福建省廈門(mén)市2022屆高三畢業(yè)班3月第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

廈門(mén)市2022屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷滿(mǎn)分150分考試時(shí)間120分鐘考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)，可得答案.,故復(fù)數(shù)的虛部為2，故選：C2.一個(gè)斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.π【答案】A【解析】由條件計(jì)算圓錐的體積.由條件可知直角邊長(zhǎng)為1，并且旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是底面半徑為1，高為1的圓錐，所以幾何體的體積.故選：A3.某校高三有1000人參加考試，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105，σ2)，且成績(jī)優(yōu)良（不低于120分）的人數(shù)為360，則此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)及格（不低于90分）的人數(shù)約為（）A.360 B.640 C.720 D.780【答案】B【解析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)可解.因?yàn)椋?，所以此次考試?shù)學(xué)成績(jī)及格（不低于90分）的人數(shù)約為.故選：B4.點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，為焦點(diǎn)，直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求出拋物線(xiàn)的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.由已知可得，可得，則拋物線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)，該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因此，.故選：C.5.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長(zhǎng)：如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽(yáng)幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）.同時(shí)在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線(xiàn)上），其天頂方向與太陽(yáng)光線(xiàn)的夾角測(cè)得為7.2°.因太陽(yáng)距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽(yáng)光線(xiàn)看成是平行的．已知駱駝一天走100個(gè)視距段，從亞歷山大城到賽伊尼須走50天．一般認(rèn)為一個(gè)視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測(cè)得地球的周長(zhǎng)約為（）A.37680千米 B.39250千米 C.41200千米 D.42192千米【答案】B【解析】首先讀懂題意，根據(jù)比例關(guān)系，即可求解地球周長(zhǎng).由亞歷山大城到賽伊尼走，則地球大圓周長(zhǎng)的視距段為，則，得個(gè)視距段，則地球的周長(zhǎng)為米千米.故選：B6.為充分感受冬奧的運(yùn)動(dòng)激情，領(lǐng)略?shī)W運(yùn)的拼搏精神，甲、乙、丙三人進(jìn)行短道速滑訓(xùn)練．已知每一場(chǎng)比賽甲、乙、丙獲勝的概率分別為，，，則3場(chǎng)訓(xùn)練賽過(guò)后，甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意分兩種情況討論，相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；解：依題意甲、乙兩人均獲勝0場(chǎng)，則，甲、乙兩人均獲勝1場(chǎng)，則，所以甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的概率；故選：C7.平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，則的最小值為（）A.- B.-1 C.- D.-【答案】D【解析】由題設(shè)畫(huà)出示意圖，易得且在以中點(diǎn)為圓心，為半徑的劣弧上，根據(jù)圓的性質(zhì)可求的最小值.由題設(shè)，可得如下示意圖，所以，因?yàn)?，即在以中點(diǎn)為圓心，為半徑的劣弧上，所以要使的最小，即最大即可，由圓的性質(zhì)知：當(dāng)為劣弧的中點(diǎn)時(shí)最大，又AC=，此時(shí)，故的最小值為-.故選：D8.已知，，c=，則（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】B【解析】先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較a,b的大小，再利用函數(shù)的圖象比較a,c的大小，可得答案.,而，故，即，又，考查函數(shù)的圖象如圖示：當(dāng)時(shí)，，即有，則，即，故，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，則（）A.直線(xiàn)AD與直線(xiàn)B1D1所成角為45° B.直線(xiàn)AA1與直線(xiàn)CC1異面C.平面ABB1A1⊥平面ADD1A1 D.CA1⊥AD【答案】AC【解析】根據(jù)異面直線(xiàn)所成的角，所成的角即為直線(xiàn)AD與直線(xiàn)B1D1所成角，由此可判斷A;根據(jù)棱臺(tái)的幾何特征可判斷B;利用面面垂直的判定定理可判斷C;利用線(xiàn)面垂直可判斷，由此判斷D.如圖，連接BD,則,則所成的角即為直線(xiàn)AD與直線(xiàn)B1D1所成角，在正方形ABCD中，,故直線(xiàn)AD與直線(xiàn)B1D1所成角為45°，故A正確；由于棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長(zhǎng)后會(huì)交于同一點(diǎn)，故直線(xiàn)AA1與直線(xiàn)CC1是相交直線(xiàn)，故B錯(cuò)誤；由AA1⊥平面ABCD，平面ABCD，故,又平面,故平面,而平面，故平面ABB1A1⊥平面，故C正確；連接AC,BD,由題意知,而平面平面,故,平面平面，故而平面,故AD不可能垂直于，即D錯(cuò)誤，故選：AC10.定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.是周期函數(shù) B.