湖南省衡陽(yáng)市部分學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)，考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由，可得的取值范圍【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即的取值范圍是，故選：A2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由求出復(fù)數(shù)，從而可求得其所在的象限【詳解】由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B3.某高中學(xué)校積極響應(yīng)國(guó)家“陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召，為確保學(xué)生每天平均一小時(shí)的體育鍛煉，調(diào)查了該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的情況，隨機(jī)收集了300名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），將其分為，，，，，六組，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為（）

A.5.5小時(shí) B.4.8小時(shí) C.5小時(shí) D.5.8小時(shí)【答案】D【解析】【分析】計(jì)算每個(gè)小矩形的面積與區(qū)間中點(diǎn)值之積，再把它們相加即可求解【詳解】由頻率分布直方圖可知：該校高中學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為.故選：D4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以為奇函?shù)，則排除、,當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，則排除,故選:.5.設(shè)，，是三條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則“”的一個(gè)充分不必要條件是（）A垂直于內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)B.，，C.，，，，，D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)平面間的位置關(guān)系，面面平行的性質(zhì)或線(xiàn)面垂直的判定定理判斷各選項(xiàng)．【詳解】A：當(dāng)直線(xiàn)垂直于內(nèi)無(wú)數(shù)條平行直線(xiàn)時(shí)，推不出，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)，，時(shí)，則直線(xiàn)l與平面α可能平行，可能相交，也可能在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，，，所以平面?nèi)一定存在直線(xiàn)，滿(mǎn)足且，相交，因?yàn)椋?，所以，，所以，反之不一定成立，故C正確；D：當(dāng)，時(shí)，則直線(xiàn)l與平面α可能平行，可能相交，也可能在平面α內(nèi)，故D錯(cuò)誤．故選：C．6.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓：的蒙日?qǐng)A方程為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn)，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的離心率可得，分析可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，所以.因?yàn)椋裕詸E圓的蒙日?qǐng)A的半徑為.因?yàn)椋詾槊扇請(qǐng)A的直徑，所以，所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為：.由面積的最大值為36，得，得，進(jìn)而有，，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B7.已知直線(xiàn)是平面的斜線(xiàn)，且與平面交于點(diǎn)，在平面上的射影為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作一條直線(xiàn)，直線(xiàn)和直線(xiàn)不重合，直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，則（）A. B.C D.以上說(shuō)法都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)（與M不重合）作平面的垂線(xiàn)交平面于，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，求出、、的表達(dá)式，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如圖，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)（與不重合）作平面的垂線(xiàn)交平面于，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，由線(xiàn)面角的定義可得，則，因?yàn)槠矫妫矫?，，，，平面，平面，，所以，，，因此?故選：C.8.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線(xiàn)交于C點(diǎn)，若，且，則（）A.4 B.12 C.4或16 D.4或12【答案】A【解析】【分析】利用焦半徑將線(xiàn)段比轉(zhuǎn)化，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立得兩根之積，列出方程，求出的值.【詳解】如圖，過(guò)A，B向作垂線(xiàn)，垂足分別為D，E，則.設(shè)，，因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以?設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組得，則.因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，?故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)的周期求出，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，?又因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，所以，所以，，得，.因?yàn)?，所以?故選：BC10.已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則（）．A.B.展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1C.展開(kāi)式中第3項(xiàng)或第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開(kāi)式中有理項(xiàng)只有4項(xiàng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為求出，即可判斷A，再利用賦值法求出所有項(xiàng)系數(shù)和，即可判斷B，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征判斷C，最后利用展開(kāi)式的通項(xiàng)判斷D；【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以，，故A正確；令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，故B正確；因?yàn)椋哉归_(kāi)式共7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；因?yàn)橥?xiàng)是，當(dāng)，2，4，6時(shí)為有理項(xiàng)，所以只有4項(xiàng)為有理項(xiàng)，故D正確．故選：ABD11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M在線(xiàn)段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則（）A.異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是B.C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】連接，根據(jù)，可得（或其補(bǔ)角）即為異面直線(xiàn)與所成角的平面角，即可判斷A；證明平面，即可判斷B；根據(jù)，可得平面，則，即可判斷C；將與展開(kāi)在同一平面內(nèi)，則的最小值為，從而可判斷D.【詳解】解：連接，因?yàn)?，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線(xiàn)與所成角的平面角，因?yàn)闉檎切危援惷嬷本€(xiàn)與所成的角的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故B正確﹔因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以，故C正確；如圖，將與展開(kāi)在同一平面內(nèi)，的最小值為，由余弦定理得，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，若有三個(gè)不等實(shí)根，且，則（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間為 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)和有三個(gè)交點(diǎn)的圖象，結(jié)合圖象逐個(gè)判斷即可求解【詳解】作出函數(shù)和有三個(gè)交點(diǎn)的圖象，可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故A正確；的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；由，得，即，故，則.又因?yàn)?，所以的取值范圍為，故C正確；令，則或，則函數(shù)的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為或的零點(diǎn)，由圖象可知只有一個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，，則與的夾角為_(kāi)____________.【答案】##【解析】【分析】利用向量垂直，向量數(shù)量積的定義及向量的夾角公式，即可求解.【詳解】設(shè)，的夾角為，因?yàn)椋?，所以?/p>

