計算力學等參元課件

第八章等參數(shù)單元第八章等參數(shù)單元1第八章

等參數(shù)單元

等參元的概念平面等參元空間等參元高斯積分法簡介計算實例第八章等參數(shù)單元等參元的概念2

前述三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和平面，對于結構復雜的曲邊和曲面外形，只能通過減小單元尺寸，增加單元數(shù)量進行逐漸逼近。這樣，自由度的數(shù)目隨之增加，計算時間長，工作量大。另外，這些單元的位移模式是線性模式，是實際位移模式的最低級逼近形式，問題的求解精度受到限制。為了克服以上缺點，需要這樣一種單元：一方面，單元能很好地適應曲線邊界和曲面邊界，準確地模擬結構形狀；另一方面，這種單元要具有較高次的位移模式，能更好地反映結構的復雜應力分布情況，即使單元網(wǎng)格劃分比較稀疏，也可以得到比較好的計算精度。等參數(shù)單元（等參元）就具備了以上兩條優(yōu)點。等參元的概念前述三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和3等參元的基本思想首先導出關于局部坐標系的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數(shù)，然后利用形函數(shù)進行坐標變換，得到關于整體坐標系的復雜形狀的單元（子單元），如果子單元的位移函數(shù)插值結點數(shù)與其位置坐標變換結點數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標變換式都用相同的形函數(shù)與結點參數(shù)進行插值，則稱其為等參元。等參元的概念等參元的基本思想等參元的概念4一、形函數(shù)在前面幾章的介紹中，對于單元形函數(shù)的確定，首先假設單元的位移模式，代入結點的位移和坐標，從而推導出單元的任意一點的位移插值函數(shù)，即形函數(shù)。實際上，形函數(shù)是定義在單元內(nèi)部的、滿足一定條件的、坐標的連續(xù)函數(shù)。形函數(shù)不僅可以用于單元位移函數(shù)的插值，還可以用于單元形狀的變換。形函數(shù)應滿足的條件是：等參元的概念一、形函數(shù)在前面幾章的介紹中，對于單元形函數(shù)的確定，首先5(8-1)1.

在結點i處，在其他結點處；2.能保證用它定義的未知量（位移或坐標）在相鄰單元之間的連續(xù)性；(8-2)3.應包含任意線性項，以保證用它定義的單元位移可滿足常應變條件；應滿足下列等式以保證用它定義的單元位移能反映剛體位移。等參元的概念(8-1)1.

在結點i處6二、母單元根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標中，建立起幾何形狀簡單且規(guī)整的單元，我們稱之為母單元。

1.一維母單元采用局部坐標ξ，單元為直線段，即。具體形式如下：1）線性單元（2結點）2）二次單元（3結點）(8-3)(8-4)等參元的概念二、母單元根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標中，建立起幾何形狀簡單71-1201322-110(a)線性單元(b)二次單元3）三次單元（4結點）(8-5)圖8-1一維母單元(8-5)圖8-1一維母單元等參元的概念1-1201322-110(a)線性單元(b)二8如圖8-2所示，坐標原點在單位形心上。單元邊界是四條直線：，。為保證用形函數(shù)定義的未知量在相鄰單元之間的連續(xù)性，單元結點數(shù)目應與形函數(shù)階次相適應。因此，對于線性、二次和三次形函數(shù)，單元每邊的結點數(shù)分別為兩個、三個和四個。除四個角點外，其他結點位于各邊的二分點或三分點上。2.二維母單元二維母單元是平面中的2×2正方形等參元的概念如圖8-2所示，坐標原點在單位形心上。單元邊界是四2.9圖8-2二維母單元(a)線性單元(b)二次單元1234123487561)線性單元（4結點）(8-6)等參元的概念圖8-2二維母單元(a)線性單元(b)10以上形函數(shù)也可以合并表示為（i=1,2,3,4）(8-7)其中(8-8)2)二次單元（8結點）角點：邊中點：（i=1,2,3,4）（i=5,6）(8-9)（i=7,8）等參元的概念以上形函數(shù)也可以合并表示為（i=1,2,3,4）113)三次單元（12結點）

角點：（i=1,2,3,4）

邊三分點：（i=5,6,7,8）(8-10)（i=9,10,11,12）等參元的概念3)三次單元（12結點）角點：（i=1,2,3,412圖8-3三維母單元(a)線性單元(b)二次單元7321456891011121314151618192017587321463.三維母單元三維母單元是坐標系中的2×2×2正六面體如圖8-3所示，坐標原點在單元形心上，單元邊界是六個平面。單元結點在角點及各邊的等分點上。1)線性單元（8結點）(8-11)等參元的概念圖8-3三維母單元(a)線性單元(b)132)二次單元（20結點）角點：典型邊中點：(8-12)3)三次單元（32結點）角點：典型邊中點：(8-13)等參元的概念2)二次單元（20結點）角點：典型邊中點：(8-12)3)14三、坐標變換以上介紹的這些單元可以直接用來進行有限元分析，其單元特性可以按照前面幾章中講述的步驟進行。但是這些單元形狀規(guī)整，難以適應實際工程中出現(xiàn)的各種結構的復雜形狀。為了解決這個矛盾，需要用坐標變換的方法，把形狀規(guī)整的母單元，轉(zhuǎn)換成具有曲線（面）邊界的形狀復雜的單元。轉(zhuǎn)換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應各種實際結構的復雜外形。這樣，對于一個實際結構，就可以采用各種形狀復雜的子單元在整體坐標系中進行劃分，來逼近其復雜的曲線或曲面邊界。而每個子單元，通過坐標變換，都可以映射成一個局部坐標系下的規(guī)整單元，即母單元，計算比較簡單。為了進行坐標變換，必須在局部坐標和整體坐標之間建立一一對應關系。這種對應關系可以利用形函數(shù)建立起來。等參元的概念三、坐標變換以上介紹的這些單元可以直接用來進行有限元分析，其151.平面坐標變換在整體坐標系中，子單元內(nèi)任一點的坐標用形函數(shù)表示如下(8-14)其中，是用局部坐標表示的形函數(shù)，是結點i的整體坐標，上式即為平面坐標變換公式。等參元的概念1.平面坐標變換在整體坐標系中，子單元內(nèi)任一點的坐標用形函1631-1120(a)線性單元123(b)二次單元圖8-4一維單元的平面坐標變換等參元的概念圖8-4表示了一維單元的坐標變換。原來的直線狀的母單元分別變換成了直線、二次曲線和三次曲線狀的子單元，這是因為變換式中的形函數(shù)Ni分別是ξ的一次、二次和三次函數(shù)。31-1120(a)線性單元123(b)二次單17（a）母單元（b）子單元圖8-5二維單元的平面坐標變換1234875623154678等參元的概念圖8-5表示了二維單元的平面坐標變換。母單元是正方形，子單元則分別變換成任意四邊形和曲邊四邊形。而且相鄰子單元在公共邊上的整體坐標是連續(xù)的。以二次單元為例，兩個相鄰單公共邊界上都是二次曲線（拋物線），而在三個公共結點上具有相同的坐標。因此，整個公共邊界都有相同的坐標，即相鄰單元是連續(xù)的。（a）母單元182.空間坐標變換空間坐標變換公式如下(8-15)

