備戰(zhàn)高考技巧大全之高中數(shù)學(xué)黃金解題模板：專題32 線性規(guī)劃問題的求解策略（解析版）

專業(yè)文檔珍貴文檔【高考地位】線性規(guī)劃問題是高考的必考內(nèi)容，其基本解題策略是定區(qū)域、化函數(shù)、找最值。近年來，高考中的線性規(guī)劃問題更趨靈活多樣，體現(xiàn)了“活、變、新”等特點(diǎn)，更加深刻的考查學(xué)生解決綜合性問題的能力。在高考中以各種題型中均出現(xiàn)過，其試題難度屬中高檔題.【方法點(diǎn)評(píng)】類型一線性目標(biāo)函數(shù)問題使用情景：求目標(biāo)函數(shù)的最值解題模板：第一步根據(jù)已知約束條件畫出其可行域；第二步平移目標(biāo)函數(shù)的直線系，根據(jù)直線的斜率和截距之間的關(guān)系求出其最優(yōu)解；第三步得出結(jié)論.例1已知實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最大值是___________．【答案】6【解析】考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題．【方法點(diǎn)睛】運(yùn)用線性規(guī)劃求解最值時(shí)，關(guān)鍵是要搞清楚目標(biāo)函數(shù)所表示的直線的斜率與可行域便捷直線的斜率之間的大小關(guān)系，以好確定在哪個(gè)端點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值；在哪個(gè)端點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，正確作出可行域是解答此類問題的前提條件．例2SKIPIF1<0已知、滿足不等式組，則的最大值是．【答案】6【解析】目標(biāo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，取得最大值是6.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．【名師點(diǎn)睛】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，首先要作出可行域，作直線，把中轉(zhuǎn)化為，易知是直線的縱截距，因此當(dāng)時(shí)，直線向上平移，增大，在時(shí)，直線向下平移，增大，這樣我們把的值與直線縱截距聯(lián)系起來，可容易求得最優(yōu)解．【變式演練1】已知變量滿足約束條件：，若表示的區(qū)域面積為4，則的最大值為___________.【答案】【解析】試題分析:畫出不等式組表示的區(qū)域如圖,因且,故區(qū)域的面積為,解之得,平移動(dòng)直線,結(jié)合圖形可以看出當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),動(dòng)直線的截距最小,最大,,故應(yīng)填.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)及運(yùn)用．【變式演練2】已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0B．1C【答案】B【解析】AABC考點(diǎn)：1、線性規(guī)劃；2、三角形的面積.類型二非線性目標(biāo)函數(shù)問題使用情景：求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值解題模板：第一步根據(jù)已知約束條件畫出其可行域；第二步借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，并利用數(shù)形結(jié)合法將所求問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題如直線的斜率問題、兩點(diǎn)的距離的平方等；第三步得出結(jié)論.例3已知不等式組則的最大值為．【答案】3【解析】考點(diǎn)：線性規(guī)劃【易錯(cuò)點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.例4在平面直角坐標(biāo)系中,為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),已知點(diǎn),則直線斜率的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：可行域?yàn)橐粋€(gè)四邊形OBCD及其內(nèi)部,其中，因此直線斜率的最小值為直線斜率，為，選B.考點(diǎn)：線性規(guī)劃【易錯(cuò)點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.例5若滿足，則的最大值為（）A．-8B．-4C．1D．2【答案】D 【解析】考點(diǎn)：1、可行域的畫法；2、最優(yōu)解的求法.“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.【變式演練3】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A．B．9C．2D．11【答案】B【解析】考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【變式演練4】若變量滿足約束條件，且僅在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：由約束條件畫出可行域如圖所示，表示的幾何意義是:點(diǎn)與時(shí),通過圖象旋轉(zhuǎn)可知,不可能在處取到最大值,舍去；當(dāng)時(shí),若,則必然存在與可行域有交點(diǎn),此時(shí)無斜率,可以理解為斜率趨向于正無窮,故無最大值；當(dāng)時(shí),在點(diǎn)處取到最大值,在處取得最小值,符合題意,故選C.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【變式演練5】已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題．類型三含參數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)問題使用情景：求含參數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)的最值解題模板：第一步根據(jù)已知約束條件畫出其可行域；第二步畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較并進(jìn)行分類討論；第三步得出結(jié)論.例6已知滿足，且的最大值是最小值的-2倍，則的值是.【答案】【解析】試題分析：由題意得可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過C點(diǎn)時(shí)取最大值，過B點(diǎn)時(shí)取最小值，因此.考點(diǎn)：線性規(guī)劃【易錯(cuò)點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.【變式演練6】SKIPIF1<0設(shè)，變量，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則_________．【答案】【解析】考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用．【高考再現(xiàn)】1.【2016高考山東文數(shù)】若變量x，y滿足則x2+y2的最大值是（）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】試題分析：畫出可行域如圖所示，點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大，所以，選C.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃2.