數(shù)學(xué)專業(yè)考研試題-中科院

第二章一元函數(shù)的連函數(shù)是數(shù)學(xué)分析研究的對象，是貫穿數(shù)學(xué)分析的一根主線。本講主要函數(shù)的連續(xù).I—函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)及其性質(zhì)重要的非初等函數(shù)連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)limf(x)

f(x0)limy00,0,當(dāng)xx0時，有f(xf(x0)0,0xU(x0,)時，有f(xf(x0)海涅定xU(x),xnx0(nlimf(x

f(x0)0f(x00)f(x00)f(x0

f(x在某區(qū)間連續(xù)，只需證明在其中任意一點連續(xù)即可，其常用方法除上面間斷點的類型f(xx0f(xx0x0f(x的間斷點.對于間斷點x0，（1）f(x00),f(x00)都存在1）f(x00)2）f(x00)

f(x00)x0f(x00x0為可去間斷點f(x00),f(x00)中至少有一個不成在f(xI有定義，若0,有f(x1f(x2)f(xI上一致連續(xù)

0,x1x2Ix1

有界性f(x)在閉區(qū)間[abf(x)在[ab上有界最值f(x在閉區(qū)間[abf(x在[ab上能取到最大值和最小值介值性定理f(x)在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，且f(a)f(b).若uf(a)uf(bf(a)uf(b，則存在cabf(c)u根的存在定理（零點定理f(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù),f(a)f(b)0,則cab,f(c)0一致連續(xù)性f(x)在閉區(qū)間[ab上連續(xù),則在[ab上一致連續(xù)II—函數(shù)的連續(xù)性及其相關(guān)f(x在(abf(x在(abf(x在(abf(x在(abf(x在[abf(x在[abf(x在[abf(x在[ab連續(xù)解（1）不正確.f(x1,x0,1)x（2）正確.x0(ab[abx0[,f(xx0連續(xù)，由x0的任意性知結(jié)論正確.正確.(abab，由條件知f(x)(ab)有界，記M1為其一個界，取MmaxM1,f(a),f(b)Mf(x在[ab上的一個有界不正確.f(x

0xx2構(gòu)造[0,1] （2）僅在點x21處連續(xù)（3）在無理點連續(xù)，在有理點不連續(xù)；（4）在每一點的任何領(lǐng)域內(nèi)均f(x)

f(x)(x1)D(xD(xDirichlet函數(shù)2f(x) p xpq,(p,q)例3（復(fù)旦大學(xué)1999）嚴(yán)格表達

f(x)f(x)在[ab上非一致連續(xù)解（1）M0,N0,xNf(xM

f(x)（2）000x1x2[ab]x1例4（復(fù)旦大學(xué)）Riemann函

f(x1)f(x2)f(x)在區(qū)間[0,1]上的不連續(xù)點類型

pq0,pq是互質(zhì)整數(shù)，x0,1及無理數(shù),f(x在(0,1)0，從而在無理點連續(xù)x001，f(x)f(x.0q1(0,1)中使得f(x)成立的x只有有限個，不妨設(shè)為x1,x2, ,xk，若x0等于這k個數(shù)中的某一個，例如xx,，則取minx,1x,xx,i ,k,否則

,1

,

i k，這樣U(0x,0,1)f(xlimf(x)0.此說明函數(shù)在無理點均連續(xù)，在(0,1).內(nèi)任意有理點都不連續(xù)，f(xx00x1左連續(xù)1（2001）續(xù)xn例5（電子科技大學(xué)）研究函數(shù)f(x)lim 的連續(xù)性nxn

f(x)limxn

xx nnx

xf(x在(,1)11)1,x1為其第一類間斷點6（湖南大學(xué)）f(x)

xx

g(x)sinx

f

的連續(xù)性f(g(x))解由

g(x)g(x)2kx(2k1),(2k1)x2kkZxkkZ為其第一類間斷點，其余點均連續(xù)7f(x在(ab內(nèi)每一點的左右極限都存在，且x,yabf(xy)1(f(x)f(

f(x在(ab內(nèi)連續(xù)在（1）xx0yx0 f(x00)2

f(x0)2

f(x00)即f(x0)f(x).同理，在（1）yxf(x0)f(x.又在 xx0h,yx0hh0f(x)1(f

0)f

0)) 由此可得f(x0f(x00)f(x00)，即f(x)xx0連續(xù)，由x0的任意性知f(x)在(ab內(nèi)連續(xù)例8（西安電子科技大學(xué)）設(shè)函數(shù)f1x),f2x),f3x)[ab]f1x),f2x),f3xf(x在[ab連續(xù).證事實上，f(x)可表為

