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系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。描述各變量動(dòng)態(tài)關(guān)系的表達(dá)式稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型為微分方程。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個(gè)變量之間關(guān)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，一般采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。所謂解析法，即依據(jù)系統(tǒng)及元部件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

實(shí)驗(yàn)法是對(duì)系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，一般采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。所謂解析法微分方程傳遞函數(shù)頻率特性微分方程傳遞函數(shù)頻率特性2.1控制系統(tǒng)微分方程的建立首先必須了解系統(tǒng)的組成、工作原理，然后根據(jù)支配各組成元件的物理定律，列寫整個(gè)系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系式，即微分方程。列寫微分方程的一般步驟：①分析系統(tǒng)和各個(gè)元件的工作原理，找出各物理量（變量）之間的關(guān)系，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量。2.1控制系統(tǒng)微分方程的建立首先必須了解②從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫動(dòng)態(tài)關(guān)系式，一般為一個(gè)微分方程組。③對(duì)已建立的原始方程進(jìn)行處理，忽略次要因素，簡化原始方程，如對(duì)原始方程進(jìn)行線性化等。④消除中間變量，寫出關(guān)于輸入、輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即微分方程。②從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理（根據(jù)電路理論中的基爾霍夫定理，建立RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸入量為電壓ur(t),輸出量為電壓uc(t)i(t)為流經(jīng)電阻R和電容C的電流，消去中間變量i(t)，可得RC無源網(wǎng)絡(luò)根據(jù)電路理論中的基爾霍夫定理，建立RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸令RC=T，則上式又可寫為式中：T稱為無源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù),單位為秒(s)一般情況下把輸出變量寫在等式的左邊,輸入變量寫在等式的右邊。令RC=T，則上式又可寫為式中：T稱為無源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù),單2.2拉普拉斯(Laplace)變換拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換，它是一種函數(shù)之間的積分變換。拉氏變換是研究控制系統(tǒng)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具,它可以把時(shí)域中的微分方程變換成復(fù)域中的代數(shù)方程，從而使微分方程的求解大為簡化。同時(shí)還引出了傳遞函數(shù)、頻率特性等概念。2.2拉普拉斯(Laplace)變換拉普拉斯變換簡稱為拉一、Laplace變換的定義1.定義設(shè)函數(shù)f(t)在t0時(shí)有定義，如果線性積分存在，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為一、Laplace變換的定義1.定義設(shè)函數(shù)f(t)在tF(s)稱為f(t)的象函數(shù)，而f(t)稱為F(s)的原函數(shù)，由象函數(shù)求原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉氏反變換，記作

稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，并記作F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，而f(t)稱為F(s)的原函數(shù)二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(t)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為

二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(t)數(shù)學(xué)表達(dá)式2、單位斜坡函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

2、單位斜坡函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為3.單位加速度函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

3.單位加速度函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為4.指數(shù)函數(shù)e-at數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

4.指數(shù)函數(shù)e-at數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為5.正弦函數(shù)sint

正弦函數(shù)定義為其拉氏變換為

5.正弦函數(shù)sint正弦函數(shù)定義為其拉氏變換為6、單位脈沖函數(shù)(函數(shù))函數(shù)的表達(dá)式為其拉氏變換為

6、單位脈沖函數(shù)(函數(shù))函數(shù)的表達(dá)式為其拉氏變換為三、拉氏變換的基本法則1.線性法則設(shè)F1=L[f1(t)]，F(xiàn)2=L[f2(t)]，a和b為常數(shù)，則有三、拉氏變換的基本法則1.線性法則設(shè)F1=L[f1(t)]2.微分法則

設(shè)F=L[f

(t)]，則有式中：f(0),f(0),…f(n-1)(0)為f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處的值。2.微分法則設(shè)F=L[f(t)]，則有式中：f(0),f3.積分法則設(shè)F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，則有3.積分法則設(shè)F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，4.終值定理若F(s)=L[f(t)]，且當(dāng)t時(shí)，f(t)存在一個(gè)確定的值，則其終值

該式為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（即t

）提供了方便。

4.終值定理若F(s)=L[f(t)]，且當(dāng)t時(shí)，f(5.位移定理設(shè)F(s)=L[f(t)]，則有及分別稱為時(shí)域中的位移定理和復(fù)域中的位移定理。5.位移定理設(shè)F(s)=L[f(t)]，則有及分別稱為時(shí)域四、拉氏反變換

拉氏反變換的定義如下

一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先將F(s)分解成一些簡單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)f(t)。

四、拉氏反變換拉氏反變換的定義如下一般由F(s)求f(tF(s)通常是s的有理分式函數(shù)，即分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，F(xiàn)(s)的一般式為式中ai、bi為實(shí)數(shù)，m、n為正數(shù)，且m<n。如果F(s)可分解成下列分量F(s)通常是s的有理分式函數(shù)，即分母多項(xiàng)式的階次高于分子多并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反變換可以很容易地求出，則并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反變換可以很容例2.1求的拉氏反變換。解：進(jìn)行反變換得例2.1求的拉氏反變換。2.3傳遞函數(shù)

