七年級數(shù)學整式的乘法(學生講義)

.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝第2章：整式的乘除與因式分解一、基礎知識1.同底數(shù)冪的乘法：

amgan

amn，（m,n

都是正整數(shù)），即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.冪的乘方：(am)n

amn，（m,n

都是正整數(shù)），即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3.積的乘方：(ab)n

anbn，（n為正整數(shù)），即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。4.整式的乘法：（1）單項式的乘法法例：一般地，單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，關(guān)于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．2）單項式乘多項式法例：單項式與多項式相乘，就是依據(jù)乘法分派律，用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示單項式)3）多項式的乘法法例：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式能夠用語言表達為“兩個數(shù)的和與這兩個的差積等于這兩個數(shù)的平方差”，即用字母表示為：(a+b)(a－b)=a2－b2；其構(gòu)造特點是：公式的左側(cè)是兩個一次二項式的乘積，而且這兩個二項式中有一項為哪一項完整相同的，另一項則是互為相反數(shù)，右側(cè)是乘式中兩項的平方差.2）完整平方公式：完整平方公式能夠用語言表達為“兩個數(shù)和（或差）的平方，等于第一數(shù)的平方加上（或減去）第一數(shù)與第二數(shù)乘積的2倍，加上第二數(shù)的平方”，即用字母表示為：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其構(gòu)造特點是：左側(cè)是“兩個數(shù)的和或差”的平方，右側(cè)是三項，首末兩項是平方項，且符號相同，中間項是2ab，且符號由左側(cè)的“和”或“差”來確立.在完整平方公式中，字母a、b都擁有寬泛意義，它們既能夠分別取詳細的數(shù)，也能夠取一個單項式、一個多項式或代數(shù)式9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或許(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y當作是完整平方公式中的a，2當作是b；后者是把3x當作是完整平方公式中的a，y－2當作是b.3）添括號時，假如括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號；假如括號前面是負號，括到括號里的各項都變號。乘法公式的幾種常有的恒等變形有：1）．a(chǎn)2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.（2）．a(chǎn)b＝1［(a+b)2－（a2+b2）］＝1［(a+b)2－(a－b)2］＝22abab.24223）．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.（4）．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等變形，我們能夠快速地解決相關(guān)看似與乘法公式?jīng)]關(guān)的問題，而且還會收到事半功倍的成效.6.整式的除法：

