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文檔簡介
2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.2.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.63.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.104.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.5.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.16.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線的一條漸近線為,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.10.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.011.已知向量,滿足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.12.已知點(diǎn),點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點(diǎn),到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為______________百米.14.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.15.正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè),各點(diǎn)到平面的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長為__________.16.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的離心率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率;②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保,針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng);其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表:紅包金額(單位:元)1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,點(diǎn)的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.20.(12分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.21.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點(diǎn)為1;(2)若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.22.(10分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【答案解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【題目詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.2.C【答案解析】
先求出,再由,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得.【題目詳解】由題可知,因?yàn)椋杂?,得,故選:C.【答案點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式,向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題目.3.C【答案解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,計(jì)算得到答案.【題目詳解】,驗(yàn)證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,圖像共有8個(gè)交點(diǎn),故所有解之和等于.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.4.A【答案解析】
根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【題目詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.5.A【答案解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【題目詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以,即當(dāng)時(shí),取最大值故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.6.D【答案解析】
根據(jù)集合的混合運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】,故可得.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.7.C【答案解析】
根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【題目詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.8.C【答案解析】
求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【題目詳解】解:拋物線的焦點(diǎn)為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.9.D【答案解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【題目詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.10.B【答案解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【題目詳解】.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.D【答案解析】
先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【題目詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。12.D【答案解析】
如圖所示:過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【題目詳解】如圖所示:過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】
建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長度,最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【題目詳解】以為原點(diǎn),所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則.設(shè)直線,即,則,所以,所以,,則,則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最短,此時(shí).故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.14.【答案解析】
試題分析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),最大,且考點(diǎn):線性規(guī)劃.15.【答案解析】
不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),根據(jù)題意F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長為a,求得,再用余弦定理求得:,從而求得,再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,得到,然后利用等體積法求解,【題目詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),如圖所示:由題意得:F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長為a,,頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以,由余弦定理得:,所以,所以,又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,所以,因?yàn)?,所以,解得,故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象,運(yùn)算求解的能力,屬于難題,16.【答案解析】
根據(jù)雙曲線方程,可得漸近線方程,結(jié)合題意可表示,再由雙曲線a,b,c關(guān)系表示,最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線為,所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過點(diǎn),即,則,由此可得.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【答案解析】
(1)求出函數(shù)的定義域,即可求出結(jié)論;(2)化簡集合,根據(jù)確定集合的端點(diǎn)位置,建立的不等量關(guān)系,即可求解.【題目詳解】(1)由,即得或,所以集合或.(2)集合,由得或,解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,集合間的關(guān)系求參數(shù),考查函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)不能;(2)①;②分布列見解析,.【答案解析】
(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可;計(jì)算K的觀測(cè)值K2,對(duì)照題目中的表格,得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.(2)由相互獨(dú)立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)即可;【題目詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K”的觀測(cè)值,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下,不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為,①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為;②的取值為10,20,30,40.,,,,所以的分布列為10203040.【答案點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題,考查了概率分布列和期望,計(jì)算能力的應(yīng)用問題,是中檔題目.19.(Ⅰ)(為參數(shù));(Ⅱ)【答案解析】
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,則,代入化簡得到答案.(Ⅱ)分別計(jì)算,的極坐標(biāo)方程為,,取代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,,故,故的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).(Ⅱ),故,極坐標(biāo)方程為:;,故,極坐標(biāo)方程為:.,故,,故.【答案點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,弦長,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20.(1);(2).【答案解析】
(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值,進(jìn)而可得出拋物線的方程;(2)設(shè)點(diǎn),,設(shè)的方程為,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合求得的值,可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出點(diǎn)到直線的最大距離.【題目詳解】(1)易知點(diǎn),又,所以點(diǎn),則直線的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點(diǎn),,則,所以.所以,解得.所以直線的方程為,恒過點(diǎn).又點(diǎn),故當(dāng)直線與軸垂直時(shí),點(diǎn)到直線的最大距離為.【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解,同時(shí)也考查了拋物線中最值問題的求解,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.21.(1)見解析(2)見解析【答案解析】
(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間有兩解,令通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【題目詳解】解:(1)證明:因?yàn)?,?dāng)時(shí),,,所以在區(qū)間遞減;當(dāng)時(shí),,所以,所以在區(qū)間遞增;且,所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為1(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間有兩解,令,則令,則,所以在單調(diào)遞增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,又因?yàn)椋?,方程關(guān)于的方程在
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