20192020學(xué)年人教高中數(shù)學(xué)必修四教材用書第一章三角函數(shù)15函數(shù)y=Asinωxφ圖象第一課

20212021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教材用書第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinωxφ圖象第一課20212021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教材用書第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinωxφ圖象第一課20212021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)必修四教材用書第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinωxφ圖象第一課1．5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象第一課時函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(一)[提出問題]π問題1：由y＝sinx的圖象能獲得y＝sinx＋4的圖象嗎？提示：能，向左平移π4個單位長度即可．問題2：函數(shù)y＝sinx，y＝sin2x和y＝sin12x的最小正周期分別是什么？提示：它們的最小正周期分別為2π，π，4π.問題3：y＝sin2x和y＝sin12的圖象能否可以由y＝sinx的圖象獲得？提示：可以．只需“壓縮〞或“拉伸〞y＝sinx的圖象即可．問題4：關(guān)于同一個x，函數(shù)y＝2sinx，y＝sinx，y＝12sinx的函數(shù)值有什么關(guān)系？提示：y＝2sinx的函數(shù)值是y＝sinx的函數(shù)值的2倍，而y＝12sinx的函數(shù)值是y＝sinx的函數(shù)值的12倍．[導(dǎo)入新知]1．φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R(此中φ≠0)的圖象，可以看作是把正弦曲線上全部的點向左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平行挪動|φ|個單位長度而獲得．2．ω(ω>0)對函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(此中ω>0且ω≠1)的圖象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的圖象上全部點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時)或伸長(當(dāng)0<ω<1時)到本來的1倍(縱坐標(biāo)不變)而獲得的．ω3．A(A>0)對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的圖象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的圖象上全部點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到本來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而獲得的，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的值域為[－A，A]．最大值為A，最小值為－A.[化解疑難]由y＝sinx變換獲得y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法(1)先平移后伸縮：(2)先伸縮后平移：“五點法〞作圖[例1]作出函數(shù)y＝32sin13x－π在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象．3[解]列表：1X＝x－3π30π2π3π22πxπ5π24π11π27π3y＝sin213x－π30320－320描點繪圖(以以下列圖)．[類題通法]1．“五點法〞作圖的實質(zhì)利用“五點法〞作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實質(zhì)是利用函數(shù)的三個零點、兩個最值點畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．2．用“五點法〞作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟第一步：列表.ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ－2ωφωπω－φω3π2ωφω－2πωφω－y0A0－A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點．第三步：用圓滑曲線連結(jié)這些點，獲得圖象．[活學(xué)活用]畫出函數(shù)y＝3sin2x＋π3，x∈R的簡圖．2π解：由T＝2，得T＝π.π(1)列表：2x＋3取值為0，3ππ，π，22，2π獲得對應(yīng)的x與y的值以下表：x－π6π12π37π125π6π2x＋30π2π3π22π3sin2x＋π3030－30(2)描點．(3)用圓滑的曲線挨次連結(jié)各點所得圖象以以下列圖．函數(shù)圖象的平移變換[例2]為了獲得函數(shù)y＝sin2x－π6的圖象，可以將函數(shù)y＝cos2x的圖象( )A．向右平移π個單位長度6B．向左平移π個單位長度6C．向右平移π個單位長度3D．向左平移π個單位長度3[答案]C[類題通法]三角函數(shù)的平移變換問題的分類及策略(1)兩個函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時，第一將解析式化簡為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即確立A，ω，φ的值，此后確立平移的方向和單位．(2)確立函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過變換后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，重點是明確左右平移的方向的橫縱坐標(biāo)伸縮的量，確立出A，ω，φ的值．[活學(xué)活用]1．(全國乙卷)將函數(shù)y＝2sin2x＋π6的圖象向右平移14個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )πA．y＝2sin2x＋4πB．y＝2sin2x＋3πC．y＝2sin2x－4πD．y＝2sin2x－3答案：D2．設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx(ω＞0)，將y＝f(x)的圖象向右平移π3個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，那么ω的最小值等于( )A.13B．3C．6D．9答案：C函數(shù)圖象的伸縮變換[例3](1)將函數(shù)y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為本來的2倍，縱坐標(biāo)不變，那么所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為( )A．y＝2sinxB．y＝12sinxC．y＝sin2xD．y＝sin12x(2)如何由y＝sinx的圖象獲得函數(shù)y＝3sin2x－π3的圖象？[解](1)D[類題通法]三角函數(shù)圖象伸縮變換的兩種思路(1)y＝A1sinω1xy＝A2sinω1xy＝A2sinω2x.(2)y＝A1sinω1xy＝A1sinω2xy＝A2sinω2x.[活學(xué)活用]把函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的圖象向左平移π6個單位長度，再將圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍(縱坐標(biāo)不變)所得圖象的函數(shù)解析式為y＝sinx，那么( )π