【2016高考浙江文數(shù)】若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：畫出不等式組的平面區(qū)域如題所示，由得，由得，由題意可知,當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí)，兩直線的距離最小，即．故選B．考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)可行域的特點(diǎn)確定取得最值的最優(yōu)解，代入計(jì)算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．3.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】若x，y滿足約束條件，則的最小值為__________【答案】【解析】考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．4.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】若滿足約束條件QUOTEQUOTE則的最大值為_____________.【答案】【解析】考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題．【技巧點(diǎn)撥】利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：(1)作出可行域．將約束條件中的每一個(gè)不等式當(dāng)作等式，作出相應(yīng)的直線，并確定原不等式的區(qū)域，然后求出所有區(qū)域的交集；(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線(等值線是指目標(biāo)函數(shù)過原點(diǎn)的直線)；(3)求出最終結(jié)果．5.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.【答案】【解析】試題分析：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤(rùn)之和為元,那么 ①目標(biāo)函數(shù).二元一次不等式組①等價(jià)于 ②作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn),一般以客觀題形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問題常利用數(shù)形結(jié)合.本題運(yùn)算量較大,失分的一個(gè)主要原因是運(yùn)算失誤.6.【2016高考上海文科】若滿足則的最大值為_______.【答案】【解析】試題分析：由不等式組畫出可行域，如圖，令，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且為.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃7.【2016高考天津文數(shù)】(本小題滿分13分)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙中肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬元.分別用x,y表示生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).(Ⅰ)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(Ⅱ)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？并求出此最大利潤(rùn).【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）生產(chǎn)甲種肥料車皮，乙種肥料車皮時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬元【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)生產(chǎn)原料不能超過A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，列不等關(guān)系式，即可行域，再根據(jù)直線及區(qū)域畫出可行域（Ⅱ）目標(biāo)函數(shù)為利潤(rùn)，根據(jù)直線平移及截距變化規(guī)律確定最大利潤(rùn)試題解析：（Ⅰ）解：由已知滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分.答：生產(chǎn)甲種肥料車皮，乙種肥料車皮時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬元.考點(diǎn)：線性規(guī)劃【反饋練習(xí)】1.【吉林省長(zhǎng)春市普通高中2017屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)（理）試題】動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為.【答案】【解析】試題分析：由已知可得，線性可行域如圖所示，則線性目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取最小值3.考點(diǎn)：線性規(guī)劃2.【山西大學(xué)附中2017屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題】設(shè)滿足約束條件，則的最大值是____________．【答案】【解析】考點(diǎn)：線性規(guī)劃．3.【河南省新鄉(xiāng)市2017屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題】已知變量滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)分別在點(diǎn)和點(diǎn)處取得最大值為，最小值為.考點(diǎn)：線性規(guī)劃．4.【河北省武邑中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題】設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)?，若圓經(jīng)過區(qū)域上的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】xyxyoABC考點(diǎn):線性規(guī)劃.5.【河北省衡水中學(xué)2017屆高三摸底聯(lián)考，8】若為不等式組，表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從連續(xù)變化到時(shí)，動(dòng)直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：線性規(guī)劃.6.【廣西南寧二中、柳州高中、玉林高中2017屆高三8月聯(lián)考，13】若滿足約束條件，那么的最大值是__________.【答案】2【解析】試題分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．因?yàn)楸硎酒矫鎱^(qū)域上的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，由圖知當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，斜率最大，所以的最大值為2．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題．7.【河南百校聯(lián)考2017屆高三9月質(zhì)檢，15】已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值為______________．【答案】【解析】考點(diǎn)：線性規(guī)劃8.【湖南永州市2017屆高三第一次模