常微分方程模型課件

微分方程建模1微分方程建模1案例一、價(jià)格波動(dòng)模型“商品價(jià)格變化的兩大特點(diǎn)”：

平衡價(jià)格應(yīng)是商品供需平衡的價(jià)位；趨于過程應(yīng)具有慣性特征：呈現(xiàn)阻尼震蕩過程特征

建立在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下價(jià)格變動(dòng)模型

具體問題：試圖建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，描繪在健全的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)框架下，商品價(jià)格受市場(chǎng)機(jī)制調(diào)節(jié)，偏高或偏低的價(jià)格將會(huì)自動(dòng)趨于平衡

。

建模目的：建立一個(gè)價(jià)格隨時(shí)間演變,以阻尼振蕩方式逐漸趨于理性的商品供需平衡價(jià)格的模型。2案例一、價(jià)格波動(dòng)模型“商品價(jià)格變化的兩大特點(diǎn)”：

(3)商品價(jià)格的變化速度p’(t)與市場(chǎng)的過剩需求

D(t)

–S(t)有關(guān).假定它們之間成正比:

(2)商品供應(yīng)S(t)隨價(jià)格p(t)的增大而上升.假定它們之間的關(guān)系也近似為

線性關(guān)系;建模假設(shè)：(1)商品需求D(t)隨價(jià)格p(t)的增大而下降.假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:3(3)商品價(jià)格的變化速度p’(t)與市模型建立：

4模型建立：4

模型分析：

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

結(jié)論未能達(dá)到建模目的！說明商品價(jià)格是單調(diào)

地趨向平衡價(jià)格.

5模型分析：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),結(jié)論未能達(dá)到建模目的！

建模假設(shè)的修改：

(3)*商品價(jià)格的變化速度p’(t)與市場(chǎng)的過剩需求

D(t)

–S(t)對(duì)時(shí)間t的累積量有關(guān)(即考慮過剩需求的時(shí)間滯后效應(yīng)).

(2)商品供應(yīng)S(t)隨價(jià)格p(t)的增大而上升.假定它們之間的關(guān)系也近似為

線性關(guān)系;(1)商品需求D(t)隨價(jià)格p(t)的增大而下降.假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:假定它們之間成正比:6建模假設(shè)的修改：(3)*商品價(jià)模型再建立：

商品價(jià)格隨時(shí)間演變而處在等幅震蕩

之中。結(jié)論還未能達(dá)到建模目的！7模型再建立：商品價(jià)格隨時(shí)間演變而處在等幅震蕩

建模假設(shè)的再次修改：假設(shè)(1)、(2)不變；(3)**商品價(jià)格的變化速度p’(t)不僅與市場(chǎng)過剩需求

D(t)–S(t)對(duì)時(shí)間t的累積量有關(guān),還與當(dāng)時(shí)的價(jià)格與平衡價(jià)格p*的偏差程度有關(guān)(即考慮健全的市場(chǎng)有政府宏觀調(diào)控因素),假定它們之間也成正比，且比例系數(shù)仍假定它們之間成正比;(強(qiáng)調(diào)政府宏觀調(diào)控只是微調(diào))。8建模假設(shè)的再次修改：假設(shè)(1)、模型又一次建立：

商品價(jià)格隨時(shí)間演變而呈現(xiàn)阻尼震蕩

現(xiàn)象

。該結(jié)論達(dá)到建模目的！模型是合理的

9模型又一商品價(jià)格隨時(shí)間演變而呈現(xiàn)阻尼震蕩現(xiàn)象。

生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行殘酷的生存競(jìng)爭(zhēng)，一類動(dòng)物靠捕食另一類動(dòng)物為生，被捕食者只能靠又多又快地繁殖后代和逃跑等方式求生存發(fā)展，如此等等。設(shè)想一海島，居住著狐貍和野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之茂盛，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖。兔子一多，狐易得食，狐量亦增。而由于狐貍數(shù)目增案例二生物種群的弱肉強(qiáng)食模型10生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行殘酷多吃掉大量的兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對(duì)安全些，于是兔子總數(shù)回升。這樣，狐兔數(shù)量交替增減，無休止地循環(huán)，遂形成生態(tài)的動(dòng)態(tài)平衡。意大利著名生物數(shù)學(xué)家沃特拉（Volterra)對(duì)上述現(xiàn)象建立了下述模型（1）11多吃掉大量的兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子其中x(t)表示t時(shí)刻兔子的數(shù)目，y(t)是狐貍數(shù)，ax項(xiàng)表示兔子繁殖速度與兔子現(xiàn)存總數(shù)比例，-bxy項(xiàng)表示狐兔相遇兔子被吃的速度，-cy項(xiàng)表示狐貍因?yàn)橥惛?jìng)爭(zhēng)食物造成的死亡速度與狐貍數(shù)成正比，+dxy項(xiàng)表示狐兔相遇對(duì)狐貍有好處而使狐貍繁衍增加的速度。看來這一模型表達(dá)了達(dá)爾文主義思想，而且數(shù)學(xué)分析之后還會(huì)充實(shí)和精確表達(dá)上述直觀思想。12其中x(t)表示t時(shí)刻兔子的數(shù)目，y(t)是狐貍數(shù)，方程組等價(jià)于積分得（2）13方程組等價(jià)于積分得（2）13從（2）解不出y=f(x)這種顯式解，沃特拉發(fā)明了一種巧妙的辦法：在xOy平面上畫出x(t)與y(t)變化相關(guān)性的相圖。令其中C由初始值x0