2.3傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念及定義無源RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為設(shè)初始值uc(0)=0，對(duì)上式取拉氏變換,得

一、傳遞函數(shù)的概念及定義無源RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為設(shè)初始值uc令則傳遞函數(shù)令則傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義：

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)(或元部件)的傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為

式中c(t)為系統(tǒng)的輸出量，r(t)為系統(tǒng)的輸入量，a0，a1…,an

及b0，b1…,bn均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為式中c(t)為系統(tǒng)的輸出量設(shè)所有初始條件均為零的條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換，得

按照定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

設(shè)所有初始條件均為零的條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換，得按二、對(duì)傳遞函數(shù)的說明

1.傳遞函數(shù)是復(fù)域(s域)中的一個(gè)表達(dá)式，它通過系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)使線性定常系統(tǒng)的輸出和輸入建立聯(lián)系，而與輸入形式無關(guān)。只適用于線性定常系統(tǒng)。

2.傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次。即nm，這是由于系統(tǒng)中含有較多的慣性元件及受能源的限制所造成的。分母多項(xiàng)式的最高階次為n，稱該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。如n＝1，2，稱為一、二階系統(tǒng)。二、對(duì)傳遞函數(shù)的說明1.傳遞函數(shù)是復(fù)域(s域)中的一個(gè)表3.傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入—輸出之間的關(guān)系，但不反映系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的任何信息。因此.不同的物理系統(tǒng)完全可能有相同形式的傳遞函數(shù)，這就給數(shù)學(xué)模擬創(chuàng)造了條件。

4.同一系統(tǒng)不同觀測點(diǎn)的輸出信號(hào)對(duì)不同作用點(diǎn)的輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)的形式具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多項(xiàng)式稱為特征式，記為D(s)。3.傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入—輸出之間的關(guān)系，但不反映系統(tǒng)內(nèi)5.傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。6.傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)，脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖(t)輸入時(shí)的輸出響應(yīng)，此時(shí)R(s)=L[(t)]，所以有5.傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。6.傳遞函數(shù)G(s)7.傳遞函數(shù)的描述有一定的局限性：只能研究單入、單出系統(tǒng)，對(duì)于多如、多處系統(tǒng)要用傳遞矩陣表示；只能表示輸入、輸出的關(guān)系，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部其他各變量無法得知(經(jīng)典控制理論的不足)；只能研究零初始狀態(tài)的系統(tǒng)特性，對(duì)非零初始狀態(tài)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性不能反映。7.傳遞函數(shù)的描述有一定的局限性：只能研究單入、單出系統(tǒng)，三、求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法

求取物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，一般假設(shè):1.系統(tǒng)不帶負(fù)載，即在系統(tǒng)的輸出端不吸收能量。2.假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)為線性集中常數(shù)。三、求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法求取物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，一般假求取的方法與步驟：

1.首先確定出系統(tǒng)的輸出信號(hào)(被控量等)和輸入信號(hào)（如給定值、干擾等）。2.把系統(tǒng)分成若干個(gè)典型環(huán)節(jié)，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，填寫在方框內(nèi)。用信號(hào)線把這些方框連接起來，得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。3.對(duì)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行變換，得到所要求的傳遞函數(shù)。

求取的方法與步驟：四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)zj:零點(diǎn)，用“o”表示pi:極點(diǎn)，用“”表示零極點(diǎn)分布圖四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)zj:零點(diǎn)，用“o”表示pi:極若傳遞函數(shù)該傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為p1

=-1，p2=-2;零點(diǎn)為z1=-0.5零極點(diǎn)分布圖若傳遞函數(shù)該傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(或稱方塊圖、方框圖)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是表示組成控制系統(tǒng)的各個(gè)元件之間信號(hào)傳遞動(dòng)態(tài)關(guān)系的圖形。1.定義2.組成①信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞方向，信號(hào)線上標(biāo)信號(hào)的原函數(shù)或象函數(shù)。2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(或稱方塊圖②方框：方框中為元部件的傳遞函數(shù)。③引出點(diǎn)(測量點(diǎn))：表示信號(hào)引出或測量位置，從同一點(diǎn)引出的信號(hào)完全相同。②方框：方框中為元部件的傳遞函數(shù)。③引出點(diǎn)(測量點(diǎn))：表示信④綜合點(diǎn)(比較點(diǎn)):表示對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算?！?”號(hào)表示相加，“-”表示相減。④綜合點(diǎn)(比較點(diǎn)):表示對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算。二、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立(1)建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)）的微分方程。

