北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊圖形的位似課件

初中數(shù)學(xué)（北師大版）九年級上冊第四章圖形的相似初中數(shù)學(xué)（北師大版）第四章圖形的相似知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)定義一般地,如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)P、P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形有關(guān)概念在位似多邊形的定義中,點(diǎn)O叫做位似中心,k叫做這兩個(gè)位似多邊形的相似比基本圖形由于位似中心的位置不同,位似多邊形的基本形式有三種(如圖),即點(diǎn)O在兩個(gè)多邊形的同側(cè);點(diǎn)O在兩個(gè)多邊形之間;點(diǎn)O在兩個(gè)多邊形的內(nèi)部

性質(zhì)(1)位似圖形的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比;(2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn);(3)位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等;(4)位似圖形是相似圖形,所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)溫馨提示(1)位似圖形中任意兩對對應(yīng)點(diǎn)的連線的交點(diǎn)就是位似中心;(2)一對對應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個(gè)三角形相似知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)定義一般地,如果兩個(gè)相似2例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有

()

圖4-8-1A.0組

B.1組

C.2組

D.3組解析

根據(jù)位似圖形的定義可知相似且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過

同一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)圖形是位似圖形,所以第一組和第三組是位似圖形.故

選C.答案

C例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有?()解析

3知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖

知識拓展幾種畫位似圖形的方法:方法一:未確定位似中心,依照比例畫位似圖形.如圖4-8-2所示,任意取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,分別在OA,OB,OC上按照知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖4題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即為所求.方法二:位似中心在頂點(diǎn)處,延長圖形的邊畫位似圖形.如圖4-8-3所示,以C點(diǎn)為位似中心,將AC與BC延長到指定的倍數(shù),得到點(diǎn)

A',B',連接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即為所求.

圖4-8-2圖4-8-3友情提示在畫位似圖形時(shí),一定要注意相似比,不要把相似比弄錯(cuò),該

放大的圖形縮小了或該縮小的圖形放大了.題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C5例2畫一個(gè)三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4),且原三角形與所畫三角形的相似比為3∶1.圖4-8-4例2畫一個(gè)三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4)6解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點(diǎn)D,使AD=

AB,過D作DE∥BC,交AC于E,則△ADE即為所求,如圖4-8-5(1).作法二:(反向延長法)延長CA到C',使得AC'=

AC,延長BA到B',使得AB'=

AB,連接B'C',則△AB'C'即為所求,如圖4-8-5(2).作法三:(位似圖形法)任取一點(diǎn)O,連接OA、OB、OC.取OA、OB、OC

的三等分點(diǎn)A'、B'、C'(靠近O的點(diǎn)),連接A'B',B'C'、C'A',則△A'B'C'即為

所求,如圖4-8-5(3).圖4-8-5點(diǎn)撥本題作圖方法很多,注意根據(jù)題目的要求選擇畫法.解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點(diǎn)D,使AD=?AB7知識點(diǎn)三

平面直角坐標(biāo)系中的位似變換當(dāng)以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心時(shí),若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),位似圖

形與原圖形的相似比為k,則位似圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).注意(1)運(yùn)用此性質(zhì)可在平面直角坐標(biāo)系中對圖形進(jìn)行放大(或縮小),

并且放大(或縮小)前后的兩個(gè)圖形是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形.(2)當(dāng)k>0時(shí),兩個(gè)圖形在位似中心的同側(cè);當(dāng)k<0時(shí),兩個(gè)圖形在位似中心

的兩側(cè).例3在直角坐標(biāo)系中,五邊形ABCDE的五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3),

B(-4,2),C(-3,0),D(-1,1),E(-1,2),以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心,將五邊形ABCDE

放大,使放大后的多邊形的邊是原五邊形對應(yīng)邊的2倍,比較放大后的圖形,你能得到什么結(jié)論?知識點(diǎn)三

平面直角坐標(biāo)系中的位似變換形,你能得到什么結(jié)8解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘

2,得A'(-4,6),B'(-8,4),C'(-6,0),D'(-2,2),E'(-2,4),依次連接A'B',B'C',C'D',D'E',

E'A',得五邊形A'B'C'D'E'.把五邊形ABCDE各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都

乘-2,得A″(4,-6),B″(8,-4),C″(6,0),D″(2,-2),E″(2,-4),依次連接A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,得五邊形A″B″C″D″E″.結(jié)論:五邊形A'B'C'D'E'和五邊形A″B″C″D″E″關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱.圖4-8-6點(diǎn)撥把一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都擴(kuò)大相同的倍數(shù),得到的圖

形與原圖形是位似圖形.這個(gè)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和9題型一

位似圖形性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖4-8-7,在水平桌面上有兩個(gè)“E”,當(dāng)P1、P2、O這三點(diǎn)在一條

直線上時(shí),在點(diǎn)O處用①號“E”測得的視力與用②號“E”測得的視力

相同.

圖4-8-7(1)圖4-8-7中b1,b2,l1,l2滿足怎樣的關(guān)系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①號“E”的測試距離l1=8m,要使測得的視力

相同,則②號“E”的測試距離l2應(yīng)為多少?題型一

位似圖形性質(zhì)的應(yīng)用(1)圖4-8-7中b1,b10解析(1)

=

.理由如下:因?yàn)镻1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以

=

,即

=

.(2)由(1)知

=

,將b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得

=

,所以l2=5m.故②號“E”的測試距離l2=5m.點(diǎn)撥對于實(shí)際問題,我們要善于靈活地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,再運(yùn)用所學(xué)的

數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.解析(1)?=?.理由如下:點(diǎn)撥對于實(shí)際問題,我們要善于11題型二

根據(jù)位似圖形的定義作圖例2如圖4-8-8,將圖中的△ABC分別做下列運(yùn)動(dòng),畫出相應(yīng)的圖形,指

出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)所發(fā)生的變化.(1)向上平移4個(gè)單位;(2)關(guān)于y軸對稱;(3)以A點(diǎn)為位似中心,放大到原來的兩倍.

