多元數(shù)量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分-5梯度

方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)梯度2013年3月1航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問(wèn)題的提出2013年3月2航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系函數(shù)z

f

(

x,y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題．二、方向?qū)?shù)的定義oyxlPxy設(shè)函數(shù)

z

f

(

x,

y)

在點(diǎn)P(x,y)的某一鄰域U

(P

)內(nèi)有定義，自點(diǎn)P

引射線l．設(shè)x軸正向到射線l

的轉(zhuǎn)角為

,并設(shè)P(x

x,y

y)為

l

上的另一點(diǎn)且

P

U

(

p).

（如圖）2013年3月3航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系∵|

PP

|

(x)2

(y)2

,且z

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y),

0lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)當(dāng)P沿著l

趨于P時(shí)，考慮z

,是否存在？2013年3月4航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系f

lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

.

0lG依定義，函數(shù)f

(x,y)在點(diǎn)P

沿著x

軸正向e1

{1,0}、x

yy

軸正向Ge

{0,1}的方向?qū)?shù)分別為

f

,

f

；2沿著x軸負(fù)向、

y

軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是

f

x

,

f

y

.當(dāng)P

沿著l

趨于P

時(shí)，如果此比的極限存在，則稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)P

沿方向l

的方向?qū)?shù)．(x)2

(y)2

之比值，PP

兩點(diǎn)間的距離

定義

函數(shù)的增量

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

與記為2013年3月5航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系定理如果函數(shù)z

f

(

x,

y)在點(diǎn)P(

x,

y)是可微分的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有f

f

cos

f

sin

，l

x

y其中

為x

軸到方向L的轉(zhuǎn)角．證明

由于函數(shù)可微，則增量可表示為y

o()f

(x

x,

y

y)

f

(x,

y)

f

x

f

x

y兩邊同除以,得到2013年3月6航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系cos

sin

y

f

y

o(

)xxf

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

f

故有方向?qū)?shù)

0

f

cos

f

sin

.x

ylf

lim

f

(

x

x,y

y)

f

(

x,

y)2013年3月7航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例

1

求函數(shù)z

xe2

y

在點(diǎn)P(1,0)處沿從點(diǎn)P(1,0)到點(diǎn)Q(2,1)的方向的方向?qū)?shù).解4G故x軸到方向l

的轉(zhuǎn)角

.(1,0)

e2

y

1;x

(1,0)∵

z(1,0)

2

xe2

y

2,(1,0)zy所求方向?qū)?shù)4

4lz

cos(

)

2sin(

)

2

.2這里方向l

即為PQ

{1,1},2013年3月8航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例2

求函數(shù)f

(x,y)

x2

xy

y2

在點(diǎn)（1，1）G沿與x軸方向夾角為

的方向射線l

的方向?qū)?shù).并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解

f

x

(1,1)cos

f

y

(1,1)sin(1,1)fl由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知

(2

x

y) cos

(2

y

x)

sin

,(1,1)

(1,1)2013年3月9航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系

cos

sin

2

sin(

),4故（1）當(dāng)

時(shí)，4方向?qū)?shù)達(dá)到最大值

2;4（2）當(dāng)

5時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值

2;（3）當(dāng)

3和

7時(shí)，方向?qū)?shù)等于0.4

42013年3月10航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系對(duì)于三元函數(shù)u

f

(

x,

y,

z)，它在空間一點(diǎn)P(

x,y,

z)沿著方向

L

的方向?qū)?shù)

，可定義為f

(

x

x

,

y

y

,

z

z

)

f

(

x

,

y

,

z

)

,

l

f

lim

0推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（其中

(x)2

(y)2

(z)2

）2013年3月11航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向L

的方向?qū)?shù)都存在，且有f

f

cos

f

cos

f

cos

.l

x

y

z設(shè)方向L

的方向角為

,

,y

cos

,x

cos

,

z

cos

,2013年3月12航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系G

2

2

2例

3

設(shè)n是曲面2

x

3

y

z

6

在點(diǎn)P(1,1,1)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)11zu

G(6

x2

8

y2

)2

在此處沿方向n的方向?qū)?shù).解

令F

(

x,

y,

z)

2

x2

3

y2

z2

6,Fx

P

4

x

P

4,

Fy

P

6

y

P

6,

Fz

P

2z

2,P故

n

F,

F

,

F

4,

6,

2,x

y

z42

62

22

2

14,nG方向余弦為2013年3月13航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,142cos

143cos

,141cos

.Px

P6

xz

6

x2

8

y2u6;14Py

P8

yz

6

x2

8

y2u8;14PPz26

x2

8

y2uz

14.Pn

P

x

y

z

G7

(u

cos

u

cos

u

cos

)