(2)對(duì)各微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，并作出各元部件的方框圖。

(3)按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次用信號(hào)線將各元件的方框圖連接起來。系統(tǒng)的輸入變量在左端，輸出變量（即被控量）在右端，便得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

二、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立(1)建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)如RC網(wǎng)路的微分方程對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得如RC網(wǎng)路的微分方程對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得繪制上式各子方程的方框圖將方框圖連接起來,得出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。繪制上式各子方程的方框圖將方框圖連接起來,得出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換

進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換首先應(yīng)明確以下四點(diǎn)：1.結(jié)構(gòu)變換的等效性。即變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。2.所得結(jié)果(傳遞函數(shù))的唯一性；結(jié)構(gòu)圖的多樣性(不唯一性)。3.信號(hào)傳遞的單向性。4.多輸入系統(tǒng)的疊加性。三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換首先應(yīng)明確以下四點(diǎn)：動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則：

l.串聯(lián)變換法則

n個(gè)傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則：l.串聯(lián)變換法則n個(gè)傳遞函數(shù)依2.并聯(lián)變換法則

n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為該n個(gè)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

2.并聯(lián)變換法則n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為該n個(gè)傳稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)3.反饋?zhàn)儞Q法則

稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)3.反饋?zhàn)儞Q法則4.比較點(diǎn)移動(dòng)法則

比較點(diǎn)前移“加倒數(shù)”；比較點(diǎn)后移“加本身”。

移前后移4.比較點(diǎn)移動(dòng)法則比較點(diǎn)前移“加倒數(shù)”；比較點(diǎn)后移“加本身5.引出點(diǎn)移動(dòng)法則

引出點(diǎn)前移“加本身”;引出點(diǎn)后移“加倒數(shù)”。

5.引出點(diǎn)移動(dòng)法則引出點(diǎn)前移“加本身”;引出點(diǎn)后移“加倒數(shù)6.相鄰的比較點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，亦可綜合為一個(gè)比較點(diǎn)。相鄰的引出點(diǎn)之間亦可互相調(diào)換位置。

7.相鄰的比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間可以調(diào)換位置。

6.相鄰的比較點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，亦可綜合為一個(gè)比較點(diǎn)注意的問題:(1)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式;不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式。(2)向同類移動(dòng):比較點(diǎn)和引出點(diǎn)(3)由里向外變換：對(duì)多回路結(jié)構(gòu)，由內(nèi)回路向外回路進(jìn)行變換，逐個(gè)減少內(nèi)回路，直到變換成一個(gè)等效的方塊。

(4)多輸入變換多次：系統(tǒng)有多個(gè)輸入量，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。

注意的問題:(1)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式;設(shè)N1=0，N2=0設(shè)N1=0，N2=0把比較點(diǎn)前移例：求下圖所示系統(tǒng)被控量C(s)對(duì)各輸入信號(hào)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。G1G1G1RCN1N2+++--解：(1)求C(s)/R(s)。G1G1G1CN1N2+++--N1R+N2+++把比較點(diǎn)前移再進(jìn)行并連和內(nèi)回路反饋?zhàn)儞Q設(shè)N1=0，N2=0設(shè)N1=0，N2=0把比較點(diǎn)前移例：求下G1G3RC-串聯(lián)后再作反饋?zhàn)儞QRC進(jìn)行串聯(lián)變換RCG1G3RC-串聯(lián)后再作反饋?zhàn)儞QRC進(jìn)行串聯(lián)變換RC（2）求C(s)/N1(s)

，設(shè)R=0，N2=0,得

因此，（2）求C(s)/N1(s)，設(shè)R=0，N2=0,得因此(3)求，設(shè)R=0,N1=0N2(s)信號(hào)只能單向傳遞

所以，(3)求，設(shè)R=0,N1=0N2(s)例

已知一控制系統(tǒng)的微分方程組為試畫出其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)得傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：r(t)為輸入信號(hào)，c(t)為輸出信號(hào)例已知一控制系統(tǒng)的微分方程組為試畫出其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換,得到相應(yīng)的代數(shù)方程根據(jù)各個(gè)代數(shù)方程組畫出相應(yīng)得方塊圖，然后連接起來就得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換,得到相應(yīng)的代數(shù)方程根據(jù)各個(gè)代數(shù)方引出點(diǎn)前移，進(jìn)行內(nèi)回路變換，然后再進(jìn)行外回路反饋?zhàn)儞Q得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)引出點(diǎn)前移，進(jìn)行內(nèi)回路變換，然后再進(jìn)行外回路反饋?zhàn)儞Q得系統(tǒng)的四、用梅森（S.J.Mason）公式求傳遞函數(shù)

