【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)二 三角函數(shù)的應(yīng)用（二）

三角函數(shù)的應(yīng)用環(huán)節(jié)二三角函數(shù)的應(yīng)用（二）整體感知問題1勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡諧運(yùn)動(dòng)和交變電流都是理想化的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，可以用三角函數(shù)模型準(zhǔn)確地描述它們的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，其中分別是通過什么方法構(gòu)建得到其中的函數(shù)模型？答案：勻速圓周運(yùn)動(dòng)是依據(jù)三角函數(shù)定義，直接推理得出變量之間的關(guān)系，得到函數(shù)模型；簡諧運(yùn)動(dòng)和交變電流是通過收集數(shù)據(jù)——畫散點(diǎn)圖——選擇函數(shù)模型——求解函數(shù)模型的方法建立函數(shù)模型．在現(xiàn)實(shí)生活中還有大量運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，僅在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)出近似于周期變化的特點(diǎn)，這些現(xiàn)象也可以借助三角函數(shù)近似的描述．1．問題研究1——?dú)鉁刈兓轮骄坷?

如圖，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.（1）求這一天6～14時(shí)的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．問題2如何根據(jù)溫度變化曲線得到這一天6～14時(shí)的最大溫差？答案：曲線在自變量為6～14時(shí)，圖形中的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是這一天6～14時(shí)的最大溫差,觀察圖形得出這段時(shí)間的最大溫差為20°C.新知探究2．求解模型問題3如何根據(jù)圖象求溫度隨時(shí)間的變化滿足的函數(shù)關(guān)系y=Asin(ωx+φ)+b中A，ω，φ，b的值？為什么？答案：若A>0時(shí)，可得ymax=A+b，ymin=－A+b，A=

(ymax－ymin)，b=

(ymax+ymin)；若A<0時(shí)，可得ymax=－A+b，ymin=A+b，A=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin).總之，|A|=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin)；ω可以利用周期公式

求得結(jié)果；φ可以利用代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求得．新知探究2．求解模型追問例1中A與ω的正負(fù)未知，那么所求的函數(shù)解析式是不是不唯一？（經(jīng)過分類討論，完成例1解答后回答這個(gè)問題）解：由圖可以看出，從6～14時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期的圖象，所以|A|=

(30－10)=10，b=

(30+10)=20．因?yàn)?/p>

，所以|ω|=

．當(dāng)A>0，ω>0時(shí)，將A=10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ+

，k∈Z．新知探究2．求解模型則所求解析式為y=10sin(

x+

)+20，x∈[6，14]．當(dāng)A<0，ω>0時(shí)，所以A=

(10－30)=－10，b=

(30+10)=20．因?yàn)?/p>

，所以ω=

．將A=－10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ－

，k∈Z．則所求解析式為y=－10sin(

x－

)+20，x∈[6，14]．新知探究2．求解模型而y=－10sin(

x－

)+20=－10sin(

x+

－π)+20=10sin(

x+

)+20．同理，其他兩種情況的解析式也相同．答案：無論A與ω取正還是取負(fù)，求得函數(shù)的解析式都是相同的，所以只需選擇其一進(jìn)行求解即可．新知探究3．問題研究2——港口水深例2海水受日月的引力，在一定時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下表是某港口某天的時(shí)刻與水深關(guān)系的預(yù)報(bào)．（1）選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似值（精確到0.001m）.新知探究3．問題研究2——港口水深（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在兩點(diǎn)開始卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必修停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究4．建模解模問題4我們知道數(shù)學(xué)建模的過程是：畫散點(diǎn)圖——選擇函數(shù)模型——求解函數(shù)模型，你能依據(jù)這個(gè)過程求出水深與時(shí)間符合的函數(shù)解析式嗎？請(qǐng)寫出解答過程并進(jìn)而完成例2（1）的解答.解：（1）以時(shí)間x（單位：h）為橫坐標(biāo)，水深y（單位：m）為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖（如圖）．根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h刻畫水深與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；由T=

