai

j

(1

i,j

n)A

(ai

j

)n

n稱

AT

A

aji

ai

j

(1

i,j

n)aii

0

(1

i

n)例如對(duì)稱矩陣3412233

4

542

0

2

3

，

稱矩陣

0

3

4

0A、B

可交換

A、B

為

n

階方陣且

AB

BA例

設(shè)

A、B

均為

n

階對(duì)稱矩陣，則

AB

為對(duì)稱矩陣的充要條件為A、B

可交換。證：設(shè)A、B

均為n

階對(duì)稱矩陣，即AT

A

、BT

B

，則AB

為對(duì)稱矩陣

(AB)T

AB

BT

AT

AB

BA

ABA、B

可交換第三節(jié)逆矩陣定義1.10設(shè)n

階方陣A

，若存在n

階方陣B

使AB

BA

En

，則稱A

可逆，并稱B

為A

的逆陣。定理1.1

若A

可逆，則A

的逆陣唯一。證：設(shè)B

、C

均為A

的逆陣，則有AB

BA

E

，

AC

CA

E因此B

BE

B(

AC)

(BA)C

EC

C即A

的逆陣唯一。注意：21

記可逆矩陣A的逆陣為A1

，則有AA1

A1

A

E；單位矩陣E

可逆且E1

E；3僅由n

階方陣A

0

，無(wú)法保證A

可逆。例

設(shè)0A

00

1

則對(duì)任意2

階方陣bbB

b11

b12

21 22

有20bbb

0

b1112AB

00

E

b0 1

b

2122

21 22

即A

不可逆。例若ai

0

(i

1,

2,

,

,n)，證明對(duì)角矩陣1

2diag

a

,a

,,

an可逆，并求其逆陣。證：因?yàn)?

2diag

a

,a

,n

1

2n

n1

11

E,

adiag

a

,a

,,a1

2n1

11,

diag

a1,a2

, ,n

a

Endiag

a

,a

,a所以diag

a1,a2

,,an

可逆，且1

2

n1

2ndiag

a

,a

, ,

a1

1

1

1

diag

a

,

a,a

,結(jié)論：當(dāng)ai

0

(i

1,

2

,

, ,

n)

時(shí)，對(duì)角矩陣diag

a1,a2

, ,

an可1

2

n1

2逆，且n1

1

1,

a1

diag

a

,a

,

diag

a

,

a,a

,定理1.2若A可逆，則A1

可逆且(A1)1

A

；若A

可逆，則AT

可逆且(AT

)1

(A1)T

；若n

階方陣A、B

均可逆，則AB

可逆且(AB)1

B1

A1

；若A

可逆且數(shù)

0

，則A

可逆且(

A)1

1

A1證（3）：因?yàn)閚

階方陣A、B

均可逆，則存在A1

、B1

使AA1

A1

A

E

，BB1

B1B

E

，因此，有(

AB)(B1

A1)

A(BB1)

A1

AA1

E(B1

A1)(

AB)

B1

(

A1

A)B

B1B

E即AB

可逆且(AB)1

B1

A1思考：1當(dāng)n

階方陣A、B

均可逆時(shí)，A

B

是否可逆？2

若n

階方陣A、B

及A

B

均可逆，(A

B)1

是否等于A1

B1例

設(shè)

A

E

、

B

E

、C

2E

，則

A

、

B

、C

均可逆，A

B

0

A

C

3E但 不

可

逆

；

另

外

， 可

逆

，A

C

1

1

E

，

A1

E3A

C

1

A1

C

1，，C1

1

E A1

C

1

3

E2

2，即例

若

n

階方陣

A、B

及

A

B

均可逆，證明

A1

B1

也可逆。證：A1

B1

A1BB1

A1

AB1

A1

(B

A)B1

A1

(

A

B)B1因?yàn)锳、B

及A

B

均可逆，所以A1

B1

A1

(A

B)B1

也可逆，且1

111

1A

B

A

(

A

B)B

B1

1

1(

A

B)

A1

1

1

B(

A

B)1

A例

若

A

是

n

階可逆矩陣，B

是n

m

矩陣，則矩陣方程1AX

B

有唯一解

X

0

A B

.證：因?yàn)?

1AX

0

A(

A B)

(

AA

)B

B1所以

X

0

A B

是

AX

B

的解，另外，若

X1

是

AX

B

的任一解，則AX1

B

，且1

1

1X1

(

A

A)

X1

A

(

AX1

)

A B

X

01即

AX

B

有唯一解

X

0

A

B第四節(jié)分塊矩陣(簡(jiǎn)介)用若干橫線及縱線把矩陣分割為若干小矩陣，以小矩陣為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。一般地212rAAr

s

2s

A

r1

r

2i

j

m

n

A11

A

n1列

n2列

ns列A12

A1s

m1行A22

Am

行A

(a

)分塊

m

行其中m1

m2

nj

mr

m

，n1

n2

ns

n

，Ai

j

為mi矩陣(1

i

r,1

j

s)。例如，0

1

00A

10

01

01

2

1

01

0

12A

E022

21E2分塊其中A

1

221

1 1

，

E

100

0

02

0 1

，22

0

0

分塊矩陣運(yùn)算21rAA2s

r1

r

2r

s

A11

A

A—加法

設(shè)n1列

n2列

ns列A12

A1s

m1行A

m

行A22A分塊

m

行2

，22

s

B11B

21Br1

Br

2n1列

n2列

ns列B12

B1s

m1行BB22

m

行

ns

nB，ns列A1s

B1s

m1行B分塊

r

s

mr

行其中m1

m2

則

mr

m

，

n1

n2

21

212r

A2s

2s

A

B

A

BA

Br

s

rs

r1

r1r

2

r

222

22n

列1

A11

B11n2列A12

B12

B

A

BA

B

m

行A

B分塊

m

行二

乘法

設(shè)21AA

m

行

r1

Ar

2r

s

AAA222s

m2行，n1列n2列ns列t1列t2列tk

列

A11A12A1s

m1行

B11B12B1kA分塊

Br

s1

s

2

n

行B22

ns

n

，t1

tB2

B2k

n2行1B分塊

B21B

n

行sk

s

ts

tm1

m2

，則

mr

m

，

n1

n2

21r

2D

D

r1rk

r1t

列

t

列kt

列D2

D11

D12D22D1k

m1行D

m

行AB

D分塊D

m

行sl

1D

A

B2k

2

，其中

i

j

i

l l

j(1

i

r,1

j

k

)例0

100AB

1

00

0

01

0 0

1

2

1

2

1 0

1

E

A0B22

112121E

BB2

21 22

分塊其中A21

12

1

1，

11B21211

1

1 0

，

B

1

1

，

B22

2

4

，則1100BAB

A21B11

B21

121

B22

1

1

0

022

5324

，其中2

10

11

3 4

1 1

2

51

12

11

0

2

1

1

1

3A

B

B

121

11

21

1

三

轉(zhuǎn)置

設(shè)212rA

A2s

r1

r

2

r

s

ns列A1s

m1行

An1列

n2列

A11

A12AA22

A

m

行A分塊

m

行1222AT

ATA11

21ATr

22AT

AT1s2

sr

s

s

mT1列ATm2列其中m1

m2

則

mr

m

，

n1

n2