方塊圖———系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等效變換方塊圖的復(fù)雜程度—變換過程的復(fù)雜和困難梅森公式式中：(s)----系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)----特征式，且=1-La+LbLc-LdLeLf+…四、用梅森（S.J.Mason）公式求傳遞函數(shù)方塊圖—Pk－第k條前向通路的傳遞函數(shù)。k－余子式，即在特征式中把與Pk前向通路接觸的回路所在項(xiàng)除去(置為零)后余下的式子。n－前向通路數(shù)。Pk－第k條前向通路的傳遞函數(shù)。k－余子式，即在特征式中把明確幾個(gè)概念：回路－閉的通路，即在結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)可以沿箭頭方向閉合流動(dòng)且經(jīng)過的任一元件不多于一次的閉合回路。互不接觸回路－相互間沒有共同接點(diǎn)的回路。前向通道－由輸入端單向(沿箭頭)傳遞至輸出端的信號(hào)通道被稱為前向通道。明確幾個(gè)概念：回路－閉的通路，即在結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)可以沿箭頭方向例

求示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C/R。

解：(1)前向通道有1條:例求示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C/R。解：(1)前向通道有1條:(2)單獨(dú)回路有4個(gè)：有2個(gè)回路互不接觸，所以有特征式：(2)單獨(dú)回路有4個(gè)：有2個(gè)回路互不接觸，所以有特征式：余子式：(不存在與P1不接觸的回路)(3)閉環(huán)傳遞函數(shù)C/R為余子式：(不存在與P1不接觸的回路)(3)閉環(huán)傳遞函數(shù)C/R注意事項(xiàng)：(1)

k條前向通路，是指從輸入信號(hào)信號(hào)到輸出信號(hào)前向通路的總數(shù)，不要漏掉，也不要錯(cuò)劃。通過節(jié)點(diǎn)只有一次，不得重復(fù)。(2)單獨(dú)回路數(shù)，互不接觸回路數(shù)，不要漏掉，也不要重復(fù)。與k應(yīng)計(jì)算無誤。(3)反饋的極性應(yīng)體現(xiàn)在回路傳遞函數(shù)的正負(fù)上，一定要注意符號(hào)。注意事項(xiàng)：傳遞函數(shù)分解成如下形式式中：K,i,Ti,j,Tj,i,j,均為實(shí)數(shù)，而且傳遞函數(shù)分解成如下形式式中：K,i,Ti,j,Tj一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以分解為若干個(gè)基本因子的乘積，每個(gè)基本因子稱作典型環(huán)節(jié)。一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以分解為若干個(gè)基本因子的乘積，每個(gè)基本因2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

一、比例(放大)環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)方塊圖其微分方程為

K為常數(shù)，稱比例系數(shù)或增益。

傳遞函數(shù)為

2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一、比例(放大)環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)運(yùn)算放大器：電位器：運(yùn)算放大器：電位器：二、積分環(huán)節(jié)

微分方程為

傳遞函數(shù)為

積分器電壓的傳遞函數(shù)二、積分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為積分器電壓的傳遞函數(shù)空載油缸流量小慣性電動(dòng)機(jī)空載油缸流量小慣性電動(dòng)機(jī)三、理想微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

測速發(fā)電機(jī)三、理想微分環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)測速發(fā)電機(jī)四、慣性環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

運(yùn)算放大器四、慣性環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)運(yùn)算放大器五、一階微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

在放大器上加以RC網(wǎng)絡(luò)反饋,當(dāng)增益K足夠大時(shí)五、一階微分環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)在放大器上加以RC網(wǎng)絡(luò)六、振蕩環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

式中:

——相對(duì)阻尼比(無量綱)n——無阻尼自然頻率（s-1）

六、振蕩環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)式中:——相對(duì)阻尼比(RLC網(wǎng)絡(luò)RLC網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量-彈簧-阻尼動(dòng)力系統(tǒng)牛頓第二定律F=ma

取拉氏變換,整理后得質(zhì)量-彈簧-阻尼動(dòng)力系統(tǒng)牛頓第二定律F=ma取拉氏變七、二階微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

二階微分環(huán)節(jié)的方框圖七、二階微分環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)二階微分環(huán)節(jié)的方框圖2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖R(s)——指令信號(hào)，輸入信號(hào)，作用于系統(tǒng)輸入端。N(s)——干擾信號(hào)，一般是作用在受控對(duì)象上。C(s)——被控量,輸出信號(hào)B(s)——反饋信號(hào)E(s)——誤差信號(hào)2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖R(一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)斷開系統(tǒng)的主反饋通路。把G1(s)G2(s)H(s)之積稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。定義一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)斷開系統(tǒng)的主反饋通路。把G1(s)G2二、R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0，此時(shí)C(s)對(duì)R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

二、R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0，此時(shí)C(三、N(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令R(s)=0，并把N(s)前移到輸入端