在（－1，1)上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0)對(duì)稱(chēng)【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng)，利用周期的定義判斷，對(duì)于B，根據(jù)題意求出在的解析式，然后判斷，對(duì)于C，利用函數(shù)的周期和奇函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求得其對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)于D，利用函數(shù)的周期和奇函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求得其對(duì)稱(chēng)中心對(duì)于A(yíng)，因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，所以，，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以在（－1，1)上不是單調(diào)遞減，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，所以，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0)對(duì)稱(chēng)，所以D正確，故答案為：ACD11.已知P是圓O:x2+y2=4上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A在x軸上，線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的軌跡可以是（）A.直線(xiàn) B.橢圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)【答案】BC【解析】分點(diǎn)A在圓內(nèi)、圓外、圓上、圓心，作圖，結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)定義以及圓的性質(zhì)可知.當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)，如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)Q在PA的垂直平分線(xiàn)上，所以，所以，又，所以由橢圓定義知，此時(shí)軌跡為橢圓；當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，如圖2，，且，由雙曲線(xiàn)定義可知，此時(shí)軌跡為雙曲線(xiàn)；當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，易知點(diǎn)Q為定點(diǎn)，即圓心O；當(dāng)點(diǎn)A在于點(diǎn)O重合時(shí)，易知Q為AP的中點(diǎn)，軌跡為圓.故選：BC12.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，則（）A.{an}是遞增數(shù)列 B.C. D.【答案】ABD【解析】由遞推公式和可判斷A，由數(shù)列遞增和可判斷B，由遞推公式知可判斷C，對(duì)遞推公式取倒裂項(xiàng)，然后累加、放縮可判斷D.因?yàn)閍1=1，，所以，故A正確；易知，所以為正整數(shù)，又{an}是遞增數(shù)列，所以，故B正確；由遞推公式得：，又，所以，，，易知，故C不正確；取倒得，則由累加法得整理得，又所以故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.集合A=[1，6]，B={x|y=}，若AB，則實(shí)數(shù)a的范圍是________________.【答案】【解析】先求出集合B，再由AB，可求出實(shí)數(shù)a的范圍由，得，所以，因?yàn)锳=[1，6]，且AB，所以，所以實(shí)數(shù)a范圍是，故答案為：14.2021年秋季，教育部明確要求在全國(guó)中小學(xué)全面推行課后延時(shí)服務(wù)，實(shí)行“5+2”服務(wù)模式．某校開(kāi)設(shè)了籃球、圍棋和剪紙三門(mén)課后延時(shí)服務(wù)課程，某班的4個(gè)同學(xué)每人選擇了其中的一門(mén)課程，若每門(mén)課程都有人選，則不同的選課方案種數(shù)為_(kāi)________.（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】先將4個(gè)同學(xué)分成3組，每組人數(shù)分別為2，1，1，然后再由這3組同學(xué)選擇三門(mén)課程，利用分組分配法即可求解.解：由題意，先將4個(gè)同學(xué)分成3組，每組人數(shù)分別為2，1，1，然后再由這3組同學(xué)選擇三門(mén)課程，所以不同的選課方案種數(shù)為，故答案為：36.15.若函數(shù)和的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，則g(x)在P處的切線(xiàn)方程是_________.【答案】【解析】由分離常數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的值，進(jìn)而通過(guò)切點(diǎn)和斜率求得切線(xiàn)方程.由（），分離常數(shù)得，令，，令，，所以在上遞減.所以當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，所以，所以，且.，所以切線(xiàn)方程為.故答案為：16.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0)對(duì)稱(chēng)，且f(0)+f()=0，則φ=________，ω的最小值為_(kāi)____________________．【答案】①.②.10【解析】根據(jù)條件，得到，，,，，兩式結(jié)合，即可求得的值.，，，則，①或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，，②，由①②可知，當(dāng)時(shí)，，，則，不成立，當(dāng)時(shí)，，，則，不成立，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)都不成立.當(dāng),時(shí)，，，聯(lián)立解得，因?yàn)?，所以無(wú)解.故答案為；四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，為的中點(diǎn)，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)在中，有，利用正弦定理求解；（2）解法一：根據(jù)為線(xiàn)段中點(diǎn)，得到，然后平方，再利用余弦定理，結(jié)合，求得求解；解法二：根據(jù)，利用余弦定理得到，再利用余弦定理得到，結(jié)合求解.【小問(wèn)1詳解】解：在中，因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，又，所以，又因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】解法一：因?yàn)闉榫€(xiàn)段中點(diǎn)，所以，所以，化簡(jiǎn)得，①在中，由余弦定理得，即，②又，③聯(lián)立①②③，解得，所以.