11.u故2013年3月14航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系都可定出一個(gè)向量

f

G

f

Gi

j

，這向量稱為函數(shù)x

yz

f

(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度，記為f

G

f

Ggradf

(

x,

y)

.x

i

y

j問(wèn)題:函數(shù)在點(diǎn)P

沿哪一方向增加的速度最快?定義

設(shè)函數(shù)z

f

(

x,

y)在平面區(qū)域

D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(

x,

y)

D

，三、梯度的概念2013年3月15航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系l

x

y

x

yf

f

cos

f

sin

{f

,

f

}{cos

,sin

}f

gradf

(

x,

y)

e

|

gradf

(

x,

y)

|

cos

,其中

(gradf

(x,y),e

)當(dāng)cos(gradf

(x,y),e

)

1時(shí)，l

有最大值.G設(shè)e

cos

i

sin

j

是方向由方向?qū)?shù)公式知Gl

上的單位向量，2013年3月16航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系|

gradf

(

x,

y)

|

y

x

f

2

f

2

.結(jié)論

函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．梯度的模為fx當(dāng)不為零時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為fxtan

y

．gradf

gradffP2013年3月17航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系在幾何上

z

f

(

x,

y)

表示一個(gè)曲面曲面被平面z

cz

cz

f

(

x,

y)所截得

,所得曲線在xoy面上投影如圖oyxf

(x,

y)

c1f

(x,y)

c等高線gradf

(

x,

y)梯度為等高線上的法向量f

(x,

y)

c2P2013年3月18航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系等高線的畫(huà)法2013年3月19航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系函數(shù)z

sin

xy

圖形及其等高線圖形．例如,2013年3月20航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系梯度與等高線的關(guān)系：函數(shù)

z

f

(

x,

y)

在點(diǎn)

P(

x,

y)的梯度的方向與點(diǎn)P

的等高線f

(x,y)

c

在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)．2013年3月21航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)u

f

(x,y,z)在空間區(qū)域G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(x,y,z)

G

，都可定義一個(gè)向量(梯度)gradf

(

x,

y,

z)

f

G

f

G

f

Gx

i

y

j

z

k

.類(lèi)似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.2013年3月22航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系類(lèi)似地,設(shè)曲面

f

(

x,

y,

z)

c

為函數(shù)u

f

(

x,

y,

z)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P

的等量面f

(x,y,z)

c

在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).2013年3月23航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例

4

求函數(shù)

u

x2

2

y2

3z2

3

x

2

y

在點(diǎn)(1,1,2)處的梯度，并問(wèn)在哪些點(diǎn)處梯度為零？解由梯度計(jì)算公式得gradu(

x,

y,

z)

u

G

u

G

u

Gx

i

y

j

z

k

(2

x

3)i

(4

y

2)

j

6zk

,故gradu(1,1,2)

5i

2

j

12k

.2

20在P

(

3

,1

,0)處梯度為0.2013年3月24航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系梯度的方向就是函數(shù)f

(x,y)在這點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向.四、小結(jié)2013年3月25航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系x2思考題函數(shù)z

f

(

x,

y)

y2

在(0,0)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？2013年3月26航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系xz

lim

f

(x,0)

f

(0,0)x

(0,0)x0x

lim

|

x

|.x0zy(0,0)

lim|

y

|y同理：y0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答2013年3月27航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系沿任意方向l

{

x,

y,

z}的方向?qū)?shù),

0(0,0)z

lim

f

(x,

y)

f

(0,0)l

1(x)2

(y)2(x)2

(y)2

lim0故沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在且相等.2013年3月28航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系

3、已知場(chǎng)

u(

x,

y,

z

)

,

則u沿場(chǎng)的梯a

2

b

2

c

2

度練習(xí)題一、填空題:1、函數(shù)z

x

2

y

2

在點(diǎn)(1,2)處沿從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)(2,2

3)的方向的方向?qū)?shù)為

.2、設(shè)f

(x,y,z)

x

2

2

y

2

3z

2

xy

3

x

2

y

6z

,則gradf

(0,0,0)

.x

2

y

2

z

2方向的方向?qū)?shù)是

.

4、稱向量場(chǎng)