am

an

amn，（

a

0，m，n

都是正整數(shù)，而且

m

n），即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。（1）a0

1(a

0)，任何不等于

0的數(shù)的

0次冪都等于

1.2）單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，關(guān)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。3）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。7.因式分解觀點：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這就叫做把這個多項式因式分解，也可稱為將這個多項式分解因式，它與整式乘法互為逆運算。8．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把mambmc，分解成兩個因式乘積的形式，此中一個因式是各項的公因式m，另一個因式(abc)是mambmc除以m所得的商，像這類分解因式的方法叫做提公因式法。多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。公因式的組成：①系數(shù)：各項系數(shù)的最大條約數(shù)；②字母：各項都含有的相同字母；③指數(shù)：相同字母的最低次冪。（2）公式法：（1）常用公式平方差：a2b2(ab)(ab)完整平方：a22abb2(ab)2（2）常有的兩個二項式冪的變號規(guī)律：①(ab)2n(ba)2n；②(ab)2n1(ba)2n1．（n為正整數(shù)）（3）十字相乘法ⅰ二次項系數(shù)為1的二次三項式x2pxq中，假如能把常數(shù)項q分解成兩個因式a,b的積，而且ab等于一次項系數(shù)中p，那么它就能夠分解成x2pxqx2abxabxaxbⅱ二次項系數(shù)不為1的二次三項式ax2bxc中，假如能把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1,a2的積，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1,c2的積，而且a1c2a2c1等于一次項系數(shù)b，那么它就能夠分解成：ax2bxca1a2x2a1c2a2c1xc1c2a1xaa2xc2。（4）分組分解法ⅰ定義：分組分解法，合用于四項以上的多項式，比如a2b2ab沒有公因式，又不可以直接利用分式法分解，可是假如將前兩項和后兩項分別聯(lián)合，把原多項式分紅兩組。再提公因式，即可達到分解因式的目的。比如：a2b2ab=(a2b2)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，這類利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。ⅱ原則：分組后可直接提取公因式或可直接運用公式，但一定使各組之間能持續(xù)分解。ⅲ有些多項式在用分組分解法時，分解方法其實不獨一，不論如何分組，只需能將多項式正確分解即可。二、經(jīng)典例題第一部分整式的乘除【例1】例題以下運算正確的選項是（）·a520．（4）595510B.a·a10．4A.a+a=a=aCa=aDa=a【規(guī)律總結(jié)】同底數(shù)冪的乘法是學習整式乘法的基礎，必定要學好，學習它時注意領會從特別到一般、從詳細到抽象，有層次的進行歸納抽象，歸納原理．【例2】以下運算正確的選項是（）A.(－x)2x3=x6B.(x)3(x)2x5C．4x2(2x)22x2D．(2x2)38x6【規(guī)律總結(jié)】冪的乘方與積的乘方，是學習整式乘法的基礎．導出冪的乘方的依據(jù)是乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)．同學們要真實理解冪的乘方法的性質(zhì)，這樣才不致混雜性質(zhì)而運算犯錯．【例3】以下運算在正確的選項是（）x5x52x10B.(x)3(x)5x8C.(2x2y)4x324x3y3D.(1x3y)(1x3y)1x29y2224【例4】計算：（-2x2y）2·(-3xy)【規(guī)律總結(jié)】由于單項式是數(shù)字與字母的積，因此，冪的運算性質(zhì)，乘法互換律、聯(lián)合律，可作為單項式乘法的依照．單項式乘法法例關(guān)于三個以上的單項式相乘相同合用，如：【例5】（1）2xy(5xy2（）2·(-2ab)2+3xy-1)2(a-2bc)【規(guī)律總結(jié)】在解答單項式與多項式相乘問題時，易犯以下錯誤：①出現(xiàn)漏乘，而致使缺項；②出現(xiàn)符號錯誤；③運算次序犯錯，造成計算有錯．【例6】計算：(1)(3x-2y)(2a+3b)(2)(x-y)(x2+xy+y2)【規(guī)律總結(jié)】（1）利用多項式乘法法例時，既不要漏乘，又要注意確立各項的符號．（2）乘積中有同類項，要歸并同類項．【例7】計算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)【規(guī)律總結(jié)】公式中的字母可表示詳細的數(shù)，也可表示單項式或多項式，只需切合平方差公式的構(gòu)造特點，便可運用．【例8】化簡：(1)(2a+3b)2(2)(-x+2y)2(3)(-m-2n)2【例9】計算：(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3【例10】計算：(1)xn+2÷xn-2(2)(x4)3·x4÷x16（3）用小數(shù)或分數(shù)表示：10-3【例11】計算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)【規(guī)律總結(jié)】單項式相除，第一分清兩工的系數(shù)、相同字母、被除式特有的字母，再進行運算，聯(lián)合演算重述法例，使法例熟習，并會用它們嫻熟進行計算．【例12】計算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)【規(guī)律總結(jié)】把多項式除以單項式“轉(zhuǎn)變”為單項式除以單項式，在這個轉(zhuǎn)變過程中，要注意符號問題．第二部分：因式分解【例1】將以下各式分解因式：（1）2a36a336a_______；（2）a41_______；（3）a2b2ab_______；（4）4a2b22b1_______?！纠?/p>

2】連一連：a2－1a2＋6a＋9

(a＋1)(a－1)(3a＋1)(3a－1)a2－4a＋4

a(a－b)9a2－1

(a＋3)2a2－ab

(a－2)2【規(guī)律總結(jié)】整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，依據(jù)題目的需要，有時多項式要經(jīng)過因式分解才能轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€整式積的形式，有時幾個多項式的積要經(jīng)過整式乘法化成多項式的形式.【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z（2）3a29ab（3）2a(xy)24b(yx)【規(guī)律總結(jié)】運用提公因式分解因式時，找對公因式是要點，提公因式后的各項中不可以再含有其余公因式.有些表面沒有公因式的多項式，利用其互為相反數(shù)的條件，轉(zhuǎn)變?yōu)楹泄蚴降氖阶觼磉_成因式分解．其一般原則：（1）首項一般不化成含負號的形式；（2）對同時含有奇次項和偶次項的多項式，一般將偶次項的底數(shù)化成它的相反數(shù)的形式，這樣可使各項符號不變．【例4】把以下各式因式分解：（1）4m225n2（2）169(ab)2121(ab)2【例5】把以下各式分解因式：（1）4a212ab9b2（2）16（2mn)28n(2mn)n2【例6】因式分解：（1）22222（）222(x4y)16xy2(a1)4(a1)4【規(guī)律總結(jié)】因式分解能否分解結(jié)束的標記是看分解后的各因式時候還含有可持續(xù)因式分解的多項式。中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學的基礎,是中考的一個要點內(nèi)容.其考點主要波及以下幾個方面：考點1、冪的相關(guān)運算例1．（2014年湘西）在以下運算中，計算正確的選項是（）（A）a3a2a6（B）(a2)3a5（C）a8a2a4（D）(ab2)2a2b4例2.（2014年齊齊哈爾）已知10m2，10n3，則103m2n____________．考點2、整式的乘法運算例3．（2014年賀州）計算：(2a)(1a31)=．4考點3、乘法公式例4.2(2014年山西省)計算：x3x1x2例5.(2014年寧夏)已知：ab31，化簡(a2)(b2)的結(jié)果是．，ab2考點4、利用整式運算求代數(shù)式的值例6．（2014年長沙）先化簡，再求值：(ab)(ab)(ab)22a2，此中a3，b1．3考點5、整式的除法運算例7.(2014年廈門)計算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