，y0定出為于是繪出圖114從（2）解不出y=f(x)這種顯式解，沃特拉發(fā)明了一種巧妙圖115圖115在L4上，隨t的增加，動(dòng)點(diǎn)（x(t)，y(t))依逆時(shí)針而動(dòng)，事實(shí)上，點(diǎn)s是使L1：z=w,

L2：z=yae-by；L3：w=Cx-cedx

；L4：狐兔曲線。的平衡點(diǎn)（或稱奇點(diǎn)）.此時(shí),考慮點(diǎn)P2，P2的橫坐標(biāo)大于,故在P2點(diǎn)，，y增加，在P2處向上運(yùn)動(dòng)，可見是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。16在L4上，隨t的增加，動(dòng)點(diǎn)（x(t)，y(t))依逆時(shí)現(xiàn)在考慮對(duì)兩個(gè)物種同時(shí)進(jìn)行捕捉，既抓兔子也捉狐貍，于是，模型（1）變成修正模型：（3）17現(xiàn)在考慮對(duì)兩個(gè)物種同時(shí)進(jìn)行捕捉，既抓兔子也捉從圖1中已經(jīng)看到，x(t)，y(t)是周期為T的周期函數(shù)，同理（3）的解x(t)、y(t)也是周期函數(shù)。對(duì)于（1），x(t)，y(t)的平均值為：18從圖1中已經(jīng)看到，x(t)，y(t)是周期為T的周期函數(shù)又得：而19又得：而19故

于是同理可得20故于是同理可得20對(duì)于（10）則得由（4）可知，當(dāng)捕捉率不超過兔子的繁殖率a時(shí)，兔子反而會(huì)增加，狐貍要減少，反過來，捕捉率降低，平均而言，會(huì)增加狐貍的數(shù)目，而減少兔子的數(shù)目。（4）21對(duì)于（10）則得由（4）可知，當(dāng)捕捉率不超過兔子的意大利生物學(xué)家棣安奇納（D.Ancona）發(fā)現(xiàn)，第一次世界大戰(zhàn)那些年代，地中海各港口捕魚量百分比表明，掠肉魚（例如鯊魚）的百分比急劇增加，從上述數(shù)學(xué)分析中，對(duì)這種現(xiàn)象已經(jīng)有了理論上的解釋。事實(shí)上，那時(shí)戰(zhàn)火連天，漁民大量停業(yè)，使捕捉率下降，所以相當(dāng)于狐貍的掠肉魚明顯增加。這種結(jié)論在農(nóng)業(yè)防治病蟲害上有很大意義，例如，有兩個(gè)物種（可能是兩22意大利生物學(xué)家棣安奇納（D.Ancona）發(fā)現(xiàn)，第一次世界大種昆蟲或害蟲與青蛙等），一者是作物的害蟲，一者是害蟲的天敵，若施農(nóng)藥不當(dāng)，雖然可以殺滅一些害蟲，但同時(shí)也殺死了害蟲的天敵，這一“捕捉行為”的實(shí)施，由上述結(jié)論知，可能造成天敵的減少，害蟲的增多，事與愿違，與其施用少量農(nóng)藥治蟲，不如采用生物治蟲的辦法。23種昆蟲或害蟲與青蛙等），一者是作物的害蟲，一者是害蟲的天敵，附:24附:2425252626數(shù)值解法:27數(shù)值解法:272828%例1：求微分方程初值問題dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在[1，3]區(qū)間內(nèi)的數(shù)值解，并將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較。functionexample1()clc;clear;[X,Y]=ode45(@fxy,[1,3],2);x=X'%顯示自變量的一組采樣點(diǎn)y=Y'%顯示求解函數(shù)與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一組數(shù)值解y1=(X.^2+1./X.^2)'%顯示求解函數(shù)與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一組解析解dy=y-y1%顯示求解函數(shù)與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一組解析解functionf=fxy(x,y)f=-2*y/x+4*x;29%例1：求微分方程初值問題dy/dx=-2y/x+4x，y(例2:求解常微分方程組初值問題在區(qū)間[0,4]中的解。functionexample2()[X,Y]=ode45(@fxy,[0,4],[5,6]);x=X'%顯示自變量的一組采樣點(diǎn)y=Y'%顯示求解函數(shù)與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一組數(shù)值解plot(X,Y);%畫出解的變化曲線functionf=fxy(x,y)f(1)=y(1)^(1/3)*y(2);f(2)=-x.*y(2)+x.^2-5;f=f‘;30例2:求解常微分方程組初值問題在區(qū)間[0,4]中的解。fu3131微分方程建模32微分方程建模1案例一、價(jià)格波動(dòng)模型“商品價(jià)格變化的兩大特點(diǎn)”：

