七年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法(學(xué)生講義)

.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝第2章：整式的乘除與因式分解一、基礎(chǔ)知識(shí)1.同底數(shù)冪的乘法：

amgan

amn，（m,n

都是正整數(shù)），即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.冪的乘方：(am)n

amn，（m,n

都是正整數(shù)），即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3.積的乘方：(ab)n

anbn，（n為正整數(shù)），即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。4.整式的乘法：（1）單項(xiàng)式的乘法法例：一般地，單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，關(guān)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法例：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是依據(jù)乘法分派律，用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示單項(xiàng)式)3）多項(xiàng)式的乘法法例：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式能夠用語(yǔ)言表達(dá)為“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)的差積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”，即用字母表示為：(a+b)(a－b)=a2－b2；其構(gòu)造特點(diǎn)是：公式的左側(cè)是兩個(gè)一次二項(xiàng)式的乘積，而且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)完整相同的，另一項(xiàng)則是互為相反數(shù)，右側(cè)是乘式中兩項(xiàng)的平方差.2）完整平方公式：完整平方公式能夠用語(yǔ)言表達(dá)為“兩個(gè)數(shù)和（或差）的平方，等于第一數(shù)的平方加上（或減去）第一數(shù)與第二數(shù)乘積的2倍，加上第二數(shù)的平方”，即用字母表示為：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其構(gòu)造特點(diǎn)是：左側(cè)是“兩個(gè)數(shù)的和或差”的平方，右側(cè)是三項(xiàng)，首末兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，且符號(hào)相同，中間項(xiàng)是2ab，且符號(hào)由左側(cè)的“和”或“差”來(lái)確立.在完整平方公式中，字母a、b都擁有寬泛意義，它們既能夠分別取詳細(xì)的數(shù)，也能夠取一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式或代數(shù)式9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或許(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y當(dāng)作是完整平方公式中的a，2當(dāng)作是b；后者是把3x當(dāng)作是完整平方公式中的a，y－2當(dāng)作是b.3）添括號(hào)時(shí)，假如括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；假如括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。乘法公式的幾種常有的恒等變形有：1）．a(chǎn)2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.（2）．a(chǎn)b＝1［(a+b)2－（a2+b2）］＝1［(a+b)2－(a－b)2］＝22abab.24223）．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.（4）．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等變形，我們能夠快速地解決相關(guān)看似與乘法公式?jīng)]關(guān)的問(wèn)題，而且還會(huì)收到事半功倍的成效.6.整式的除法：

am

an

amn，（

a

0，m，n

都是正整數(shù)，而且

m

n），即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。（1）a0

1(a

0)，任何不等于

0的數(shù)的

0次冪都等于

1.2）單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，關(guān)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。7.因式分解觀點(diǎn)：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這就叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也可稱為將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，它與整式乘法互為逆運(yùn)算。8．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把mambmc，分解成兩個(gè)因式乘積的形式，此中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個(gè)因式(abc)是mambmc除以m所得的商，像這類分解因式的方法叫做提公因式法。多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式的組成：①系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)的最大條約數(shù)；②字母：各項(xiàng)都含有的相同字母；③指數(shù)：相同字母的最低次冪。（2）公式法：（1）常用公式平方差：a2b2(ab)(ab)完整平方：a22abb2(ab)2（2）常有的兩個(gè)二項(xiàng)式冪的變號(hào)規(guī)律：①(ab)2n(ba)2n；②(ab)2n1(ba)2n1．（n為正整數(shù)）（3）十字相乘法ⅰ二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x2pxq中，假如能把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)因式a,b的積，而且ab等于一次項(xiàng)系數(shù)中p，那么它就能夠分解成x2pxqx2abxabxaxbⅱ二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式ax2bxc中，假如能把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積，而且a1c2a2c1等于一次項(xiàng)系數(shù)b，那么它就能夠分解成：ax2bxca1a2x2a1c2a2c1xc1c2a1xaa2xc2。（4）分組分解法ⅰ定義：分組分解法，合用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，比如a2b2ab沒(méi)有公因式，又不可以直接利用分式法分解，可是假如將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別聯(lián)合，把原多項(xiàng)式分紅兩組。再提公因式，即可達(dá)到分解因式的目的。比如：a2b2ab=(a2b2)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，這類利用分組來(lái)分解因式的方法叫分組分解法。ⅱ原則：分組后可直接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但一定使各組之間能持續(xù)分解。ⅲ有些多項(xiàng)式在用分組分解法時(shí)，分解方法其實(shí)不獨(dú)一，不論如何分組，只需能將多項(xiàng)式正確分解即可。二、經(jīng)典例題第一部分整式的乘除【例1】例題以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是（）·a520．（4）595510B.a·a10．4A.a+a=a=aCa=aDa=a【規(guī)律總結(jié)】同底數(shù)冪的乘法是學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)，必定要學(xué)好，學(xué)習(xí)它時(shí)注意領(lǐng)會(huì)從特別到一般、從詳細(xì)到抽象，有層次的進(jìn)行歸納抽象，歸納原理．【例2】以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是（）A.(－x)2x3=x6B.(x)3(x)2x5C．4x2(2x)22x2D．(2x2)38x6【規(guī)律總結(jié)】?jī)绲某朔脚c積的乘方，是學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)．導(dǎo)出冪的乘方的依據(jù)是乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)．同學(xué)們要真實(shí)理解冪的乘方法的性質(zhì)，這樣才不致混雜性質(zhì)而運(yùn)算犯錯(cuò)．【例3】以下運(yùn)算在正確的選項(xiàng)是（）x5x52x10B.(x)3(x)5x8C.(2x2y)4x324x3y3D.(1x3y)(1x3y)1x29y2224【例4】計(jì)算：（-2x2y）2·(-3xy)【規(guī)律總結(jié)】由于單項(xiàng)式是數(shù)字與字母的積，因此，冪的運(yùn)算性質(zhì)，乘法互換律、聯(lián)合律，可作為單項(xiàng)式乘法的依照．單項(xiàng)式乘法法例關(guān)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘相同合用，如：【例5】（1）2xy(5xy2（）2·(-2ab)2+3xy-1)2(a-2bc)【規(guī)律總結(jié)】在解答單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘問(wèn)題時(shí)，易犯以下錯(cuò)誤：①出現(xiàn)漏乘，而致使缺項(xiàng)；②出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤；③運(yùn)算次序犯錯(cuò)，造成計(jì)算有錯(cuò)．【例6】計(jì)算：(1)(3x-2y)(2a+3b)(2)(x-y)(x2+xy+y2)【規(guī)律總結(jié)】（1）利用多項(xiàng)式乘法法例時(shí)，既不要漏乘，又要注意確立各項(xiàng)的符號(hào)．（2）乘積中有同類項(xiàng)，要?dú)w并同類項(xiàng)．【例7】計(jì)算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)【規(guī)律總結(jié)】公式中的字母可表示詳細(xì)的數(shù)，也可表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，只需切合平方差公式的構(gòu)造特點(diǎn)，便可運(yùn)用．【例8】化簡(jiǎn)：(1)(2a+3b)2(2)(-x+2y)2(3)(-m-2n)2【例9】計(jì)算：(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3【例10】計(jì)算：(1)xn+2÷xn-2(2)(x4)3·x4÷x16（3）用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示：10-3【例11】計(jì)算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)【規(guī)律總結(jié)】單項(xiàng)式相除，第一分清兩工的系數(shù)、相同字母、被除式特有的字母，再進(jìn)行運(yùn)算，聯(lián)合演算重述法例，使法例熟習(xí)，并會(huì)用它們嫻熟進(jìn)行計(jì)算．【例12】計(jì)算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)【規(guī)律總結(jié)】把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式“轉(zhuǎn)變”為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，在這個(gè)轉(zhuǎn)變過(guò)程中，要注意符號(hào)問(wèn)題．第二部分：因式分解【例1】將以下各式分解因式：（1）2a36a336a_______；（2）a41_______；（3）a2b2ab_______；（4）4a2b22b1_______?！纠?/p>

