投資的收益與風(fēng)險問題-數(shù)學(xué)建模

投資的收益與風(fēng)險問題--數(shù)學(xué)建模投資的收益與風(fēng)險問題--數(shù)學(xué)建模投資的收益與風(fēng)險問題--數(shù)學(xué)建模投資的收益與風(fēng)險問題--數(shù)學(xué)建模編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)軟件綜合訓(xùn)練》論文訓(xùn)練題目：投資的收益與風(fēng)險問題學(xué)生學(xué)號：07500134姓名：海蓮學(xué)院：計算機與通信學(xué)院專業(yè)：信息與計算科學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：黃燦云（理學(xué)院）日期:2010年春季學(xué)期

目錄一前言 3二投資與風(fēng)險問題 41.論文摘要 42.問題重述與分析 43.假設(shè)與模型 6模型a 6模型b 6模型c 6模型求解及分析 6四模型評價與推廣 12五總結(jié) 13六參考文獻 13七附錄 13一前言投資的收益與風(fēng)險作為高科技產(chǎn)業(yè)化的催化劑和孵化器，日益引起了人們的廣泛關(guān)注和重視。世界各國都在積極發(fā)展自己的風(fēng)險投資業(yè)，以促進經(jīng)濟的發(fā)展和國家的繁榮，關(guān)于風(fēng)險投資一般是指特定的人員或機構(gòu)向創(chuàng)業(yè)初期預(yù)期有較大發(fā)展?jié)摿Α５L(fēng)險也很大的為企業(yè)提供融資或參與管理的行為。這里的特定人員或機構(gòu)一般具有較高的技能和較為雄厚的資本，通常稱為風(fēng)險投資者或風(fēng)險投資公司；接受投資或管理的企業(yè)，通常是高科技企業(yè)，稱為風(fēng)險企業(yè)。由于風(fēng)險投資與企業(yè)創(chuàng)業(yè)緊密聯(lián)系在一起，所以又稱創(chuàng)業(yè)投資。在我國，風(fēng)險投資剛剛起步，但對國民經(jīng)濟發(fā)展和社會進步意義十分重大，因而越來越引起人們的重視。二投資與風(fēng)險問題1.論文摘要對市場上的多種風(fēng)險資產(chǎn)和一種無風(fēng)險資產(chǎn)（存銀行）進行組合投資策略的設(shè)計需要考慮兩個目標(biāo)：總體收益盡可能大和總體風(fēng)險盡可能小，而這兩個目標(biāo)在一定意義上是對立的。本文我們建立了投資收益與風(fēng)險的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并通過“最大化策略”，即控制風(fēng)險使收益最大，將原模型簡化為單目標(biāo)的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風(fēng)險最小為目標(biāo)，將原模型簡化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入收益——風(fēng)險偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)加權(quán)，化原模型為單目標(biāo)非線性模型模型三。然后分別使用Matlab的內(nèi)部函數(shù)linprog，fminmax，fmincon對不同的風(fēng)險水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個模型。關(guān)鍵詞：組合投資，兩目標(biāo)優(yōu)化模型，風(fēng)險偏好2.問題重述與分析市場上有種資產(chǎn)（如股票、債券、…）()供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資。公司財務(wù)分析人員對這種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買的平均收益率為，并預(yù)測出購買的風(fēng)險損失率為?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險可用所投資的中最大的一個風(fēng)險來度量。購買要付交易費，費率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費按購買計算（不買當(dāng)然無須付費）。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無交易費又無風(fēng)險。（）1、已知時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：資產(chǎn)收益率(%)風(fēng)險率(%)交易費(%)閥值(元)28110321219823522540試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險盡可能小。2、試就一般情況對以上問題進行討論，并利用以下數(shù)據(jù)進行計算。資產(chǎn)收益率(%)風(fēng)險率(%)交易費(%)閥值(元)421815440760428425492701439397681782204754024831195932035462673281523131本題需要我們設(shè)計一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風(fēng)險盡可能小。并給出對應(yīng)的盈虧數(shù)據(jù)，以及一般情況的討論。這是一個優(yōu)化問題，要決策的是每種資產(chǎn)的投資額，要達到目標(biāo)包括兩方面的要求:凈收益最大和總風(fēng)險最低，即本題是一個雙優(yōu)化的問題，一般情況下，這兩個目標(biāo)是矛盾的，因為凈收益越大則風(fēng)險也會隨著增加，反之也是一樣的，所以，我們很難或者不可能提出同時滿足這兩個目標(biāo)的決策方案，我們只能做到的是：在收益一定的情況下，使得風(fēng)險最小的決策，或者在風(fēng)險一定的情況下，使得凈收益最大，或者在收益和風(fēng)險按確定好的偏好比例的情況下設(shè)計出最好的決策方案，這樣的話，我們得到的不再是一個方案，而是一個方案的組合，簡稱組合方案。設(shè)購買Si（i=0,1…….n;S0表示存入銀行，）的金額為xi;所支付的交易費為ci(xi)，則：對Si投資的凈收益為:（i＝0，1，…，n）對Si投資的風(fēng)險為:（i＝0，1，…，n），q0=0對Si投資所需資金（即購買金額xi與所需的手續(xù)費ci(xi)之和）是（i＝0，1，…，n）投資方案用x=（x0，x1，…，xn）表示，那么，凈收益總額為：總風(fēng)險為：=所需資金為：所以，總收益最大，總風(fēng)險最小的雙目標(biāo)優(yōu)化模型表示為：但是像這樣的雙目標(biāo)模型用一般的方法很難求解出來的，所以經(jīng)過分析把次模型轉(zhuǎn)化為三種較簡單的單目標(biāo)模型。3.