其中：是用局部坐標表示的形函數(shù)，為結點i的整體坐標。等參元的概念2.空間坐標變換空間坐標變換公式如下(8-15)其中：是19經(jīng)空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線；原來的平面變成空間曲面；而原來的空間正六面體則將變成曲面六面體，如圖8-6所示。同樣可證明相鄰子單元在整體坐標下是連續(xù)的。等參元的概念7=1=1=1321456891011121314151618192017=-1=-1=-1xyz12345681091112131415161817192070圖8-6空間坐標變換（a）母單元（b）子單元經(jīng)空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線；原來的平面變成空203.兩類坐標系的關系以上坐標變換式給出了局部坐標和整體坐標之間的一一對應關系。如果給定了局部坐標的值，則可以求出整體坐標的對應值，反之亦然。從圖形變換的角度看，和可以分別看成是母單元和子單元這兩個不同單元的坐標系，它們都是直角坐標系。而從另一角度看，和又可以看成是同一單元（子單元）的兩種不同的坐標系。是子單元的直角坐標系，而可看成是子單元的曲線坐標系?？梢钥闯鍪冀K扮演同一角色，即子單元的直角坐標；而

則扮演兩種角色，它既是母單元的直角坐標，又是子單元的曲線坐標。在有限元分析中，兩者的作用是不同的。直角坐標系在整個結構的所有子單元中共同采用，所以稱為整體坐標。等參元的概念3.兩類坐標系的關系以上坐標變換式給出了局部坐標和整體21而曲線坐標系則只適用于單個獨立的子單元，所以稱為局部坐標。整體坐標在整體分析中采用，局部坐標則在單元分析中采用?，F(xiàn)在討論兩類坐標系中有關偏導數(shù)的關系，以二維坐標為例：根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有(8-16)

上式可寫成矩陣形式(8-17)等參元的概念而曲線坐標系則只適用于單個獨立的子單22其中：[J]稱為雅可比（Jacobi）矩陣

(8-18)式（8-17）其逆變換式為

(8-19)等參元的概念其中：[J]稱為雅可比（Jacobi）矩陣等參元的概念23其中，[J]-1是[J]的逆陣(8-20)(8-21)等參元的概念其中，[J]-1是[J]的逆陣(8-20)(8-21)等參元24

四、等參元在有限元分析中，定義一個單元需要確定其幾何形狀以及位移分布。以上已經(jīng)建立了各種子單元的幾何形狀，還需要假設其內(nèi)部的位移分布情況。子單元的位移模式可用形函數(shù)表示如下(8-22)用矩陣表示為等參元的概念四、等參元在有限元分析中，定義一個單元需要確定其幾何形25(8-23)其中：為用局部坐標表示的形函數(shù)，是整體坐標下的結點位移。

比較子單元的坐標變換式和位移模式，兩者都利用了形函數(shù)，它們可以是局部坐標的一次、二次、三次甚至更高次的函數(shù)。坐標變換式是根據(jù)結點的坐標和形函數(shù)等參元的概念(8-23)其中：為用局部坐標表示的形函數(shù)，是整體坐標下的結26來確定單元的幾何形狀；位移模式是根據(jù)結點的位移和形函數(shù)來確定單元的位移場。如果單元坐標變換式和位移模式所用的形函數(shù)的階次相等，即用于規(guī)定單元形狀的結點數(shù)等于用于規(guī)定單元位移的結點數(shù)，那么這種單元就稱為等參數(shù)單元（等參元）。在等參元中坐標變換和位移模式一般使用相同的結點。可以看出如果等參元中采用高階形函數(shù)，則單元的位移模式是高階的，且單元可以具有復雜的外形。如果單元坐標變換所用的形函數(shù)的階次高于位移模式所用的形函數(shù)的階次，即用于規(guī)定單元形狀的結點數(shù)多于用于規(guī)定單元位移的結點數(shù)，這種單元就稱為超參數(shù)單元（超參元）；反之，如果單元坐標變換所用的形函數(shù)的階次低于位移模式所用的形函數(shù)的階次，單元就稱為遜參數(shù)單元（遜參元）。等參元的概念來確定單元的幾何形狀；位移模式是根據(jù)結點的位移27為了保證等參元的解答收斂于精確解。位移模式必須保證完備性（包含剛體位移和常應變）和連續(xù)協(xié)調(diào)性。要保證完備性，對于空間問題，位移模式必須含下列線性項(8-24)(8-25)(8-26)以（8-24）式為例進行分析，在結點i處有等參元的概念為了保證等參元的解答收斂于精確解。位移模式必須保證完備性（包28把（8-27）式代入（8-22）式，得(8-28)為了使對于任意β1，…，β4，（8-4）式均成立，必須有(8-29)(8-30)式（8-29）即是坐標變換式，式（8-29）即剛體位移條件。對等參元的概念把（8-27）式代入（8-22）式，得(8-28)為了使對于29于等參元，顯然（8-29）和（8-30）式是成立的。所以，位移模式（8-23）式滿足剛體位移和常應變的條件。由于相鄰單元在公共邊有完全相同的結點，而且可證明沿公共邊界的位移插值函數(shù)是相同的，因此保證了位移的協(xié)調(diào)性。等參元具有以下優(yōu)點：

應用范圍廣。在平面和空間連續(xù)體、桿系結構和板殼問題中都可應用。

推導過程具有通用性。一維、二維和三維的推導方法基本相同。

可以模擬曲線和曲面邊界，適用于處理各種復雜邊界條件。

可以靈活的增減結點，容易構造各種過渡單元。等參元的概念于等參元，顯然（8-29）和（8-30）式是成立的。所以，位30平面問題的常用等參元有四結點四邊形單元、八結點曲邊四邊形單元和6~8可變結點曲邊四邊形單元等，本節(jié)以八結點曲邊四邊形等參元為例介紹平面問題分析過程。

一、母單元八結點曲邊四邊形等參元的母單元是二維二次單元。八個結點分別為正方形的四個角點和四個邊中點，母單元采用直角坐標系（ξ,η）。如圖8-7所示。單元的位移模式為(8-31)其中，ui和vi是結點i的位移，形函數(shù)如式（8-9）。平面等參元平面問題的常用等參元有四結點四邊形單元、八結點曲邊四邊形單元31下面分析如何根據(jù)形函數(shù)的特點來寫出其具體形式。圖8-8等參元1234875623154678圖8-7母單元平面等參元下面分析如何根據(jù)形函數(shù)的特點來寫出其具體形式。圖8-8等32以為例，首先考慮在結點2，3，4，…，8的值全為零的條件。由于通過這七個結點可作出三條直線,,,它們的方程分別為(8-32)因此，應具有如下形式(8-33)再考慮在結點1處等于一的條,將結點1的坐標（-1，-1）代入上式，可得。這樣就確定了形函數(shù)。用同樣的方法可求出其它七個形函數(shù)。平面等參元以為例，首先考慮33

