北師大版九年級數學上冊圖形的位似課件

初中數學（北師大版）九年級上冊第四章圖形的相似初中數學（北師大版）第四章圖形的相似知識點一

位似變換的定義及性質定義一般地,如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P、P'所在的直線都經過同一點O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形有關概念在位似多邊形的定義中,點O叫做位似中心,k叫做這兩個位似多邊形的相似比基本圖形由于位似中心的位置不同,位似多邊形的基本形式有三種(如圖),即點O在兩個多邊形的同側;點O在兩個多邊形之間;點O在兩個多邊形的內部

性質(1)位似圖形的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比;(2)位似圖形的對應點連線交于一點;(3)位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等;(4)位似圖形是相似圖形,所以它具有相似圖形的一切性質溫馨提示(1)位似圖形中任意兩對對應點的連線的交點就是位似中心;(2)一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似知識點一

位似變換的定義及性質定義一般地,如果兩個相似2例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有

()

圖4-8-1A.0組

B.1組

C.2組

D.3組解析

根據位似圖形的定義可知相似且每組對應點所在的直線都經過

同一個點的兩個圖形是位似圖形,所以第一組和第三組是位似圖形.故

選C.答案

C例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有?()解析

3知識點二

利用位似變換作圖

知識拓展幾種畫位似圖形的方法:方法一:未確定位似中心,依照比例畫位似圖形.如圖4-8-2所示,任意取一點O,連接OA,OB,OC,分別在OA,OB,OC上按照知識點二

利用位似變換作圖4題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即為所求.方法二:位似中心在頂點處,延長圖形的邊畫位似圖形.如圖4-8-3所示,以C點為位似中心,將AC與BC延長到指定的倍數,得到點

A',B',連接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即為所求.

圖4-8-2圖4-8-3友情提示在畫位似圖形時,一定要注意相似比,不要把相似比弄錯,該

放大的圖形縮小了或該縮小的圖形放大了.題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C5例2畫一個三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4),且原三角形與所畫三角形的相似比為3∶1.圖4-8-4例2畫一個三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4)6解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點D,使AD=

AB,過D作DE∥BC,交AC于E,則△ADE即為所求,如圖4-8-5(1).作法二:(反向延長法)延長CA到C',使得AC'=

AC,延長BA到B',使得AB'=

AB,連接B'C',則△AB'C'即為所求,如圖4-8-5(2).作法三:(位似圖形法)任取一點O,連接OA、OB、OC.取OA、OB、OC

的三等分點A'、B'、C'(靠近O的點),連接A'B',B'C'、C'A',則△A'B'C'即為

所求,如圖4-8-5(3).圖4-8-5點撥本題作圖方法很多,注意根據題目的要求選擇畫法.解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點D,使AD=?AB7知識點三

平面直角坐標系中的位似變換當以坐標原點為位似中心時,若原圖形上點的坐標為(x,y),位似圖

形與原圖形的相似比為k,則位似圖形上的對應點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky).注意(1)運用此性質可在平面直角坐標系中對圖形進行放大(或縮小),

并且放大(或縮小)前后的兩個圖形是以原點為位似中心的位似圖形.(2)當k>0時,兩個圖形在位似中心的同側;當k<0時,兩個圖形在位似中心

的兩側.例3在直角坐標系中,五邊形ABCDE的五個頂點的坐標分別為A(-2,3),

B(-4,2),C(-3,0),D(-1,1),E(-1,2),以坐標原點為位似中心,將五邊形ABCDE

放大,使放大后的多邊形的邊是原五邊形對應邊的2倍,比較放大后的圖形,你能得到什么結論?知識點三

平面直角坐標系中的位似變換形,你能得到什么結8解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點的橫坐標和縱坐標都乘

2,得A'(-4,6),B'(-8,4),C'(-6,0),D'(-2,2),E'(-2,4),依次連接A'B',B'C',C'D',D'E',

E'A',得五邊形A'B'C'D'E'.把五邊形ABCDE各頂點的橫坐標和縱坐標都

乘-2,得A″(4,-6),B″(8,-4),C″(6,0),D″(2,-2),E″(2,-4),依次連接A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,得五邊形A″B″C″D″E″.結論:五邊形A'B'C'D'E'和五邊形A″B″C″D″E″關于原點O中心對稱.圖4-8-6點撥把一個多邊形各頂點的橫、縱坐標都擴大相同的倍數,得到的圖

形與原圖形是位似圖形.這個規(guī)律是解題的關鍵.解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點的橫坐標和9題型一

位似圖形性質的應用例1如圖4-8-7,在水平桌面上有兩個“E”,當P1、P2、O這三點在一條

直線上時,在點O處用①號“E”測得的視力與用②號“E”測得的視力

相同.

圖4-8-7(1)圖4-8-7中b1,b2,l1,l2滿足怎樣的關系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①號“E”的測試距離l1=8m,要使測得的視力

相同,則②號“E”的測試距離l2應為多少?題型一

位似圖形性質的應用(1)圖4-8-7中b1,b10解析(1)

=

.理由如下:因為P1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以

=

,即

=

.(2)由(1)知

=

,將b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得

=

,所以l2=5m.故②號“E”的測試距離l2=5m.點撥對于實際問題,我們要善于靈活地構建數學模型,再運用所學的

數學知識進行解答.解析(1)?=?.理由如下:點撥對于實際問題,我們要善于11題型二

根據位似圖形的定義作圖例2如圖4-8-8,將圖中的△ABC分別做下列運動,畫出相應的圖形,指

出三個頂點的坐標所發(fā)生的變化.(1)向上平移4個單位;(2)關于y軸對稱;(3)以A點為位似中心,放大到原來的兩倍.

