【教學課件】環(huán)節(jié)四 正弦定理

環(huán)節(jié)四正弦定理平面向量的應用復習引入問題1：上節(jié)課我們對“用三角形的兩邊及其夾角來表示第三邊”做了探究，我們是用什么方法探究的？得到了什么？

答案：用向量的方法探究的，得到了余弦定理（lawofcosines）,三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

，，.推論

，，.復習引入問題1：上節(jié)課我們對“用三角形的兩邊及其夾角來表示第三邊”做了探究，我們是用什么方法探究的？得到了什么？

追問1：通過上面的公式，我們可以看出余弦定理和推論可以解決哪幾類解三角形的問題？答案：（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

（2）已知三邊，求三個角.復習引入問題1：上節(jié)課我們對“用三角形的兩邊及其夾角來表示第三邊”做了探究，我們是用什么方法探究的？得到了什么？

追問2：初中時學了全等三角形ASA的判定定理，對照余弦定理公式，我們從什么樣的研究上升到了什么樣的研究？答案：對三角形的從定性研究上升到了定量的研究．學習新知

余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式.

問題2：如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？

追問1：初中我們得到三角形中等邊對等角的結(jié)論．實際上，三角形中還有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系．是否可以先把邊、角關(guān)系量化之后，再對問題進行定量探究？

答案：可以描述為：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.學習新知

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.

追問2：可以先從熟悉的直角三角形的邊、角關(guān)系分析入手，具體如何研究呢？ACBbca

答案：根據(jù)銳角三角函數(shù)，在RT△ABC中（如圖1-1），有

，

，顯然，這兩個關(guān)系式在一般三角形中不成立.圖（1-1）觀察發(fā)現(xiàn)，它們有一個共同元素c，利用它把兩個式子聯(lián)系起來，可得.又因為

，所以上式可以寫成邊與它的對角的正弦的比相等的形式，即.學習新知

追問3：對于銳角三角形和鈍角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？用什么方法研究？

答案：成立.涉及三角形的邊、角關(guān)系，可以采用向量的數(shù)量積來探究．因為希望獲得△ABC中的邊a，b，c與它們所對角A，B，C的正弦之間的關(guān)系式，而在向量運算中，兩個向量的數(shù)量積與長度、角度有關(guān)，所以可以用向量的數(shù)量積來探究．

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.學習新知

追問4：向量的數(shù)量積運算中出現(xiàn)了角的余弦，而需要的是角的正弦.如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化？

答案：由誘導公式

可知，可以通過構(gòu)造角之間的互余關(guān)系，把邊與角的余弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦關(guān)系.

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.學習新知

追問5：嘗試按照上面的思路來探究一下銳角三角形中的情形吧？垂直的單位向量

j，則

j與

的夾角為

，j與

的夾角為.因為，所以.由分配律，得

，即

，也即.所以.

ACBj圖（1-2）

答案：在銳角△ABC中(如圖1-2)，過點A做與

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.學習新知

追問5：嘗試按照上面的思路來探究一下銳角三角形中的情形吧？ACBj垂直的單位向量

j，則

j與

的夾角為

，j與

的夾角為.因為，所以.由分配律，得

，即

，也即.所以.

圖（1-2）

答案：在銳角△ABC中(如圖1-2)，過點A做與

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.m同理，過點C作出

垂直的單位向量m，可得.因此.學習新知

追問6：再來探究一下鈍角三角形中的情形吧．

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.ACBj圖（1-3）

答案：當△ABC是鈍角三角形時（如圖1-3），不妨設A為鈍角.過點A作與

垂直的單位向量

j，則

j與

的夾角為

，j與

的夾角為.仿照上述方法，同樣可得.

綜上得到定理：正弦定理（lawofsines）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.學習新知

追問7：正弦定理給出了任意三角形中哪些量之間的定量關(guān)系？

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.

答案：給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個等量關(guān)系.學習新知

追問8：結(jié)合正弦定理表達式，它可以解決哪些類型的解三角形問題呢？

問題2(轉(zhuǎn)化為)：在三角形△ABC中，設A的對邊為a，B的對邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.

答案：（1）已知三角形兩角和任一邊，求其余的兩邊和一角（已知A，B和a、b或c，求C和a、b、c）；

（2）已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求其余的邊和角（已知a，b和A或B，求A或B，求c和C）.知識應用

分析：題目是“已知三角形兩角和任一邊，求其余的兩邊和一角”問題，用正弦定理即可.

例1：在三角形△ABC中，已知，，，解這個三角形.

答案：由三角形內(nèi)角和定理，得由正弦定理，得知識應用

例1：在三角形△ABC中，已知，，，解這個三角形.

追問1：你覺得正弦定理還可以寫成哪些形式？

答案：

、等.知識應用

分析：題目是“已知三角形兩邊及其一邊的對角求解三角形”問題（已知b，c和B，求A，求c和C），用正弦定理即可.

例2：在三角形△ABC中，已知，，，解這個三角形.

答案：由正弦定理，得.所以.于是，或.因為，，知識應用

例2：在三角形△ABC中，已知，，，解這個三角形.

追問2：為什么角C有兩個值？

答案：在，對應的角有兩個，一個銳角，一個鈍角，即，

或.知識應用

例2：在三角形△ABC中，已知，，，解這個三角形.

追問2：兩個角都符合要求嗎？（1）當時，，此時

答案：根據(jù)“三角形大邊對大角”的結(jié)論，因為

，所以

，而

，或都符合要求.知識應用

例2：在三角形△ABC中，已知，，，解這個三角形.

追問2：兩個角都符合要求嗎？（2）當時，，此時

答案：

注：由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間

內(nèi)，余弦函數(shù)單調(diào)遞減，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞減，所以利用正弦定理求角，可能有兩解.課堂小結(jié)

問題5：回顧本節(jié)課所學的知識，思考：（1）對三角形探究了什么？

（2）用什么方法探究的？（3）探究得到了什么？

答案：

（1）探究了“如果已知三角形兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式？”，也就是任意三角形中兩條邊與所對的角的一個定量關(guān)系；

（2）用“向量的數(shù)量積和誘導公式”探究的三角形的邊、角關(guān)系；

（3）得到了正弦定理（lawofsines）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.課堂小結(jié)

問題5：回顧本節(jié)課所學的知識，思考：（1）對三角形探究了什么？

（2）用什么方法探究的？（3）探究得到了什么？

追問1：正弦定理解決解