二、等參元等參元的整體坐標為直角坐標（x,y）。等參元的任意指定的八個結點的整體坐標值分別為（xi,yi），（i=1,2,…,8），如圖8-8所示。

采用坐標變換可使母單元的八個結點與等參元的八個結點（xi,yi）一一對應。整體坐標和局部坐標的變換式為(8-34)其中：是母單元的形函數(shù)。根據(jù)等參元的思想，等參元的位移模式仍取為：平面等參元二、等參元等參元的整體坐標為直角坐標（x,y）。等參元的34(8-35)這樣，就確定了平面八結點曲邊四邊形等參元的幾何形狀和位移模式。在實際應用中需要注意以下幾個問題：1）在劃分單元時，只需確定單元結點的整體坐標值，而不必畫出其拋物線形狀的邊界。因為在計算中實際使用的只有單元八個結點在整體坐標下的位置坐標（xi,yi）（i=1,2,…,8）。2）在劃分單元和布置結點時，單元的各邊長度相差不能太大；各邊上結點間距應盡量均勻，以減少計算誤差。3）為了計算簡單，當求解區(qū)域為曲線邊界時，只將位于邊界的單元取為曲邊四邊形，而內(nèi)部單元仍然劃分為直邊四邊形。這樣，即能較好地處理曲邊邊界，又能提高單元內(nèi)部插值的精度。平面等參元(8-35)這樣，就確定了平面八結點曲邊四邊形等參元的幾何形35三、單元分析將八結點曲邊四邊形等參元的位移模式代入平面問題的幾何方程，便得到單元應變分量的計算式其中：是單元的結點位移列陣(8-36)(i=1,2,…,8)(8-37)平面等參元三、單元分析將八結點曲邊四邊形等參元的位移模式代入平面問題的36是單元應變矩陣(i=1,2,…,8)(8-38)由于，形函數(shù)是局部坐標的函數(shù)。因此，需要進行偏導數(shù)的變換(8-39)平面等參元是單元應變矩陣(i=1,2,…,8)(837其中，由式（8-20）給出根據(jù)坐標變換式可知(8-40)平面等參元其中，由式（8-20）給出根據(jù)坐標變換式可知(8-40)平面38而以上各式中的和，可由式（8-9）分別對偏微分而求得。這樣就把和轉(zhuǎn)化成了局部坐標的函數(shù)，從而求的應變矩陣[B]和單元應變[ε]。將單元應變代入平面問題的物理方程式，就得到平面八結點等參元的應力列陣(8-41)（i=1,2,…,8）(8-42)式中，[S]為應力矩陣平面等參元而以上各式中的和，可由式（8-9）39利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-43)式中，t為單元厚度。把（8-43）式寫成分塊矩陣，可分成8×8個子矩陣，每個子矩陣都是2×2階矩陣，即(8-44)平面等參元利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-43)式中，t為單元厚度40應該指出，上式是對ξ和η的重積分，盡管其積分區(qū)域十分簡單，但其被積函數(shù)卻比較復雜，需要采用數(shù)值積分法求解（通常是采用高斯積分法）。其中子矩陣(8-45)平面等參元應該指出，上式是對ξ和η的重積分，盡管其積分區(qū)域十分簡單，但41

四、等效結點載荷整體結構結點載荷列陣是通過將作用在單元上的集中力，表面力和體積力分別等效移置到結點后，經(jīng)過組集得到1.集中力的等效結點載荷設單元任意點c作用有集中載荷，則移置到單元各有關結點上的等效結點載荷為(8-47)(8-46)式中(Ni)c是形函數(shù)Ni在集中力作用點c處的取值，可通過以下平面等參元四、等效結點載荷整體結構結點載荷列陣是通過將作用在單元上的42步驟計算：1）根據(jù)作用點c的整體坐標，得到其局部坐標。(8-48)式中：均為已知數(shù)。解此聯(lián)立方程式就得到c點的局部坐標。2）將局部坐標代入式（8-9），得到c點的形函數(shù)值(Ni)c。實際計算時，應盡量把集中力作用點取為結點，從而把載荷直接加在該結點上。平面等參元步驟計算：1）根據(jù)作用點c的整體坐標，432.體積力的等效結點載荷3.表面力的等效結點載荷設單元上作用的體力為，則移置到單元各有關結點上的等效載荷為(8-49)式中：t為單元厚度。設單元的某邊界上作用的表面力為，則這條邊上三個結點的等效載荷為式中Γ是單元作用有面力的邊界域；ds是邊界域內(nèi)的微段弧(8-50)平面等參元2.體積力的等效結點載荷3.表面力的等效結點載荷設單元上44長；t是單元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式給出的，使用時不太方便。在實際結構上往往給出的是沿單元曲線邊界的法向和切向的面力qn和qt。因此，需要對式（8-50）進行適當?shù)男薷摹，F(xiàn)規(guī)定：法向面力qn以沿邊界曲線的外法線方向為負，切向面力以沿單元受載邊界方向前進使單元保持在左側為正。如圖8-9所示，其中的qn和qt都是正的。qt12347568xy0圖8-9面力載荷示意圖平面等參元qn長；t是單元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式給出的，45設圖8-9所示的八結點平面等參元的邊界上受面力qn和qt，且qt與x軸的夾角為θ，則qn得與x軸的夾角為θ-90°。由圖8-9可知所以(8-51)代入式（8-50），得(8-52)平面等參元設圖8-9所示的八結點平面等參元的邊界上受面力46對于圖8-9所示得等參元的邊界，其局部坐標η=1，ξ是變化的，因此代入式（8-52），得(8-53)上式中Ni，及都是關于ξ的復雜函數(shù)，因此也要用數(shù)值積分法（常用高斯積分法）來求解。有了單元的等效結點載荷列陣和剛度矩陣，經(jīng)疊加建立結構剛度方程，再考慮結構的約束條件，可求解出離散結構上各結點的位移分量列陣和各單元的結點位移分量列陣。再根據(jù)式（8-36）和式（8-41）便可以求得單元的應變和應力。平面等參元對于圖8-9所示得等參元的邊界，其局部坐標η=1，ξ是變化的47一、20結點三維等參元很多實際工程結構分析屬于空間三維問題，在有限元分析中可以采用空間等參元。空間等參元的原理及推導方法與平面問題是類似的。空間等參元有8結點任意六面體單元、20結點三維單元和8-21可變結點三維單元等。本節(jié)討論一種應用較廣的空間等參元──20結點三維等參元。