圖4-8-8題型二

根據(jù)位似圖形的定義作圖圖4-8-812解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)都加4.(2)△A2B2C2(如圖4-8-9)為△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形,縱坐標(biāo)不變,橫坐

標(biāo)為對應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)的相反數(shù).(3)放大后得△AB2C3(如圖4-8-9),A的坐標(biāo)不變,B2在B的基礎(chǔ)上縱坐標(biāo)不

變,橫坐標(biāo)加AB的長,C3在C的基礎(chǔ)上橫坐標(biāo)加AB的長,縱坐標(biāo)加BC的長.

圖4-8-9點(diǎn)撥作圖時(shí)要注意位似中心的位置,要區(qū)分對應(yīng)點(diǎn)在位似中心的同側(cè)

和在位似中心的異側(cè)兩種情況.解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),13易錯(cuò)點(diǎn)

未分類討論位似中心的位置而出錯(cuò)例若已知點(diǎn)A(-2,4),點(diǎn)B(-4,2),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1∶2,把

線段AB縮小,求點(diǎn)A、點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).解析∵點(diǎn)A(-2,4),點(diǎn)B(-4,2),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1∶2,把線

段AB縮小,∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都乘

或-

即可,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2)或(1,-2),點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1)或(2,-1).易錯(cuò)警示點(diǎn)A與其對應(yīng)點(diǎn)在位置上有兩種情況,一種是位于點(diǎn)O同側(cè),

另一種是位于點(diǎn)O異側(cè),解題時(shí)易忽略其中一種情況而出錯(cuò).易錯(cuò)點(diǎn)

未分類討論位似中心的位置而出錯(cuò)解析∵點(diǎn)A(-14例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的景致.某公園有一座假山,小亮、小慧等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何知識測量這座假山的高度來檢驗(yàn)自己掌握知識和運(yùn)用知識的能力.如圖4-8-10,在陽光下,小亮站在水平地面的D處,此時(shí)小亮的影子頂端與假山的影子頂端E重合,這時(shí)小亮的影長DE=2米,一段時(shí)間后,小亮從D點(diǎn)沿BD的方向走了3.6米到達(dá)G處,此時(shí)小亮的影子頂端與假山的影子頂端H重合,這時(shí)小亮的影長GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,點(diǎn)G、E、D均在直線BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,請你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,求出假山的高度AB.典例剖析

利用相似求山高

圖4-8-10例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的15解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,∵∠CED=∠AEB,∠AHB=∠FHG,∴△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,∴

=

,

=

,即

=

,

=

,解得AB=15米.∴假山的高度AB為15米.素養(yǎng)呈現(xiàn)本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),解答這道題的關(guān)鍵是將

實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即把實(shí)際問題抽象到相似三角形.首先判定

△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得:

=

,

=

,再代數(shù)求解.解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,16素養(yǎng)解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決問題的過程,數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式,也是演繹推理的一種形

式,是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.復(fù)雜圖形可轉(zhuǎn)化為基本圖形.通過從復(fù)

雜圖形中分離出基本圖形,然后運(yùn)用基本圖形的知識解決問題,也就是

把復(fù)雜程序性知識轉(zhuǎn)化為簡單程序性知識.在相似三角形的解題中,復(fù)

雜圖形可轉(zhuǎn)化為基本圖形,基本圖形是解題的基本線索,因此解決復(fù)雜

圖形的法寶是把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形,這樣可把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為

基本問題.素養(yǎng)解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解17知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)1.下列圖形不是位似圖形的是

()

答案

D

選項(xiàng)D中的兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線沒有經(jīng)過同

一點(diǎn),故選D.知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)答案

D

選182.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其位似中心是點(diǎn)

()

圖4-8-1A.A

B.B

C.C

D.D答案

B

∵位似圖形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),即位似中心,∴位似中

心是點(diǎn)B.2.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其193.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,已知DE=4,則

AB的長是

()

圖4-8-2A.2

B.4

C.8

D.1答案

A∵△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,DE=4,∴AB的

長為

×4=2.故選A.3.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1204.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),已知四邊形E-

FGH的面積是3,則四邊形ABCD的面積是

()

圖4-8-3A.6

B.9

C.12

D.18答案

C∵E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),∴四邊形EFGH與四邊形ABCD是位似圖形,且相似比為1∶2,∴四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為1∶4,∵四邊形EFGH的面積是3,∴四邊形ABCD的面積是12.故選C.4.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC215.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點(diǎn)A、B、A'、B'、O共線,點(diǎn)

O為位似中心.(1)AC與A'C'平行嗎?為什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的長.

圖4-8-45.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點(diǎn)A22解析(1)AC∥A'C'.理由如下:∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)由(1)知△ABC∽△A'B'C',∴

=

.∵AB=2A'B',∴

=

.又∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴

=

=

.∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.解析(1)AC∥A'C'.理由如下:23知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖6.如圖4-8-5,已知五邊形ABCDE,試把它縮小

,你能用幾種方法?盡可能地用不同方法畫圖.