圖4-8-8題型二

根據位似圖形的定義作圖圖4-8-812解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),橫坐標不變,縱坐標都加4.(2)△A2B2C2(如圖4-8-9)為△ABC關于y軸對稱的圖形,縱坐標不變,橫坐

標為對應點橫坐標的相反數.(3)放大后得△AB2C3(如圖4-8-9),A的坐標不變,B2在B的基礎上縱坐標不

變,橫坐標加AB的長,C3在C的基礎上橫坐標加AB的長,縱坐標加BC的長.

圖4-8-9點撥作圖時要注意位似中心的位置,要區(qū)分對應點在位似中心的同側

和在位似中心的異側兩種情況.解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),13易錯點

未分類討論位似中心的位置而出錯例若已知點A(-2,4),點B(-4,2),以原點O為位似中心,相似比為1∶2,把

線段AB縮小,求點A、點B的對應點的坐標.解析∵點A(-2,4),點B(-4,2),以原點O為位似中心,相似比為1∶2,把線

段AB縮小,∴點A,B的坐標都乘

或-

即可,則點A的對應點的坐標為(-1,2)或(1,-2),點B的對應點的坐標為(-2,1)或(2,-1).易錯警示點A與其對應點在位置上有兩種情況,一種是位于點O同側,

另一種是位于點O異側,解題時易忽略其中一種情況而出錯.易錯點

未分類討論位似中心的位置而出錯解析∵點A(-14例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的景致.某公園有一座假山,小亮、小慧等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量這座假山的高度來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力.如圖4-8-10,在陽光下,小亮站在水平地面的D處,此時小亮的影子頂端與假山的影子頂端E重合,這時小亮的影長DE=2米,一段時間后,小亮從D點沿BD的方向走了3.6米到達G處,此時小亮的影子頂端與假山的影子頂端H重合,這時小亮的影長GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,點G、E、D均在直線BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,請你根據題中提供的相關信息,求出假山的高度AB.典例剖析

利用相似求山高

圖4-8-10例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的15解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,∵∠CED=∠AEB,∠AHB=∠FHG,∴△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,∴

=

,

=

,即

=

,

=

,解得AB=15米.∴假山的高度AB為15米.素養(yǎng)呈現本題主要考查了相似三角形的性質,解答這道題的關鍵是將

實際問題轉化為數學問題,即把實際問題抽象到相似三角形.首先判定

△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,根據相似三角形的性質可得:

=

,

=

,再代數求解.解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,16素養(yǎng)解讀數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決問題的過程,數學運算是數學活動的基本形式,也是演繹推理的一種形

式,是得到數學結果的重要手段.復雜圖形可轉化為基本圖形.通過從復

雜圖形中分離出基本圖形,然后運用基本圖形的知識解決問題,也就是

把復雜程序性知識轉化為簡單程序性知識.在相似三角形的解題中,復

雜圖形可轉化為基本圖形,基本圖形是解題的基本線索,因此解決復雜

圖形的法寶是把復雜圖形轉化為基本圖形,這樣可把復雜的問題轉化為

基本問題.素養(yǎng)解讀數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解17知識點一

位似變換的定義及性質1.下列圖形不是位似圖形的是

()

答案

D

選項D中的兩個圖形的對應點連線所在的直線沒有經過同

一點,故選D.知識點一

位似變換的定義及性質答案

D

選182.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其位似中心是點

()

圖4-8-1A.A

B.B

C.C

D.D答案

B

∵位似圖形對應頂點的連線交于一點,即位似中心,∴位似中

心是點B.2.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其193.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,已知DE=4,則

AB的長是

()

圖4-8-2A.2

B.4

C.8

D.1答案

A∵△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,DE=4,∴AB的

長為

×4=2.故選A.3.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1204.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,已知四邊形E-

FGH的面積是3,則四邊形ABCD的面積是

()

圖4-8-3A.6

B.9

C.12

D.18答案

C∵E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,∴四邊形EFGH與四邊形ABCD是位似圖形,且相似比為1∶2,∴四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為1∶4,∵四邊形EFGH的面積是3,∴四邊形ABCD的面積是12.故選C.4.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC215.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點A、B、A'、B'、O共線,點

O為位似中心.(1)AC與A'C'平行嗎?為什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的長.

圖4-8-45.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點A22解析(1)AC∥A'C'.理由如下:∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)由(1)知△ABC∽△A'B'C',∴

=

.∵AB=2A'B',∴

=

.又∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴

=

=

.∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.解析(1)AC∥A'C'.理由如下:23知識點二

利用位似變換作圖6.如圖4-8-5,已知五邊形ABCDE,試把它縮小

,你能用幾種方法?盡可能地用不同方法畫圖.