20結點三維等參元的母單元是邊長為2的20結點正方體單元，通過坐標變換得到邊界為曲面和曲邊的六面體子單元，如圖8-10所示?？臻g等參元一、20結點三維等參元很多實際工程結構分析屬于空間三維問48圖8-1020結點空間等參數(shù)單元xyz123456810911121314151618171920707321456891011121314151618192017（a）（b）空間等參元圖8-1020結點空間等參數(shù)單元xyz12345649根據(jù)等參元的概念，位移函數(shù)和幾何坐標變換式應采用相同的形函數(shù)。20結點三維等參元的坐標變換關系可表示為(8-54)單元的位移函數(shù)可表示為(8-55)空間等參元根據(jù)等參元的概念，位移函數(shù)和幾何坐標變換式應采用相同的形函數(shù)50式中：和分別為結點i的位移值和整體坐標值。對于單元的二十個結點分別寫出二十個形函數(shù)，如式（8-12）所示。也可以合并成一個統(tǒng)一的表達式如下(8-56)式中其中，ξi，ηi及ζi是結點i在ξηζ局部坐標系中的坐標。例如，結點1的局部坐標是（-1，-1，-1），結點5的坐標是（-1，-1，1）等?？臻g等參元式中：和分別為51

二、單元分析

根據(jù)幾何方程，可以得到單元應變列陣(8-57)空間等參元二、單元分析

根據(jù)幾何方程，可以得到單元應變列陣(8-5752其中：[B]是單元的應變矩陣，其分塊形式(8-58)上式中的形函數(shù)Ni是局部坐標的函數(shù)。對整體坐標求導時，空間等參元其中：[B]是單元的應變矩陣，其分塊形式(8-58)上式中的53類似于平面問題，根據(jù)復合函數(shù)求導數(shù)的規(guī)則，有以下關系式(8-59)(8-60)其中[J]為三維雅可比矩陣，其表達式為空間等參元類似于平面問題，根據(jù)復合函數(shù)求導數(shù)的規(guī)則，有以下關系式(8-54式中(8-61)上式中的等可以通過對式（8-56）求到得到空間等參元式中(8-61)上式中的等可以通過55利用式（8-59）可求出空間等參元利用式（8-59）可求出空間等參元56其中，是雅可比矩陣的逆矩陣。將單元應變代入空間問題的物理方程式，就得到單元的應力(8-63)式中，[S]為應力矩陣（i=1,2,…,20）(8-64)(8-62)空間等參元其中，是雅可比矩陣的逆矩陣。將單元應變代入空57利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-65)其中子矩陣(8-66)單剛矩陣的每個元素其被積函數(shù)都很復雜，必須采用數(shù)值積分（常用高斯求積法）求解。得到每個元素后，按直接剛度法疊加成整體剛度矩陣。空間等參元利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-65)其中子矩陣(8-658三、等效結點載荷與平面問題相似，整體結構結點載荷列陣也是通過將作用在單元上的集中力，表面力和體積力分別等效移置到結點后，經(jīng)過組集得到(8-67)

1.集中力的等效結點載荷如果三維等參元上任意點c作用有集中力，則移置到單元各有關結點上的等效結點載荷為(8-68)式中：(Ni)c是形函數(shù)Ni在集中力作用點c處的取值，需通過類空間等參元三、等效結點載荷與平面問題相似，整體結構結點載荷列陣也是59似二維等參元的處理步驟，先計算得到c點局部坐標值，再得到形函數(shù)的取值。在實際有限元計算時，在劃分網(wǎng)格時應盡量把集中力作用點取為結點，從而把載荷直接加在該結點上。2.體積力的等效結點載荷設單元上作用的體力為，則移置到單元各有關結點上的等效載荷為(8-69)空間等參元似二維等參元的處理步驟，先計算得到c點局部坐標值，再得到形函603.表面力的等效結點載荷設單元的某邊界面上作用的表面力為，則這個邊界面上有關結點的等效載荷為(8-70)式中Γ是單元作用有面力的邊界域；ds是邊界域內(nèi)的微分面積。設結構中的那個邊界面S上受到面力作用。該曲面在整體坐標下的參數(shù)方程可由坐標變換式直接寫出(8-71)空間等參元3.表面力的等效結點載荷設單元的某邊界面上作用的表面力為61在局部坐標系中，該曲面的方程為。曲面上任一點的切平面由下述兩個相切的矢量組成。式中，i，j，k分別為x，y，z方向的單位矢量。上述兩矢量的矢量積所得到的新矢量為c空間等參元在局部坐標系中，該曲面的方程為。曲面上任62微分面積ds就是由矢量dξ和dη所構成的平行四邊形面積，其大小為兩矢量矢量積的絕對值。面積ds為(8-72)式中將式（6-72）代入式（6-70），就得到表面力的等效結點載荷空間等參元微分面積ds就是由矢量dξ和dη所構成的平行四邊形面積，其大63實際工程結構中，面力往往是垂直作用在邊界面上的，這時的面力向量{q}變成了邊界面上的法向載荷。設n表示邊界面的外法線單位向量，q0是單位面積上的面力，則n的表達式為其它表面受到面力作用時，其算法是類似的。(8-73)空間等參元實際工程結構中，面力往往是垂直作用在邊界面上的，這時的面64這時，式（6-72）可寫成(8-74)空間等參元這時，式（6-72）可寫成(8-74)空間等參元65

以上推導的計算等效結點載荷的有關公式中，均因被積函數(shù)復雜而必須采用數(shù)值積分方法求解。有了單元的等效結點載荷列陣和剛度矩陣，便可組集得到結構剛度方程，再考慮結構的約束條件，求解出離散結構上各結點的位移分量列陣和各單元的結點位移分量列陣?？臻g等參元以上推導的計算等效結點載荷的有關公式中，均因66

計算復雜的定積分，通常采用數(shù)值積分法。本節(jié)介紹有限元分析中常用的一種數(shù)值積分方法──高斯積分法。對于一維定積分問題所謂數(shù)值積分是把定積分問題近似地化為加權求和問題，就是在積分區(qū)間選定某些點(稱為積分點)，求出積分點處的函數(shù)值，然后再乘上與這些積分點相對應的求積系數(shù)（又稱加權系數(shù)），再求和，所得的結果被認為是被積函數(shù)的近似積分值。這種求積方法可表達如下(8-75)式中：n是積分點的個數(shù)，是積分點i的坐標，Hi是加權系數(shù)。高斯積分法簡介計算復雜的定積分，通常采用數(shù)值積分法。本節(jié)介紹有限元分67高斯積分仍然采用式（8-75）的格式，其中積分點坐標及其對應的加權系數(shù)Hi如表8-1所示。逐次用一維高斯求積公式可以構造出二維和三維高斯求積公式高斯積分的階數(shù)n，通常根據(jù)等參元的維數(shù)和結點數(shù)來選取。對于平面和空間等參元，可按表8-2選取。高斯積分法簡介高斯積分仍然采用式（8-75）的格式，其中積分點坐標及其對應68表8-1高斯積分法中的和Hi積分點數(shù)n積分點坐標加權系數(shù)Hi2±0.57735031.000000030.0000000±0.77459670.88888890.55555564±0.8611363±0.33998100.34785480.6521452