所以，，故與的夾角為.故答案：.14.寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的一條直線(xiàn)的方程：_____________.【答案】或(寫(xiě)出其中一條即可)【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入可求出切線(xiàn)的斜率，從而可表示出切線(xiàn)方程，再將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程中可求出，代入切線(xiàn)方程中化簡(jiǎn)可得答案【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為；當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為.故答案為：或15.直線(xiàn)：被圓：截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】求出圓心和半徑，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，然后利用半徑，圓心距和弦的關(guān)系可求出弦長(zhǎng)【詳解】由，得，所以圓的圓心為，半徑為6，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：16.已知是定義在上的奇函數(shù)﹐且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若，則_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得函數(shù)的周期為8，從而得，進(jìn)而可求出結(jié)果【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以的周期為8，所以，故.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，即可求出；（2）先由求出，.利用余弦定理解得或.代入的面積求面積即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以?由余弦定理，可得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，的面積為；當(dāng)時(shí)，的面積為.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，結(jié)合的關(guān)系可得、，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以或因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗?19.第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日在北京開(kāi)幕，本次冬季奧運(yùn)會(huì)共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng).為調(diào)查學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，被調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100，其中對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解比較全面的男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍.將頻率視為概率，從被調(diào)查的男生和女生中各選一人，兩人對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解都不夠全面的概率為.（1）完成以下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)；男生女生合計(jì)了解比較全面了解不夠全面合計(jì)（2）用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記其中對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解比較全面的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，完成2×2列聯(lián)表，套公式計(jì)算，對(duì)照參數(shù)下結(jié)論；（2）根據(jù)題意判斷出隨機(jī)變量，求出概率，寫(xiě)出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解比較全面的女生人數(shù)為，則對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解比較全面的男生人數(shù)為.因?yàn)閺谋徽{(diào)查的男生和女生中各選一人，兩人都對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解不夠全面的概率為，所以.男生女生合計(jì)了解比較全面8040120了解不夠全面206080合計(jì)100100200所以，故有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人且該學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解比較全面的概率.因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，，，所以的分布列為0123所以.20.在三棱臺(tái)中，平面，，且，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用向量法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，再利用線(xiàn)面垂直與面面垂直的判定定理證明即可；（2）由向量法求解即可【小問(wèn)1詳解】連接，設(shè)，則，，.因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以平面.因?yàn)椋?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.因?yàn)?，，，所以，，所以?因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)?，且二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21.已知雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，且，到C的漸近線(xiàn)的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線(xiàn)MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）是定值，【解析】【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合可求出，從而可求出雙曲線(xiàn)方程，（2）設(shè)直線(xiàn)：，，，，將直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線(xiàn)的方程，可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示，，然后計(jì)算化簡(jiǎn)即可【小問(wèn)1詳解】由題意得，，漸近線(xiàn)方程為，則到漸近線(xiàn)的距離為，又因?yàn)椋?，，，故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)：，，，，聯(lián)立方程組得，所以，.因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以的坐標(biāo)為，同理可得的坐標(biāo)為.因?yàn)?，，所以，即為定?22.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可以求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以，?令函數(shù)，則