假設(shè)與模型假設(shè)該公司在這一時期內(nèi)是一次性投資；除交易費和投資費用外再無其他的費用開支；在這一時期市場發(fā)展基本上是穩(wěn)定的；外界因素對投資的資產(chǎn)無較大影響；無其他的人為干預(yù)；社會政策無較大變化；公司的經(jīng)濟發(fā)展對投資無較大影響資產(chǎn)投資是在市場中進行的，市場是復(fù)雜多變的，是無法用數(shù)量或函數(shù)進行準(zhǔn)確描述的，因此以上的假設(shè)是必要的，一般說來物價變化具有一定的周期性，社會政策也并非天天改變，公司自身的發(fā)展在穩(wěn)定的情況下才會用額外的資金進行較大的風(fēng)險的投資，市場與社會的系統(tǒng)發(fā)展在一個時期內(nèi)是良性的、穩(wěn)定的，以上假設(shè)也是合理的。模型a假設(shè)投資的風(fēng)險水平是k,即要求總風(fēng)險Q（x）限制在k內(nèi)，Q（x），則模型可轉(zhuǎn)化為：max模型b假設(shè)投資的收益水平是h，即凈收益總額不少于h：≥h，則模型可轉(zhuǎn)化為：模型c假設(shè)投資者對風(fēng)險和收益的相對偏好參數(shù)為ρ（≥0），則模型可轉(zhuǎn)化為：.模型求解及分析由于交易費ci(xi)是分段函數(shù)，使得上述模型中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件相對比較復(fù)雜，是一個非線性規(guī)劃問題，難于求解.但注意到總投資額M相當(dāng)大，一旦投資資產(chǎn)Si，其投資額xi一般都會超過ui，于是交易費ci(xi)可簡化為線性函數(shù)從而，資金約束簡化為凈收益總額簡化為在實際進行計算時，可設(shè)M=1，此時=（）（i＝0，1，…，n）可視作投資Si的比例.以下的模型求解都是在上述兩個簡化條件下進行討論的.1）模型a的求解模型a的約束條件Q(x)≤k即≤k，所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為（i＝0，1，…，n）.這時模型a可化簡為如下的線性規(guī)劃問題：具體到n=4的情形，按投資的收益和風(fēng)險問題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：（i＝0，1，…，4）利用求解模型a輸出結(jié)果是{,{x0->,x1->,x2->,x3->,x4->}}這說明投資方案為（，，，，）時，可以獲得總體風(fēng)險不超過的最大收益是.當(dāng)k取不同的值（0~），風(fēng)險與收益的關(guān)系見圖1.輸出結(jié)果列表如下：表1 模型1的計算結(jié)果風(fēng)險水平k最大收益0100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000圖1 模型1中風(fēng)險k與收益的關(guān)系結(jié)合圖1，對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點（，），這時對的投資比例見表1的黑體所示。從表1中的計算結(jié)果可以看出，對低風(fēng)險水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險率最低的S2，然后是S1和S4，總收益較低；對高風(fēng)險水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（ri–pi）較大的S1和S2．這些與人們的經(jīng)驗是一致的，這里給出了定量的結(jié)果．2）模型b的求解模型b本來是極小極大規(guī)劃：.≥hx≥0但是，可以引進變量xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：,i=0,1,2,…,n,≥h,,x≥0具體到n=4的情形，按投資的收益和風(fēng)險問題中題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：minx5（i＝0，1，…，5）利用求解模型b，當(dāng)h取不同的值（~），我們計算最小風(fēng)險和最優(yōu)決策,收益水平h取，結(jié)果如表2所示，風(fēng)險和收益的關(guān)系見圖2.從表2看出，對低收益水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險率最低的資產(chǎn)，然后是和，總收益當(dāng)然較低。對高收益水平，總風(fēng)險自然也高，應(yīng)首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經(jīng)驗是一致的。表2 模型2的計算結(jié)果風(fēng)險水平k最大收益0000000000000圖2 模型2中風(fēng)險與收益h的關(guān)系結(jié)合圖2，對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點（，），這時對的投資比例見表2的黑體所示。3）模型c的求解類似模型b的求解，我們同樣引進變量xn+1=，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：minρxn+1–（1–ρ）,i=0，1，2，…，nx≥0具體到n=4的情形，按投資的收益和風(fēng)險問題題中給定的數(shù)據(jù)，模型為：（i＝0，1，…，5）利用求解模型c，當(dāng)ρ取不同的值（~），我們計算最小風(fēng)險和最優(yōu)決策輸出結(jié)果列表如下：表3 模型3的計算結(jié)果風(fēng)險水平最大收益率000000000000000000000000000000000從圖5可以看出，模型3的風(fēng)險與收益關(guān)系與模型1和模型2的結(jié)果幾乎完全一致。圖3 模型3中風(fēng)險與收益的關(guān)系圖4模型3中風(fēng)險與偏好系數(shù)的關(guān)系圖5 模型3中收益與偏好系數(shù)的關(guān)系四模型評價與推廣本文我們建立了投資收益與風(fēng)險的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過控制風(fēng)險使收益最大，保證收益使風(fēng)險最小，以及引入收益——風(fēng)險偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)模型化為了單目標(biāo)模型，并使用求解，所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。但是，本文沒有討論收益和風(fēng)險的評估方法，在實際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時，用最大風(fēng)險代表組合投資的風(fēng)險未必合理，因此，對不同風(fēng)險度量下的最優(yōu)投資組合進行比較研究是進一步的改進方向。五總結(jié)歷經(jīng)兩周的時間終于完成了這次課設(shè)，在這次實踐課程中，我真的遇到了不少的問題，在同學(xué)，老師的幫助以及在圖書館和網(wǎng)站搜集資料，解決了所有遇到的問題。尤其在問題分析的過程中，是難度最大也是問題最多的環(huán)節(jié)，感覺總是把問題分析的不夠全面透徹，經(jīng)常顧及這個方面而忽視了另一方面，最后我請教了同學(xué)，終于完成了問題分析并且建立了模型。在完成這一環(huán)節(jié)后，接下來的任務(wù)都是我獨立完成，也遇到了不少的困難，但都是較易解決的。通過這次實踐，我確實學(xué)到了不少，學(xué)會了使用MATLAB，也知道了分析問題的方法。六參考文獻[1]MATLAB程序設(shè)計與實例應(yīng)用。張錚等。北京：中國鐵道出版社，