三、N(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0，并把四、系統(tǒng)的總輸出

根據(jù)線性迭加原理，系統(tǒng)的總輸出等于各外作用引起的輸出的總和

四、系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性迭加原理，系統(tǒng)的總輸出等于各外作用如果系統(tǒng)中控制裝置的參數(shù)設(shè)置，能滿足|G1(s)G2(s)H(s)|>>1及|G1(s)H(s)|>>1，則系統(tǒng)的總輸出表達(dá)式可近似為

因此如果系統(tǒng)中控制裝置的參數(shù)設(shè)置，能滿足|G1(s)G2(s)H五、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)的作用下，以誤差信號(hào)作為輸出量時(shí)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。

五、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)的作北航自控本科生課件機(jī)械類考研根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)總誤差為

如果滿足條件|G1(s)G2(s)H(s)|>>1，而且|G1(s)|>>1，則系統(tǒng)總誤差上式表明，適當(dāng)選擇系統(tǒng)的元件參數(shù)，可以獲得較高的工作精度。根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)總誤差為如果滿足條件|G1(s)G2(s基本要求1.掌握控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型：包括微分方程、傳遞函數(shù)和動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

2.掌握結(jié)構(gòu)圖的等效變換和梅遜公式。3.掌握典型環(huán)節(jié)并了解其作用。

4.學(xué)會(huì)建立工程系統(tǒng)，特別是機(jī)電相結(jié)合的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

基本要求1.掌握控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型：包括微分方程、傳遞函主要內(nèi)容：能夠用理論推導(dǎo)的方法建立電路系統(tǒng)及動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型－微分方程，典型元部件的傳遞函數(shù)的求取，結(jié)構(gòu)圖的繪制，由結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)，由梅森公式求傳遞函數(shù)。

重點(diǎn)：常用元部件傳遞函數(shù)的求?。幌到y(tǒng)傳遞函數(shù)的求取。

難點(diǎn)：結(jié)構(gòu)圖等效變換；梅森公式的應(yīng)用。

主要內(nèi)容：能夠用理論推導(dǎo)的方法建立電路系統(tǒng)及動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模作業(yè)：教材p54習(xí)題:2-1,2-3,2-5作業(yè)：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。描述各變量動(dòng)態(tài)關(guān)系的表達(dá)式稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型為微分方程。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個(gè)變量之間關(guān)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，一般采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。所謂解析法，即依據(jù)系統(tǒng)及元部件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

實(shí)驗(yàn)法是對(duì)系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，一般采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。所謂解析法微分方程傳遞函數(shù)頻率特性微分方程傳遞函數(shù)頻率特性2.1控制系統(tǒng)微分方程的建立首先必須了解系統(tǒng)的組成、工作原理，然后根據(jù)支配各組成元件的物理定律，列寫整個(gè)系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系式，即微分方程。列寫微分方程的一般步驟：①分析系統(tǒng)和各個(gè)元件的工作原理，找出各物理量（變量）之間的關(guān)系，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量。2.1控制系統(tǒng)微分方程的建立首先必須了解②從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫動(dòng)態(tài)關(guān)系式，一般為一個(gè)微分方程組。③對(duì)已建立的原始方程進(jìn)行處理，忽略次要因素，簡化原始方程，如對(duì)原始方程進(jìn)行線性化等。④消除中間變量，寫出關(guān)于輸入、輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即微分方程。②從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理（根據(jù)電路理論中的基爾霍夫定理，建立RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸入量為電壓ur(t),輸出量為電壓uc(t)i(t)為流經(jīng)電阻R和電容C的電流，消去中間變量i(t)，可得RC無源網(wǎng)絡(luò)根據(jù)電路理論中的基爾霍夫定理，建立RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸令RC=T，則上式又可寫為式中：T稱為無源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù),單位為秒(s)一般情況下把輸出變量寫在等式的左邊,輸入變量寫在等式的右邊。令RC=T，則上式又可寫為式中：T稱為無源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù),單2.2拉普拉斯(Laplace)變換拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換，它是一種函數(shù)之間的積分變換。拉氏變換是研究控制系統(tǒng)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具,它可以把時(shí)域中的微分方程變換成復(fù)域中的代數(shù)方程，從而使微分方程的求解大為簡化。同時(shí)還引出了傳遞函數(shù)、頻率特性等概念。2.2拉普拉斯(Laplace)變換拉普拉斯變換簡稱為拉一、Laplace變換的定義1.定義設(shè)函數(shù)f(t)在t0時(shí)有定義，如果線性積分存在，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為一、Laplace變換的定義1.定義設(shè)函數(shù)f(t)在tF(s)稱為f(t)的象函數(shù)，而f(t)稱為F(s)的原函數(shù)，由象函數(shù)求原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉氏反變換，記作

稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，并記作F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，而f(t)稱為F(s)的原函數(shù)二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(t)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為