平衡價(jià)格應(yīng)是商品供需平衡的價(jià)位；趨于過程應(yīng)具有慣性特征：呈現(xiàn)阻尼震蕩過程特征

建立在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下價(jià)格變動(dòng)模型

具體問題：試圖建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，描繪在健全的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)框架下，商品價(jià)格受市場(chǎng)機(jī)制調(diào)節(jié)，偏高或偏低的價(jià)格將會(huì)自動(dòng)趨于平衡

。

建模目的：建立一個(gè)價(jià)格隨時(shí)間演變,以阻尼振蕩方式逐漸趨于理性的商品供需平衡價(jià)格的模型。33案例一、價(jià)格波動(dòng)模型“商品價(jià)格變化的兩大特點(diǎn)”：

(3)商品價(jià)格的變化速度p’(t)與市場(chǎng)的過剩需求

D(t)

–S(t)有關(guān).假定它們之間成正比:

(2)商品供應(yīng)S(t)隨價(jià)格p(t)的增大而上升.假定它們之間的關(guān)系也近似為

線性關(guān)系;建模假設(shè)：(1)商品需求D(t)隨價(jià)格p(t)的增大而下降.假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:34(3)商品價(jià)格的變化速度p’(t)與市模型建立：

35模型建立：4

模型分析：

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

結(jié)論未能達(dá)到建模目的！說明商品價(jià)格是單調(diào)

地趨向平衡價(jià)格.

36模型分析：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),結(jié)論未能達(dá)到建模目的！

建模假設(shè)的修改：

(3)*商品價(jià)格的變化速度p’(t)與市場(chǎng)的過剩需求

D(t)

–S(t)對(duì)時(shí)間t的累積量有關(guān)(即考慮過剩需求的時(shí)間滯后效應(yīng)).

(2)商品供應(yīng)S(t)隨價(jià)格p(t)的增大而上升.假定它們之間的關(guān)系也近似為

線性關(guān)系;(1)商品需求D(t)隨價(jià)格p(t)的增大而下降.假定它們之間的關(guān)系近似為

線性關(guān)系

:假定它們之間成正比:37建模假設(shè)的修改：(3)*商品價(jià)模型再建立：

商品價(jià)格隨時(shí)間演變而處在等幅震蕩

之中。結(jié)論還未能達(dá)到建模目的！38模型再建立：商品價(jià)格隨時(shí)間演變而處在等幅震蕩

建模假設(shè)的再次修改：假設(shè)(1)、(2)不變；(3)**商品價(jià)格的變化速度p’(t)不僅與市場(chǎng)過剩需求

D(t)–S(t)對(duì)時(shí)間t的累積量有關(guān),還與當(dāng)時(shí)的價(jià)格與平衡價(jià)格p*的偏差程度有關(guān)(即考慮健全的市場(chǎng)有政府宏觀調(diào)控因素),假定它們之間也成正比，且比例系數(shù)仍假定它們之間成正比;(強(qiáng)調(diào)政府宏觀調(diào)控只是微調(diào))。39建模假設(shè)的再次修改：假設(shè)(1)、模型又一次建立：

