三角函數(shù)公式知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用

三角函數(shù)公式

?三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在?；拘畔⒅形拿Q三角函數(shù)外文名稱trigonometricfunction別稱三角函數(shù)公式應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)、物理、地理、天文等表達(dá)式sin，cos，tan等適用領(lǐng)域范圍幾何，代數(shù)變換提出者中國(guó)，印度等數(shù)學(xué)家目錄1\o"相關(guān)概念"相關(guān)概念2\o"三角規(guī)律"三角規(guī)律3\o"特殊值"特殊值4\o"重要定理"重要定理5\o"常用公式"常用公式6\o"?函數(shù)應(yīng)用"?函數(shù)應(yīng)用相關(guān)概念相關(guān)概念三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)英文讀音音正弦：sine（簡(jiǎn)寫sin）[sain]余弦：cosine（簡(jiǎn)寫cos）[k?usain]正切：tangent（簡(jiǎn)寫tan）['t?nd??nt]余切：cotangent（簡(jiǎn)寫cot）['k?u't?nd??nt]正割：secant（簡(jiǎn)寫sec）['si:k?nt]余割：cosecant（簡(jiǎn)寫csc）['kau'si:k?nt]正矢：versine（簡(jiǎn)寫versin）['v?:sain]余矢：versedcosine（簡(jiǎn)寫vercos）['v?:s?:d][k?usain]直角三角函數(shù)直角三角函數(shù)（∠α是銳角）三角關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：cotα*tanα=1商的關(guān)系：sinα/cosα=tanα平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1三角規(guī)律三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。三角函數(shù)本質(zhì)：根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式根據(jù)下圖，有sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y

?深刻理解了這一點(diǎn)，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來，比如以推導(dǎo)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB為例：推導(dǎo)：首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn)。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ），A'(cos（α-β），sin（α-β））OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα-cosβ）^2+(sinα-sinβ）^2和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b)/2與（a-b)/2）單位圓定義單位圓六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點(diǎn)的單位圓來定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒有大的價(jià)值；實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是：x^2+y^2=1圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時(shí)針方向的度量是正角，而順時(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過原點(diǎn)的線，同x軸正半部分得到一個(gè)角θ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的x和y坐標(biāo)分別等于cosθ和sinθ。圖象中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等于1的一種查看無限個(gè)三角形的方式。特殊值15°18°30°45°60°75°90°180°sin（√6-√2）/4(√5-1)/41/2√2/2√3/2（√6+√2）/410cos（√6+√2）/4√3/2√2/21/2（√6-√2）/40-1tan2-√3√3/31√32+√30cot2+√3√31√3/3√3/32-√3注：cos75°=（√6-√2）/4（這四個(gè)可根據(jù)sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）sin18°=(√5-1)/4(這個(gè)值在高中競(jìng)賽和自招中會(huì)比較有用，即黃金分割的一半)重要定理正弦定理正弦定理：在△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中，R為△ABC的外接圓的半徑。余弦定理余弦定理：在△ABC中，b^2=a^2+c^2-2ac·cosθ。其中，θ為邊a與邊c的夾角。常用公式誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）公式一：sin(α+k*2π)=sinα（k為整數(shù)）cos(α+k*2π)=cosα（k為整數(shù)）tan(α+k*2π)=tanα（k為整數(shù)）公式二：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α）=tanα公式三：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα公式五：sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得公式六：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限。[2]或者也可以這樣記：分變整不變，符號(hào)看象限。和（差）角公式三角和公式sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）積化和差的四個(gè)公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化積的四個(gè)公式：sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)倍角公式sin（3a)→3sina-4sin^3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina=3sina-4sin^3acos3a→（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a→4sinasin（60°+a)sin（60°-a)=3sina-4sin^3a=4sina（3/4-sin^2a)=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)cos3a→4cosacos（60°-a)cos（60°+a)=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos^2a-3/4）=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)tan3a→tanatan（60°-a)tan（60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)三倍角sin3α=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a)其他多倍角四倍角sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）五倍角sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）六倍角sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）七倍角sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）八倍角sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）十倍角sin10A=2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））cos10A=((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）N倍角根據(jù)棣莫弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos(nθ）+isin(nθ）為方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考慮n為正整數(shù)的情形：cos(nθ）+isin(nθ）=(c+is)^n=C(n,0)*c^n+C(n,2）*c^(n-2）*(is)^2+C(n,4）*c^(n-4）*(is)^4+...…+C(n,1）*c^(n-1）*(is)^1+C(n,3）*c^(n-3）*(is)^3+C(n,5）*c^(n-5）*(is)^5+...…=>；比較兩邊的實(shí)部與虛部實(shí)部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n+C(n,2）*c^(n-2）*(is)^2+C(n,4）*c^(n-4）*(is)^4+...…i*虛部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(is)^1+C(n,3）*c^(n-3）*(is)^3+C(n,5）*c^(n-5）*(is)^5+...…對(duì)所有的自然數(shù)n：⒈cos(nθ）：公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方關(guān)系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。⒉sin(nθ）：⑴當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方關(guān)系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。⑵當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方關(guān)系），因此即使再怎么換成s，都至少會(huì)剩c（也就是cosθ）的一次方無法消掉。例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）證明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[（θ+a)/2]sin[(a-θ）/2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我們通常把坡面的垂直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h/l,坡度的一般形式寫成l:m形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.半角公式萬(wàn)能公式6輔助角公式注：該公式又稱收縮公式/強(qiáng)提公式/化一公式等asinα+bcosα=√(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中tanφ=b/aasinA+bcosB=根號(hào)下a方+b方×（根號(hào)下a方+b方分之a(chǎn)×sinA+根號(hào)下a方+b方分之b×cosB)令根號(hào)下a方+b方分之a(chǎn)=cosC則根號(hào)下a方+b方分之b=sinCasinA+bcosB=根號(hào)下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根號(hào)下a方+b方×sin(A+C)雙曲函數(shù)ha=[e^a-e^(-a)]/2cha=[e^a+e^(-a)]/2tha=sinh(a)/cosh(a)公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=co