圖4-8-5知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖24解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,OD,

OE;分別取OA,OB,OC,OD,OE的中點(diǎn)A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',

A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法二:在五邊形ABCDE的外部任取一點(diǎn)O,作直線OA,OB,OC,OD,OE;

在O的另一側(cè)取點(diǎn)A',B',C',D',E',使OA'=

OA,OB'=

OB,OC'=

OC,OD'=OD,OE'=?OE,

解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點(diǎn)O,連接OA,25順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法三:在五邊形的內(nèi)部任取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,OD,OE;分別取OA,

OB,OC,OD,OE的中點(diǎn)A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形

A'B'C'D'E',如圖.順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B26解法四:在AB邊上取一點(diǎn)O,連接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中點(diǎn)

A',B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法五:以A點(diǎn)為位似中心,連接AC,AD;分別取AB,AC,AD,AE的中點(diǎn)B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',即得五邊形AB'C'D'E',如圖.解法四:在AB邊上取一點(diǎn)O,連接CO,DO,EO;取OA,O27知識點(diǎn)三

平面直角坐標(biāo)系中的位似變換7.如圖4-8-6,在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為位似中心,將△ABO擴(kuò)大到原來的2倍,得到△A'B'O.若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2),則點(diǎn)A'的坐標(biāo)是

()

圖4-8-6A.(2,4)

B.(-1,-2)

C.(-2,-4)

D.(-2,-1)答案

C

已知原點(diǎn)O為位似中心,根據(jù)圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)得出,對應(yīng)點(diǎn)的

坐標(biāo)應(yīng)乘-2,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2),所以點(diǎn)A'的坐標(biāo)是(-2,-4).故選C.知識點(diǎn)三

平面直角坐標(biāo)系中的位似變換答案

C

288.如圖4-8-7,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).(1)以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1∶2,在y軸的左側(cè),畫出△ABC放大后

的圖形△A1B1C1,并直接寫出C1點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)D(a,b)在線段AB上,請直接寫出經(jīng)過(1)的變換后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D1

的坐標(biāo).圖4-8-78.如圖4-8-7,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐29解析

(1)根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示.

點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(-6,4).(2)點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(2a,2b).解析

(1)根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示.301.如圖所示的四組圖形為兩個(gè)圓或相似的正多邊形,其中位似圖形的組

數(shù)為

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C如圖,根據(jù)位似圖形的定義可知第1、2、4組圖形是位似圖

形,而第3組圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線不能交于一點(diǎn),故位似圖形有3組.故選C.

1.如圖所示的四組圖形為兩個(gè)圓或相似的正多邊形,其中位似圖形312.如圖,四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形,且AC∶AF=2∶3,則下

列結(jié)論不正確的是

()A.四邊形ABCD與四邊形AEFG是相似圖形B.AD與AE的比是2∶3C.四邊形ABCD與四邊形AEFG的周長比是2∶3D.四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比是4∶9答案

B

位似圖形一定是相似圖形,四邊形ABCD與四邊形AEFG的相

似比為2∶3,而AD與AE不是對應(yīng)邊,它們的比不一定是2∶3,故選B.2.如圖,四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形,且AC∶323.如圖,已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2).(1)求線段AB、BC、AC的長;(2)把A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘2,得到A'、B'、C'的坐標(biāo),求A'B'、B'C'、A'C'的長;(3)△ABC與△A'B'C'的形狀相同嗎?(4)△ABC與△A'B'C'是位似圖形嗎?若是,請指出位似中心和相似比.3.如圖,已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2).33解析(1)AB=

,BC=

,AC=5.(2)A'(0,-4),B'(-4,2),C'(6,4),A'B'=2

,B'C'=2

,A'C'=10.(3)∵

=

=

=

,∴△ABC∽△A'B'C',故這兩個(gè)三角形的形狀相同.(4)△ABC與△A'B'C'是位似圖形,位似中心為原點(diǎn)O,相似比為

.

解析(1)AB=?,BC=?,AC=5.341.如圖4-8-8所示,在△ABC中,A,B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,0).以點(diǎn)C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是a,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是

()圖4-8-8A.-

a

B.-

(a+1)C.-

(a-1)

D.-

(a+3)1.如圖4-8-8所示,在△ABC中,A,B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的35答案

D作BF⊥x軸于點(diǎn)F,作B'E⊥x軸于點(diǎn)E,

則CE=1+a,因?yàn)椤鰽BC與△A'B'C的相似比為

,所以CF=

CE=

(a+1),則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-1-

(a+1)=-

(a+3),則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-

(a+3).答案

D作BF⊥x軸于點(diǎn)F,作B'E⊥x軸于點(diǎn)E,362.如圖4-8-9,線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(3,3),D(4,1),以原點(diǎn)O為位

似中心,在第一象限內(nèi)將線段CD擴(kuò)大為原來的兩倍,得到線段AB,則線

段AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為

.

圖4-8-9答案

(7,4)解析

∵C(3,3),D(4,1),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段CD擴(kuò)

大為原來的兩倍,∴A(6,6),B(8,2),∵E是AB的中點(diǎn),∴E(7,4).2.如圖4-8-9,線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(3,3)373.如圖4-8-10,平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3,0)、(2,-3),

△AB'O'是△ABO關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形,且O'的坐標(biāo)為(-1,0),則點(diǎn)B'的坐

標(biāo)為

.

