新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章立體幾何思維深化微課堂尋找球心解決與球有關(guān)的問題教師用書

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！尋找球心解決與球有關(guān)的問題球與其他幾何體的切、接問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，這種題目幾乎在各省高考試題中都有涉及，主要考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：類型一球與多面體的切、接問題考向1球與多面體的內(nèi)切問題已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．[思維架橋]如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)O作OF⊥PE于點(diǎn)F．由條件可求DE＝1，PE＝eq\r(2)．易知EF＝DE＝1，設(shè)OD＝OF＝r．由OP2＝OF2＋PF2，求r＝eq\r(2)－1．所以棱錐的內(nèi)切球的半徑為eq\r(2)－1．解：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)O作OF⊥PE于點(diǎn)F．由條件可求DE＝1，PE＝eq\r(2)．易知EF＝DE＝1，設(shè)OD＝OF＝r．由OP2＝OF2＋PF2，求r＝eq\r(2)－1．所以棱錐的內(nèi)切球的半徑為eq\r(2)－1．考向2球與多面體的外接問題在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)[思維架橋]利用勾股定理先求AC，若V最大，則球一定與直三棱柱的若干面相切．分別討論球與直三棱柱側(cè)面相切或與上下底面相切兩種情況，可得球的最大體積V．B解析：因為AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑滿足eq\f(8r＋6r＋10r,2)＝eq\f(6×8,2)，可得r＝2，故直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球半徑為eq\f(3,2)，此時V的最大值為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9π,2)．故選B．處理球的外接問題的策略(1)“接”的處理：抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑，求半徑常用等體積法．(2)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補(bǔ)形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可以將其補(bǔ)形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．[應(yīng)用體驗]在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝eq\r(15)，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為________．eq\f(83π,2)解析：由題可知，△ABC中AC邊上的高為eq\r(15－32)＝eq\r(6)，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設(shè)DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(eq\r(6)－x)2，解得x＝eq\f(5\r(6),4)，所以R2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PC,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(75,8)＋1＝eq\f(83,8)(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(83π,2)．類型二球與旋轉(zhuǎn)體的切、接問題如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．[思維架橋]內(nèi)切球的半徑與圓柱的底面圓半徑相等，圓柱的高是內(nèi)切球的直徑，利用體積公式即可得到eq\f(V1,V2)．eq\f(3,2)解析：設(shè)球O的半徑為r，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)．“切”的處理方法：首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，截面過球心．[應(yīng)用體驗]如圖，半徑為R的球的兩個內(nèi)接圓錐有公共的底面．若兩個圓錐的體積之和為球的體積的eq\f(3,8)，則這兩個圓錐的高之差的絕對值為()A．eq\f(R,2) B．eq\f(2R,2)C．eq\f(4R,3) D．RD解析：設(shè)球的球心為O，半徑為R，體積為V，上面圓錐的高為h(h<R)，體積為V1，下面圓錐的高為H(H>R)，體積為V2，兩個圓錐共用的底面的圓心為O1，半徑為r．由球和圓錐的對稱性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R．因為V1＋V2＝eq\f(3,8)V，所以eq\f(1,3)πr2h＋eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(3,8)×eq\f(4,3)πR3，所以r2(h＋H)＝eq\f(3,2)R3．因為h＋H＝2R，所以r＝eq\f(\r(3),