高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系與曲線方程課件北師大版

1.1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1.1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1.通過回顧平面直角坐標(biāo)系,學(xué)會借助坐標(biāo)系研究曲線和方程間的關(guān)系.2.了解曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系,了解兩條曲線交點(diǎn)的求法.3.能利用已知條件求出曲線方程.1.通過回顧平面直角坐標(biāo)系,學(xué)會借助坐標(biāo)系研究曲線和方程間的1.平面直角坐標(biāo)系(1)在平面內(nèi),兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成了平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.在平面直角坐標(biāo)系中,有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系,如圖所示,對于任意一點(diǎn)P,都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)與之相對應(yīng),這時(x,y)稱作點(diǎn)P的坐標(biāo),并記為P(x,y),其中,x稱為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),y稱為點(diǎn)P的縱坐標(biāo);反之,對于任意的一個有序?qū)崝?shù)對(x,y),都有唯一的點(diǎn)與之對應(yīng).(2)曲線可看作是滿足某些條件的點(diǎn)的集合或軌跡,由此我們可借助坐標(biāo)系,研究曲線與方程間的關(guān)系.1.平面直角坐標(biāo)系名師點(diǎn)撥1.兩點(diǎn)間的距離公式:在平面直角坐標(biāo)系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)之間的距離公式為2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:在平面直角坐標(biāo)系中,若兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中點(diǎn)為M(x,y),則【做一做1-1】

點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于點(diǎn)A(-1,1)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(

).A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)答案:B名師點(diǎn)撥1.兩點(diǎn)間的距離公式:在平面直角坐標(biāo)系中,P1(x1【做一做1-2】

已知點(diǎn)P(-1+2m,-3-m)在第三象限,則m的取值范圍是

.

【做一做1-2】已知點(diǎn)P(-1+2m,-3-m)在第三象限2.曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系:(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲線C的方程,曲線C叫作方程f(x,y)=0的曲線.名師點(diǎn)撥求曲線的方程一般有以下五個步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合p={M|P(M)};(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),寫出方程f(x,y)=0;(4)化簡方程f(x,y)=0(必須等價);(5)證明以(4)中方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.一般地,方程的變形過程若是等價的,則步驟(5)可以省略.2.曲線與方程【做一做2】

已知B,C是兩個定點(diǎn),|BC|=6,且△ABC的周長為16,頂點(diǎn)A的軌跡方程可能是(

).解析:因?yàn)椤鰽BC的周長為16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直線為x軸,過BC的中點(diǎn)作BC的垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則B(-3,0),C(3,0).答案:B【做一做2】已知B,C是兩個定點(diǎn),|BC|=6,且△ABC題型一題型二題型三題型一

利用坐標(biāo)系解決代數(shù)問題【例1】

已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+1=0.求:題型一題型二題型三題型一利用坐標(biāo)系解決代數(shù)問題題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三(2)設(shè)y-x=b,即y=x+b,b為直線y=x+b在y軸上的截距,如圖所示.若直線y=x+b與圓有公共點(diǎn),則當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切,且切點(diǎn)在第四象限時,b最小.反思選擇合適的平面直角坐標(biāo)系,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,用坐標(biāo)法加以解決.題型一題型二題型三(2)設(shè)y-x=b,即y=x+b,b為直線題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型二

利用坐標(biāo)系解決幾何問題【例2】

已知等邊三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點(diǎn)P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此題是平面幾何中的最值問題,用平面幾何法不易解決,考慮用坐標(biāo)法解決.解:以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,題型一題型二題型三題型二利用坐標(biāo)系解決幾何問題題型一題型二題型三反思1.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,可使計(jì)算過程簡單,便于化簡運(yùn)算.2.配方法是求最值的重要方法,應(yīng)靈活運(yùn)用.題型一題型二題型三反思1.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,可使計(jì)算題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】如圖所示,在△ABC中,AO是BC邊上的中線.求證:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).證明:取線段BC所在的直線為x軸,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,c),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】如圖所示,在△ABC中,AO題型一題型二題型三題型三

