【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)二 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（二）

函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)環(huán)節(jié)二函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)（二）整體感知問題1回顧上一節(jié)的學(xué)習(xí)，研究了函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的哪些問題？是按照怎樣的思路展開研究的？答案：研究了參數(shù)φ與ω的變化對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響．研究思路：控制變量——特殊到一般——利用信息技術(shù)探究規(guī)律——借助參數(shù)的實(shí)際意義和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化解釋規(guī)律——獲得一般化結(jié)論．1．探索A（A＞0）對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響新知探究問題2類比參數(shù)φ，ω對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象影響的研究思路，你計(jì)劃如何研究參數(shù)A的變化對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響？以小組為單位，寫出研究思路，并寫出研究報(bào)告．探究思路：（1）為了研究方便，不妨設(shè)φ=

，ω=2（控制變量）．（2）A取一組特殊值，例如取A=1，A=2，利用信息技術(shù)做出它們的圖象，觀察它們圖象的關(guān)系．（3）結(jié)合筒車模型，借助A的實(shí)際意義和函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化解釋所得到的結(jié)論．（4）改變A的取值，重復(fù)上述研究過程，寫出獲得的結(jié)論．（5）歸納一般結(jié)論．1．探索A（A＞0）對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響新知探究研究報(bào)告：參數(shù)A（A>0）對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象影響的研究報(bào)告控制變量利用信息技術(shù)，作出當(dāng)A=1，A=2時(shí)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象

初步結(jié)論

用A的實(shí)際意義和函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化解釋結(jié)論φ=，ω=2函數(shù)y＝2sin(2x＋)圖象是函數(shù)y＝sin(2x＋)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的．A的實(shí)際意義是筒車的半徑．設(shè)射線O1Q1與以O(shè)1為圓心，2為半徑的圓交于點(diǎn)T1，如果單位圓上以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，以ω=2的轉(zhuǎn)速經(jīng)過xs到達(dá)圓周上點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為sin(2x＋)；相應(yīng)地，點(diǎn)T1在以O(shè)1為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T，點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為2sin(2x＋)．參數(shù)A（A>0）對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象影響的研究報(bào)告用A的實(shí)際意義和函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化解釋結(jié)論A取，3，時(shí)，重復(fù)研究過程，得到的結(jié)論一般性結(jié)論研究成員、時(shí)間新知探究研究報(bào)告：這樣，設(shè)K(x，y)是函數(shù)y=sin(2x+)圖象上的一點(diǎn)，那么N(x，2y)就是函數(shù)y＝2sin(2x＋)圖象上的相應(yīng)點(diǎn)．這也就說明，把函數(shù)y=sin(2x+)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)＝2sin(2x＋)的圖象．同理，當(dāng)A＝，3，時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)y＝Asin(2x＋)圖象可以分別看作函數(shù)y=sin(2x+)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)為縮短原來的倍、伸長(zhǎng)為原來的3倍、縮短為原來的倍（橫坐標(biāo)不變）得到的．一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的．從圖象上可以看出，y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A．新知探究2．探索A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響問題3根據(jù)以上的研究結(jié)果，函數(shù)y＝sinx的圖象可以經(jīng)過怎樣的圖象變換過程得到y(tǒng)＝2sin(2x＋

)的圖象？說明其變換過程，并借助信息技術(shù)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證．答案：方法1：先把y＝sinx的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin(x＋

)；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sin(2x＋

)；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到

y＝2sin(2x＋

)的圖象．然后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝2sin2x，新知探究2．探索A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到

y＝2sin(2x＋

)的圖象．方法2：先把y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sin2x；然后將曲線向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin(2x＋

)；方法3：先把y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sin2x；最后將曲線向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝2sin(2x＋

)的圖象．新知探究2．探索A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響追問你能用筒車模型解釋一下方法2中平移單位為什么是，而不是嗎？答案：此時(shí)ω=2，在單位圓上，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M以Q0為起點(diǎn)（此時(shí)φ=0），到達(dá)圓周上點(diǎn)P的時(shí)間為x1s，那么以Q1為起點(diǎn)（此時(shí)φ=），到達(dá)圓周上點(diǎn)P的時(shí)間為（x1－）s，所以y＝2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象．新知探究2．探索A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響問題4由特殊到一般，你能總結(jié)一下從函數(shù)y＝sinx的圖象出發(fā)，通過圖象變換得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)圖象的方法嗎？請(qǐng)你寫出來．結(jié)論：方法1：一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象，可以用下面的方法得到：先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象；再把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（或右）平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin(x＋φ)的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變)，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．新知探究2．探索A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響方法2：先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象；再把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)＝sinωx的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．然后把曲線上各點(diǎn)向左（或右）平移|

|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象；新知探究3．技能初建例1畫出函數(shù)y＝2sin(3x－

)的簡(jiǎn)圖．解：圖象變換法：如圖，先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象；再把正弦曲線上所有點(diǎn)向右平移

個(gè)長(zhǎng)度單位得到y(tǒng)＝sin(x－)的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)＝sin(3x－)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y＝2sin(3x－)的圖象．新知探究3．技能初建追問1類比正弦函數(shù)簡(jiǎn)圖的畫法，你能用“五點(diǎn)法”畫出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖嗎？解：五點(diǎn)作圖法：第一步，先畫出函數(shù)在一個(gè)周期（T＝

）內(nèi)的圖象．令X＝3x－

=0，

，π，

，2π．列表：X

0π2πxy020－20新知探究3．技能初建第二步，將函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象拓展在整個(gè)定義域內(nèi)．描點(diǎn)畫圖：新知探究3．技能初建追問2對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的簡(jiǎn)圖，有幾種作法？分別是什么？答案：兩種方法：圖象變換法；五點(diǎn)作圖法．新知探究3．技能初建例2摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）．新知探究3．技能初建追問：結(jié)合摩天輪的運(yùn)動(dòng)過程，可以選擇哪種函數(shù)模型來刻畫這個(gè)實(shí)際問題？為什么？答案：摩天輪上座艙運(yùn)動(dòng)可以近似地看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度H呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)模型來刻畫．新知探究3．技能初建解：如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）設(shè)t＝0min時(shí)，游客甲位于點(diǎn)P（0，－55），以O(shè)P為終邊的角為

；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，

可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為

rad／min，由題意可得（2）當(dāng)t＝5時(shí)，

．新知探究3．技能初建（3）甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A，B表示，則

．

經(jīng)過tmin后甲距離地面的高度為

，

點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A始終落后

rad，此時(shí)乙距離地面的高度為

，

則甲、乙距離地面的高度差

，

利用

，可得

．當(dāng)

（或

），即

（或

）時(shí)，h的最大值為

m．歸納小結(jié)問題5（1）關(guān)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象，本節(jié)課又研究了哪些內(nèi)容？請(qǐng)?jiān)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上完善本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．（2）回顧函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的研究過程，你能總結(jié)一下它的研究思路嗎？（3）本單元通過數(shù)學(xué)建模研究了一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)這一實(shí)際問題，你能據(jù)此總結(jié)一下數(shù)學(xué)建模的一般過程嗎？答案：

（1）本單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：歸納小結(jié)現(xiàn)實(shí)世界中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)單應(yīng)用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asi