f(x)f(x)f1(x)f2(x)f3(x)minf1(x),f2(x),f3(x)maxf1(x),f2(x),f3例9（師范大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)上有定義，且函數(shù)exf(x)和ef(x)在(0,1)都單調(diào)不減.證明：f(x)在(0,1)連續(xù).證f(x)(0,1都單調(diào)不減知f(x)單調(diào)不減，f(x)單減，因此x(0證f(x00),f(x00)f(x00)f(x0)f(x00). 由exf(xxxexf(xex0f(xxx得 ex0f(x00)ex0f(x0)結(jié)合（2）f(x00)

f(x00)f(x0)

f(x0)f(x00)f(x0f(xx0連續(xù).x0f(x在(0,1)連續(xù)例10（合肥工業(yè)大學(xué)）證明：定義在(ll內(nèi)的任何函數(shù)f(x，必可以表示成偶函數(shù)證F(x)1(f(x)f(xG(x)1(f(x)f(x))F(x)G(x)分別為 (ll上的偶函數(shù)和奇函數(shù).F(x)F1(x)G1(x)G(x)F(xF1(xG1(xG(x既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，從而為常值函數(shù)0.例11（大學(xué)2001）證明：函數(shù)f(x)x3ex2為R上的有界函數(shù)

limxx

0（洛必達法則M0，當(dāng)xMf

f(x在[M,M上連續(xù)，故在[M,M有界，即Lf(x)L

使得x[M,MxRf(x)Lf(xR上的有界函數(shù)f(x11)x2f(x11f(x2，證明：f(x)在I的任何閉子區(qū)間上都有界.證[abIxab0,1)xa(ba)b(1)a，Mmaxf(a),f(b)，則由假設(shè)得f(x)f(b)(1)f(a)Mxab也成立f(x有下界x[abyabxxyab

f(ab)2

f(xy)

f(x)2

f(y)2

f(x)M2f(x)2ff(xII上有界

a2

)M例13（大學(xué)）設(shè)f(x)為非常值連續(xù)周期函數(shù)，證明：f(x)必有最小正周期 記Stt為f的正周期，由確界原理知S存在下確界，記TinfS,T0.下證Tf(x的周期，且TtS，使得limtT.f(xxR nf(xT)limf(xt) 若T0，即limt0，則xRx

f(x)n

xkntnrn,n kn0rntn,limrn0.f(x)f(kntnrn)f(rn)f(x)f即f(x)為常值函數(shù)，這與假設(shè) ，所以T0，從而T為f(x)的最小正周期.注沒有連續(xù)性假設(shè)，這個結(jié)論不正確，如Dirichlet函數(shù).2（1998）f(xR上的周期函數(shù)，其周期小于任意小的正數(shù).證明：若f(x)R上連續(xù)，則f(x)為常值函數(shù).14設(shè)函數(shù)f(x)在[ab連續(xù).（1）r[abf(r)0fx)0,x[a格遞增

f(r2f(x在[ab證（1）x0[a,b]，由有理數(shù)的稠密性知，必存在有理數(shù)列rn[a,b]limrxn f(xf(x)limf(r)0f(x)0,x[a （2）x1x2[abx1x2r1r2x1r1r2x2，在[x1r1和[r2x2中分別存在嚴(yán)格遞減有理數(shù)列rn和嚴(yán)格遞增有理數(shù)列rnlimrnx1limrnxn

f(x1)limf(rn)limf(rn)

f(x2

f(x在[ab上嚴(yán)格遞增15Rf(xf(xx0xyRf(xy)證明：（1）f(xR（2）xR,f(x)f

f(x)f( 證（1）xy0代入（3）f(0)0.x0R，由（3）f(x)f(xx0)f(x0)f(xx0limf(x)xf(xR上連續(xù)

f(x0)limf(xx0)

f(x0)f(0)f(x0（2）以yx代入（3）式知f(x)為R上的奇函數(shù)

f(p)pf f(1)1f pf(xrqf(r)rfxR，存在有理數(shù)列rlimrx nf(x)limf(rn)limrnf(1)xf 16f(x在[abx[abM(x)在[ab上連續(xù)

f(t.M f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上一致連續(xù)，即0,0，當(dāng)x1x2[ab],x1x2f(x1)f(x2)，x0[ab]，當(dāng)0x,x0x[ab時，有0M(x0x)M(x0) t[a,x0

f(t)t[a,x0

f (f(t)f(x0))sup(f(t)f(x0t[a,x0 t[a,x0 (f(t)f(x))sup(f(t)f(xmaxsup(f(t)f(x0t[a,x0

t[a,x0 同理可證，當(dāng)x0,x0x[ab0M(x0)M(x0x)