利用坐標(biāo)系解決實(shí)際問題【例3】

我海軍某部發(fā)現(xiàn)一艘敵艦從離島嶼O正東方向80nmile的B處,沿東西方向向島嶼O駛來.指揮部立即命令在島嶼O正北方向40nmile的A處的我軍艦沿直線前往攔截,以東西方向?yàn)閤軸,南北方向?yàn)閥軸,島嶼O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出A,B兩點(diǎn).若敵我兩艦行駛的速度相同,在上述坐標(biāo)系中標(biāo)出我軍艦最快攔住敵艦的位置,并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).分析:先畫出坐標(biāo)系,標(biāo)出A,B的位置,再根據(jù)相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)求出攔住敵艦的位置并求出坐標(biāo).題型一題型二題型三題型三利用坐標(biāo)系解決實(shí)際問題題型一題型二題型三解:A,B兩點(diǎn)如圖所示,A(0,40),B(80,0),所以|OA|=40

n

mile,|OB|=80

n

mile.設(shè)我軍艦直行到點(diǎn)C與敵艦相遇,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0),所以|OC|=x

n

mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x)

n

mile.因?yàn)閿澄覂膳炈俣认嗤?所以|AC|=|BC|=(80-x)

n

mile.在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(30,0).反思利用坐標(biāo)系解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是分析清楚題意,根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系或利用已有的平面直角坐標(biāo)系建立相關(guān)點(diǎn)的關(guān)系式,從而解決實(shí)際問題.題型一題型二題型三解:A,B兩點(diǎn)如圖所示,A(0,40),B題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練3】

臺風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A地正東40km處.求城市B處于危險區(qū)內(nèi)的時間.解:以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,垂直于直線AB的直線為y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(40,0),以點(diǎn)B為圓心,30為半徑的圓的方程為(x-40)2+y2=900,臺風(fēng)中心移動到圓B內(nèi)時,城市B處于危險區(qū),臺風(fēng)中心的移動軌跡為直線y=x,與圓B相交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)B到直線y=x的距離題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練3】臺風(fēng)中心從A地以20km123451已知?ABCD的三個頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-1,2),(3,0),(5,1),則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(

).A.(9,-1) B.(-3,1) C.(1,3) D.(2,2)答案:C123451已知?ABCD的三個頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(123452若△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,4),B(3,-4),C(1,7),則△ABC的形狀是

.

答案:直角三角形

123452若△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,4),1234512345123454已知△ABC的三邊長a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,AB上的中線,則BE與CF的位置關(guān)系是

.

答案:垂直

123454已知△ABC的三邊長a,b,c滿足b2+c2=5123455說明下列方程所表示的曲線:123455說明下列方程所表示的曲線:12345123451.1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1.1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1.通過回顧平面直角坐標(biāo)系,學(xué)會借助坐標(biāo)系研究曲線和方程間的關(guān)系.2.了解曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系,了解兩條曲線交點(diǎn)的求法.3.能利用已知條件求出曲線方程.1.通過回顧平面直角坐標(biāo)系,學(xué)會借助坐標(biāo)系研究曲線和方程間的1.平面直角坐標(biāo)系(1)在平面內(nèi),兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成了平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.在平面直角坐標(biāo)系中,有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系,如圖所示,對于任意一點(diǎn)P,都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)與之相對應(yīng),這時(x,y)稱作點(diǎn)P的坐標(biāo),并記為P(x,y),其中,x稱為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),y稱為點(diǎn)P的縱坐標(biāo);反之,對于任意的一個有序?qū)崝?shù)對(x,y),都有唯一的點(diǎn)與之對應(yīng).(2)曲線可看作是滿足某些條件的點(diǎn)的集合或軌跡,由此我們可借助坐標(biāo)系,研究曲線與方程間的關(guān)系.1.平面直角坐標(biāo)系名師點(diǎn)撥1.兩點(diǎn)間的距離公式:在平面直角坐標(biāo)系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)之間的距離公式為2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:在平面直角坐標(biāo)系中,若兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中點(diǎn)為M(x,y),則【做一做1-1】

點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于點(diǎn)A(-1,1)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(