圖4-8-5知識點二

利用位似變換作圖24解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點O,連接OA,OB,OC,OD,

OE;分別取OA,OB,OC,OD,OE的中點A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',

A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法二:在五邊形ABCDE的外部任取一點O,作直線OA,OB,OC,OD,OE;

在O的另一側取點A',B',C',D',E',使OA'=

OA,OB'=

OB,OC'=

OC,OD'=OD,OE'=?OE,

解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點O,連接OA,25順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法三:在五邊形的內部任取一點O,連接OA,OB,OC,OD,OE;分別取OA,

OB,OC,OD,OE的中點A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形

A'B'C'D'E',如圖.順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B26解法四:在AB邊上取一點O,連接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中點

A',B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法五:以A點為位似中心,連接AC,AD;分別取AB,AC,AD,AE的中點B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',即得五邊形AB'C'D'E',如圖.解法四:在AB邊上取一點O,連接CO,DO,EO;取OA,O27知識點三

平面直角坐標系中的位似變換7.如圖4-8-6,在平面直角坐標系中,以原點為位似中心,將△ABO擴大到原來的2倍,得到△A'B'O.若點A的坐標是(1,2),則點A'的坐標是

()

圖4-8-6A.(2,4)

B.(-1,-2)

C.(-2,-4)

D.(-2,-1)答案

C

已知原點O為位似中心,根據圖形的坐標特點得出,對應點的

坐標應乘-2,因為點A的坐標是(1,2),所以點A'的坐標是(-2,-4).故選C.知識點三

平面直角坐標系中的位似變換答案

C

288.如圖4-8-7,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).(1)以原點O為位似中心,相似比為1∶2,在y軸的左側,畫出△ABC放大后

的圖形△A1B1C1,并直接寫出C1點的坐標;(2)若點D(a,b)在線段AB上,請直接寫出經過(1)的變換后點D的對應點D1

的坐標.圖4-8-78.如圖4-8-7,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐29解析

(1)根據題意畫出圖形,如圖所示.

點C1的坐標為(-6,4).(2)點D1的坐標為(2a,2b).解析

(1)根據題意畫出圖形,如圖所示.301.如圖所示的四組圖形為兩個圓或相似的正多邊形,其中位似圖形的組

數為

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C如圖,根據位似圖形的定義可知第1、2、4組圖形是位似圖

形,而第3組圖形對應點的連線不能交于一點,故位似圖形有3組.故選C.

1.如圖所示的四組圖形為兩個圓或相似的正多邊形,其中位似圖形312.如圖,四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形,且AC∶AF=2∶3,則下

列結論不正確的是

()A.四邊形ABCD與四邊形AEFG是相似圖形B.AD與AE的比是2∶3C.四邊形ABCD與四邊形AEFG的周長比是2∶3D.四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比是4∶9答案

B

位似圖形一定是相似圖形,四邊形ABCD與四邊形AEFG的相

似比為2∶3,而AD與AE不是對應邊,它們的比不一定是2∶3,故選B.2.如圖,四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形,且AC∶323.如圖,已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2).(1)求線段AB、BC、AC的長;(2)把A、B、C三點的橫坐標、縱坐標都乘2,得到A'、B'、C'的坐標,求A'B'、B'C'、A'C'的長;(3)△ABC與△A'B'C'的形狀相同嗎?(4)△ABC與△A'B'C'是位似圖形嗎?若是,請指出位似中心和相似比.3.如圖,已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2).33解析(1)AB=

,BC=

,AC=5.(2)A'(0,-4),B'(-4,2),C'(6,4),A'B'=2

,B'C'=2

,A'C'=10.(3)∵

=

=

=

,∴△ABC∽△A'B'C',故這兩個三角形的形狀相同.(4)△ABC與△A'B'C'是位似圖形,位似中心為原點O,相似比為

.

解析(1)AB=?,BC=?,AC=5.341.如圖4-8-8所示,在△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的上方,點C的坐標是(-1,0).以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點B的對應點B'的橫坐標是a,則點B的橫坐標是

()圖4-8-8A.-

a

B.-

(a+1)C.-

(a-1)

D.-

(a+3)1.如圖4-8-8所示,在△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的35答案

D作BF⊥x軸于點F,作B'E⊥x軸于點E,

則CE=1+a,因為△ABC與△A'B'C的相似比為

,所以CF=

CE=

(a+1),則點F的橫坐標為-1-

(a+1)=-

(a+3),則點B的橫坐標是-

(a+3).答案

D作BF⊥x軸于點F,作B'E⊥x軸于點E,362.如圖4-8-9,線段CD兩個端點的坐標分別為C(3,3),D(4,1),以原點O為位

似中心,在第一象限內將線段CD擴大為原來的兩倍,得到線段AB,則線

段AB的中點E的坐標為

.

圖4-8-9答案

(7,4)解析

∵C(3,3),D(4,1),以原點O為位似中心,在第一象限內將線段CD擴

大為原來的兩倍,∴A(6,6),B(8,2),∵E是AB的中點,∴E(7,4).2.如圖4-8-9,線段CD兩個端點的坐標分別為C(3,3)373.如圖4-8-10,平面直角坐標系xOy中,點A、B的坐標分別為(3,0)、(2,-3),

△AB'O'是△ABO關于點A的位似圖形,且O'的坐標為(-1,0),則點B'的坐

標為

.

圖4-8-10答案

3.如圖4-8-10,平面直角坐標系xOy中,點A、B的坐標38解析如圖,作△ABO關于點A的位似圖形△AB'O'.過點B'作x軸、y軸的

垂線,垂足分別為C、D,過點B作x軸的垂線,垂足為E.∴BE∥B'C,∴

=

.∵△AB'O'是△ABO關于點A的位似圖形,∴△ABO∽△AB'O',∴

=

=

,∴

=

=

.∵A(3,0),O'(-1,0),B(2,-3),∴AO=3,AO'=4,BE=3,AE=1,∴

=

=

,∴B'C=4,AC=

,∴OC=AO-AC=3-

=

,∴B'

.

