【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 用向量來表示空間中的點(diǎn)、直線和平面

環(huán)節(jié)一用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系引入新課思考

前面幾節(jié)課，我們已經(jīng)將向量從平面推廣到了空間，利用空間向量解決空間中有關(guān)位置關(guān)系和度量的立體幾何問題.

通過體會(huì)空間向量解決立體幾何問題的過程，利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是什么？探究新知

利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是要建立空間向量與幾何要素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

我們知道點(diǎn)、直線和平面是空間中的基本圖形，是構(gòu)成空間幾何體的基本幾何要素.如果我們要用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面.探究新知問題1如何用向量表示空間當(dāng)中的一個(gè)點(diǎn)P?答案：空間當(dāng)中點(diǎn)的位置一定是相對(duì)于某一固定參照物來說的.如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量

來表示,我們把向量稱為點(diǎn)P的位置向量.探究新知問題2如何用向量表示空間中的直線l？

我們知道空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向就能唯一確定一條直線l．答案：a是直線l的方向向量，在直線l上取a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得ta，即,因此可以利用點(diǎn)A和直線l的方向向量表示直線上的任意一點(diǎn)．探究新知追問取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是什么？答案：取定空間中的任意一點(diǎn)O，將分解為以O(shè)為起點(diǎn)的向量，得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，使

探究新知直線的向量表示方法探究新知問題3我們知道，空間中的平面可以由內(nèi)兩條相交直線確定，如何用向量表示空間中的平面？如圖：設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面上任意一點(diǎn)

探究新知問題3我們知道，空間中的平面可以由內(nèi)兩條相交直線確定，如何用向量表示空間中的平面？答案：由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使得

xa+yb，這樣，點(diǎn)O與向量a和b不僅可以確定平面，還可以具體表示出平面內(nèi)的任意一點(diǎn).這種表示在解決幾何問題時(shí)往往起到非常重要的作用．探究新知

空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？追問1答案：平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C構(gòu)成兩個(gè)不共線的向量、，平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)x、y，使得

.取定空間內(nèi)任意一點(diǎn)O,得到：．探究新知答案：因此空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x、y使③.

以上是空間平面ABC的向量表示式.

空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？追問1探究新知如何說明空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．追問2答案：

表示平面內(nèi)的任意向量，

表示以為O起點(diǎn)，平面內(nèi)任意一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，所以空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.探究新知

一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向，能確定一個(gè)平面，一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？問題4

答案：給定空間中一點(diǎn)A和一條直線l，由立體幾何知識(shí)可知過點(diǎn)A且垂直于直線l的平面唯一確定.探究新知

如何用向量表示這個(gè)平面？追問1如圖,直線，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面的法向量.法向量探究新知因此給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定.表示為集合.探究新知如果另有一條直線m，在直線m上任取向量b，b與a有什么關(guān)系？追問2即平面可由一點(diǎn)和任意一個(gè)法向量唯一確定.答案：因此平面可也表示為集合由m⊥α，l⊥α，得到l//m，即a//b，探究新知平面的向量表示方法知識(shí)應(yīng)用例1如圖，在長方體中，，，，M是AB

的中點(diǎn)．以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）求平面的法向量；（2）求平面的法向量．知識(shí)應(yīng)用例1解：（1）因?yàn)閥軸垂直于平面，所以是平面的一個(gè)法向量．追問1：平面是否還有其他的法向量？答案：與共線的向量都是平面的法向量.知識(shí)應(yīng)用（2）因?yàn)?，，，M是AB的中點(diǎn)，所以M、C、A1的坐標(biāo)分別為(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．因此，．設(shè)是平面MCA1的法向量，則，，所以解得取z＝3，則x＝2，y＝3．于是是平面MCA1的一個(gè)法向量．知識(shí)應(yīng)用追問2：平面MCA1的法向量是唯一的嗎？答案：不唯一，對(duì)z賦予非零的數(shù)，得到不同的法向量.可以知道：直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)，它們互相平行，

平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們互相平行.總結(jié)提升

結(jié)合本題，請(qǐng)總結(jié)求