M(x0x)M(x0)M(xxx0x0M(x在[ab上連續(xù)m(x)minfat在[ab上連續(xù)例17（交大2003，首都師大2003，華東師范大學(xué)）設(shè)f(x)對R上一切x，f(x2f(xf(xx0,x1處連續(xù)f(xR上為常數(shù).證x0時，由已知條件得 f(x)f(x2)f(x4) f(x2n) 1f(xx1f(x)limf(x2n)

x0f(xf(x2f(1)x0f(xx0f(0)limf(x)

f(xR上為常數(shù)二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用證f(x在[abM

f(x（M可能為.），定義可得：存在xnab，使得limf(xnM.而xnn斂子列

，設(shè)lim

x0x0[abf(x在[ab k

Mlimf(xn)limf(xn)f(x0) k f(xx0取得最大值例19設(shè)函數(shù)f(x在[ab上連續(xù)，且在[ab上存在反函數(shù)，證明：f(x在[ab上f(x在[ab1）xx[ab],xxf(x)f(x2）xxx[ab],xxxf(x)f(x)f(x f(x)f(x)f(x當(dāng)情況1）出現(xiàn)時，函數(shù)f(x)在[a,b]上不存在反函數(shù)，這與條件.當(dāng)情況2）現(xiàn)時，由介值定理知，存在cx,x)f(c)f(x在[ab上嚴(yán)格單調(diào)

f(x)，這也與反函數(shù)存 思考題4（華東師大1999，大學(xué)2002）證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上處處連續(xù)，且為一一，則f(x)在I上必為嚴(yán)格單調(diào).提示：一一必存在反函數(shù)例 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)（這里(a,b)可以是有限區(qū)間，也可以是無窮間），

f(x)

f(x)其中為有限數(shù)，.f(x在(ab內(nèi)能取到最大值或最小值.證（1）若(ab為有限區(qū)間，為有限時，補充定義f(x)f

xa,b,f(x在[abf(a)

若時，取x0ab)，由xa

f(x)

f(x)得：(minx0abx0xa,abb)時，f(x)f(x0.在區(qū)間[ab上，f(x)連續(xù)，從而取到最小值，設(shè)為f(x1，則f(x1f(x1f(x在(ab上的最小值

f(x0.（2）當(dāng)(abab情形給予證明，其余情形類似， 為有限值時，若f(x)，結(jié)論顯然成立，否則必存在x0(a,b)，使f(x0.不妨設(shè)f(x0，則由極限的保序性知：0xaa)f(x)f(x0M0(MaxMf(x)f(x0).間[a,Mf(xf(cf(c)f(cf(x在(ab上的最大值

f(x021f(x：[abab為連續(xù)函數(shù)[ab],f(證f(a)af(b)b，不證自明.f(a) f(b)F(xf(xxF(x在[abF(a)0,F(b0，由介值定理立明5f(x：[0,10,1]nZx0[0,1f(x0)xn0例22（大學(xué)2001）設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)f(1).證明nZ[0,1]，f(n1)f()當(dāng)n1時，取0，則結(jié)論成立F(x)f(xn1f(xF(0) nF(n)F(n)F(n) F(n)0思考題6（交大）設(shè)f(x)在[0,1]上非負(fù)連續(xù)，且f(0)f(1)0，則對任意實l0l1x0[0,1f(x0)f(x0例 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,)二次可微，且f(0)f(x)0.f(x)0在一[0,內(nèi)只有一根