解析如圖,作△ABO關于點A的位似圖形△AB'O'.過點B394.如圖4-8-11,正三角形ABC的邊長為3+

.(1)正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上,頂點N在邊AC上,在正三角形

ABC及其內部,以A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且

使正方形E'F'P'N'的面積最大(不要求寫作法);(2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的邊長.

圖4-8-114.如圖4-8-11,正三角形ABC的邊長為3+?.40解析(1)如圖,正方形E'F'P'N'即為所求.

(2)設正方形E'F'P'N'的邊長為x,∵△ABC是正三角形,∴易求得AE'=BF'=

x,∴x+

x=3+

,∴x=

,即x=3

-3.即正方形E'F'P'N'的邊長為3

-3.解析(1)如圖,正方形E'F'P'N'即為所求.411.如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比

為1∶

,點A的坐標為(1,0),則E點的坐標為

()A.(-

,0)

B.

C.(-

,-

)

D.(-2,-2)答案

C

∵四邊形OABC是正方形,點A的坐標為(1,0),∴B點的坐標為(1,1),∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比為1∶

,∴E點的坐標為(-

,-

).故選C.1.如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似422.如圖所示,將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1(頂點均在格點

上),它們是以P點為位似中心的位似圖形,則P點的坐標是

()

A.(-4,-3)

B.(-3,-3)

C.(-4,-4)

D.(-3,-4)答案

A設AP=x,由題意可得

=

,解得x=5.由位似圖形的定義知點P在A1A的延長線上,∴P(-4,-3).2.如圖所示,將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1433.(2015湖北武漢中考)如圖,在直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0),以原

點O為位似中心,相似比為

,在第一象限內把線段AB縮小后得到CD,則C的坐標為

()

A.(2,1)

B.(2,0)C.(3,3)

D.(3,1)答案

A根據題意可知,C點橫坐標為

×6=2,縱坐標為

×3=1,所以C的坐標為(2,1),故選A.3.(2015湖北武漢中考)如圖,在直角坐標系中,有兩點A(444.閱讀下面材料:如果兩個三角形不僅是相似三角形,而且每組對應點所

在的直線都經過同一個點,那么這兩個三角形叫做位似三角形,它們的

相似比又稱為位似比,這個點叫做位似中心.利用三角形的位似可以將

一個三角形縮小或放大.

4.閱讀下面材料:如果兩個三角形不僅是相似三角形,而且每組對45(1)選擇:如圖a,點O是等邊△PQR的中心,P'、Q'、R'分別是OP、OQ、

OR的中點,則△P'Q'R'與△PQR是位似三角形,此時,△P'Q'R'與△PQR的

相似比,位似中心分別為

()A.2,點P

B.

,點PC.2,點O

D.

,點O(2)如圖b,用下面的方法可以畫△AOB的內接等邊三角形,閱讀后證明.①在△AOB內畫等邊△CDE,使點C在OA上,點D在OB上;②連接OE并延長交AB于點E',過點E'作E'C'∥EC,交OA于點C',作E'D'∥

ED,交OB于點D';③連接C'D',則△C'D'E'是△AOB的內接三角形.求證:△C'D'E'是等邊三角形.(1)選擇:如圖a,點O是等邊△PQR的中心,P'、Q'、R46解析(1)D觀察題圖a知,點O是位似中心,根據三角形中位線定理可

推出相似比為1∶2,故選D.(2)證明:∵EC∥E'C',∴

=

,∠CEO=∠C'E'O.∵ED∥E'D',∴

=

,∠DEO=∠D'E'O,故

=

,∠CED=∠C'E'D'.∵△CDE是等邊三角形,∴CE=ED,∠CED=60°.∴C'E'=E'D',∠C'E'D'=60°,∴△C'D'E'是等邊三角形.解析(1)D觀察題圖a知,點O是位似中心,根據三角形中位471.(2018江蘇無錫九中期中,5,★☆☆)在平面直角坐標系中,點A(6,3),以

原點O為位似中心,在第一象限內把線段OA縮小為原來的

得到線段OC,則點C的坐標為

()A.(2,1)

B.(2,0)

C.(3,3)

D.(3,1)一、選擇題答案

A以原點O為位似中心,在第一象限內將其縮小為原來的

,則點A的對應點C的坐標為

,即(2,1),故選A.1.(2018江蘇無錫九中期中,5,★☆☆)在平面直角坐標系482.(2017河南模擬,7,★★☆)如圖4-8-12,在正方形網格中,每個小正方形

的邊長是1個單位長度,以點C為位似中心,在網格中畫△A1B1C,使△A1B1

C與△ABC位似,且△A1B1C與△ABC的相似比為2∶1,則點B1的坐標可以

為()A.(3,-2)

B.(4,0)

C.(5,-1)

D.(5,0)圖4-8-12答案

B由題圖可知,點B的坐標為(3,-2),以點C為位似中心,在網格中

畫△A1B1C,使△A1B1C與△ABC位似,且△A1B1C與△ABC的相似比為2∶1,則點B1的坐標為(4,0)或(0,-8).故選B.2.(2017河南模擬,7,★★☆)如圖4-8-12,在正方49三、填空題3.(2017安徽四模,18,★★☆)如圖4-8-13,在6×8的網格圖中,每個小正方

形的邊長均為1,點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點.(1)以O為位似中心,在網格圖中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且

相似比為1∶2;(2)求四邊形AA'C'C的周長.(結果保留根號)

圖4-8-13三、填空題50解析(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求作的三角形.