50.0000000±0.9061798±0.53846930.56888890.23692690.4786287高斯積分法簡介表8-1高斯積分法中的和Hi積分點數(shù)積分點坐標加權69

表8-2結點數(shù)維數(shù)4結點8結點20結點二維n=2n=3──三維──n=2n=3高斯積分法簡介

表8-2結點數(shù)維數(shù)4結點8結點20結點二維n=2n=3──70

作為空間問題參數(shù)單元進行計算的實例，分析圖8-11中所示的厚壁筒。該筒的內(nèi)半徑a=4m，外半徑b=7m，高度l=9m，彈性模量E=10GPa，泊松比=0.2，容重=5kN/m3，內(nèi)外壁上承受的分布載荷的集度q=90kN/m3。rubao7zwru3334oqqqq圖8-11例題的結構圖例：計算實例作為空間問題參數(shù)單元進行計算的實例，分析圖8-11中所示71解：在彈性力學中，對于這一軸對稱空間問題的函數(shù)解為：徑向位移軸向位移徑向及環(huán)向正應力軸向正應力剪應力選用20節(jié)點六面體的等參單元進行計算。由于是軸對稱的，可以取該筒的1/4，并劃分為9個單元，如圖8-11所示。計算實例解：在彈性力學中，對于這一軸對稱空間問題的函數(shù)解為：徑向位移72由圖中看出，所用單元的形態(tài)很好，各向棱邊的長度近乎相等，棱邊的夾角全是直角。棱邊上的節(jié)點取在棱邊的中點?，F(xiàn)在，將r=b=7m所計算所得的結點位移和應力列入下表：0.000 -6.298 -12.595-18.9020.000 -6.300-12.600-18.9004.954 52.198 80.54989.9904.950 52.20080.55090.0000.000 -30.000 -59.999-89.9990.000 -30.000-60.000-90.0000.000 -75.001 -149.999-224.9980.000 -75.000-150.000-225.000有限單元解函數(shù)解有限單元解函數(shù)解有限單元解函數(shù)解有限單元解函數(shù)解

表8-3

計算結果對比

節(jié)點的z坐標（m）0369由上表看出，由于采用了高階等參數(shù)單元，而且單元的形態(tài)很好，所以，雖然只用了9個單元，卻得出非常精確的結果。計算實例由圖中看出，所用單元的形態(tài)很好，各向棱邊的長度近乎相等，棱邊73思考題1.等參元的定義。2.試述形函數(shù)應滿足的條件，并根據(jù)形函數(shù)的特點寫出平面八節(jié)點四邊形等參元的形函數(shù)。3.已知一個平面四結點等參元在整體坐標中的位置如圖所示，試求出該單元局部坐標系原點在整體坐標系中的位置O(x,y)。思考題74第八章等參數(shù)單元第八章等參數(shù)單元75第八章

等參數(shù)單元

等參元的概念平面等參元空間等參元高斯積分法簡介計算實例第八章等參數(shù)單元等參元的概念76

前述三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和平面，對于結構復雜的曲邊和曲面外形，只能通過減小單元尺寸，增加單元數(shù)量進行逐漸逼近。這樣，自由度的數(shù)目隨之增加，計算時間長，工作量大。另外，這些單元的位移模式是線性模式，是實際位移模式的最低級逼近形式，問題的求解精度受到限制。為了克服以上缺點，需要這樣一種單元：一方面，單元能很好地適應曲線邊界和曲面邊界，準確地模擬結構形狀；另一方面，這種單元要具有較高次的位移模式，能更好地反映結構的復雜應力分布情況，即使單元網(wǎng)格劃分比較稀疏，也可以得到比較好的計算精度。等參數(shù)單元（等參元）就具備了以上兩條優(yōu)點。等參元的概念前述三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和77等參元的基本思想首先導出關于局部坐標系的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數(shù)，然后利用形函數(shù)進行坐標變換，得到關于整體坐標系的復雜形狀的單元（子單元），如果子單元的位移函數(shù)插值結點數(shù)與其位置坐標變換結點數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標變換式都用相同的形函數(shù)與結點參數(shù)進行插值，則稱其為等參元。等參元的概念等參元的基本思想等參元的概念78一、形函數(shù)在前面幾章的介紹中，對于單元形函數(shù)的確定，首先假設單元的位移模式，代入結點的位移和坐標，從而推導出單元的任意一點的位移插值函數(shù)，即形函數(shù)。實際上，形函數(shù)是定義在單元內(nèi)部的、滿足一定條件的、坐標的連續(xù)函數(shù)。形函數(shù)不僅可以用于單元位移函數(shù)的插值，還可以用于單元形狀的變換。形函數(shù)應滿足的條件是：等參元的概念一、形函數(shù)在前面幾章的介紹中，對于單元形函數(shù)的確定，首先79(8-1)1.

在結點i處，在其他結點處；2.能保證用它定義的未知量（位移或坐標）在相鄰單元之間的連續(xù)性；(8-2)3.應包含任意線性項，以保證用它定義的單元位移可滿足常應變條件；應滿足下列等式以保證用它定義的單元位移能反映剛體位移。等參元的概念(8-1)1.

在結點i處80二、母單元根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標中，建立起幾何形狀簡單且規(guī)整的單元，我們稱之為母單元。

1.一維母單元采用局部坐標ξ，單元為直線段，即。具體形式如下：1）線性單元（2結點）2）二次單元（3結點）(8-3)(8-4)等參元的概念二、母單元根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標中，建立起幾何形狀簡單811-1201322-110(a)線性單元(b)二次單元3）三次單元（4結點）(8-5)圖8-1一維母單元(8-5)圖8-1一維母單元等參元的概念1-1201322-110(a)線性單元(b)二82如圖8-2所示，坐標原點在單位形心上。單元邊界是四條直線：，。為保證用形函數(shù)定義的未知量在相鄰單元之間的連續(xù)性，單元結點數(shù)目應與形函數(shù)階次相適應。因此，對于線性、二次和三次形函數(shù)，單元每邊的結點數(shù)分別為兩個、三個和四個。除四個角點外，其他結點位于各邊的二分點或三分點上。2.二維母單元二維母單元是平面中的2×2正方形等參元的概念如圖8-2所示，坐標原點在單位形心上。單元邊界是四2.83圖8-2二維母單元(a)線性單元(b)二次單元1234123487561)線性單元（4結點）(8-6)等參元的概念圖8-2二維母單元(a)線性單元(b)84以上形函數(shù)也可以合并表示為（i=1,2,3,4）(8-7)其中(8-8)2)二次單元（8結點）角點：邊中點：（i=1,2,3,4）（i=5,6）(8-9)（i=7,8）等參元的概念以上形函數(shù)也可以合并表示為（i=1,2,3,4）853)三次單元（12結點）