二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(t)數(shù)學(xué)表達(dá)式2、單位斜坡函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

2、單位斜坡函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為3.單位加速度函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

3.單位加速度函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為4.指數(shù)函數(shù)e-at數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

4.指數(shù)函數(shù)e-at數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為5.正弦函數(shù)sint

正弦函數(shù)定義為其拉氏變換為

5.正弦函數(shù)sint正弦函數(shù)定義為其拉氏變換為6、單位脈沖函數(shù)(函數(shù))函數(shù)的表達(dá)式為其拉氏變換為

6、單位脈沖函數(shù)(函數(shù))函數(shù)的表達(dá)式為其拉氏變換為三、拉氏變換的基本法則1.線性法則設(shè)F1=L[f1(t)]，F(xiàn)2=L[f2(t)]，a和b為常數(shù)，則有三、拉氏變換的基本法則1.線性法則設(shè)F1=L[f1(t)]2.微分法則

設(shè)F=L[f

(t)]，則有式中：f(0),f(0),…f(n-1)(0)為f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處的值。2.微分法則設(shè)F=L[f(t)]，則有式中：f(0),f3.積分法則設(shè)F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，則有3.積分法則設(shè)F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，4.終值定理若F(s)=L[f(t)]，且當(dāng)t時(shí)，f(t)存在一個(gè)確定的值，則其終值

該式為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（即t

）提供了方便。

4.終值定理若F(s)=L[f(t)]，且當(dāng)t時(shí)，f(5.位移定理設(shè)F(s)=L[f(t)]，則有及分別稱為時(shí)域中的位移定理和復(fù)域中的位移定理。5.位移定理設(shè)F(s)=L[f(t)]，則有及分別稱為時(shí)域四、拉氏反變換

拉氏反變換的定義如下

一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先將F(s)分解成一些簡單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)f(t)。

四、拉氏反變換拉氏反變換的定義如下一般由F(s)求f(tF(s)通常是s的有理分式函數(shù)，即分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，F(xiàn)(s)的一般式為式中ai、bi為實(shí)數(shù)，m、n為正數(shù)，且m<n。如果F(s)可分解成下列分量F(s)通常是s的有理分式函數(shù)，即分母多項(xiàng)式的階次高于分子多并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反變換可以很容易地求出，則并且F1(s)、F2(s)、Fn(s)的拉氏反變換可以很容例2.1求的拉氏反變換。解：進(jìn)行反變換得例2.1求的拉氏反變換。2.3傳遞函數(shù)

2.3傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念及定義無源RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為設(shè)初始值uc(0)=0，對(duì)上式取拉氏變換,得

一、傳遞函數(shù)的概念及定義無源RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為設(shè)初始值uc令則傳遞函數(shù)令則傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義：

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)(或元部件)的傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為

式中c(t)為系統(tǒng)的輸出量，r(t)為系統(tǒng)的輸入量，a0，a1…,an

及b0，b1…,bn均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為式中c(t)為系統(tǒng)的輸出量設(shè)所有初始條件均為零的條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換，得

按照定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

設(shè)所有初始條件均為零的條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換，得按二、對(duì)傳遞函數(shù)的說明

1.傳遞函數(shù)是復(fù)域(s域)中的一個(gè)表達(dá)式，它通過系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)使線性定常系統(tǒng)的輸出和輸入建立聯(lián)系，而與輸入形式無關(guān)。只適用于線性定常系統(tǒng)。

2.傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次。即nm，這是由于系統(tǒng)中含有較多的慣性元件及受能源的限制所造成的。分母多項(xiàng)式的最高階次為n，稱該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。如n＝1，2，稱為一、二階系統(tǒng)。二、對(duì)傳遞函數(shù)的說明1.傳遞函數(shù)是復(fù)域(s域)中的一個(gè)表3.傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入—輸出之間的關(guān)系，但不反映系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的任何信息。因此.不同的物理系統(tǒng)完全可能有相同形式的傳遞函數(shù)，這就給數(shù)學(xué)模擬創(chuàng)造了條件。

4.同一系統(tǒng)不同觀測點(diǎn)的輸出信號(hào)對(duì)不同作用點(diǎn)的輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)的形式具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多項(xiàng)式稱為特征式，記為D(s)。3.傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入—輸出之間的關(guān)系，但不反映系統(tǒng)內(nèi)5.傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。6.傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)，脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖(t)輸入時(shí)的輸出響應(yīng)，此時(shí)R(s)=L[(t)]，所以有5.傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。6.傳遞函數(shù)G(s)7.傳遞函數(shù)的描述有一定的局限性：只能研究單入、單出系統(tǒng)，對(duì)于多如、多處系統(tǒng)要用傳遞矩陣表示；只能表示輸入、輸出的關(guān)系，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部其他各變量無法得知(經(jīng)典控制理論的不足)；只能研究零初始狀態(tài)的系統(tǒng)特性，對(duì)非零初始狀態(tài)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性不能反映。7.傳遞函數(shù)的描述有一定的局限性：只能研究單入、單出系統(tǒng)，三、求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法

