2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題 直線與圓錐曲線的綜合運用 講義 （解析版）

第Page\*MergeFormat16頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁直線與圓錐曲線的綜合運用一、知識梳理1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有①Δ>0?直線與圓錐曲線相交；②Δ＝0?直線與圓錐曲線相切；③Δ<0?直線與圓錐曲線相離．(2)若a＝0，b≠0，即得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線E相交，且只有一個交點．①若E為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；②若E為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．2．圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則AB＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.3.過一點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切；過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓相交．(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直線.(3)過雙曲線外不在漸近線上的一點總有四條直線與雙曲線有且只有一個交點：兩條切線和兩條與漸近線平行的直線；過雙曲線上條直線與雙曲線有且只有一個交點：一條切線和兩條與漸近線平行的直線；過雙曲線內(nèi)一點總有兩條直線與雙曲線有且只有一個交點：兩條與漸近線平行的直線．二、課前預(yù)習(xí)1.若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的取值范圍是____．2.斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為____．3.直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)是____個．4.已知A1，A2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右頂點，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－eq\f(4,9)，則橢圓C的離心率為____．5.在平面直角坐標系中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點，離心率為eq\f(1,2).(1)求橢圓C的方程．(2)若斜率為eq\f(\r(3),2)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，試探究OA2＋OB2是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．三、典型例題題型一.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點．變式在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1(－1,0)，且點P(0,1)在C1上．(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程．例2如圖，在平面直角坐標系中，已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓E的左頂點為A，點A到右準線的距離為6．（1）求橢圓E的標準方程；（2）過點A且斜率為的直線與橢圓E交于點B，過點B與右焦點F的直線交橢圓E于M點，求M點的坐標．題型二弦長問題例3如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率e＝eq\f(eq\r(2),2)，右焦點F到左準線l的距離為3．(1)求橢圓的標準方程；(2)過F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．BBAOxylPC變式如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時，AB＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．題型三定點問題例4如圖，在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點．若直線斜率為時，．（1）求橢圓的標準方程；（2）試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點（與直線的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．例5已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．(1)求橢圓C的方程；(2)若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝0，求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．變式1已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，四點(1,1)，(0,1)，，中恰有三點在橢圓C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點．變式2如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(eq\r(2)－1)．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知過點M(0，－1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．題型四定值問題例6已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點在橢圓上，且與軸平行，過點作兩條直線分別交橢圓于兩點，若直線平分，求證：直線的斜率是定值，并求出這個定值．變式在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為，離心率為，橢圓的右頂點為.（1）求該橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于兩個不同點，求證：直線的斜率之和為定值.例7如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1．（1）求橢圓的標準方程；（2）若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線于點Q，求的值．變式在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過橢圓的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線交橢圓于兩點，為弦的中點，，記直線的斜率分別為，當(dāng)時，求的值.題型五最值、范圍問題例8已知橢圓C：的左焦點為F(－1，0)，左準線方程為x＝－2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若橢圓C上有A，B兩點，滿足OA⊥OB(O為坐標原點)，求△AOB面積的取值范圍．例9如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C：的左頂點為A，點B是橢圓C上異于左、右頂點的任一點，P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線OP交于點Q，已知橢圓C的離心率為，點A到右準線的距離為6。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)點Q的橫坐標為，求的取值范圍。例10如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，為右準線上一點．點在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．=1\*GB3①求橢圓的方程；=2\*GB3②若直線的斜率分別為，求的值．（2）若在軸上方存在兩點，使四點共圓，求橢圓離心率的取值范圍．四、課堂練習(xí)1.已知拋物線上的點M到其準線的距離為5，直線l交拋物線于A，B兩點，且AB的中點為N(2，1)，則點M到直線l的距離為____．2.已知F為雙曲線C：的左焦點，直線l經(jīng)過點F，若點A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對稱，則雙曲線C的離心率為____．3.已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為____．4.已知橢圓過點作直線l與橢圓交于另一點C，求△OBC面積的最大值．5.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到右準線的距離為1．過軸上一點的直線與橢圓交于兩點，與交于點，是弦的中點，直線與交于點．（1）求橢圓的標準方程；（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．6.已知，在平面直角坐標系中，橢圓的焦點在橢圓上，其中，且點是橢圓位于第一象限的交點.求橢圓的標準方程；過軸上一點的直線與橢圓相切，與橢圓交于點，已知，求直線的斜率.五、課后練習(xí)1.由橢圓的左焦點作傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，設(shè)O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝____．已知拋物線y2＝2px(p>0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在坐標原點，斜邊長是5eq\r(3)，一條直角邊所在的直線方程是y＝2x，那么拋物線的方程為____．若直線kx－y＋3＝0與橢圓有公共點，則k的取值范圍是____．已知雙曲線C：的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則雙曲線C的離心率為____．5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，兩條準線之間的距離為4eq\r(2).(1)求橢圓的標準方程；(2)已知橢圓的左頂點為A，點M在圓上，直線AM與橢圓相交于另一點B，且△AOB的面積是△AOM的面積的2倍，求直線AB的方程．6.如圖，已知橢圓O：的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸的交點除外)，直線PC交橢圓于另一個點M.(1)當(dāng)直線PM經(jīng)過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；(2)①記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；②求eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范圍．已知橢圓SKIPIF1<0，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，SKIPIF1<0且當(dāng)點是橢圓的上頂點時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0．（1）求橢圓的方程；（2）延長線段SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求此時SKIPIF1<0的方程．已知橢圓C：的長軸長為4，兩準線間距離為．設(shè)A為橢圓C的左頂點，直線l過點D(1，0)，且與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）若△AEF的面積為，求直線l的方程；（3）已知直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為Q，設(shè)直線l和QD的斜率分別為k(k≠0)，k′，求證：k·k′為