圖4-8-10答案

3.如圖4-8-10,平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)38解析如圖,作△ABO關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形△AB'O'.過點(diǎn)B'作x軸、y軸的

垂線,垂足分別為C、D,過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為E.∴BE∥B'C,∴

=

.∵△AB'O'是△ABO關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形,∴△ABO∽△AB'O',∴

=

=

,∴

=

=

.∵A(3,0),O'(-1,0),B(2,-3),∴AO=3,AO'=4,BE=3,AE=1,∴

=

=

,∴B'C=4,AC=

,∴OC=AO-AC=3-

=

,∴B'

.

解析如圖,作△ABO關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形△AB'O'.過點(diǎn)B394.如圖4-8-11,正三角形ABC的邊長為3+

.(1)正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上,頂點(diǎn)N在邊AC上,在正三角形

ABC及其內(nèi)部,以A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且

使正方形E'F'P'N'的面積最大(不要求寫作法);(2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的邊長.

圖4-8-114.如圖4-8-11,正三角形ABC的邊長為3+?.40解析(1)如圖,正方形E'F'P'N'即為所求.

(2)設(shè)正方形E'F'P'N'的邊長為x,∵△ABC是正三角形,∴易求得AE'=BF'=

x,∴x+

x=3+

,∴x=

,即x=3

-3.即正方形E'F'P'N'的邊長為3

-3.解析(1)如圖,正方形E'F'P'N'即為所求.411.如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比

為1∶

,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),則E點(diǎn)的坐標(biāo)為

()A.(-

,0)

B.

C.(-

,-

)

D.(-2,-2)答案

C

∵四邊形OABC是正方形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比為1∶

,∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

,-

).故選C.1.如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似422.如圖所示,將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)

上),它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是

()

A.(-4,-3)

B.(-3,-3)

C.(-4,-4)

D.(-3,-4)答案

A設(shè)AP=x,由題意可得

=

,解得x=5.由位似圖形的定義知點(diǎn)P在A1A的延長線上,∴P(-4,-3).2.如圖所示,將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1433.(2015湖北武漢中考)如圖,在直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)A(6,3),B(6,0),以原

點(diǎn)O為位似中心,相似比為

,在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到CD,則C的坐標(biāo)為

()

A.(2,1)

B.(2,0)C.(3,3)

D.(3,1)答案

A根據(jù)題意可知,C點(diǎn)橫坐標(biāo)為

×6=2,縱坐標(biāo)為

×3=1,所以C的坐標(biāo)為(2,1),故選A.3.(2015湖北武漢中考)如圖,在直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)A(444.閱讀下面材料:如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)所

在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形,它們的

相似比又稱為位似比,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.利用三角形的位似可以將

一個(gè)三角形縮小或放大.

4.閱讀下面材料:如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形,而且每組對45(1)選擇:如圖a,點(diǎn)O是等邊△PQR的中心,P'、Q'、R'分別是OP、OQ、

OR的中點(diǎn),則△P'Q'R'與△PQR是位似三角形,此時(shí),△P'Q'R'與△PQR的

相似比,位似中心分別為

()A.2,點(diǎn)P

B.

,點(diǎn)PC.2,點(diǎn)O

D.

,點(diǎn)O(2)如圖b,用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形,閱讀后證明.①在△AOB內(nèi)畫等邊△CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;②連接OE并延長交AB于點(diǎn)E',過點(diǎn)E'作E'C'∥EC,交OA于點(diǎn)C',作E'D'∥

ED,交OB于點(diǎn)D';③連接C'D',則△C'D'E'是△AOB的內(nèi)接三角形.求證:△C'D'E'是等邊三角形.(1)選擇:如圖a,點(diǎn)O是等邊△PQR的中心,P'、Q'、R46解析(1)D觀察題圖a知,點(diǎn)O是位似中心,根據(jù)三角形中位線定理可

推出相似比為1∶2,故選D.(2)證明:∵EC∥E'C',∴

=

,∠CEO=∠C'E'O.∵ED∥E'D',∴

=

,∠DEO=∠D'E'O,故

=

,∠CED=∠C'E'D'.∵△CDE是等邊三角形,∴CE=ED,∠CED=60°.∴C'E'=E'D',∠C'E'D'=60°,∴△C'D'E'是等邊三角形.解析(1)D觀察題圖a知,點(diǎn)O是位似中心,根據(jù)三角形中位471.(2018江蘇無錫九中期中,5,★☆☆)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(6,3),以

原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)把線段OA縮小為原來的

得到線段OC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

()A.(2,1)

B.(2,0)

C.(3,3)

D.(3,1)一、選擇題答案

A以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將其縮小為原來的

,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為

,即(2,1),故選A.1.(2018江蘇無錫九中期中,5,★☆☆)在平面直角坐標(biāo)系482.(2017河南模擬,7,★★☆)如圖4-8-12,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形

的邊長是1個(gè)單位長度,以點(diǎn)C為位似中心,在網(wǎng)格中畫△A1B1C,使△A1B1

C與△ABC位似,且△A1B1C與△ABC的相似比為2∶1,則點(diǎn)B1的坐標(biāo)可以

為()A.(3,-2)

B.(4,0)

C.(5,-1)

D.(5,0)圖4-8-12答案

B由題圖可知,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-2),以點(diǎn)C為位似中心,在網(wǎng)格中

畫△A1B1C,使△A1B1C與△ABC位似,且△A1B1C與△ABC的相似比為2∶1,則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4,0)或(0,-8).故選B.2.(2017河南模擬,7,★★☆)如圖4-8-12,在正方49三、填空題3.(2017安徽四模,18,★★☆)如圖4-8-13,在6×8的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方

形的邊長均為1,點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).(1)以O(shè)為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且

相似比為1∶2;(2)求四邊形AA'C'C的周長.(結(jié)果保留根號)

圖4-8-13三、填空題50解析(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求作的三角形.