(2)根據勾股定理,得AC=

=2

,A'C'=

=

,所以四邊形AA'C'C的周長為1+

+2+2

=3+3

.解析(1)如圖所示,△A'B'C'即為所求作的三角形.514.(2017湖南永州冷水灘一模,23,★★☆)如圖4-8-14,圖中的小方格都是

邊長為1的正方形,△ABC與△A'B'C'的頂點都在格點上.(1)求證:△ABC∽△A'B'C';(2)△A'B'C'與△ABC是位似圖形嗎?如果是,在圖4-8-14中畫出位似中心

并求出相似比.

圖4-8-144.(2017湖南永州冷水灘一模,23,★★☆)如圖4-8-52解析(1)證明:易知AB=

,BC=

,AC=2

,A'B'=2

,B'C'=2

,A'C'=4

,∴

=

=

=

,∴△ABC∽△A'B'C'.(2)如圖所示,兩三角形對應點的連線相交于一點,故△A'B'C'與△ABC是

位似圖形,O即為位似中心,相似比為2.

解析(1)證明:易知AB=?,BC=?,AC=2?,A'B531.(2017廣東佛山順德月考,7,★★☆)如圖,線段AB兩個端點的坐標分別

為A(6,6),B(8,2),以原點O為位似中心,在第一象限內將線段AB縮小為原

來的

后得到線段CD,則端點D的坐標為

()A.(3,3)

B.(4,3)

C.(3,1)

D.(4,1)答案

D∵線段AB的兩個端點的坐標分別為A(6,6),B(8,2),以原點O為位似中心,在第一象限內將線段AB縮小為原來的

后得到線段CD,∴端點D的橫坐標和縱坐標都為B點的橫、縱坐標的一半,∴端點D的坐標為(4,1).故選D.1.(2017廣東佛山順德月考,7,★★☆)如圖,線段AB兩542.(2017甘肅白銀景泰四中二模,20,★★☆)如圖,在平面直角坐標系中,

已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6).(1)畫出△ABC,將它繞點A順時針旋轉90°后得到△A1B1C1,并寫出點C1的

坐標;(2)以原點O為位似中心,畫出將△A1B1C1三條邊放大為原來的2倍后的

△A2B2C2,并計算△A2B2C2的面積.2.(2017甘肅白銀景泰四中二模,20,★★☆)如圖,在平55解析(1)△ABC,△A1B1C1如圖所示,C1(3,3).

(2)△A2B2C2如圖所示.

=4S△ABC=4×

2×4-

×1×2-

×1×4-

×2×2

=12.解析(1)△ABC,△A1B1C1如圖所示,C1(3,3)561.(2017四川成都中考,8,★★☆)如圖4-8-15,四邊形ABCD和A'B'C'D'是

以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA'=2∶3,則四邊形ABCD與四

邊形A'B'C'D'的面積比為

()圖4-8-15A.4∶9

B.2∶5

C.2∶3

D.

∶

一、選擇題答案

A由位似圖形的性質知

=

=

,所以

=

=

.故選A.1.(2017四川成都中考,8,★★☆)如圖4-8-15,四572.(2017四川遂寧中考,14,★★☆)如圖4-8-16,直線y=

x+1與x軸,y軸分別交于A、B兩點,△BOC與△B'O'C'是以點A為位似中心的位似圖形,且相

似比為1∶2,則點B'的坐標為

.

圖4-8-16二、填空題2.(2017四川遂寧中考,14,★★☆)如圖4-8-16,58答案(-9,-2)或(3,2)解析

y=

x+1與x軸,y軸分別交于A、B兩點,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-3,∴點A和點B的坐標分別為(-3,0),(0,1).∵△BOC與△B'O'C'是以點A為位似中心的位似圖形,且相似比為1∶2,∴

=

=

,∴O'B'=2,AO'=6,∴當點B'在第一象限時,B'的坐標為(3,2);當點B'在第三象限時,B'的坐標為(-9,-2),∴B'的坐標為(-9,-2)或(3,2).答案(-9,-2)或(3,2)解析

y=?x+1與x593.(2017廣西柳州中考,21,★★☆)如圖4-8-17,以原點O為位似中心,把△OAB放大后得到△OCD,求△OAB與△OCD的相似比.

圖4-8-17三、解答題解析∵△OAB與△OCD是位似圖形,∴△OAB∽△OCD.由題圖得OB=4,OD=6,∴OB∶OD=4∶6=2∶3.∴△OAB與△OCD的相似比為2∶3.3.(2017廣西柳州中考,21,★★☆)如圖4-8-17,604.(2017四川涼山州中考,21,★★☆)如圖4-8-18,在邊長為1的正方形網

格中建立平面直角坐標系,已知△ABC三個頂點分別為A(-1,2)、B(2,1)、C(4,5).(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1;(2)以原點O為位似中心,在x軸的上方畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC

位似,且相似比為2,并求出△A2B2C2的面積.圖4-8-184.(2017四川涼山州中考,21,★★☆)如圖4-8-1861解析(1)如圖所示,△A1B1C1就是所求作的三角形.(2)如圖所示,△A2B2C2就是所求作的三角形.