2】連一連：a2－1a2＋6a＋9

(a＋1)(a－1)(3a＋1)(3a－1)a2－4a＋4

a(a－b)9a2－1

(a＋3)2a2－ab

(a－2)2【規(guī)律總結(jié)】整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，依據(jù)題目的需要，有時(shí)多項(xiàng)式要經(jīng)過(guò)因式分解才能轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€(gè)整式積的形式，有時(shí)幾個(gè)多項(xiàng)式的積要經(jīng)過(guò)整式乘法化成多項(xiàng)式的形式.【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z（2）3a29ab（3）2a(xy)24b(yx)【規(guī)律總結(jié)】運(yùn)用提公因式分解因式時(shí)，找對(duì)公因式是要點(diǎn)，提公因式后的各項(xiàng)中不可以再含有其余公因式.有些表面沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式，利用其互為相反數(shù)的條件，轉(zhuǎn)變?yōu)楹泄蚴降氖阶觼?lái)達(dá)成因式分解．其一般原則：（1）首項(xiàng)一般不化成含負(fù)號(hào)的形式；（2）對(duì)同時(shí)含有奇次項(xiàng)和偶次項(xiàng)的多項(xiàng)式，一般將偶次項(xiàng)的底數(shù)化成它的相反數(shù)的形式，這樣可使各項(xiàng)符號(hào)不變．【例4】把以下各式因式分解：（1）4m225n2（2）169(ab)2121(ab)2【例5】把以下各式分解因式：（1）4a212ab9b2（2）16（2mn)28n(2mn)n2【例6】因式分解：（1）22222（）222(x4y)16xy2(a1)4(a1)4【規(guī)律總結(jié)】因式分解能否分解結(jié)束的標(biāo)記是看分解后的各因式時(shí)候還含有可持續(xù)因式分解的多項(xiàng)式。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考的一個(gè)要點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要波及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、冪的相關(guān)運(yùn)算例1．（2014年湘西）在以下運(yùn)算中，計(jì)算正確的選項(xiàng)是（）（A）a3a2a6（B）(a2)3a5（C）a8a2a4（D）(ab2)2a2b4例2.（2014年齊齊哈爾）已知10m2，10n3，則103m2n____________．考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例3．（2014年賀州）計(jì)算：(2a)(1a31)=．4考點(diǎn)3、乘法公式例4.2(2014年山西省)計(jì)算：x3x1x2例5.(2014年寧夏)已知：ab31，化簡(jiǎn)(a2)(b2)的結(jié)果是．，ab2考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6．（2014年長(zhǎng)沙）先化簡(jiǎn)，再求值：(ab)(ab)(ab)22a2，此中a3，b1．3考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例7.(2014年廈門)計(jì)算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