求取物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，一般假設(shè):1.系統(tǒng)不帶負(fù)載，即在系統(tǒng)的輸出端不吸收能量。2.假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)為線性集中常數(shù)。三、求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法求取物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，一般假求取的方法與步驟：

1.首先確定出系統(tǒng)的輸出信號(hào)(被控量等)和輸入信號(hào)（如給定值、干擾等）。2.把系統(tǒng)分成若干個(gè)典型環(huán)節(jié)，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，填寫在方框內(nèi)。用信號(hào)線把這些方框連接起來，得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。3.對(duì)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行變換，得到所要求的傳遞函數(shù)。

求取的方法與步驟：四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)zj:零點(diǎn)，用“o”表示pi:極點(diǎn)，用“”表示零極點(diǎn)分布圖四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)zj:零點(diǎn)，用“o”表示pi:極若傳遞函數(shù)該傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為p1

=-1，p2=-2;零點(diǎn)為z1=-0.5零極點(diǎn)分布圖若傳遞函數(shù)該傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(或稱方塊圖、方框圖)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是表示組成控制系統(tǒng)的各個(gè)元件之間信號(hào)傳遞動(dòng)態(tài)關(guān)系的圖形。1.定義2.組成①信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞方向，信號(hào)線上標(biāo)信號(hào)的原函數(shù)或象函數(shù)。2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(或稱方塊圖②方框：方框中為元部件的傳遞函數(shù)。③引出點(diǎn)(測量點(diǎn))：表示信號(hào)引出或測量位置，從同一點(diǎn)引出的信號(hào)完全相同。②方框：方框中為元部件的傳遞函數(shù)。③引出點(diǎn)(測量點(diǎn))：表示信④綜合點(diǎn)(比較點(diǎn)):表示對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算?！?”號(hào)表示相加，“-”表示相減。④綜合點(diǎn)(比較點(diǎn)):表示對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算。二、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立(1)建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)）的微分方程。

(2)對(duì)各微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，并作出各元部件的方框圖。

(3)按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次用信號(hào)線將各元件的方框圖連接起來。系統(tǒng)的輸入變量在左端，輸出變量（即被控量）在右端，便得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

二、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立(1)建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)如RC網(wǎng)路的微分方程對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得如RC網(wǎng)路的微分方程對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得繪制上式各子方程的方框圖將方框圖連接起來,得出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。繪制上式各子方程的方框圖將方框圖連接起來,得出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換

進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換首先應(yīng)明確以下四點(diǎn)：1.結(jié)構(gòu)變換的等效性。即變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。2.所得結(jié)果(傳遞函數(shù))的唯一性；結(jié)構(gòu)圖的多樣性(不唯一性)。3.信號(hào)傳遞的單向性。4.多輸入系統(tǒng)的疊加性。三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換首先應(yīng)明確以下四點(diǎn)：動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則：

l.串聯(lián)變換法則

n個(gè)傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則：l.串聯(lián)變換法則n個(gè)傳遞函數(shù)依2.并聯(lián)變換法則

n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為該n個(gè)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

2.并聯(lián)變換法則n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為該n個(gè)傳稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)3.反饋?zhàn)儞Q法則

稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)3.反饋?zhàn)儞Q法則4.比較點(diǎn)移動(dòng)法則

比較點(diǎn)前移“加倒數(shù)”；比較點(diǎn)后移“加本身”。

移前后移4.比較點(diǎn)移動(dòng)法則比較點(diǎn)前移“加倒數(shù)”；比較點(diǎn)后移“加本身5.引出點(diǎn)移動(dòng)法則

引出點(diǎn)前移“加本身”;引出點(diǎn)后移“加倒數(shù)”。

5.引出點(diǎn)移動(dòng)法則引出點(diǎn)前移“加本身”;引出點(diǎn)后移“加倒數(shù)6.相鄰的比較點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，亦可綜合為一個(gè)比較點(diǎn)。相鄰的引出點(diǎn)之間亦可互相調(diào)換位置。

7.相鄰的比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間可以調(diào)換位置。

6.相鄰的比較點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，亦可綜合為一個(gè)比較點(diǎn)注意的問題:(1)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式;不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式。(2)向同類移動(dòng):比較點(diǎn)和引出點(diǎn)(3)由里向外變換：對(duì)多回路結(jié)構(gòu)，由內(nèi)回路向外回路進(jìn)行變換，逐個(gè)減少內(nèi)回路，直到變換成一個(gè)等效的方塊。

(4)多輸入變換多次：系統(tǒng)有多個(gè)輸入量，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。

