常州市實驗初級中學2022年高三壓軸卷數學試卷含解析

2022年高考數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90）的車輛數和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，2．設命題函數在上遞增，命題在中，，下列為真命題的是（）A． B． C． D．3．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數分別記為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．4．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數為，則為（）A． B． C． D．5．四人并排坐在連號的四個座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數是（）A．12 B．16 C．20 D．86．已知復數滿足：（為虛數單位），則（）A． B． C． D．7．（）A． B． C．1 D．8．己知函數的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．9．已知為實數集，，，則（）A． B． C． D．10．設集合，則()A． B．C． D．11．拋擲一枚質地均勻的硬幣，每次正反面出現的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．12．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續(xù)2次拋擲一顆質地均勻的骰子（六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數，則事件“點數之積是3的倍數”的概率為____．14．滿足約束條件的目標函數的最小值是.15．設（其中為自然對數的底數），，若函數恰有4個不同的零點，則實數的取值范圍為________.16．設，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設為拋物線的焦點，，為拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（Ⅰ）若點在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當時，求點縱坐標的取值范圍.18．（12分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實現不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為，現規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）在四棱椎中，四邊形為菱形，，，，，，分別為，中點..（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．（12分）某景點上山共有級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級臺階開始向上走，一步走一個臺階記分，一步走兩個臺階記分，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時所得分數為，求的分布列和數學期望；（2）證明：數列是等比數列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級臺階的概率．21．（12分）中的內角，，的對邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點為邊上一點，且，求的面積.22．（10分）已知橢圓與拋物線有共同的焦點，且離心率為，設分別是為橢圓的上下頂點（1）求橢圓的方程；（2）過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點，當弦的中點落在四邊形內（含邊界）時，求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．C【解析】

命題：函數在上單調遞減，即可判斷出真假．命題：在中，利用余弦函數單調性判斷出真假．【詳解】解：命題：函數，所以，當時，，即函數在上單調遞減，因此是假命題．命題：在中，在上單調遞減，所以，是真命題．則下列命題為真命題的是．故選：C．【點睛】本題考查了函數的單調性、正弦定理、三角形邊角大小關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．A【解析】

根據題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結合四個選項可知，只有正確.故選：A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.4．A【解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.5．A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個空位置里進行插空，有種，所以共有種.故選：A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎題.6．A【解析】

利用復數的乘法、除法運算求出，再根據共軛復數的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點睛】本題考查了復數的四則運算、共軛復數的概念，屬于基礎題.7．A【解析】

利用復數的乘方和除法法則將復數化為一般形式，結合復數的模長公式可求得結果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復數模長的計算，同時也考查了復數的乘方和除法法則的應用，考查計算能力，屬于基礎題.8．A【解析】

先將函數解析式化簡為，結合題意可求得切點及其范圍，根據導數幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數即直線與函數圖象恰有四個公共點，結合圖象知直線與函數相切于，，因為，故，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的圖像與性質的綜合應用，由交點及導數的幾何意義求函數值，屬于難題.9．C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【詳解】為實數集，，，或，．故選：．【點睛】本題考查交集、補集的求法，考查交集、補集的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10．B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.11．A【解析】

首先求出樣本空間樣本點為個，再利用分類計數原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數，再求出重復數量，可得事件的樣本點數，根據古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個，具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個正面向上為連續(xù)的3個“1”，有以下3種位置1____，__1__，____1．剩下2個空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都是，但合并計算時會有重復，重復數量為，事件的樣本點數為：個．故不同的樣本點數為8個，.故選：A【點睛】本題考查了分類計數原理與分步計數原理，古典概型的概率計算公式，屬于基礎題12．D【解析】

先計算，然后將進行平方，，可得結果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數量積的運算和模的計算，屬基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】總事件數為，目標事件：當第一顆骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當第一顆骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標事件共20中，所以。14．-2【解析】

可行域是如圖的菱形ABCD，代入計算，知為最小.15．【解析】

求函數，研究函數的單調性和極值，作出函數的圖象，設，若函數恰有4個零點，則等價為函數有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數根的分布進行求解即可．【詳解】當時，，由得：，解得，由得：，解得，即當時，函數取得極大值，同時也是最大值，（e），當，，當，，作出函數的圖象如圖，設，由圖象知，當或，方程有一個根，當或時，方程有2個根，當時，方程有3個根，則，等價為，當時，，若函數恰有4個零點，則等價為函數有兩個零點，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數與方程的應用，利用換元法進行轉化一元二次函數根的分布以及．求的導數，研究函數的的單調性和極值是解決本題的關鍵，屬于難題．16．【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數形結合即可容易求得結果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標函數可轉化為與直線平行，數形結合可知當且僅當目標函數過點，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查由目標函數的最值求參數值，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由拋物線的性質，當軸時，最??；（2）設點，，分別代入拋物線方程和得到三個方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由拋物線的標準方程，，根據拋物線的性質，當軸時，最小，最小值為，即為4.（2）由題意，設點，，其中，.則，①，②因為，，，所以.③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得點縱坐標的范圍為.【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質和二次方程的解的問題，考查運算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解.18．（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析【解析】

（1）根據公式計算卡方值，再對應卡值表判斷..（2）根據題意，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，分別求得概率，寫出分布列，根據期望公式求值.（3）因為至少8個的偶數個十字路口，所以，即.要證，即證，根據組合數公式，即證；易知有.成立.設個路口中有個路口種植楊樹，下面分類討論①當時，由論證.②當時，由論證.③當時，，設，再論證當時，取得最小值即可.【詳解】（1）本次實驗中，，故沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，4，故，，01234故.（3）∵，∴.要證，即證；首先證明：對任意，有.證明：因為，所以.設個路口中有個路口種植楊樹，①當時，，因為，所以，于是.②當時，，同上可得③當時，，設，當時，，顯然，當即時，，當即時，，即；，因此，即.綜上，，即.【點睛】本題考查獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及期望、排列組合，還考查運算求解能力以及必然與或然思想，屬于難題.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明，得到平面，得到證明.（2）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）因為四邊形是菱形，且，所以是等邊三角形，又因為是的中點，所以，又因為，，所以，又，，，所以，又，，所以平面，所以，又因為是菱形，，所以，又，所以平面，所以.（2）由題意結合菱形的性質易知，，，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設平面的一個法向量為，則：，據此可得平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則：，據此可得平面的一個法向量為，，平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20．見解析【解析】