商品價(jià)格隨時(shí)間演變而呈現(xiàn)阻尼震蕩

現(xiàn)象

。該結(jié)論達(dá)到建模目的！模型是合理的

40模型又一商品價(jià)格隨時(shí)間演變而呈現(xiàn)阻尼震蕩現(xiàn)象。

生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行殘酷的生存競(jìng)爭(zhēng)，一類動(dòng)物靠捕食另一類動(dòng)物為生，被捕食者只能靠又多又快地繁殖后代和逃跑等方式求生存發(fā)展，如此等等。設(shè)想一海島，居住著狐貍和野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之茂盛，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖。兔子一多，狐易得食，狐量亦增。而由于狐貍數(shù)目增案例二生物種群的弱肉強(qiáng)食模型41生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行殘酷多吃掉大量的兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對(duì)安全些，于是兔子總數(shù)回升。這樣，狐兔數(shù)量交替增減，無休止地循環(huán)，遂形成生態(tài)的動(dòng)態(tài)平衡。意大利著名生物數(shù)學(xué)家沃特拉（Volterra)對(duì)上述現(xiàn)象建立了下述模型（1）42多吃掉大量的兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子其中x(t)表示t時(shí)刻兔子的數(shù)目，y(t)是狐貍數(shù)，ax項(xiàng)表示兔子繁殖速度與兔子現(xiàn)存總數(shù)比例，-bxy項(xiàng)表示狐兔相遇兔子被吃的速度，-cy項(xiàng)表示狐貍因?yàn)橥惛?jìng)爭(zhēng)食物造成的死亡速度與狐貍數(shù)成正比，+dxy項(xiàng)表示狐兔相遇對(duì)狐貍有好處而使狐貍繁衍增加的速度?？磥磉@一模型表達(dá)了達(dá)爾文主義思想，而且數(shù)學(xué)分析之后還會(huì)充實(shí)和精確表達(dá)上述直觀思想。43其中x(t)表示t時(shí)刻兔子的數(shù)目，y(t)是狐貍數(shù)，方程組等價(jià)于積分得（2）44方程組等價(jià)于積分得（2）13從（2）解不出y=f(x)這種顯式解，沃特拉發(fā)明了一種巧妙的辦法：在xOy平面上畫出x(t)與y(t)變化相關(guān)性的相圖。令其中C由初始值x0

，y0定出為于是繪出圖145從（2）解不出y=f(x)這種顯式解，沃特拉發(fā)明了一種巧妙圖146圖115在L4上，隨t的增加，動(dòng)點(diǎn)（x(t)，y(t))依逆時(shí)針而動(dòng)，事實(shí)上，點(diǎn)s是使L1：z=w,

L2：z=yae-by；L3：w=Cx-cedx

；L4：狐兔曲線。的平衡點(diǎn)（或稱奇點(diǎn)）.此時(shí),考慮點(diǎn)P2，P2的橫坐標(biāo)大于,故在P2點(diǎn)，，y增加，在P2處向上運(yùn)動(dòng)，可見是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。47在L4上，隨t的增加，動(dòng)點(diǎn)（x(t)，y(t))依逆時(shí)現(xiàn)在考慮對(duì)兩個(gè)物種同時(shí)進(jìn)行捕捉，既抓兔子也捉狐貍，于是，模型（1）變成修正模型：（3）48現(xiàn)在考慮對(duì)兩個(gè)物種同時(shí)進(jìn)行捕捉，既抓兔子也捉從圖1中已經(jīng)看到，x(t)，y(t)是周期為T的周期函數(shù)，同理（3）的解x(t)、y(t)也是周期函數(shù)。對(duì)于（1），x(t)，y(t)的平均值為：49從圖1中已經(jīng)看到，x(t)，y(t)是周期為T的周期函數(shù)又得：而50又得：而19故

于是同理可得51故于是同理可得20對(duì)于（10）則得由（4）可知，當(dāng)捕捉率不超過兔子的繁殖率a時(shí)，兔子反而會(huì)增加，狐貍要減少，反過來，捕捉率降低，平均而言，會(huì)增加狐貍的數(shù)目，而減少兔子的數(shù)目。（4）52對(duì)于（10）則得由（4）可知，當(dāng)捕捉率不超過兔子的意大利生物學(xué)家棣安奇納（D.Ancona）發(fā)現(xiàn)，第一次世界大戰(zhàn)那些年代，地中海各港口捕魚量百分比表明，掠肉魚（例如鯊魚）的百分比急劇增加，從上述數(shù)學(xué)分析中，對(duì)這種現(xiàn)象已經(jīng)有了理論上的解釋。事實(shí)上，那時(shí)戰(zhàn)火連天，漁民大量停業(yè)，使捕捉率下降，所以相當(dāng)于狐貍的掠肉魚明顯增加。這種結(jié)論在農(nóng)業(yè)防治病蟲害上有很大意義，例如，有兩個(gè)物種（可能是