數(shù)值分析教學(xué)課件：8-4-8-5

8.4線性多步法數(shù)值分析第八章常微分方程數(shù)值解

8.5收斂性與穩(wěn)定性分析華長(zhǎng)生制作1在前面所討論的方法中,在計(jì)算時(shí)只用到前一步的信息(單步法)，為提高截?cái)嗾`差的階，每個(gè)時(shí)間步必須增加計(jì)算右端函數(shù)

的次數(shù)。當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算量較大?，F(xiàn)在指出另一個(gè)提高截?cái)嗾`差階的辦法，即構(gòu)造這樣的方法:在計(jì)算公式中,充分利用前幾步得到的信息及

，但每進(jìn)一步，只計(jì)算一次的值。這樣的方法稱為多步方法，若函數(shù)值以線性組合的形式出現(xiàn)于公式中，則稱方法為線性多步方法。

8.4線性多步法華長(zhǎng)生制作2初值問(wèn)題:-----------(1)稱為Euler二步法.華長(zhǎng)生制作31.(l步)線性多步法的一般格式為：---------(2)

當(dāng)

0時(shí)，為隱式公;

=0則為顯式公式。華長(zhǎng)生制作4------(3)華長(zhǎng)生制作52.線性多步方法的構(gòu)造構(gòu)造多步法有多種途徑，常用的有基于Taylor展開的構(gòu)造方法(待定系數(shù)法)和基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法。

根據(jù)公式具體的精度(p階),即,確定華長(zhǎng)生制作63.幾個(gè)重要的線性多步法Adams(阿當(dāng)姆斯)方法,Milne(米納)方法,Hamming(哈明)方法,Simpson(辛普生)方法.華長(zhǎng)生制作7華長(zhǎng)生制作8華長(zhǎng)生制作9多步方法的特點(diǎn)：(1)、因初始條件只有一個(gè)，多步方法的啟動(dòng)要借助高階的單步方法來(lái)開始.(2)、多步方法比較簡(jiǎn)單，只要在這幾個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值的線性組合,而且每步中所用函數(shù)值,有些下一步還可使用。華長(zhǎng)生制作10

8.5收斂性與穩(wěn)定性分析用上式的差分方程來(lái)逼近微分方程的初值問(wèn)題是否合理,就要看差分方程的解是否收斂到初值問(wèn)題的精確解.-----------(1)華長(zhǎng)生制作11定義8.5.1華長(zhǎng)生制作12華長(zhǎng)生制作13華長(zhǎng)生制作14我們考慮一種簡(jiǎn)單情況，即僅初值有誤差，而其他計(jì)算步驟無(wú)誤差。設(shè)是初值有誤差后的計(jì)算值，則則對(duì)于向前差商公式

可以看出，當(dāng)初始誤差充分小，以后各步的誤差也充分小華長(zhǎng)生制作15華長(zhǎng)生制作16華長(zhǎng)生制作17華長(zhǎng)生制作18定義華長(zhǎng)生制作191.Euler公式華長(zhǎng)生制作202.隱式Euler公式華長(zhǎng)生制作213.梯形方法華長(zhǎng)生制作224.經(jīng)典Runge-Kutta方法華長(zhǎng)生制作23于是,華長(zhǎng)生制作24注：對(duì)于具體初值問(wèn)題的絕對(duì)穩(wěn)定性分析時(shí)，華長(zhǎng)生制作25復(fù)習(xí)題8.2、8.3、8.4；例題8.2、8.3、8.4(不包括計(jì)算機(jī)算法)；習(xí)題