《常微分方程》題庫及答案

第PAGE9第9頁共9頁《常微分方程》題庫及答案一．求解下列方程求方程

cosxdyysinx0dxdy求方程

ytanx

1之通解；ax cosx(x21)dy

2xy0解初值問題

dx ；y(0)1

dyy(xy)lnxdx x

之通解；

dy

1y2

的通解；dx xyx3y求方程(x33xy2)dxy33x2y)dy0的通解；

sinxcosx 為基本解組的線性齊次方程；x xdy dy x2求方程y ( )2x 的通解及奇解；dx dx 2xx dy(t)x求方程0

1(dt

)2dt2

y(x)的通解；求方程(sin2x

x)dxysin2x)dy0的通解；y y2求由以x,xlnx 為基本解組的線性齊次方程；d2y 2y dy

dx2

1y2

( dx

的通解.dyylny之通解。dx求方程(x2y2dydx

2xy之通解。求方程2xydxxdy

y2)dy0之通解。求方程dx

exy之通解。求方程eydx2yxey)dy0之通解。y

ytanxsecx之通解。二．dy

e2xy解初值問題

axy(1)0

dxdt

x2yz求如下微分方程組之通解：

dydt

x

yz. dzxz dtdyxy2dx求出初值問題的逐次近似解y0,y1y2：

y(0)0 .求出微分方程M(x.y)dxN(x.y)dy0有形如(x2

y2的積分因子的充要條件。用李雅普諾夫函數(shù)法討論方程平衡點之穩(wěn)定性：dxyxxydydt

dt.xyx2y3

dx2x3yx2cosydt用一次近似法討論方程平衡點．0）的穩(wěn)定性：dy2 dy

.dyxyy2(xy)dt

dx2

3 10yxcos2xx2e5x（特解不必求出，僅給出特解形式，要說明理由。dxdxdtdydt

xyzxyz .dz2xdt

y1

(x),y2

(x): xy2. y(0)0dxdt

2y3x求列如下方程組的奇點類型：dy . x4ydt（0.0）dxdtdy

xy(xy)(x

y2) xy(xy)(x2y2)dtdy x2

y2已知初值問題dx 其中D:xy y(0),1yy1 2

； dx dt

yzdydt

xyz dzyz. dtf(x在dyyf(x的所有解均在dxd2y dy d2y dy已知方程 (x通解.dx2

y0有特解yex.求方程 (xdx dx2

x y(xex 之dx已知方程x(xd2ydx2

2xdyy0dx有一線性函數(shù)的特解，試確定的值，并求出通解.dy2xy4x之通解。dx求二階微分方程的通解：已知方程(xy

xy'dy

y0y1

x,試求其通解.dxdy

y2x2y(0)1的近似解。求方程dx

yxy5之通解。1 1已知方程lnx)y'' y' y0的一個解

lnx,試求其通解.x x2 1dxdtdy

2xy 3x4ydt《常微分方程》作業(yè)參考答案一．求解下列方程yccosxyccosxsinxdy

2x dx dyd(x2

ylnx21cx21

x21y(0)c1 yln|x21|14．y'y1y)ln(1y) 令uyyxux x x xdyuxduu(1u)ln(1u)dx dx故xdu(1u)ln(1u)dxdu dx dln(1u)dx(1u)ln(1u) x ln(1u) xlnu)lnxlnc ln(1u)cx 1uecx1

yecx yx(ecxx可分離變量方程，通解為x2y2cx2.sin2y

2y4lnxc.x x全微分方程，通解為x4

6x2y2

y4

c.d2y8．dx2

2dyy0.xdx9.解為3y(x3) x.

sin2xx2y2

c.y 2

d2y

1dy

1y0.dx2 xdx x2通解為ytan(cxc).1 2通解為lnyCexCyy

x2方程的通積分為x2xydxy(y2)dyC,即3x2yy3C0 016.通解為eyexC.方程的通積分為xeydxy2ydyC,即xeyy2C.0 0.ysinxCcosx二．ey

e2xc121x 0 1 3 通解為： y

1et

0

2e2t 1 2 3 1 z 2 1 11 3.y(0)y0

0 y1

1x22

y x2 x52 2 20uMuN uMMuuNNuy x y y x xu du u du令x2

y

u

2y 2xy du x duM du N du du N Muy

2ydu

ux

2xdu

2(yx)du

uxy

故滿定充要條件的表達式為：Nx y

(x2y2)yxv

1dvdtdvdt()

(x

y2)(x

s2∠0 x2s20 ∴（0.0）漸近穩(wěn)定dxdt

2x3y一次近似方程為： dy

特征方程為：210 xy

dt

Re()01＜0 P＝1＞0 17.