[2]運籌學(xué)—方法與應(yīng)用。吳風(fēng)平。南京：河海大學(xué)出版社，

[3]《數(shù)學(xué)模型及方法》。李火林主編。江西高校出版社，

[4]數(shù)學(xué)建模教育及競賽。甘筱青主編。南昌：江西高校出版社。[5] 蕭樹鐵，面向21世紀(jì)課程教材：大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實驗，北京：高等教育出版社，.[6]赫孝良，戴永紅等編著，數(shù)學(xué)建模競賽：賽題簡析與論文點評，西安：西安交通大學(xué)出版社，.[7]陳叔平，譚永基，一類投資組合問題的建模與分析，數(shù)學(xué)的實踐與認識，（29）7：45-49，1999.七附錄functionresult=qiujie()%data為表格數(shù)據(jù)data=[28110321219823522540];data1=[421815440760428425492701439397681782204754024831195932035462673281523131];data=[[5000];data]./100;%增加存銀行r=data(:,1);q=data(:,2);p=data(:,3);%%模型一求解%result=[];%fora=0::%result=[result;moxing1(r,q,p,a)];%end%result=round(result.*10000)./10000;%plot(result(:,1),result(:,2))%gridon%xlabel('風(fēng)險)%ylabel('收益')%%模型二求解%result=[];%fork=::%result=[result;moxing2(r,q,p,k)];%end%result=round(result.*10000)./10000;%plot(result(:,1),result(:,2))%gridon%xlabel('風(fēng)險')%ylabel('收益')%模型三求解result=[];fors=::result=[result;moxing3(r,q,p,s)];endresult=round(result.*10000)./10000;figure(1)plot(result(:,2),result(:,3))gridonxlabel('風(fēng)險')ylabel('收益')pausefigure(2)plot(result(:,1),result(:,2))gridonxlabel('偏好系數(shù)')ylabel('風(fēng)險')pausefigure(3)plot(result(:,1),result(:,3))gridonxlabel('偏好系數(shù)')ylabel('收益')functionresult1=moxing1(r,q,p,a)%線性規(guī)劃模型%r收益率，為列向量%p交易費率，為列向量%q風(fēng)險率，為列向量%a風(fēng)險水平f=(p-r)';%轉(zhuǎn)為求極小n=length(q);I=eye(n);fori=2:nA(i-1,:)=q(i)*I(i,:);endb=a*ones(n-1,1);Aeq=(1+p');beq=1;lb=zeros(n,1);ub=[];[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);result1=[a,-fval,x'];endfunctionresult2=moxing2(r,q,p,k)%極小極大模型