f(0)0.x0f(x)f(0)f(0)x1f()x2,02f(0)0,f(x)0xf(x)1f(0)10，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點c，使得f(c)0.又f(x)0f(x)單增，而f(0)0f(x)0f(x)嚴(yán)格單調(diào)，從.使得f(a)f(b).（前高校聯(lián)賽題證以圓心為極點，以某半徑所在射線為極軸，這樣，定義在圓周上的函數(shù)僅為極角的一元函數(shù)，且以2為周期.至此，所求問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f(在[0,2上連續(xù)，且f(0)f(2求一0，使得f(0f(0.F(f(f(F(0)0F(0)0F(f(F(2f(f(0)F(0)，F(xiàn)()在閉區(qū)間[0,]上異號，由介值定理立明.例 2002）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,a2]上連續(xù)，證明：x[a,a]，得f(x)f(x)1[f(a2)f(a)]2證F(t)f(tf(t1f(a2f(a2F(a)F(a)0F(t在[aaF(a0F(a)0F(a)F(a0，x(aa)F(x)0，即f(x)f(x)1[f(a2)f(a)]226（1999）f(xR

f(x)f(xxf(a)a.F(x)ff(x至少在兩點達到最小值證

f(x)M0(M

a

Mf(x)a.[Ma][aM]上，f(a)ax1[Max2[aM]

f(M ，由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在從而xRF(x1F(x2值

f(x1)f(a)

f(x2)ff(x))F(xF(xx1x2例27（華技大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，ax1x2 xnb，證明：(a,b)，使得f()f(x1)f(x2) f(xn)n證f(x在(ab內(nèi)連續(xù)，則在[x1xn上連續(xù)，從而在[x1xnm則

f Mx[x1,x2

f(x)mf(x1)f(x2) f(xn)Mnf()f(x1)f(x2) f(xn)n例28（華中師大2000，西安交大，交大，國防科技大學(xué)）設(shè)f(x)在[a,b]上 xf(x)0.F(x)af(t)dt（1）F(x)2

dt.f（2）F(x0在[ab內(nèi)有且只有一個根.證（1）由f(x)0得f(x)1fF(x)ff(x)1ff

（2）f(x)0

F(a)

F(b)由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在cabF(c)又由（1）F(x在[ab上嚴(yán)格遞增，所以使上式成立的c是唯一的例29（復(fù)旦大學(xué)，大學(xué)1999，首都師大2000）設(shè)連續(xù)函數(shù)yRfab].x0[abf(x0x0

f(x),x[a,b]Rfab],a致連續(xù)問

f(x)bF(x)f(xx，由介值定理立明f(xg(xIf(x)g(x)I一致連續(xù).解（1）若0,0,xxI，當(dāng)xx時，有f(x)f(x)f(xI一致連續(xù)（2）f(xg(xI0,0,xxIxx有f(x)f(x) g(x)g(x)f(xg(xIM0，使得xIf(x)M g(x)Mf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(xMg(x)g(x)f(x)g(x)I一致連續(xù)

f(x)f(x

2M31（華中師大）f(x定義在區(qū)間(abf(x在(ab1設(shè)0a1.f(x)sinx在(a1)11f(x)sinx在(0,1)非一致連續(xù)1解（1）若0,0,xxab，當(dāng)xxf(x)f(x)f(x在(ab一致連續(xù)（2）xxa1)1111asin1 x1111a0,a20,xxa1xx1f(x在(a1)11

0

0,n2 2n 2n2

取x

,x 1x

f(x1f(x2)10f(x2 2

2 2001）證明：f(x)x在[a,)(a0)上一致連續(xù)，g(x)sinx例32（大學(xué)2001）證明：f(x) 在(0,)內(nèi)一致連續(xù)x

lim

0，由極限的柯西收斂準(zhǔn)則知：0,10x1x20,1xf(x1)f(x2)x 在 ,)上，x,x ,)， f

)f(x2)

x1x2

21

x2x1 x1 從而對上 0 1 1)，當(dāng)x, [1 )，x

f(x1)f(x2)x1x20,x1[1,2f(x在(0,一致連續(xù)

x1x2要么同時屬于(0,1)，要么同時屬于f(x1)f(x2)注也可將區(qū)間(0,)延拓到[0,)，然后分 xsin思考題8（人民大學(xué)1999）用定義證明：f(x) 在[0,)上一致連續(xù).例33（ 函數(shù)f(x) 在0x上的一致連續(xù)性.xsinxlimsin limsinxx0 x

,sin x(0,,f(x)

xxf(x在[0,]連續(xù)，從而在[0,]f(x在(0,內(nèi)一致連續(xù).34（2000）f(x)x2f(x在[0,a](a0)f(x在[0,非一致連續(xù)證（1）f(x在[0,aConterf(x在[0,a上一致連續(xù)（也可用定義仿例26證之）.

