教程大二課件

(a1

,a2

,,an

)aT

a

a2

an

a1

預(yù)備知識(shí):n

維向量的表示方法n

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用aT

,bT

,

T

,

T

等表示，如：n

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用a,b,

,

等表示，如：注意：１．行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；３．當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量.4.1向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)一、向量、向量組與矩陣二、線性相關(guān)性的概念三、線性相關(guān)性的判定四、向量組的線性相關(guān)性質(zhì)五、線性表示、線性相關(guān)以及線性無關(guān)三者的關(guān)系六、小節(jié)若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如矩陣A

(aij)

有n個(gè)m維列向量a

aa

amn

mj

m

2m1a2na22

a2

j

A

a21a1n

a1

ja12

a11向量組a1,a2

,,an

稱為矩陣A的列向量組.一、向量、向量組與矩陣aa

aa11

22mn

a

jaann又有m個(gè)n維行向量mn類似地,矩陣A

(aij

)aA

aaman

mm21aa2na2221aa1na1211

T1

T2

Ti

Tm向量組

T

,

T

,

…，

T

稱為矩陣A的行向量組．1

2

m反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.m個(gè)n維列向量所組成的向量組1

,

2

,,

m

,構(gòu)成一個(gè)n

m矩陣A

(1

,

2

,,

m

)的向量組1

,

2 ,

m

,T

T

T構(gòu)成一個(gè)m

n矩陣m個(gè)n維行向量所組成

T

mT

TB

211

x1

2

x2

n

xn

b線性方程組的向量表示

a11x1

a12

x2

a1n

xn

b1

,

a21

x1

a22x2

a2n

xn

b2

,am1

x1

am

2

x2

amn

xn

bm

.方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)．定義１給定向量組A

:1

,2

,,m，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1，k2，,km，向量k11

k2

2

km

m稱為向量組的一個(gè)線性組合，k1，k2，,km

稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).b

11

2

2

m

m給定向量組A

:1

,

2

,,

m

和向量b,如果存在一組數(shù)1，2，,m，使有解.則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱向量b

能由向量組A

線性表示．即線性方程組x11

x2

2

xm

m

b也就是方程組Ax

b

有解其中，A

1

,

2

,

n

.B

(1，

2，,

m

,b)的秩.

2

1

0定理1

向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是矩陣

A

(1，

2，,

m

)的秩等于矩陣?yán)?/p>

0

0

0

21向量

b

3

即可由向量組

0，

1，3213

3

0

1

0線性表示，且為：b

20即r(A)

r(B).)定義２設(shè)有兩個(gè)向量組A

:

1

,

2

,,

m及B

:

1

,

2

,,

s

.若B組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)．

0

0

1

0

1

0

0

2

1

2

3B

[

A,

b]

,

,

,

b

0

1

0

3(因?yàn)?.若1

,

2

,,n線性無關(guān),則只有當(dāng)k1

kn

0時(shí),才有k11

k2

2

knn

0

成立.2.對(duì)于任一向量組,不是線性無關(guān)就是線性相關(guān).注意:二、線性相關(guān)性的概念定義３給定向量組A

:1

,2

,,

m

,如果存在不全為零的數(shù)k1

,k2

,,km

使k11

k2

2

km

m

0則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．線性相關(guān),若

0,則說

線性無關(guān).包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.對(duì)于含有兩個(gè)向量的向量組,它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意義是兩向量共線；三個(gè)向量相關(guān)的幾何意義是三向量共面.3.向量組只包含一個(gè)向量

時(shí),若

0則說21，，m，到也即齊次線性方程組組性相關(guān)還是無關(guān)

m

m

x

x

2

x1

]Ax

[1

,

2

,

,

x11

x22

xmm

0有無非零解的問題，故而由上章關(guān)于齊次線性方程組的定理，即有三、線性相關(guān)性的判定定理

2

向量組1

,2

,,m線性相關(guān)的充要條件是矩陣

A

[1

,2

,,m

]的秩

r(

A)

m.其中m是向量的個(gè)數(shù)其逆否命題是“向量組1

,2

,,m線性無關(guān)的充要條件是r(

A)

m.”推論對(duì)m維向量組1

,2

,,m，它線性相關(guān)的充要條件是A

0推論的逆否命題是對(duì)m維向量組1

,2

,,m，它線性無關(guān)的充要條件是A

0n

維向量組

0,0,1,TnTT1

2e

1,00,,,1e

，,0e,,,0稱為n維單位坐標(biāo)向量組,

其線性相關(guān)性

.解是n階單位矩陣.n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣I

(e1

,e2

,,en

)由 I例１及定理2

的推論知n維單位坐標(biāo)向量組線性無關(guān)

，

，

7

4

2

，及2，的1321，線性相關(guān)性.