解法二：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，即，①在中，由余弦定理得，即，②又，③?lián)立①②③，解得，所以.18.已知等差數(shù)列和遞增的等比數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若=，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：－≤≤.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題意可得，從而可求出公比，則可求出，由此可得的值，從而可求得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得，（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，即，設(shè)的公比為，則，即，解得或，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以．所以，所以的公差為，所以．小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)?，所以．因?yàn)樵诤蜕蠁握{(diào)遞增，所以，所以．19.在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA2B1B是菱形，AB⊥AC，平面平面，平面A1B1C1與平面AB1C的交線(xiàn)為l.（1）證明：；（2）已知∠ABB1=60°，AB=AC=2.l上是否存在點(diǎn)P，使A1B與平面ABP所成角為30°?若存在，求B1P的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）l上不存在點(diǎn)P，使與平面所成角為；理由見(jiàn)解析【解析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程，由此判斷出點(diǎn)不存在.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所?【小問(wèn)2詳解】l上不存在點(diǎn)P，使與平面所成角為．理由如下：取中點(diǎn)D，連接，因?yàn)?，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，以A為原點(diǎn)，以方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，平面平面，所以，假設(shè)l上存在一點(diǎn)P，使與平面所成角，設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，可取，又，所以，即，此方程無(wú)解，因此l上不存在點(diǎn)P，使與平面所成角為．20.一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定一臺(tái)機(jī)器持續(xù)加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如表所示：零件數(shù)x/個(gè)102030405060708090100時(shí)間y/分鐘76859295100110115121125131（1）通過(guò)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)y與x之間呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)持續(xù)加工480個(gè)零件所花費(fèi)的時(shí)間；（2）機(jī)器持續(xù)工作，高負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)，會(huì)影響產(chǎn)品質(zhì)量．經(jīng)調(diào)查，機(jī)器持續(xù)工作前6小時(shí)內(nèi)所加工出來(lái)的零件的次品率為0.1，之后加工出來(lái)的零件的次品率為0.2.(機(jī)器持續(xù)運(yùn)行時(shí)間不超過(guò)12小時(shí)）已知每個(gè)正品零件售價(jià)100元，次品零件作廢，持續(xù)加工x個(gè)零件的生產(chǎn)成本(單位：元）．根據(jù)（1)的回歸方程，估計(jì)一臺(tái)機(jī)器持續(xù)工作多少分鐘所獲利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)＝零件正品數(shù)售價(jià)－生產(chǎn)成本）參考數(shù)據(jù)：附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1)，(x2，y2)，·，(xn，yn)，其回歸直線(xiàn)a斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為【答案】（1），預(yù)測(cè)加工480個(gè)零件所花費(fèi)時(shí)間為360分鐘（2）估計(jì)一臺(tái)機(jī)器持續(xù)工作492分鐘所獲利潤(rùn)最大【解析】（1）首先求出，，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)求出、，即可求出回歸直線(xiàn)方程，再令，求出的值，即可預(yù)測(cè)加工480個(gè)零件所花費(fèi)時(shí)間；（2）令與求出所對(duì)應(yīng)的的范圍，分別求出利潤(rùn)函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)y關(guān)于x的回歸方程為，由表中數(shù)據(jù)及參考數(shù)據(jù)得，，，所以，所以，所以關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)加工480個(gè)零件所花費(fèi)時(shí)間為360分鐘．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)（1）的結(jié)果，由，解得，①當(dāng)時(shí)，依題意，利潤(rùn)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值9216．②由，解得，所以當(dāng)時(shí)，依題意，利潤(rùn)所以當(dāng)時(shí)，取最大值9700．因?yàn)?，所以一臺(tái)機(jī)器持續(xù)加工700個(gè)零件時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)加工時(shí)間，即估計(jì)一臺(tái)機(jī)器持續(xù)工作492分鐘所獲利潤(rùn)最大．21.已知是函數(shù)(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論求解的單調(diào)性.（2）由已知可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，探求的范圍，借助零點(diǎn)用表示a，再利用導(dǎo)數(shù)求解作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，由得，則在上單調(diào)遞