1,0,x20,x2

x

4

f(x1f(x2)x1x2x1x2220，所以，f(x)在[0,)上非一致連續(xù).注例35（2000）用定義證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]和[b,c]上一致連續(xù)，f(x)在[ac上一致連續(xù)f(x在[abbc0,0x1x2[ab],x1x2x1x2[bcx1x2f(x1f(x2)2，x1[ab],x1b時，有x2[bc],x2b

f(x1)f(b) 2f(x2)f(b) 2從而，x1x2[ac

x1

x1x2要么同時屬于[ab，要么同時屬于f(x1)f(x2)2

f(x1)f(x2)f(x1)f(b)f(x2)f(b)

f(x1)f(x2)f(x在[ac上一致連續(xù)下面幾個例題刻畫了一致連續(xù)的性質(zhì)例36（浙江大學(xué)2004，華技大學(xué)）證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條I上的任意數(shù)列xnxnxnxn0,就有f(xn)f(xn)0(n)證必要性.f(xI上一致連續(xù)，則00xxI,xx

f(x)f(x) xnxn0,故對上述0N0nNxnf(xn)f(xn)

，從而由（1）

f(xn)f(xn)0充分性f(xI上非一致連續(xù)，即00,0xxI,xf(x)f(x)0

,取1xxxxn1，但f(xf

0 37If(x在其上有定義.f(xI函數(shù)f(x)把柯西列為柯西列.（師范大學(xué)、西北師范大學(xué)必要性證明同上充分性.假設(shè)f(x)在區(qū)I上非一致連續(xù)11的證明xn,xnxn

1

f

)f(xn)0nxnI，則必存在收斂子列x，由上式知x也收斂，且極限相n xn,xn,xn,xn ,xn,xn f(xn),f(xn),f(xn),f(xn ,f(xn),f(xn 非柯西列，這與已知條件例38（山東大學(xué)、大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)在有限區(qū)間(a,b)上連續(xù).試證：f(x)在限區(qū)間(ab

f(x)

f(x均存在（有限充分性顯然.（利用函數(shù)延拓方法證之必要性.f(x在有限區(qū)間(a,b上一致連續(xù)，則0,0,xxab，xx時，有f(xf(x)，故xxa,b),ax,xa,有f(x)f(x)

f(x存在，且有限

f(x存在且有限注（1）f(x)x（大學(xué)xf(x)sin1在(0,1上xf(xIf2xIf(x)xR上.f(x一致連續(xù)，且有界，或I為有限區(qū)間，則f2(x)I一致連續(xù).若函數(shù)f(x)在(a,b)（有限或無窮）f(x)在(a,b)一致思考題9（廈門大學(xué)）f(x在區(qū)間(0,1)F(x在閉區(qū)間[0,1x0,1F(xf10（大連理工）f(x在有限區(qū)間(abxa

f存在 1（1）f(x)x1xh(x) 2x2x

（2）g(x)sinx1s(x)ln1思考題12（1998）設(shè)f(x)C[a,b]，若xa

f(x)1,

f(x)2f(x)在[a,b]一致連續(xù) （2）f(x)在[a,b]連續(xù)（3）f(x)在(a,b)一致連續(xù) （4）f(x)在(a,b)可微39f(x在[a,

f(x)A（有限數(shù)）函數(shù)f(x)在[a,)一致連續(xù).（人民大學(xué)2001，大學(xué)f(x)在[a,)有界.（復(fù)旦大學(xué)，（1）

f(x)A0,N0(Na),xNf(x)A2從而當(dāng)x1,x2[N,f(x1f(x2) 在區(qū)間[aN+1]上，由于f(x)連續(xù)，從而在閉區(qū)間[aN+1]00(1),x1x2[a,N1],x1x2f(x1)f(x2)x1x2[ax1x2x1x2要么同時屬于[a，N+1]，要么同時屬于[N,)，無論何種情形，都有f(x1f(x2).f(x在[a,一致連續(xù).（2）

f(x)A得：對1M0(MaxMf(x)A1，f(x)A在區(qū)間[aMf(xL0(LA1)x[aMf

Lx[a,)，有f(x)Lf(x在[a,有界思考題13（哈工大2002）求證：f(x) 在[0,)上一致連續(xù)f(xR上一致連續(xù)

limf(x)