角點：（i=1,2,3,4）

邊三分點：（i=5,6,7,8）(8-10)（i=9,10,11,12）等參元的概念3)三次單元（12結點）角點：（i=1,2,3,486圖8-3三維母單元(a)線性單元(b)二次單元7321456891011121314151618192017587321463.三維母單元三維母單元是坐標系中的2×2×2正六面體如圖8-3所示，坐標原點在單元形心上，單元邊界是六個平面。單元結點在角點及各邊的等分點上。1)線性單元（8結點）(8-11)等參元的概念圖8-3三維母單元(a)線性單元(b)872)二次單元（20結點）角點：典型邊中點：(8-12)3)三次單元（32結點）角點：典型邊中點：(8-13)等參元的概念2)二次單元（20結點）角點：典型邊中點：(8-12)3)88三、坐標變換以上介紹的這些單元可以直接用來進行有限元分析，其單元特性可以按照前面幾章中講述的步驟進行。但是這些單元形狀規(guī)整，難以適應實際工程中出現(xiàn)的各種結構的復雜形狀。為了解決這個矛盾，需要用坐標變換的方法，把形狀規(guī)整的母單元，轉(zhuǎn)換成具有曲線（面）邊界的形狀復雜的單元。轉(zhuǎn)換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應各種實際結構的復雜外形。這樣，對于一個實際結構，就可以采用各種形狀復雜的子單元在整體坐標系中進行劃分，來逼近其復雜的曲線或曲面邊界。而每個子單元，通過坐標變換，都可以映射成一個局部坐標系下的規(guī)整單元，即母單元，計算比較簡單。為了進行坐標變換，必須在局部坐標和整體坐標之間建立一一對應關系。這種對應關系可以利用形函數(shù)建立起來。等參元的概念三、坐標變換以上介紹的這些單元可以直接用來進行有限元分析，其891.平面坐標變換在整體坐標系中，子單元內(nèi)任一點的坐標用形函數(shù)表示如下(8-14)其中，是用局部坐標表示的形函數(shù)，是結點i的整體坐標，上式即為平面坐標變換公式。等參元的概念1.平面坐標變換在整體坐標系中，子單元內(nèi)任一點的坐標用形函9031-1120(a)線性單元123(b)二次單元圖8-4一維單元的平面坐標變換等參元的概念圖8-4表示了一維單元的坐標變換。原來的直線狀的母單元分別變換成了直線、二次曲線和三次曲線狀的子單元，這是因為變換式中的形函數(shù)Ni分別是ξ的一次、二次和三次函數(shù)。31-1120(a)線性單元123(b)二次單91（a）母單元（b）子單元圖8-5二維單元的平面坐標變換1234875623154678等參元的概念圖8-5表示了二維單元的平面坐標變換。母單元是正方形，子單元則分別變換成任意四邊形和曲邊四邊形。而且相鄰子單元在公共邊上的整體坐標是連續(xù)的。以二次單元為例，兩個相鄰單公共邊界上都是二次曲線（拋物線），而在三個公共結點上具有相同的坐標。因此，整個公共邊界都有相同的坐標，即相鄰單元是連續(xù)的。（a）母單元922.空間坐標變換空間坐標變換公式如下(8-15)

其中：是用局部坐標表示的形函數(shù)，為結點i的整體坐標。等參元的概念2.空間坐標變換空間坐標變換公式如下(8-15)其中：是93經(jīng)空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線；原來的平面變成空間曲面；而原來的空間正六面體則將變成曲面六面體，如圖8-6所示。同樣可證明相鄰子單元在整體坐標下是連續(xù)的。等參元的概念7=1=1=1321456891011121314151618192017=-1=-1=-1xyz12345681091112131415161817192070圖8-6空間坐標變換（a）母單元（b）子單元經(jīng)空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線；原來的平面變成空943.兩類坐標系的關系以上坐標變換式給出了局部坐標和整體坐標之間的一一對應關系。如果給定了局部坐標的值，則可以求出整體坐標的對應值，反之亦然。從圖形變換的角度看，和可以分別看成是母單元和子單元這兩個不同單元的坐標系，它們都是直角坐標系。而從另一角度看，和又可以看成是同一單元（子單元）的兩種不同的坐標系。是子單元的直角坐標系，而可看成是子單元的曲線坐標系?？梢钥闯鍪冀K扮演同一角色，即子單元的直角坐標；而

則扮演兩種角色，它既是母單元的直角坐標，又是子單元的曲線坐標。在有限元分析中，兩者的作用是不同的。直角坐標系在整個結構的所有子單元中共同采用，所以稱為整體坐標。等參元的概念3.兩類坐標系的關系以上坐標變換式給出了局部坐標和整體95而曲線坐標系則只適用于單個獨立的子單元，所以稱為局部坐標。整體坐標在整體分析中采用，局部坐標則在單元分析中采用?，F(xiàn)在討論兩類坐標系中有關偏導數(shù)的關系，以二維坐標為例：根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有(8-16)

上式可寫成矩陣形式(8-17)等參元的概念而曲線坐標系則只適用于單個獨立的子單96其中：[J]稱為雅可比（Jacobi）矩陣

(8-18)式（8-17）其逆變換式為

(8-19)等參元的概念其中：[J]稱為雅可比（Jacobi）矩陣等參元的概念97其中，[J]-1是[J]的逆陣(8-20)(8-21)等參元的概念其中，[J]-1是[J]的逆陣(8-20)(8-21)等參元98

四、等參元在有限元分析中，定義一個單元需要確定其幾何形狀以及位移分布。以上已經(jīng)建立了各種子單元的幾何形狀，還需要假設其內(nèi)部的位移分布情況。子單元的位移模式可用形函數(shù)表示如下(8-22)用矩陣表示為等參元的概念四、等參元在有限元分析中，定義一個單元需要確定其幾何形99(8-23)其中：為用局部坐標表示的形函數(shù)，是整體坐標下的結點位移。

