數值分析教學課件：ch02高斯消去法

1第五章

解線性方程組的數值解法(直接法)2線性方程組直接解法

自然科學和工程計算中,很多問題最終都需要求解一個線性代數方程組3線性方程組解的存在唯一性

如果線性方程組Ax=b的系數行列式不為零，即det(A)0，則該方程組有唯一解。

克萊姆（Cramer）法則

此公式計算量為(n+1)n!(n-1)，當n較大時，計算量相當驚人。

比如：n=20，則

這個工作量在每秒作1010運算的計算機上計算，需要大約162年4線性方程組的數值解法

直接法：指假設計算過程中不產生含入誤差，經過有限步四則運算可求得方程組準確解的方法。迭代法：從給定的方程組的一個近似值出發(fā)，構造某種算法逐步將其準確化，一般不能在有限步內得到準確解

請注意：由于在計算中某些數據實際上只能用有限位小數，即不可避免地存在著舍入誤差的影響，因而即使是準確解法，也只能求到近似解。

5直接法的基本思路

利用方程組的同解變形，逐步將原方程組轉化為簡單易于求解的特殊形式的線性方程組。

三角形方程組的解法6很容易得到上三角形方程組的解

上述求解過程稱為回代過程(backsubstitution)。

計算量為7

如何將方程組化為三角形方程組1.高斯消去法

2.非奇異矩陣三角分解回憶高斯消去法解：先用方程①消去方程②③中的8高斯消去法GaussianElimination即②-①，③-2①得再⑤+2④得同解三角方程組回代求解得：9高斯消去法GaussianElimination

上述過程相當于

可以看出,用高斯消去法解線性方程組可簡單分為消元和回代兩個過程。

10高斯消去法的主要思路：將系數矩陣A化為上三角矩陣，然后回代求解?？紤]n階線性方程組：矩陣形式=順序高斯消去法GaussianElimination11Gauss消去法第一步：消去第一列依次將增廣矩陣的第i行+mi1第1行，得設，計算其中第二步：消去第二列依次將上述矩陣的第i行+mi2第2行，得其中設，計算記，即。12Gauss消去法高斯消去法第k步：消去第k列依此類推，直到第n-1步，原方程化為設，計算回代求解：計算(i=k+1,…,n)(i=n-1,…,1

)13幾點注記

主元（pivotelement）：

順序Gauss消去法能進行到底的條件：主元全不為0定理：（i=1,2,...,n）的充要條件是A

的順序主子式不為零，即14計算量第k步：消第k列計算計算(i=k+1,…,n)回代求解：(i=k+1,…,n)n–k

次(n–k)2

次n–k

次n(n+1)/2

次

順序Gauss消去法的乘除運算量為：15順序高斯消去法的計算步驟1.順序消元2.回代求解16MATLABForGaussianEliminationfunctionX=gauss(A,b)%Input—Aisann×nnonsingullarmatrix%---bisann×1matrix%Output—XisthesolutiontothesystemAX=b[n，n]=size(A);

%確定A的維數

X=zeros(n,1);fork=1:n-1fori=k+1:n%消元過程m=A(i,k)/A(k,k);%A(k,k)≠0A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(i)=b(i)-m*b(k);

endend17MATLABForGaussianEliminationX(n)=b(n)/A(n,n);fori=n-1:-1:1X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)*X(i+1:n))/A(i,i);endA的第i行、第i+1到n列元素構成的行向量18順序高斯消去法的優(yōu)缺點

Gauss消元法簡單易行，且計算量小。

順序高斯消去法只適用于從1到n

1階順序主子式均不為零的矩陣A，即當主元素為零時，順序高斯消去法不能進行；出現小主元時，會嚴重影響計算結果的精度，甚至導出錯誤的結果。

19用順序消去法(高斯消去法)求解(用舍入的4位浮點數運算)，則消元過程矩陣表示為回代求解得比較準確解比較嚴重失真。20

列主元素Gauss消去法

例列主元素法的消元過程：①先選取列主元：②ifik

k

則

交換第k行和第ik行③消元

在第k步消元時，在第k列的剩余部分選取主元21列主元素列主元素回代后，得22消元換行停機回代求解輸出無解信息Gauss列主元消去法的算法設計23列主元Gauss消去法%a為系數矩陣，b為列向量（行列式右側）n為系數矩陣階數functionu=gaussline(a,b)aug=[ab]

%取得增廣矩陣fork=1:n

fori=k+1:n

r=k;

det=abs(aug(k,k));

forj=k+1:n

%選主元

ifdet<abs(aug(j,k))

det=abs(aug(j,k));

end

end

ifr~=k

%交換r,k

temp=r;

r=k;

24k=temp;endifabs(aug(k,k))<eps%消元失敗

disp('err!');

pause;

exit;

end

fori=k+1:n%第i行

m=aug(i,k)/aug(k,k);%行因子

forj=k:n+1

aug(i,j)=aug(i,j)-m*aug(k,j);

endend

endend25x(n)=aug(n,n+1)/aug(n,n);%最后一個解fori=n-1:-1:1%回代消元

s=0;

forj=i+1:n

s=s+aug(i,j)*x(j);

end

x(i)=(aug(i,n+1)-s)/aug(i,j-1);%求第i各解endu=x;26對前面的例題在Matlab命令窗口中輸入:>>A=[0.012，0.010，0.167;1，0.83