f(x)40（北師大）f(x在[a,連續(xù)，且有斜漸近線，即b,cRlim[f(x)(bxc)]0f(x在[a,一致連續(xù)證b0，由例13知結(jié)論成立，若b0，則由limf(xbxc00,M0(MaxMf(x)bxc3取13bx1x2M,x1x21f(x1)f(x2)f(x1)bx1cf(x2bx2cbx1x2. 又f(x)[a,)連續(xù)，從而在[a,M1]上一致連續(xù)，于是對上述020(21),x1x2[a,M1],x1x22f(x1)f(x2)這樣，取min12x1x2[ax1x2x1x2[a，M+1]，要么同時屬于[M,，無論哪種情形，都有在[a,)一致連續(xù).

f(x1)f(x2

.ff(x在[a,g(x在[a,lim[f(x)g(x)]0g(x在[a,一致連續(xù)證由limf(xg(x00,

0(MaxMf(x)g(x)3f(x)在[a,一致連續(xù)，故對上述0,10,x1x2[a,

x1

xxM,x

f(x1)f(x2)21時g(x)g(x

g(x)f(x)

f(x)f(x)

f(x)g(x

又gx)[a,)連續(xù)，從而在[a,M1]上一致連續(xù)，于是對上述020(21),x1x2[a,M1],x1x22g(x1)g(x2)這樣，取min12x1x2[ax1x2x1x2要么同時屬于[a，M+1]，要么同時屬于[M,)，無論哪種情形，都有g(shù)(x1g(x2).g(x)在[a,)一致連續(xù).42f(xIL0,x1x2If(x1)f(x2)Lx1x2f(xI上一致連續(xù)用一致連續(xù)的定義容易證明43（2003）f(xIf(xI一致 由假設(shè)知：L0，xI，x1x2I

f

L，從而有微分中值定理得：f(x1f(x2Lx1x2，即f(x)在I上滿足利普希茨條件，從而一致連續(xù).例44（2001，東南大學(xué)2002）證明：函數(shù)f(x) xlnx在[1,)上一致續(xù)2x證f(x)lnx1f(x在[1,2x

f(x)039f(x在[1,f(x在[1,上一致連續(xù)f(x在[1,上非一致連續(xù)

f(x)

f(x)0,N0xNf(x)2對01x1x2N,x1

2f(x)f(x)f()x 2 f(x在[1,上非一致連續(xù)思考題15（大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間I上，試對“函數(shù)f(x)在I上非一致連續(xù)”的含義作一肯定語氣（即不使用否定詞）敘述，并且證明：f(x)xlnx在(0,)不提示：利用上例結(jié)論思考題16（大學(xué)1998）設(shè)函數(shù)f(x)在[0,)上滿足利普希茨條件，證明：函f(x)(01)在[0,上一致連續(xù)提示：g(x)x在[0,上一致連續(xù)，為此將區(qū)間[0,[0,1]和[1,，當(dāng)01g(x在[1,g(x在[1,一致連續(xù)思考題 1999）設(shè)函數(shù)f(x)在[0,)連續(xù)，在(0,)內(nèi)處處可導(dǎo)，

f(x)A（存在）.Af(x在[0,上一致連續(xù)4345立明思考題18（2005）（1）設(shè)f(x)在開區(qū)間(a,b)可微，且f(x)在(a,b)有界f(x在(ab一致連續(xù)（2）f(x)在開區(qū)間(ab)(ab)可微，且一致連續(xù)，試問f(x)(ab是否一定有界（若肯定回答，請證明；若否定回答，請舉例說明）.提示：（1）參見例43.x（2）未必有界，如函數(shù)f(x) ，xx思考題19（2005保送生考試）設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).問f(x)g(x)在xx

lnx在(0,一致連續(xù)例46（師范大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，xa

f(x

f(x均存在有限.f(x在(ab

f(x),

f(x)均存在證（1）f(x在區(qū)間(ab42f在(ab一致連續(xù)例47（云南大學(xué)、大學(xué)）設(shè)f(x)在R一致連續(xù)，則存在非負(fù)實數(shù)a,b,使xRf(x)axbf(xR00,x1x2R,x1x2f(x1)f(x2)