比較子單元的坐標變換式和位移模式，兩者都利用了形函數(shù)，它們可以是局部坐標的一次、二次、三次甚至更高次的函數(shù)。坐標變換式是根據(jù)結點的坐標和形函數(shù)等參元的概念(8-23)其中：為用局部坐標表示的形函數(shù)，是整體坐標下的結100來確定單元的幾何形狀；位移模式是根據(jù)結點的位移和形函數(shù)來確定單元的位移場。如果單元坐標變換式和位移模式所用的形函數(shù)的階次相等，即用于規(guī)定單元形狀的結點數(shù)等于用于規(guī)定單元位移的結點數(shù)，那么這種單元就稱為等參數(shù)單元（等參元）。在等參元中坐標變換和位移模式一般使用相同的結點?？梢钥闯鋈绻葏⒃胁捎酶唠A形函數(shù)，則單元的位移模式是高階的，且單元可以具有復雜的外形。如果單元坐標變換所用的形函數(shù)的階次高于位移模式所用的形函數(shù)的階次，即用于規(guī)定單元形狀的結點數(shù)多于用于規(guī)定單元位移的結點數(shù)，這種單元就稱為超參數(shù)單元（超參元）；反之，如果單元坐標變換所用的形函數(shù)的階次低于位移模式所用的形函數(shù)的階次，單元就稱為遜參數(shù)單元（遜參元）。等參元的概念來確定單元的幾何形狀；位移模式是根據(jù)結點的位移101為了保證等參元的解答收斂于精確解。位移模式必須保證完備性（包含剛體位移和常應變）和連續(xù)協(xié)調(diào)性。要保證完備性，對于空間問題，位移模式必須含下列線性項(8-24)(8-25)(8-26)以（8-24）式為例進行分析，在結點i處有等參元的概念為了保證等參元的解答收斂于精確解。位移模式必須保證完備性（包102把（8-27）式代入（8-22）式，得(8-28)為了使對于任意β1，…，β4，（8-4）式均成立，必須有(8-29)(8-30)式（8-29）即是坐標變換式，式（8-29）即剛體位移條件。對等參元的概念把（8-27）式代入（8-22）式，得(8-28)為了使對于103于等參元，顯然（8-29）和（8-30）式是成立的。所以，位移模式（8-23）式滿足剛體位移和常應變的條件。由于相鄰單元在公共邊有完全相同的結點，而且可證明沿公共邊界的位移插值函數(shù)是相同的，因此保證了位移的協(xié)調(diào)性。等參元具有以下優(yōu)點：

應用范圍廣。在平面和空間連續(xù)體、桿系結構和板殼問題中都可應用。

推導過程具有通用性。一維、二維和三維的推導方法基本相同。

可以模擬曲線和曲面邊界，適用于處理各種復雜邊界條件。

可以靈活的增減結點，容易構造各種過渡單元。等參元的概念于等參元，顯然（8-29）和（8-30）式是成立的。所以，位104平面問題的常用等參元有四結點四邊形單元、八結點曲邊四邊形單元和6~8可變結點曲邊四邊形單元等，本節(jié)以八結點曲邊四邊形等參元為例介紹平面問題分析過程。

一、母單元八結點曲邊四邊形等參元的母單元是二維二次單元。八個結點分別為正方形的四個角點和四個邊中點，母單元采用直角坐標系（ξ,η）。如圖8-7所示。單元的位移模式為(8-31)其中，ui和vi是結點i的位移，形函數(shù)如式（8-9）。平面等參元平面問題的常用等參元有四結點四邊形單元、八結點曲邊四邊形單元105下面分析如何根據(jù)形函數(shù)的特點來寫出其具體形式。圖8-8等參元1234875623154678圖8-7母單元平面等參元下面分析如何根據(jù)形函數(shù)的特點來寫出其具體形式。圖8-8等106以為例，首先考慮在結點2，3，4，…，8的值全為零的條件。由于通過這七個結點可作出三條直線,,,它們的方程分別為(8-32)因此，應具有如下形式(8-33)再考慮在結點1處等于一的條,將結點1的坐標（-1，-1）代入上式，可得。這樣就確定了形函數(shù)。用同樣的方法可求出其它七個形函數(shù)。平面等參元以為例，首先考慮107

二、等參元等參元的整體坐標為直角坐標（x,y）。等參元的任意指定的八個結點的整體坐標值分別為（xi,yi），（i=1,2,…,8），如圖8-8所示。

采用坐標變換可使母單元的八個結點與等參元的八個結點（xi,yi）一一對應。整體坐標和局部坐標的變換式為(8-34)其中：是母單元的形函數(shù)。根據(jù)等參元的思想，等參元的位移模式仍取為：平面等參元二、等參元等參元的整體坐標為直角坐標（x,y）。等參元的108(8-35)這樣，就確定了平面八結點曲邊四邊形等參元的幾何形狀和位移模式。在實際應用中需要注意以下幾個問題：1）在劃分單元時，只需確定單元結點的整體坐標值，而不必畫出其拋物線形狀的邊界。因為在計算中實際使用的只有單元八個結點在整體坐標下的位置坐標（xi,yi）（i=1,2,…,8）。2）在劃分單元和布置結點時，單元的各邊長度相差不能太大；各邊上結點間距應盡量均勻，以減少計算誤差。3）為了計算簡單，當求解區(qū)域為曲線邊界時，只將位于邊界的單元取為曲邊四邊形，而內(nèi)部單元仍然劃分為直邊四邊形。這樣，即能較好地處理曲邊邊界，又能提高單元內(nèi)部插值的精度。平面等參元(8-35)這樣，就確定了平面八結點曲邊四邊形等參元的幾何形109三、單元分析將八結點曲邊四邊形等參元的位移模式代入平面問題的幾何方程，便得到單元應變分量的計算式其中：是單元的結點位移列陣(8-36)(i=1,2,…,8)(8-37)平面等參元三、單元分析將八結點曲邊四邊形等參元的位移模式代入平面問題的110是單元應變矩陣(i=1,2,…,8)(8-38)由于，形函數(shù)是局部坐標的函數(shù)。因此，需要進行偏導數(shù)的變換(8-39)平面等參元是單元應變矩陣(i=1,2,…,8)(8111其中，由式（8-20）給出根據(jù)坐標變換式可知(8-40)平面等參元其中，由式（8-20）給出根據(jù)坐標變換式可知(8-40)平面112而以上各式中的和，可由式（8-9）分別對偏微分而求得。這樣就把和轉(zhuǎn)化成了局部坐標的函數(shù)，從而求的應變矩陣[B]和單元應變[ε]。將單元應變代入平面問題的物理方程式，就得到平面八結點等參元的應力列陣(8-41)（i=1,2,…,8）(8-42)式中，[S]為應力矩陣平面等參元而以上各式中的和，可由式（8-9）113利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-43)式中，t為單元厚度。把（8-43）式寫成分塊矩陣，可分成8×8個子矩陣，每個子矩陣都是2×2階矩陣，即(8-44)平面等參元利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-43)式中，t為單元厚度114應該指出，上式是對ξ和η的重積分，盡管其積分區(qū)域十分簡單，但其被積函數(shù)卻比較復雜，需要采用數(shù)值積分法求解（通常是采用高斯積分法）。其中子矩陣(8-45)平面等參元應該指出，上式是對ξ和η的重積分，盡管其積分區(qū)域十分簡單，但115