(2)根據(jù)勾股定理,得AC=

=2

,A'C'=

=

,所以四邊形AA'C'C的周長為1+

+2+2

=3+3

.解析(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求作的三角形.514.(2017湖南永州冷水灘一模,23,★★☆)如圖4-8-14,圖中的小方格都是

邊長為1的正方形,△ABC與△A'B'C'的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.(1)求證:△ABC∽△A'B'C';(2)△A'B'C'與△ABC是位似圖形嗎?如果是,在圖4-8-14中畫出位似中心

并求出相似比.

圖4-8-144.(2017湖南永州冷水灘一模,23,★★☆)如圖4-8-52解析(1)證明:易知AB=

,BC=

,AC=2

,A'B'=2

,B'C'=2

,A'C'=4

,∴

=

=

=

,∴△ABC∽△A'B'C'.(2)如圖所示,兩三角形對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),故△A'B'C'與△ABC是

位似圖形,O即為位似中心,相似比為2.

解析(1)證明:易知AB=?,BC=?,AC=2?,A'B531.(2017廣東佛山順德月考,7,★★☆)如圖,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為A(6,6),B(8,2),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原

來的

后得到線段CD,則端點(diǎn)D的坐標(biāo)為

()A.(3,3)

B.(4,3)

C.(3,1)

D.(4,1)答案

D∵線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,6),B(8,2),以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的

后得到線段CD,∴端點(diǎn)D的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為B點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的一半,∴端點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1).故選D.1.(2017廣東佛山順德月考,7,★★☆)如圖,線段AB兩542.(2017甘肅白銀景泰四中二模,20,★★☆)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,

已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6).(1)畫出△ABC,將它繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1,并寫出點(diǎn)C1的

坐標(biāo);(2)以原點(diǎn)O為位似中心,畫出將△A1B1C1三條邊放大為原來的2倍后的

△A2B2C2,并計(jì)算△A2B2C2的面積.2.(2017甘肅白銀景泰四中二模,20,★★☆)如圖,在平55解析(1)△ABC,△A1B1C1如圖所示,C1(3,3).

(2)△A2B2C2如圖所示.

=4S△ABC=4×

2×4-

×1×2-

×1×4-

×2×2

=12.解析(1)△ABC,△A1B1C1如圖所示,C1(3,3)561.(2017四川成都中考,8,★★☆)如圖4-8-15,四邊形ABCD和A'B'C'D'是

以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA'=2∶3,則四邊形ABCD與四

邊形A'B'C'D'的面積比為

()圖4-8-15A.4∶9

B.2∶5

C.2∶3

D.

∶

一、選擇題答案

A由位似圖形的性質(zhì)知

=

=

,所以

=

=

.故選A.1.(2017四川成都中考,8,★★☆)如圖4-8-15,四572.(2017四川遂寧中考,14,★★☆)如圖4-8-16,直線y=

x+1與x軸,y軸分別交于A、B兩點(diǎn),△BOC與△B'O'C'是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形,且相

似比為1∶2,則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

.

圖4-8-16二、填空題2.(2017四川遂寧中考,14,★★☆)如圖4-8-16,58答案(-9,-2)或(3,2)解析

y=

x+1與x軸,y軸分別交于A、B兩點(diǎn),令x=0,得y=1;令y=0,得x=-3,∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(0,1).∵△BOC與△B'O'C'是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形,且相似比為1∶2,∴

=

=

,∴O'B'=2,AO'=6,∴當(dāng)點(diǎn)B'在第一象限時(shí),B'的坐標(biāo)為(3,2);當(dāng)點(diǎn)B'在第三象限時(shí),B'的坐標(biāo)為(-9,-2),∴B'的坐標(biāo)為(-9,-2)或(3,2).答案(-9,-2)或(3,2)解析

y=?x+1與x593.(2017廣西柳州中考,21,★★☆)如圖4-8-17,以原點(diǎn)O為位似中心,把△OAB放大后得到△OCD,求△OAB與△OCD的相似比.

圖4-8-17三、解答題解析∵△OAB與△OCD是位似圖形,∴△OAB∽△OCD.由題圖得OB=4,OD=6,∴OB∶OD=4∶6=2∶3.∴△OAB與△OCD的相似比為2∶3.3.(2017廣西柳州中考,21,★★☆)如圖4-8-17,604.(2017四川涼山州中考,21,★★☆)如圖4-8-18,在邊長為1的正方形網(wǎng)

格中建立平面直角坐標(biāo)系,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,2)、B(2,1)、C(4,5).(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;(2)以原點(diǎn)O為位似中心,在x軸的上方畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC

位似,且相似比為2,并求出△A2B2C2的面積.圖4-8-184.(2017四川涼山州中考,21,★★☆)如圖4-8-1861解析(1)如圖所示,△A1B1C1就是所求作的三角形.(2)如圖所示,△A2B2C2就是所求作的三角形.