xR,x0,則nZxnx0x0.f(x在[上有界，即M0f

M,x[,nf(x)[f(kx0)f((k1)x0)]f(x0)knf(x) [f(kx0)f((k1)x0)]k

f(x0)nMxnx0n

xf(x)x

x

M

xM

xM特別地，取0100,a00bM1，則結(jié)論成立f20（2004）f(x在[1,上一致連續(xù)，求證：上有界

在例48（師大，江西大學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)在[0,)一致連續(xù)，且x0，limf(xn)0limf(x)0證f(x在[0,0,0,x1x2[a,),x1x2

f(x1)f(x2)2 k1，將[0，1]k

ii1, k.這時小區(qū)間的間距均小于ki因此對于小區(qū)間中的任意兩點，上式均成立由已知條件知，對每個xin，有ilimf(xin)0，從而對上述0Ni0nNi f(xi)n2，i1, ,k

f(xi)

2xN,f(x).xN，記nxNxn[0,1)存在i1, ,k，使得(xn)f(xf(nxi)2，

，由（3）f(x)

f(x)f(nxi)

f(nxi)limf(x)0注分割法常用來尋找若干個中的最大者，其基本原理是：化無限為有限，從而存在最大者.注意此法的應(yīng)用.49f(xRf(x1f(x2，則存在x1x2f(r，集合xf(x)r為閉集f(xR連續(xù)證用反證法.f(xx0不連0010xR xn

1

f

)f

)0，由此得一數(shù)列

(n),f(xnn區(qū)間f(x00,f(x00之外，從而在該區(qū)間的某側(cè)，不妨設(shè)為右側(cè)含有f(xn)n多項，即存在子列f

)k

kf(xn)f(x0)0k在f(x0f(x00rkf(x0)rf(x0)f(xn),k1, kk由介值性，對每個nk，在x0與xn之間存在一點k，使得f(k)r,k1, .從而kkkxf(xr.k

x0知數(shù)列k收斂于x0，且其中有無窮多個彼此互不相同此x0是xf(x)r的聚點，從而x0xf(x)r，即f(x0)r，這與f(x0)r 50f(xR上連續(xù)任何開集的原象是開集必要性.f(xRGf1G為開集0xf1Gyf(xG00 (f(x0),f(x0))Gf(x0f(U(x0))(f(x0,f(x0)GU(x0,)f1(G)f1G為開集充分性.已知任何開集的原象是開集.x0Ry0f(x00,Uf(x0為f1Uf(x0x0f1Uf(x0，所以0,使得U(x0,) (U(f(x0),)f(U(x0))Uf(x0，即連續(xù)練習(xí)題1（1997）f(x在[abf(x)在[ab上必有最小零點（1）c0,1)，使得cec

exnn1.則有l(wèi)imn

3（大學(xué)2001）設(shè)f(x)于[a,)可導(dǎo)，且f(x)c0（c為常數(shù)）.證明

f(x)f(x)于[a,必有最小值4（1997）f(x在[a,limf(xbx0.其中bf(x在[a,一致連續(xù)5（交大2004）證明sin(x2)在[0,)上不一致連續(xù)6（交大2004）設(shè)f(x)在[0,2a]上連續(xù)，且f(0)f(2a).證明：x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a).7（2005）f(x在[0,1]f(xf(x00,f(x00.f(x在[0,1上只有有限個零點8（2005）f(xR上的以2（1） f(x)dx0（2）f(xfy)LxyxyR,L為常數(shù)；證明：（1）f(x)R上可以取到最大、最小值；（2）maxf(x)9（理工大學(xué)2005）設(shè)f是[a,b][a,b]上的二元連續(xù)函數(shù)，定g(x)maxf(x,y)y[a,b]g(x在[ab上連續(xù)10（1999）設(shè)0.f(xxlnx在(0,內(nèi)一致連續(xù)的參數(shù)的11（2003）f(x在[0,lim[f(x

x0,k為常數(shù)f(x在[0,上一致連續(xù)12（2001）f(x在(abf(xf(x在(ab內(nèi)13（2003）f(x在有窮區(qū)間(ab（1）f(a0),f(b0)（2）f(x在(ab有界If(xI若I是區(qū)間，問f(x)在I是否有界？15（2003）f(x在區(qū)間(,f(x在(,有界

x

f(x316（2004）f(x在(0,1limx2f(x存在f(x在(0,1上一致連續(xù)17（大連理工2005）設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(0,)內(nèi)連續(xù)有界， f(x)(0,內(nèi)的一致連續(xù)性exax2bx19（浙江大學(xué)2003，師大2003）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(