四、等效結點載荷整體結構結點載荷列陣是通過將作用在單元上的集中力，表面力和體積力分別等效移置到結點后，經(jīng)過組集得到1.集中力的等效結點載荷設單元任意點c作用有集中載荷，則移置到單元各有關結點上的等效結點載荷為(8-47)(8-46)式中(Ni)c是形函數(shù)Ni在集中力作用點c處的取值，可通過以下平面等參元四、等效結點載荷整體結構結點載荷列陣是通過將作用在單元上的116步驟計算：1）根據(jù)作用點c的整體坐標，得到其局部坐標。(8-48)式中：均為已知數(shù)。解此聯(lián)立方程式就得到c點的局部坐標。2）將局部坐標代入式（8-9），得到c點的形函數(shù)值(Ni)c。實際計算時，應盡量把集中力作用點取為結點，從而把載荷直接加在該結點上。平面等參元步驟計算：1）根據(jù)作用點c的整體坐標，1172.體積力的等效結點載荷3.表面力的等效結點載荷設單元上作用的體力為，則移置到單元各有關結點上的等效載荷為(8-49)式中：t為單元厚度。設單元的某邊界上作用的表面力為，則這條邊上三個結點的等效載荷為式中Γ是單元作用有面力的邊界域；ds是邊界域內(nèi)的微段弧(8-50)平面等參元2.體積力的等效結點載荷3.表面力的等效結點載荷設單元上118長；t是單元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式給出的，使用時不太方便。在實際結構上往往給出的是沿單元曲線邊界的法向和切向的面力qn和qt。因此，需要對式（8-50）進行適當?shù)男薷摹，F(xiàn)規(guī)定：法向面力qn以沿邊界曲線的外法線方向為負，切向面力以沿單元受載邊界方向前進使單元保持在左側為正。如圖8-9所示，其中的qn和qt都是正的。qt12347568xy0圖8-9面力載荷示意圖平面等參元qn長；t是單元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式給出的，119設圖8-9所示的八結點平面等參元的邊界上受面力qn和qt，且qt與x軸的夾角為θ，則qn得與x軸的夾角為θ-90°。由圖8-9可知所以(8-51)代入式（8-50），得(8-52)平面等參元設圖8-9所示的八結點平面等參元的邊界上受面力120對于圖8-9所示得等參元的邊界，其局部坐標η=1，ξ是變化的，因此代入式（8-52），得(8-53)上式中Ni，及都是關于ξ的復雜函數(shù)，因此也要用數(shù)值積分法（常用高斯積分法）來求解。有了單元的等效結點載荷列陣和剛度矩陣，經(jīng)疊加建立結構剛度方程，再考慮結構的約束條件，可求解出離散結構上各結點的位移分量列陣和各單元的結點位移分量列陣。再根據(jù)式（8-36）和式（8-41）便可以求得單元的應變和應力。平面等參元對于圖8-9所示得等參元的邊界，其局部坐標η=1，ξ是變化的121一、20結點三維等參元很多實際工程結構分析屬于空間三維問題，在有限元分析中可以采用空間等參元?？臻g等參元的原理及推導方法與平面問題是類似的。空間等參元有8結點任意六面體單元、20結點三維單元和8-21可變結點三維單元等。本節(jié)討論一種應用較廣的空間等參元──20結點三維等參元。

20結點三維等參元的母單元是邊長為2的20結點正方體單元，通過坐標變換得到邊界為曲面和曲邊的六面體子單元，如圖8-10所示?？臻g等參元一、20結點三維等參元很多實際工程結構分析屬于空間三維問122圖8-1020結點空間等參數(shù)單元xyz123456810911121314151618171920707321456891011121314151618192017（a）（b）空間等參元圖8-1020結點空間等參數(shù)單元xyz123456123根據(jù)等參元的概念，位移函數(shù)和幾何坐標變換式應采用相同的形函數(shù)。20結點三維等參元的坐標變換關系可表示為(8-54)單元的位移函數(shù)可表示為(8-55)空間等參元根據(jù)等參元的概念，位移函數(shù)和幾何坐標變換式應采用相同的形函數(shù)124式中：和分別為結點i的位移值和整體坐標值。對于單元的二十個結點分別寫出二十個形函數(shù)，如式（8-12）所示。也可以合并成一個統(tǒng)一的表達式如下(8-56)式中其中，ξi，ηi及ζi是結點i在ξηζ局部坐標系中的坐標。例如，結點1的局部坐標是（-1，-1，-1），結點5的坐標是（-1，-1，1）等?？臻g等參元式中：和分別為125

二、單元分析

根據(jù)幾何方程，可以得到單元應變列陣(8-57)空間等參元二、單元分析

根據(jù)幾何方程，可以得到單元應變列陣(8-57126其中：[B]是單元的應變矩陣，其分塊形式(8-58)上式中的形函數(shù)Ni是局部坐標的函數(shù)。對整體坐標求導時，空間等參元其中：[B]是單元的應變矩陣，其分塊形式(8-58)上式中的127類似于平面問題，根據(jù)復合函數(shù)求導數(shù)的規(guī)則，有以下關系式(8-59)(8-60)其中[J]為三維雅可比矩陣，其表達式為空間等參元類似于平面問題，根據(jù)復合函數(shù)求導數(shù)的規(guī)則，有以下關系式(8-128式中(8-61)上式中的等可以通過對式（8-56）求到得到空間等參元式中(8-61)上式中的等可以通過129利用式（8-59）可求出空間等參元利用式（8-59）可求出空間等參元130其中，是雅可比矩陣的逆矩陣。將單元應變代入空間問題的物理方程式，就得到單元的應力(8-63)式中，[S]為應力矩陣（i=1,2,…,20）(8-64)(8-62)空間等參元其中，是雅可比矩陣的逆矩陣。將單元應變代入空131利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-65)其中子矩陣(8-66)單剛矩陣的每個元素其被積函數(shù)都很復雜，必須采用數(shù)值積分（常用高斯求積法）求解。得到每個元素后，按直接剛度法疊加成整體剛度矩陣。空間等參元利用虛功原理可以得到其單剛矩陣(8-65)其中子矩陣(8-6132三、等效結點載荷與平面問題相似，整體結構結點載荷列陣也是通過將作用在單元上的集中力，表面力和體積力分別等效移置到結點后，經(jīng)過組集得到(8-67)

1.集中力的等效結點載荷如果三維等參元上任意點c作用有集中力，則移置到單元各有關結點上的等效結點載荷為(8-68)式中：(Ni)c是形函數(shù)Ni在集中力作用點c處的取值，需通過類空間等參元三、等效結點載荷與平面問題相似，整體結構結點載荷列陣也是133似二維等參元的處理步驟，先計算得到c點局部坐標值，再得到形函數(shù)的取值。在實際有限元計算時，在劃分網(wǎng)格時應盡量把集中力作用點取為結點，從而把載荷直接加在該結點上。2.體積力的等效結點載荷設單元上作用的體力為，則移置到單元各有關結點上的等效載荷為(8-69)空間等參元似二維等參元的處理步驟，先計算得到c點局部坐標值，再得到形函1343.表面力的等效結點載荷設單元的某邊界面上作用的表面力為，則這個邊界面上有關結點的等效載荷為(8-70)式中Γ是單元作用有面力的邊界域；ds是邊界域內(nèi)的微分面積。設結構中的那個邊界面S上受到面力作用。該曲面在整體坐標下的