注意的問題:(1)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式;設(shè)N1=0，N2=0設(shè)N1=0，N2=0把比較點(diǎn)前移例：求下圖所示系統(tǒng)被控量C(s)對(duì)各輸入信號(hào)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。G1G1G1RCN1N2+++--解：(1)求C(s)/R(s)。G1G1G1CN1N2+++--N1R+N2+++把比較點(diǎn)前移再進(jìn)行并連和內(nèi)回路反饋?zhàn)儞Q設(shè)N1=0，N2=0設(shè)N1=0，N2=0把比較點(diǎn)前移例：求下G1G3RC-串聯(lián)后再作反饋?zhàn)儞QRC進(jìn)行串聯(lián)變換RCG1G3RC-串聯(lián)后再作反饋?zhàn)儞QRC進(jìn)行串聯(lián)變換RC（2）求C(s)/N1(s)

，設(shè)R=0，N2=0,得

因此，（2）求C(s)/N1(s)，設(shè)R=0，N2=0,得因此(3)求，設(shè)R=0,N1=0N2(s)信號(hào)只能單向傳遞

所以，(3)求，設(shè)R=0,N1=0N2(s)例

已知一控制系統(tǒng)的微分方程組為試畫出其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)得傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：r(t)為輸入信號(hào)，c(t)為輸出信號(hào)例已知一控制系統(tǒng)的微分方程組為試畫出其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換,得到相應(yīng)的代數(shù)方程根據(jù)各個(gè)代數(shù)方程組畫出相應(yīng)得方塊圖，然后連接起來就得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換,得到相應(yīng)的代數(shù)方程根據(jù)各個(gè)代數(shù)方引出點(diǎn)前移，進(jìn)行內(nèi)回路變換，然后再進(jìn)行外回路反饋?zhàn)儞Q得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)引出點(diǎn)前移，進(jìn)行內(nèi)回路變換，然后再進(jìn)行外回路反饋?zhàn)儞Q得系統(tǒng)的四、用梅森（S.J.Mason）公式求傳遞函數(shù)

方塊圖———系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等效變換方塊圖的復(fù)雜程度—變換過程的復(fù)雜和困難梅森公式式中：(s)----系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)----特征式，且=1-La+LbLc-LdLeLf+…四、用梅森（S.J.Mason）公式求傳遞函數(shù)方塊圖—Pk－第k條前向通路的傳遞函數(shù)。k－余子式，即在特征式中把與Pk前向通路接觸的回路所在項(xiàng)除去(置為零)后余下的式子。n－前向通路數(shù)。Pk－第k條前向通路的傳遞函數(shù)。k－余子式，即在特征式中把明確幾個(gè)概念：回路－閉的通路，即在結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)可以沿箭頭方向閉合流動(dòng)且經(jīng)過的任一元件不多于一次的閉合回路?；ゲ唤佑|回路－相互間沒有共同接點(diǎn)的回路。前向通道－由輸入端單向(沿箭頭)傳遞至輸出端的信號(hào)通道被稱為前向通道。明確幾個(gè)概念：回路－閉的通路，即在結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)可以沿箭頭方向例

求示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C/R。

解：(1)前向通道有1條:例求示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C/R。解：(1)前向通道有1條:(2)單獨(dú)回路有4個(gè)：有2個(gè)回路互不接觸，所以有特征式：(2)單獨(dú)回路有4個(gè)：有2個(gè)回路互不接觸，所以有特征式：余子式：(不存在與P1不接觸的回路)(3)閉環(huán)傳遞函數(shù)C/R為余子式：(不存在與P1不接觸的回路)(3)閉環(huán)傳遞函數(shù)C/R注意事項(xiàng)：(1)

k條前向通路，是指從輸入信號(hào)信號(hào)到輸出信號(hào)前向通路的總數(shù)，不要漏掉，也不要錯(cuò)劃。通過節(jié)點(diǎn)只有一次，不得重復(fù)。(2)單獨(dú)回路數(shù)，互不接觸回路數(shù)，不要漏掉，也不要重復(fù)。與k應(yīng)計(jì)算無誤。(3)反饋的極性應(yīng)體現(xiàn)在回路傳遞函數(shù)的正負(fù)上，一定要注意符號(hào)。注意事項(xiàng)：傳遞函數(shù)分解成如下形式式中：K,i,Ti,j,Tj,i,j,均為實(shí)數(shù)，而且傳遞函數(shù)分解成如下形式式中：K,i,Ti,j,Tj一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以分解為若干個(gè)基本因子的乘積，每個(gè)基本因子稱作典型環(huán)節(jié)。一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以分解為若干個(gè)基本因子的乘積，每個(gè)基本因2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

一、比例(放大)環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)方塊圖其微分方程為

K為常數(shù)，稱比例系數(shù)或增益。

傳遞