A．ω＝2，φ＝

6B．ω＝2，φ＝－π3C．ω＝1π，φ＝26D．ω＝1π，φ＝212答案：B6.平移變換中的誤區(qū)π[典例]把函數(shù)y＝sin3x－4的圖象向左平移π3個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，那么所得函數(shù)的解析式為( )A．y＝sin3x＋π12B．y＝sin6x＋3π4C．y＝sin32x＋π12D．y＝sin32x＋3π4π[解析]把函數(shù)y＝sin3x－4的圖象向左平移π3π個單位長度，可得y＝sin3x＋3π－4的圖象，即函數(shù)解析式為y＝sin3x＋3π4，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為本來的2倍，可得y＝sin32x＋3π4的圖象．[答案]D[易錯防備]1．在解答過程中，假定不可以正確理解平移的實質(zhì)，那么會出現(xiàn)y＝sin3x＋π－3π4，獲得y＝sin32x＋π12.進(jìn)而誤選C.2．在解答過程中，假定對伸縮變換理解不到位，對橫坐標(biāo)擴(kuò)大或減小為本來的倍數(shù)掌握禁止，那么易出現(xiàn)3π對x的系數(shù)減小或擴(kuò)大的倍數(shù)造成失誤，會出現(xiàn)y＝sin6x＋4等近似的錯誤答案．3．圖象的左右平移是針對x而言的．圖象的伸縮變換即周期變換，在變換中縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成本來的1倍．ω[成功破障]π函數(shù)y＝sin5x－2的圖象向右平移π4個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為本來的12倍，所得圖象的函數(shù)解析式為( )3πA．y＝sin10x－4B．y＝sin10x－7π23πC．y＝sin10x－2D．y＝sin10x－7π4答案：D[隨堂即時操練]1．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移π2個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的是( )A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)答案：Aπ2．函數(shù)y＝sin2x－3在區(qū)間－π，π上的簡圖是( )2答案：A3．將函數(shù)y＝cosx的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個單位長度后，獲得函數(shù)y＝cosx－π6的圖象，那么φ＝________.答案：11π64．把函數(shù)y＝cosx的圖象上的每一點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變成本來的12倍，此后將圖象沿x軸負(fù)方向平移π4個單位長度，就會獲得函數(shù)________的圖象．答案：y＝－sin2x5．函數(shù)f(x)的圖象上每一點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到本來的2倍，此后把所得的圖象沿x軸向左平移1π個單位長度，這樣獲得的圖象與y＝sinx的圖象同樣，求f(x)的解析式．221π答案：f(x)＝sin2x－22[課時達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題1．為了獲得y＝cos4x，x∈R的圖象，只需把余弦曲線上全部點的( )A．橫坐標(biāo)伸長到本來的4倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到本來的14倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長到本來的4倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到本來的14倍，橫坐標(biāo)不變答案：B2．為了獲得函數(shù)y＝sin2x－π3π的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x＋6的圖象( )A．向左平移π個單位長度4B．向右平移π個單位長度4C．向左平移π個單位長度2D．向右平移π個單位長度2答案：B3．假定函數(shù)y＝sin2x的圖象經(jīng)過適合變換可以獲得y＝cos2x的圖象，那么這類變換可以是( )A．沿x軸向左平移π2個單位長度B．沿x軸向右平移π2個單位長度C．沿x軸向右平移π4個單位長度D．沿x軸向左平移π4個單位長度答案：D4．把函數(shù)y＝cos2x＋1的圖象上全部點的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，此后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，獲得的圖象是( )答案：A5．將函數(shù)f(x)＝sinωx(此中ω＞0)的圖象向右平移π個單位長度，所得圖象經(jīng)過點43π，0，那么ω4的最小值是( )A.13B．1C.53D．2答案：D二、填空題6．函數(shù)y＝－5sin4x＋22π3的圖象與x軸的各個交點中，離原點近來的一點是________．答案：π，0127．要獲得y＝sinx＋2π3的圖象，需將函數(shù)y＝cosx的圖象上全部的點最少向左平移________個單位長2度．答案：11π38．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－ππ≤φ<圖象上每一點的橫坐標(biāo)伸長為本來的2倍(縱坐標(biāo)不22變)，再向左平移π個單位長度獲得y＝sinx的圖象，那么函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為____________．35ππ答案：kπ－，kπ＋1212，k∈Z三、解答題9．函數(shù)y＝sin2x＋π4＋1.(1)用“五點法〞畫出函數(shù)的草圖；(2)函數(shù)圖象可由y＝sinx的圖象如何變換獲得？解：(1)列表：π2x＋40π2π3π22πx－π8π83π85π87π8y12101描點，連線以以下列圖．π將y＝sin2x＋4＋1在－π87π，8上的圖象向左、向右平移(每次π個單位長度)，即可獲得y＝sin2x＋π4＋1的圖象．10．函數(shù)y＝3sin2x的圖象C1，問C1需要經(jīng)過如何的變換獲得函數(shù)y＝3cos2x－7π4的圖象C2，而且平移行程最短？解：法一：∵y＝3cos2x－7π4＝3sinπ＋2x－27π4＝3sin2x－5π45π＝3sin2x－8，∴可將y＝3sin2x的圖象C1向右平移5π8個單位長度可得C2.法二：∵y＝3cos2x－7π45π＝3sin2x－4＝3sin2x－5π43π＋2π＝3sin2x＋8，∴可將y＝3sin2x的圖象C1向左平移3π8個單位長度可得C2.綜上可知，平移行程最短的方法是向左平移3π個單位長度．811．將函數(shù)y＝lgx的圖象向左平移1個單位長度，可得函數(shù)f(x)的圖象；將函數(shù)y＝cos2x－π6的圖象向左平移π個單位長度