S△ABC=5×4-

×3×5-

×1×3-

×2×4=20-

-

-4=7.∵△A2B2C2與△ABC位似,且相似比為2,∴

=4×7=28.解析(1)如圖所示,△A1B1C1就是所求作的三角形.∵△621.(2017黑龍江綏化中考,6,★★☆)△A'B'C'是△ABC以點O為位似中心

經過位似變換得到的,若△A'B'C'的面積與△ABC的面積比是4∶9,則OB'∶OB為

()

A.2∶3

B.3∶2C.4∶5

D.4∶9答案

A位似三角形一定是相似三角形,則這兩個相似三角形的面積

比為4∶9,其相似比是面積比的算術平方根,所以OB'∶OB是2∶3,故選A.1.(2017黑龍江綏化中考,6,★★☆)△A'B'C'是△632.(2017湖南長沙中考,16,★★☆)如圖,△ABO三個頂點的坐標分別為A

(2,4),B(6,0),O(0,0),以原點O為位似中心,把這個三角形縮小為原來的

,可以得到△A'B'O,已知點B'的坐標是(3,0),則點A'的坐標是

.

答案(1,2)解析根據位似變換的性質及已知可得,點A'的坐標為(1,2).2.(2017湖南長沙中考,16,★★☆)如圖,△ABO三個643.(2017山東煙臺中考,16,★★☆)如圖,在直角坐標系中,每個小方格的

邊長均為1.△AOB與△A'OB'是以原點O為位似中心的位似圖形,且相似

比為3∶2,點A,B都在格點上,則點B'的坐標是

.

答案

解析由題意,知將點B的橫、縱坐標分別乘-

,得點B'的坐標.由B的坐標為(3,-2),得B'的坐標為

.3.(2017山東煙臺中考,16,★★☆)如圖,在直角坐標系651.如圖4-8-19,正方形A1B1C1D1可看成是分別以A、B、C、D為位似中心

將正方形ABCD放大一倍得到的圖形(將正方形ABCD的邊長放大到原

來的3倍),由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1,我們稱作了一次變換,再將

正方形A1B1C1D1作一次變換就得到正方形A2B2C2D2,……,依次進行下去,

作了2005次變換后得到正方形A2005B2005C2005D2005,若正方形ABCD的面積

是1,那么正方形A2005B2005C2005D2005的面積是

()

圖4-8-19A.32005

B.32004C.34010

D.34009

1.如圖4-8-19,正方形A1B1C1D1可看成是分別以A66答案

C∵正方形ABCD的面積為1,∴AB=BC=CD=DA=1,作一次變

換后正方形的邊長為3=31,作兩次變換后正方形的邊長為9=32,作三次變

換后正方形的邊長為27=33,……,作n次變換后正方形的邊長為3n,故作2005次變換后正方形的邊長為32005,此時正方形的面積為32005×32005=34010.

故選C.答案

C∵正方形ABCD的面積為1,∴AB=BC=C672.如圖4-8-20,某小區(qū)原有一矩形花壇,現對小區(qū)進行規(guī)劃,按要求作出相

應的位似圖形.(1)在原地將花壇擴建,使各邊的對應邊為原來的3倍;(2)在異地修建一塊矩形草坪,使它與花壇的對應邊的比為4∶1,你能設

計出圖紙嗎?

圖4-8-202.如圖4-8-20,某小區(qū)原有一矩形花壇,現對小區(qū)進行規(guī)劃68解析(1)取矩形ABCD的對角線的交點O為位似中心,①作射線OA,OB,

OC,OD;②分別在射線OA,OB,OC,OD上取點E,F,G,H,使得

=

=

=

=3;③連接EF,FG,GH,HE,四邊形EFGH即為所求作的圖形,如圖.

(2)能.在矩形ABCD外取一點O為位似中心,①作射線OA,OB,OC,OD;②分別在射線OA,OB,OC,OD上取點E,F,G,H,使得

=

=

=

=4;③連接EF,FG,GH,HE,四邊形EFGH即為所求作的圖形,如圖.解析(1)取矩形ABCD的對角線的交點O為位似中心,①作射69初中數學（北師大版）九年級上冊第四章圖形的相似初中數學（北師大版）第四章圖形的相似知識點一

位似變換的定義及性質定義一般地,如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P、P'所在的直線都經過同一點O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形有關概念在位似多邊形的定義中,點O叫做位似中心,k叫做這兩個位似多邊形的相似比基本圖形由于位似中心的位置不同,位似多邊形的基本形式有三種(如圖),即點O在兩個多邊形的同側;點O在兩個多邊形之間;點O在兩個多邊形的內部

性質(1)位似圖形的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比;(2)位似圖形的對應點連線交于一點;(3)位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等;(4)位似圖形是相似圖形,所以它具有相似圖形的一切性質溫馨提示(1)位似圖形中任意兩對對應點的連線的交點就是位似中心;(2)一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似知識點一

位似變換的定義及性質定義一般地,如果兩個相似71例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有

()

圖4-8-1A.0組

B.1組

C.2組

D.3組解析

根據位似圖形的定義可知相似且每組對應點所在的直線都經過

同一個點的兩個圖形是位似圖形,所以第一組和第三組是位似圖形.故

選C.答案

C例1圖4-8-1的3組圖形中,位似圖形有?()解析

72知識點二

利用位似變換作圖

知識拓展幾種畫位似圖形的方法:方法一:未確定位似中心,依照比例畫位似圖形.如圖4-8-2所示,任意取一點O,連接OA,OB,OC,分別在OA,OB,OC上按照知識點二

利用位似變換作圖73題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即為所求.方法二:位似中心在頂點處,延長圖形的邊畫位似圖形.如圖4-8-3所示,以C點為位似中心,將AC與BC延長到指定的倍數,得到點

A',B',連接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即為所求.