S△ABC=5×4-

×3×5-

×1×3-

×2×4=20-

-

-4=7.∵△A2B2C2與△ABC位似,且相似比為2,∴

=4×7=28.解析(1)如圖所示,△A1B1C1就是所求作的三角形.∵△621.(2017黑龍江綏化中考,6,★★☆)△A'B'C'是△ABC以點(diǎn)O為位似中心

經(jīng)過位似變換得到的,若△A'B'C'的面積與△ABC的面積比是4∶9,則OB'∶OB為

()

A.2∶3

B.3∶2C.4∶5

D.4∶9答案

A位似三角形一定是相似三角形,則這兩個(gè)相似三角形的面積

比為4∶9,其相似比是面積比的算術(shù)平方根,所以O(shè)B'∶OB是2∶3,故選A.1.(2017黑龍江綏化中考,6,★★☆)△A'B'C'是△632.(2017湖南長沙中考,16,★★☆)如圖,△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A

(2,4),B(6,0),O(0,0),以原點(diǎn)O為位似中心,把這個(gè)三角形縮小為原來的

,可以得到△A'B'O,已知點(diǎn)B'的坐標(biāo)是(3,0),則點(diǎn)A'的坐標(biāo)是

.

答案(1,2)解析根據(jù)位似變換的性質(zhì)及已知可得,點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(1,2).2.(2017湖南長沙中考,16,★★☆)如圖,△ABO三個(gè)643.(2017山東煙臺中考,16,★★☆)如圖,在直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小方格的

邊長均為1.△AOB與△A'OB'是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,且相似

比為3∶2,點(diǎn)A,B都在格點(diǎn)上,則點(diǎn)B'的坐標(biāo)是

.

答案

解析由題意,知將點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)分別乘-

,得點(diǎn)B'的坐標(biāo).由B的坐標(biāo)為(3,-2),得B'的坐標(biāo)為

.3.(2017山東煙臺中考,16,★★☆)如圖,在直角坐標(biāo)系651.如圖4-8-19,正方形A1B1C1D1可看成是分別以A、B、C、D為位似中心

將正方形ABCD放大一倍得到的圖形(將正方形ABCD的邊長放大到原

來的3倍),由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1,我們稱作了一次變換,再將

正方形A1B1C1D1作一次變換就得到正方形A2B2C2D2,……,依次進(jìn)行下去,

作了2005次變換后得到正方形A2005B2005C2005D2005,若正方形ABCD的面積

是1,那么正方形A2005B2005C2005D2005的面積是

()

圖4-8-19A.32005

B.32004C.34010

D.34009

1.如圖4-8-19,正方形A1B1C1D1可看成是分別以A66答案

C∵正方形ABCD的面積為1,∴AB=BC=CD=DA=1,作一次變

換后正方形的邊長為3=31,作兩次變換后正方形的邊長為9=32,作三次變

換后正方形的邊長為27=33,……,作n次變換后正方形的邊長為3n,故作2005次變換后正方形的邊長為32005,此時(shí)正方形的面積為32005×32005=34010.

故選C.答案

C∵正方形ABCD的面積為1,∴AB=BC=C672.如圖4-8-20,某小區(qū)原有一矩形花壇,現(xiàn)對小區(qū)進(jìn)行規(guī)劃,按要求作出相

應(yīng)的位似圖形.(1)在原地將花壇擴(kuò)建,使各邊的對應(yīng)邊為原來的3倍;(2)在異地修建一塊矩形草坪,使它與花壇的對應(yīng)邊的比為4∶1,你能設(shè)

計(jì)出圖紙嗎?

圖4-8-202.如圖4-8-20,某小區(qū)原有一矩形花壇,現(xiàn)對小區(qū)進(jìn)行規(guī)劃68解析(1)取矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)O為位似中心,①作射線OA,OB,

OC,OD;②分別在射線OA,OB,OC,OD上取點(diǎn)E,F,G,H,使得

=

=

=

=3;③連接EF,FG,GH,HE,四邊形EFGH即為所求作的圖形,如圖.

(2)能.在矩形ABCD外取一點(diǎn)O為位似中心,①作射線OA,OB,OC,OD;②分別在射線OA,OB,OC,OD上取點(diǎn)E,F,G,H,使得

=

=

=

=4;③連接EF,FG,GH,HE,四邊形EFGH即為所求作的圖形,如圖.解析(1)取矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)O為位似中心,①作射69初中數(shù)學(xué)（北師大版）九年級上冊第四章圖形的相似初中數(shù)學(xué)（北師大版）第四章圖形的相似知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)定義一般地,如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)P、P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形有關(guān)概念在位似多邊形的定義中,點(diǎn)O叫做位似中心,k叫做這兩個(gè)位似多邊形的相似比基本圖形由于位似中心的位置不同,位似多邊形的基本形式有三種(如圖),即點(diǎn)O在兩個(gè)多邊形的同側(cè);點(diǎn)O在兩個(gè)多邊形之間;點(diǎn)O在兩個(gè)多邊形的內(nèi)部

性質(zhì)(1)位似圖形的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比;(2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn);(3)位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等;(4)位似圖形是相似圖形,所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)溫馨提示(1)位似圖形中任意兩對對應(yīng)點(diǎn)的連線的交點(diǎn)就是位似中心;(2)一對對應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個(gè)三角形相似知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)定義一般地,如果兩個(gè)相似71例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有

()

圖4-8-1A.0組

B.1組

C.2組

D.3組解析

根據(jù)位似圖形的定義可知相似且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過

同一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)圖形是位似圖形,所以第一組和第三組是位似圖形.故

選C.答案

C例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有?()解析

72知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖

知識拓展幾種畫位似圖形的方法:方法一:未確定位似中心,依照比例畫位似圖形.如圖4-8-2所示,任意取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,分別在OA,OB,OC上按照知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖73題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即為所求.方法二:位似中心在頂點(diǎn)處,延長圖形的邊畫位似圖形.如圖4-8-3所示,以C點(diǎn)為位似中心,將AC與BC延長到指定的倍數(shù),得到點(diǎn)

A',B',連接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即為所求.