Re(2

)

,則（0.0）局部漸過穩(wěn)定.2100 1

2 , 52y*(A1

xA1

)cos2x(B0

xB1

)sin2x為y"3y'10yxcos2x 之特,±2不是特征根a5 是特征方程的單根 yx(c2 o

x2c1

xc2

)e5x故其通解為：yc1

e2xc2

e5xy y1 28.特征根為：1

1. 2

1. 3

22 1所屬的特征向量為：351 5 112 11 1所屬的特征向量為：γ 13 1 x 1 1 y

3etc

1etc

0e2t 1

2

3 z 5 19.y(0):yo

0 y1

1x22

y x2 x52 2 201 10.特征方程為：271001 p70 g100 0故(0.0)為穩(wěn)定結點11.

d

xydtddt

xy2221

Re(0 Re( 0 ∴（0.0）為局部漸近穩(wěn)定1 2dvv

(x2y2).

(x2y2)(x2y22 dv

()x12.

y

1 dt

0 故（0.0）y0

0, yy1 0

f(x,y0

dxxx2dx1x3,30yy

f(x,y

dxx(x21x6dx1x3

1x7.2 0 0

9 3 6302. f(x,y)x2

y2, Mmaxf(x,y)(x,y)Dffy

max2y4L, hmina,b22. (x,y)D

(x,y)D m 5 5則y(x)y(x)

542 2(

64.2 1235 750 1 1 13.系數(shù)陣為1 1 特征方程為det(AE)(1)0. 1 1AE的初等因子為,(，通解為x 2 1

0 1 yc1c0etc10tet. 1 2 3 z 1 1 0 114.證：設M0,s.t.f(x)M(x0,)..則x0,，有y(x)y0

Mexesdsyx0xx0

Me(x0x))y0

M. y(x)x0

y(x)Mx0令 KmaxM,y0

M, y(x)K,x,.1通解為ycexc1 2

x( x2x)ex.22, 特解為

x, 通解為ycx

(1x22xlnx).1 1 2dy解先解齊次方程dx

2xy.,通解為yCex2.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為 yC(x)ex2

.代入原方程,化簡后可得C'(x)4ex

,積分得到C(x)ex2C.代回后即得原方程通解為y2Cex2.注:在求解線性方程時,即可以直接套用公式求解,也可以用常數(shù)變異法推出,但我們鼓勵使用常數(shù)變異法.18..解:yC*y1

Cy1

1ep(x)dxdx,此處y x,p(x)y2 11

xx

. 所以1 x

dx exyC*yCy ex1 dxx(C*C )C*xCexCxCex1 1 y2 x 1 21解

(x),(x)1x2)2d1x12)d1x1x3, 5分22 1 0 1 0 0 0 322 1 (x)1x2)2)x1

3

4 6)d1xx2 x42x5

1x72 0 1

0 3 3 9

6 15 63解y0是方程的解y0時兩端同除以y5得

1dy

1x

.令1 z,代入有zx1 1

dz zx,4dx1Ce4x.于是原方程的解為4

y5dx y4 y4x Ce4xy0.y4 4解:yC*

Cy1ep(x)dxdx,ylnx,p(x) 1 ,1 1 y21

1 lnx)yC*

Cy

1e

p(x)dxdx

C 1 e

1x(1lnx)

dx1 1 y21

1

(lnx)2 lnx1 1yC*C dxy(CC )ClnxCx1 (lnx)2 1 1 2lnx 1 22 1解方程組的系數(shù)陣為A3 4.特征方程為 det(AE)23

14

(1)()0,