=A=12.4，得ω=

．新知探究4．建模解模由上述關(guān)系式易得在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值（表）：所以，這個(gè)港口的水深y與時(shí)間x的關(guān)系可以用函數(shù)

近似描述．新知探究5．模型應(yīng)用問題5例2（2）中，貨船需要的安全深度是多少？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，就是在函數(shù)的解析式中，哪個(gè)變量需要滿足什么條件，該船就可以進(jìn)入港口？從圖象上看呢？答案：貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5m．從函數(shù)的解析式來看，滿足y≥5.5，該船可以進(jìn)入港口；從圖象上看，就是函數(shù)

的圖象在直線y=5.5上方時(shí)，該船可以進(jìn)入港口．新知探究5．模型應(yīng)用解：（2）貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5m，所以當(dāng)y≥5.5就可以進(jìn)港．令

，

．由計(jì)算器可得sin0.2014≈0.2．畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖．新知探究5．模型應(yīng)用解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．由函數(shù)的周期性易得：在區(qū)間[0，12]內(nèi)，函數(shù)

的圖象與直線y=5.5有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，因此

，或

．xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025．因此，貨船可以在零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)45分左右進(jìn)港；或在下午13時(shí)左右進(jìn)港，下午18時(shí)左右出港．每次可以在港口停留5小時(shí)左右．新知探究5．模型應(yīng)用問題6可以將上述求得的點(diǎn)A，B，C，D的橫坐標(biāo)作為進(jìn)出港時(shí)間嗎？為什么？答案：事實(shí)上為了安全，進(jìn)港時(shí)間要比算出的時(shí)間推后一些，出港時(shí)間要比算出的時(shí)間提前一些，這樣才能保證貨船始終在安全水域．例如，由模型解出的凌晨進(jìn)港時(shí)間約等于0.3975時(shí)，如果考慮到安全因素，在稍后的0.5時(shí)，即0時(shí)30分進(jìn)港是合適的.新知探究5．模型應(yīng)用問題7

例2（3）中，如果設(shè)在xh時(shí)貨船的安全水深為ym，那么y與時(shí)間x滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？從解析式來看，兩個(gè)函數(shù)滿足什么條件時(shí)，該船必須停止卸貨？從圖象上看呢？答案：設(shè)在xh時(shí)貨船的安全水深為ym，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．從函數(shù)的解析式來看，兩個(gè)函數(shù)需滿足

時(shí)，該船能夠進(jìn)入港口；從圖象上看，就是函數(shù)

的圖象在直線

上方時(shí)，該船能夠進(jìn)入港口．新知探究5．模型應(yīng)用解：（3）設(shè)在xh時(shí)貨船的安全水深為ym，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看到在6～8時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)．借助計(jì)算工具，用二分法可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)約為（7.016，3.995）．新知探究5．模型應(yīng)用問題8

如圖，P的坐標(biāo)約為（7.016，3.995），有人認(rèn)為，由于P點(diǎn)是兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，說明在7.016時(shí)，貨船的安全水深正好與港口水深相等，因此在這時(shí)停止卸貨將船駛向深水域就可以了，你認(rèn)為對(duì)嗎？答案：在貨船的安全水深正好與港口水深相等時(shí)停止卸貨將船駛向較深水域是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳．為了安全，船停止卸貨駛向安全水域的時(shí)間要比算出的時(shí)間提前一些．因此為了安全，貨船最好在6.6時(shí)停止卸貨，將船駛向較深的水域．新知探究5．模型應(yīng)用問題9

通過本題的研究，你發(fā)現(xiàn)通過數(shù)學(xué)建模，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題需要注意什么問題？答案：需要注意的是，從數(shù)學(xué)模型中得到的答案還要根據(jù)實(shí)際情況檢驗(yàn)它是否可行．歸納小結(jié)問題10回顧本單元的學(xué)習(xí)，完成下列問題：（1）利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，首先需要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模的步驟是什么？（2）利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟是怎樣的？請(qǐng)用結(jié)構(gòu)圖的形式呈