圖4-8-2圖4-8-3友情提示在畫位似圖形時(shí),一定要注意相似比,不要把相似比弄錯(cuò),該

放大的圖形縮小了或該縮小的圖形放大了.題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C74例2畫一個(gè)三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4),且原三角形與所畫三角形的相似比為3∶1.圖4-8-4例2畫一個(gè)三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4)75解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點(diǎn)D,使AD=

AB,過D作DE∥BC,交AC于E,則△ADE即為所求,如圖4-8-5(1).作法二:(反向延長法)延長CA到C',使得AC'=

AC,延長BA到B',使得AB'=

AB,連接B'C',則△AB'C'即為所求,如圖4-8-5(2).作法三:(位似圖形法)任取一點(diǎn)O,連接OA、OB、OC.取OA、OB、OC

的三等分點(diǎn)A'、B'、C'(靠近O的點(diǎn)),連接A'B',B'C'、C'A',則△A'B'C'即為

所求,如圖4-8-5(3).圖4-8-5點(diǎn)撥本題作圖方法很多,注意根據(jù)題目的要求選擇畫法.解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點(diǎn)D,使AD=?AB76知識點(diǎn)三

平面直角坐標(biāo)系中的位似變換當(dāng)以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心時(shí),若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),位似圖

形與原圖形的相似比為k,則位似圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).注意(1)運(yùn)用此性質(zhì)可在平面直角坐標(biāo)系中對圖形進(jìn)行放大(或縮小),

并且放大(或縮小)前后的兩個(gè)圖形是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形.(2)當(dāng)k>0時(shí),兩個(gè)圖形在位似中心的同側(cè);當(dāng)k<0時(shí),兩個(gè)圖形在位似中心

的兩側(cè).例3在直角坐標(biāo)系中,五邊形ABCDE的五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3),

B(-4,2),C(-3,0),D(-1,1),E(-1,2),以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心,將五邊形ABCDE

放大,使放大后的多邊形的邊是原五邊形對應(yīng)邊的2倍,比較放大后的圖形,你能得到什么結(jié)論?知識點(diǎn)三

平面直角坐標(biāo)系中的位似變換形,你能得到什么結(jié)77解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘

2,得A'(-4,6),B'(-8,4),C'(-6,0),D'(-2,2),E'(-2,4),依次連接A'B',B'C',C'D',D'E',

E'A',得五邊形A'B'C'D'E'.把五邊形ABCDE各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都

乘-2,得A″(4,-6),B″(8,-4),C″(6,0),D″(2,-2),E″(2,-4),依次連接A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,得五邊形A″B″C″D″E″.結(jié)論:五邊形A'B'C'D'E'和五邊形A″B″C″D″E″關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱.圖4-8-6點(diǎn)撥把一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都擴(kuò)大相同的倍數(shù),得到的圖

形與原圖形是位似圖形.這個(gè)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和78題型一

位似圖形性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖4-8-7,在水平桌面上有兩個(gè)“E”,當(dāng)P1、P2、O這三點(diǎn)在一條

直線上時(shí),在點(diǎn)O處用①號“E”測得的視力與用②號“E”測得的視力

相同.

圖4-8-7(1)圖4-8-7中b1,b2,l1,l2滿足怎樣的關(guān)系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①號“E”的測試距離l1=8m,要使測得的視力

相同,則②號“E”的測試距離l2應(yīng)為多少?題型一

位似圖形性質(zhì)的應(yīng)用(1)圖4-8-7中b1,b79解析(1)

=

.理由如下:因?yàn)镻1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以

=

,即

=

.(2)由(1)知

=

,將b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得

=

,所以l2=5m.故②號“E”的測試距離l2=5m.點(diǎn)撥對于實(shí)際問題,我們要善于靈活地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,再運(yùn)用所學(xué)的

數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.解析(1)?=?.理由如下:點(diǎn)撥對于實(shí)際問題,我們要善于80題型二

根據(jù)位似圖形的定義作圖例2如圖4-8-8,將圖中的△ABC分別做下列運(yùn)動(dòng),畫出相應(yīng)的圖形,指

出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)所發(fā)生的變化.(1)向上平移4個(gè)單位;(2)關(guān)于y軸對稱;(3)以A點(diǎn)為位似中心,放大到原來的兩倍.

圖4-8-8題型二

根據(jù)位似圖形的定義作圖圖4-8-881解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)都加4.(2)△A2B2C2(如圖4-8-9)為△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形,縱坐標(biāo)不變,橫坐

標(biāo)為對應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)的相反數(shù).(3)放大后得△AB2C3(如圖4-8-9),A的坐標(biāo)不變,B2在B的基礎(chǔ)上縱坐標(biāo)不

變,橫坐標(biāo)加AB的長,C3在C的基礎(chǔ)上橫坐標(biāo)加AB的長,縱坐標(biāo)加BC的長.