圖4-8-2圖4-8-3友情提示在畫位似圖形時,一定要注意相似比,不要把相似比弄錯,該

放大的圖形縮小了或該縮小的圖形放大了.題目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C74例2畫一個三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4),且原三角形與所畫三角形的相似比為3∶1.圖4-8-4例2畫一個三角形,使它與已知△ABC位似(如圖4-8-4)75解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點D,使AD=

AB,過D作DE∥BC,交AC于E,則△ADE即為所求,如圖4-8-5(1).作法二:(反向延長法)延長CA到C',使得AC'=

AC,延長BA到B',使得AB'=

AB,連接B'C',則△AB'C'即為所求,如圖4-8-5(2).作法三:(位似圖形法)任取一點O,連接OA、OB、OC.取OA、OB、OC

的三等分點A'、B'、C'(靠近O的點),連接A'B',B'C'、C'A',則△A'B'C'即為

所求,如圖4-8-5(3).圖4-8-5點撥本題作圖方法很多,注意根據題目的要求選擇畫法.解析作法一:(平行截取法)在AB上取一點D,使AD=?AB76知識點三

平面直角坐標系中的位似變換當以坐標原點為位似中心時,若原圖形上點的坐標為(x,y),位似圖

形與原圖形的相似比為k,則位似圖形上的對應點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky).注意(1)運用此性質可在平面直角坐標系中對圖形進行放大(或縮小),

并且放大(或縮小)前后的兩個圖形是以原點為位似中心的位似圖形.(2)當k>0時,兩個圖形在位似中心的同側;當k<0時,兩個圖形在位似中心

的兩側.例3在直角坐標系中,五邊形ABCDE的五個頂點的坐標分別為A(-2,3),

B(-4,2),C(-3,0),D(-1,1),E(-1,2),以坐標原點為位似中心,將五邊形ABCDE

放大,使放大后的多邊形的邊是原五邊形對應邊的2倍,比較放大后的圖形,你能得到什么結論?知識點三

平面直角坐標系中的位似變換形,你能得到什么結77解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點的橫坐標和縱坐標都乘

2,得A'(-4,6),B'(-8,4),C'(-6,0),D'(-2,2),E'(-2,4),依次連接A'B',B'C',C'D',D'E',

E'A',得五邊形A'B'C'D'E'.把五邊形ABCDE各頂點的橫坐標和縱坐標都

乘-2,得A″(4,-6),B″(8,-4),C″(6,0),D″(2,-2),E″(2,-4),依次連接A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,得五邊形A″B″C″D″E″.結論:五邊形A'B'C'D'E'和五邊形A″B″C″D″E″關于原點O中心對稱.圖4-8-6點撥把一個多邊形各頂點的橫、縱坐標都擴大相同的倍數,得到的圖

形與原圖形是位似圖形.這個規(guī)律是解題的關鍵.解析如圖4-8-6所示,把五邊形ABCDE各頂點的橫坐標和78題型一

位似圖形性質的應用例1如圖4-8-7,在水平桌面上有兩個“E”,當P1、P2、O這三點在一條

直線上時,在點O處用①號“E”測得的視力與用②號“E”測得的視力

相同.

圖4-8-7(1)圖4-8-7中b1,b2,l1,l2滿足怎樣的關系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①號“E”的測試距離l1=8m,要使測得的視力

相同,則②號“E”的測試距離l2應為多少?題型一

位似圖形性質的應用(1)圖4-8-7中b1,b79解析(1)

=

.理由如下:因為P1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以

=

,即

=

.(2)由(1)知

=

,將b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得

=

,所以l2=5m.故②號“E”的測試距離l2=5m.點撥對于實際問題,我們要善于靈活地構建數學模型,再運用所學的

數學知識進行解答.解析(1)?=?.理由如下:點撥對于實際問題,我們要善于80題型二

根據位似圖形的定義作圖例2如圖4-8-8,將圖中的△ABC分別做下列運動,畫出相應的圖形,指

出三個頂點的坐標所發(fā)生的變化.(1)向上平移4個單位;(2)關于y軸對稱;(3)以A點為位似中心,放大到原來的兩倍.

圖4-8-8題型二

根據位似圖形的定義作圖圖4-8-881解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),橫坐標不變,縱坐標都加4.(2)△A2B2C2(如圖4-8-9)為△ABC關于y軸對稱的圖形,縱坐標不變,橫坐

標為對應點橫坐標的相反數.(3)放大后得△AB2C3(如圖4-8-9),A的坐標不變,B2在B的基礎上縱坐標不

變,橫坐標加AB的長,C3在C的基礎上橫坐標加AB的長,縱坐標加BC的長.