).A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)答案:B名師點(diǎn)撥1.兩點(diǎn)間的距離公式:在平面直角坐標(biāo)系中,P1(x1【做一做1-2】

已知點(diǎn)P(-1+2m,-3-m)在第三象限,則m的取值范圍是

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【做一做1-2】已知點(diǎn)P(-1+2m,-3-m)在第三象限2.曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系:(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲線C的方程,曲線C叫作方程f(x,y)=0的曲線.名師點(diǎn)撥求曲線的方程一般有以下五個步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合p={M|P(M)};(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),寫出方程f(x,y)=0;(4)化簡方程f(x,y)=0(必須等價);(5)證明以(4)中方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.一般地,方程的變形過程若是等價的,則步驟(5)可以省略.2.曲線與方程【做一做2】

已知B,C是兩個定點(diǎn),|BC|=6,且△ABC的周長為16,頂點(diǎn)A的軌跡方程可能是(

).解析:因?yàn)椤鰽BC的周長為16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直線為x軸,過BC的中點(diǎn)作BC的垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則B(-3,0),C(3,0).答案:B【做一做2】已知B,C是兩個定點(diǎn),|BC|=6,且△ABC題型一題型二題型三題型一

利用坐標(biāo)系解決代數(shù)問題【例1】

已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+1=0.求:題型一題型二題型三題型一利用坐標(biāo)系解決代數(shù)問題題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三(2)設(shè)y-x=b,即y=x+b,b為直線y=x+b在y軸上的截距,如圖所示.若直線y=x+b與圓有公共點(diǎn),則當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切,且切點(diǎn)在第四象限時,b最小.反思選擇合適的平面直角坐標(biāo)系,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,用坐標(biāo)法加以解決.題型一題型二題型三(2)設(shè)y-x=b,即y=x+b,b為直線題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型二

利用坐標(biāo)系解決幾何問題【例2】

已知等邊三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點(diǎn)P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此題是平面幾何中的最值問題,用平面幾何法不易解決,考慮用坐標(biāo)法解決.解:以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,題型一題型二題型三題型二利用坐標(biāo)系解決幾何問題題型一題型二題型三反思1.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,可使計(jì)算過程簡單,便于化簡運(yùn)算.2.配方法是求最值的重要方法,應(yīng)靈活運(yùn)用.題型一題型二題型三反思1.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,可使計(jì)算題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】如圖所示,在△ABC中,AO是BC邊上的中線.求證:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).證明:取線段BC所在的直線為x軸,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,c),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】如圖所示,在△ABC中,AO題型一題型二題型三題型三

利用坐標(biāo)系解決實(shí)際問題【例3】

我海軍某部發(fā)現(xiàn)一艘敵艦從離島嶼O正東方向80nmile的B處,沿東西方向向島嶼O駛來.指揮部立即命令在島嶼O正北方向40nmile的A處的我軍艦沿直線前往攔截,以東西方向?yàn)閤軸,南北方向?yàn)閥軸,島嶼O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出A,B兩點(diǎn).若敵我兩艦行駛的速度相同,在上述坐標(biāo)系中標(biāo)出我軍艦最快攔住敵艦的位置,并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).分析:先畫出坐標(biāo)系,標(biāo)出A,B的位置,再根據(jù)相應(yīng)的圖形結(jié)構(gòu)求出攔住敵艦的位置并求出坐標(biāo).題型一題型二題型三題型三利用坐標(biāo)系解決實(shí)際問題題型一題型二題型三解:A,B兩點(diǎn)如圖所示,A(0,40),B(80,0),所以|OA|=40

n

mile,|OB|=80

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mile.設(shè)我軍艦直行到點(diǎn)C與敵艦相遇,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0),所以|OC|=x

n

mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x)

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mile.因?yàn)閿澄覂膳炈俣认嗤?所以|AC|=|BC|=(80-x)

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mile.在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(30,0).反思利用坐標(biāo)系解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是分析清楚題意,根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系或利用已有的平面直角坐標(biāo)系建立相關(guān)點(diǎn)的關(guān)系式,從而解決實(shí)際問題.題型一題型二題型三解:A,B兩點(diǎn)如圖所示,A(0,40),B題型一