圖4-8-9點(diǎn)撥作圖時(shí)要注意位似中心的位置,要區(qū)分對應(yīng)點(diǎn)在位似中心的同側(cè)

和在位似中心的異側(cè)兩種情況.解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),82易錯(cuò)點(diǎn)

未分類討論位似中心的位置而出錯(cuò)例若已知點(diǎn)A(-2,4),點(diǎn)B(-4,2),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1∶2,把

線段AB縮小,求點(diǎn)A、點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).解析∵點(diǎn)A(-2,4),點(diǎn)B(-4,2),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1∶2,把線

段AB縮小,∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都乘

或-

即可,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2)或(1,-2),點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1)或(2,-1).易錯(cuò)警示點(diǎn)A與其對應(yīng)點(diǎn)在位置上有兩種情況,一種是位于點(diǎn)O同側(cè),

另一種是位于點(diǎn)O異側(cè),解題時(shí)易忽略其中一種情況而出錯(cuò).易錯(cuò)點(diǎn)

未分類討論位似中心的位置而出錯(cuò)解析∵點(diǎn)A(-83例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的景致.某公園有一座假山,小亮、小慧等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何知識測量這座假山的高度來檢驗(yàn)自己掌握知識和運(yùn)用知識的能力.如圖4-8-10,在陽光下,小亮站在水平地面的D處,此時(shí)小亮的影子頂端與假山的影子頂端E重合,這時(shí)小亮的影長DE=2米,一段時(shí)間后,小亮從D點(diǎn)沿BD的方向走了3.6米到達(dá)G處,此時(shí)小亮的影子頂端與假山的影子頂端H重合,這時(shí)小亮的影長GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,點(diǎn)G、E、D均在直線BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,請你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,求出假山的高度AB.典例剖析

利用相似求山高

圖4-8-10例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的84解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,∵∠CED=∠AEB,∠AHB=∠FHG,∴△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,∴

=

,

=

,即

=

,

=

,解得AB=15米.∴假山的高度AB為15米.素養(yǎng)呈現(xiàn)本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),解答這道題的關(guān)鍵是將

實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即把實(shí)際問題抽象到相似三角形.首先判定

△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得:

=

,

=

,再代數(shù)求解.解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,85素養(yǎng)解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決問題的過程,數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式,也是演繹推理的一種形

式,是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.復(fù)雜圖形可轉(zhuǎn)化為基本圖形.通過從復(fù)

雜圖形中分離出基本圖形,然后運(yùn)用基本圖形的知識解決問題,也就是

把復(fù)雜程序性知識轉(zhuǎn)化為簡單程序性知識.在相似三角形的解題中,復(fù)

雜圖形可轉(zhuǎn)化為基本圖形,基本圖形是解題的基本線索,因此解決復(fù)雜

圖形的法寶是把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形,這樣可把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為

基本問題.素養(yǎng)解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解86知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)1.下列圖形不是位似圖形的是

()

答案

D

選項(xiàng)D中的兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線沒有經(jīng)過同

一點(diǎn),故選D.知識點(diǎn)一

位似變換的定義及性質(zhì)答案

D

選872.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其位似中心是點(diǎn)

()

圖4-8-1A.A

B.B

C.C

D.D答案

B

∵位似圖形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),即位似中心,∴位似中

心是點(diǎn)B.2.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其883.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,已知DE=4,則

AB的長是

()

圖4-8-2A.2

B.4

C.8

D.1答案

A∵△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,DE=4,∴AB的

長為

×4=2.故選A.3.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1894.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),已知四邊形E-

FGH的面積是3,則四邊形ABCD的面積是

()

圖4-8-3A.6

B.9

C.12

D.18答案

C∵E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),∴四邊形EFGH與四邊形ABCD是位似圖形,且相似比為1∶2,∴四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為1∶4,∵四邊形EFGH的面積是3,∴四邊形ABCD的面積是12.故選C.4.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC905.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點(diǎn)A、B、A'、B'、O共線,點(diǎn)

O為位似中心.(1)AC與A'C'平行嗎?為什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的長.

圖4-8-45.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點(diǎn)A91解析(1)AC∥A'C'.理由如下:∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)由(1)知△ABC∽△A'B'C',∴

=

.∵AB=2A'B',∴

=

.又∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴

=

=

.∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.解析(1)AC∥A'C'.理由如下:92知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖6.如圖4-8-5,已知五邊形ABCDE,試把它縮小

,你能用幾種方法?盡可能地用不同方法畫圖.

圖4-8-5知識點(diǎn)二

利用位似變換作圖93解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,OD,

OE;分別取OA,OB,OC,OD,OE的中點(diǎn)A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',

A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法二:在五邊形ABCDE的外部任取一點(diǎn)O,作直線OA,OB,OC,OD,OE;

在O的另一側(cè)取點(diǎn)A',B',C',D',E',使OA'=

OA,OB'=

OB,OC'=

OC,OD'=OD,OE'=?OE,

解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點(diǎn)O,連接OA,94順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法三:在五邊形的內(nèi)部任取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,OD,OE;分別取OA,

OB,OC,OD,OE的中點(diǎn)A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形

A'B'C'D'E',如圖.順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B95解法四:在AB邊上取一點(diǎn)O,連接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中點(diǎn)

A',B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法五:以A點(diǎn)為位似中心,連接AC,AD;分別取AB,AC,AD,AE的中點(diǎn)B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',即得五邊形AB'C'D'E',如圖.解法四:在AB邊上取一點(diǎn)O,連接CO,DO,EO;取OA,O