圖4-8-9點撥作圖時要注意位似中心的位置,要區(qū)分對應點在位似中心的同側

和在位似中心的異側兩種情況.解析

(1)平移后得△A1B1C1(如圖4-8-9),82易錯點

未分類討論位似中心的位置而出錯例若已知點A(-2,4),點B(-4,2),以原點O為位似中心,相似比為1∶2,把

線段AB縮小,求點A、點B的對應點的坐標.解析∵點A(-2,4),點B(-4,2),以原點O為位似中心,相似比為1∶2,把線

段AB縮小,∴點A,B的坐標都乘

或-

即可,則點A的對應點的坐標為(-1,2)或(1,-2),點B的對應點的坐標為(-2,1)或(2,-1).易錯警示點A與其對應點在位置上有兩種情況,一種是位于點O同側,

另一種是位于點O異側,解題時易忽略其中一種情況而出錯.易錯點

未分類討論位似中心的位置而出錯解析∵點A(-83例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的景致.某公園有一座假山,小亮、小慧等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量這座假山的高度來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力.如圖4-8-10,在陽光下,小亮站在水平地面的D處,此時小亮的影子頂端與假山的影子頂端E重合,這時小亮的影長DE=2米,一段時間后,小亮從D點沿BD的方向走了3.6米到達G處,此時小亮的影子頂端與假山的影子頂端H重合,這時小亮的影長GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,點G、E、D均在直線BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,請你根據題中提供的相關信息,求出假山的高度AB.典例剖析

利用相似求山高

圖4-8-10例假山具有多方面的造景功能,與建筑、植物等組合成富于變化的84解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,∵∠CED=∠AEB,∠AHB=∠FHG,∴△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,∴

=

,

=

,即

=

,

=

,解得AB=15米.∴假山的高度AB為15米.素養(yǎng)呈現本題主要考查了相似三角形的性質,解答這道題的關鍵是將

實際問題轉化為數學問題,即把實際問題抽象到相似三角形.首先判定

△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,根據相似三角形的性質可得:

=

,

=

,再代數求解.解析由題意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,85素養(yǎng)解讀數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決問題的過程,數學運算是數學活動的基本形式,也是演繹推理的一種形

式,是得到數學結果的重要手段.復雜圖形可轉化為基本圖形.通過從復

雜圖形中分離出基本圖形,然后運用基本圖形的知識解決問題,也就是

把復雜程序性知識轉化為簡單程序性知識.在相似三角形的解題中,復

雜圖形可轉化為基本圖形,基本圖形是解題的基本線索,因此解決復雜

圖形的法寶是把復雜圖形轉化為基本圖形,這樣可把復雜的問題轉化為

基本問題.素養(yǎng)解讀數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解86知識點一

位似變換的定義及性質1.下列圖形不是位似圖形的是

()

答案

D

選項D中的兩個圖形的對應點連線所在的直線沒有經過同

一點,故選D.知識點一

位似變換的定義及性質答案

D

選872.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其位似中心是點

()

圖4-8-1A.A

B.B

C.C

D.D答案

B

∵位似圖形對應頂點的連線交于一點,即位似中心,∴位似中

心是點B.2.如圖4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似圖形,那么其883.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,已知DE=4,則

AB的長是

()

圖4-8-2A.2

B.4

C.8

D.1答案

A∵△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,DE=4,∴AB的

長為

×4=2.故選A.3.如圖4-8-2,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1894.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,已知四邊形E-

FGH的面積是3,則四邊形ABCD的面積是

()

圖4-8-3A.6

B.9

C.12

D.18答案

C∵E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,∴四邊形EFGH與四邊形ABCD是位似圖形,且相似比為1∶2,∴四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為1∶4,∵四邊形EFGH的面積是3,∴四邊形ABCD的面積是12.故選C.4.如圖4-8-3所示,E,F,G,H分別是OA,OB,OC905.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點A、B、A'、B'、O共線,點

O為位似中心.(1)AC與A'C'平行嗎?為什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的長.

圖4-8-45.如圖4-8-4,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,點A91解析(1)AC∥A'C'.理由如下:∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)由(1)知△ABC∽△A'B'C',∴

=

.∵AB=2A'B',∴

=

.又∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形,∴

=

=

.∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.解析(1)AC∥A'C'.理由如下:92知識點二

利用位似變換作圖6.如圖4-8-5,已知五邊形ABCDE,試把它縮小

,你能用幾種方法?盡可能地用不同方法畫圖.

圖4-8-5知識點二

利用位似變換作圖93解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點O,連接OA,OB,OC,OD,

OE;分別取OA,OB,OC,OD,OE的中點A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',

A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法二:在五邊形ABCDE的外部任取一點O,作直線OA,OB,OC,OD,OE;

在O的另一側取點A',B',C',D',E',使OA'=

OA,OB'=

OB,OC'=

OC,OD'=OD,OE'=?OE,

解析解法一:在五邊形ABCDE的外部任取一點O,連接OA,94順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法三:在五邊形的內部任取一點O,連接OA,OB,OC,OD,OE;分別取OA,

OB,OC,OD,OE的中點A',B',C',D',E',順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形

A'B'C'D'E',如圖.順次連接A',B',C',D',E',A',即得五邊形A'B95解法四:在AB邊上取一點O,連接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中點

A',B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',A',即得五邊形A'B'C'D'E',如圖.解法五:以A點為位似中心,連接AC,AD;分別取AB,AC,AD,AE的中點B',C',D',E',順次連接B',C',D',E',即得五邊形AB'C'D'E',如圖.解法四:在AB邊上取一點O,連接CO,DO,EO;取OA,O