5

2

01

11321試

向量組解分析對(duì)矩陣（1，

2，

3），施行初等行變換變成行階梯形矩陣,可同時(shí)看出矩陣（1，

2，

3）及（1，

2）的秩，利用定理2即可得出結(jié)論.例２已知7

141

0

2(1

,

2

,

3

)

1

25~223r

(

5)

0

0

1

0

2

0

2

20可見r(1

,2

,3

)

2，故向量組1

,2

,3線性相關(guān)r(1

,2

)

2,

故向量組1

,2線性無關(guān).~r12

(

1)r13

(

1)5

0

1

0

2

0

2

25例3

已知向量組

1

,2

,3

線性無關(guān),

b1

1

2

,b2

2

3

,b3

3

1

,試證b1

,b2

,b3線性無關(guān).證法1

設(shè)有x1

,

x2

,

x3使x1b1

x2b2

x3b3

0即

x（1

1

2）

x2

(

2

3

)

x3

(

3

1

)

0,亦即（

x1

x3

)1

(

x1

x2

)

2

(

x2

x3

)

3

0,因1，

2，

3線性無關(guān)，故系數(shù)必全為零，即有x1

x2

0,x2

x3

0.x1

x3

0,b1

,b2

,b3線性無關(guān).故方程組只有零解

x1

x2

x3

0，所以向量組證法201

2

3

1

2

31

0

1即有，

(b

,

b

,

b

)

(a

,

a

,

a

)

1

1

0

1

1可對(duì)應(yīng)記作B

AC.由b1

1

2

,b2

2

3

,b3

3

1

,由1

0

1C

1

1 0

2

00

1

1知r(B)

r(A).而利用定理2，知r(A)

3,進(jìn)而知向量組b1

,b2

,b3線性無關(guān).接下來，

性相關(guān)判定的幾個(gè)性質(zhì)若向量組A：1

,2

,,m

線性相關(guān),則性質(zhì)1：四、向量組的線性相關(guān)性質(zhì)反之，若一個(gè)組都線性無關(guān).含有零向量的向量組必線性相關(guān).向量組線性無關(guān)，則它的向量組B

:1

,,m

,m1

也線性相關(guān).反言之,若向量組B

線性無關(guān),則向量組A也線性無關(guān).說明：

性質(zhì)1

可推廣為:

一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組，則該向量組線性相關(guān).

特別地，設(shè)2

jjjrja,

m),a

a1

j

a1

j

a

2

j

,

,

b

(

j

1,

2,

arj

ar

1,

j

性質(zhì)2：即

j添上一個(gè)分量后得向量bj

.若向量組A：1

,2

,,m線性無關(guān),則向量組B：b1

,b2

,,bm也線性無關(guān).反言之，若向量組B線性相關(guān),則向量組A也線性相關(guān).說明：

性質(zhì)

2

是對(duì)增加一個(gè)分量（即維數(shù)增加1）而言的，若增加多個(gè)分量,結(jié)論也成立.

即“線性無關(guān)向量組的“加長”向量組必線性無關(guān)?！被颉熬€性相關(guān)向量組的“截短”向量組必線性相關(guān)?！毙再|(zhì)3：m

個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān).

2

0

例4

試判斷向量組

1

51

0

,71

50

2

0,

0

3

0

23

1

,的線性相關(guān)性。解法一新向量組，，2，1311

000

0

,20

100

0

,由0

1

01

0

0

0

00

1

0

0

0

0

0

1

02

7

2

1

0

5

5

3

0

11

,

2

,

3

,

1

,

2即知1

,2

,3

,1

,2線性無關(guān)再由性質(zhì)1，即知1，2，3

線性無關(guān)解法二

2

0

1

51

0

,71

50

2

0,

0

3

0

23

1

,的“截短”向量組：11

0

0,02

0

1,

1

0,03顯然

1，

2，

3線性無關(guān)，故1，2，3也無關(guān)。中至少有一個(gè)向定理3

向量組1

,2

,,m（當(dāng)m

2

時(shí)）線性相關(guān)1

2

m的充分必要條件是

,

,,五、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)三者的關(guān)系量可由其余m

1

個(gè)向量線性表示．而不是

“每一個(gè)”對(duì)向量組

1，

3，5T

,

0，0，0T

,因其為含零向量的向量組，所以該組線性相關(guān)。但也只有

0

,

而無

(

)

!定理4：設(shè)向量組A

:1

,2

,,m線性無關(guān),而向量組B

:1

,,m

,b

線性相關(guān),則向量b必能由向量組

A線性表示,且表示式是唯一的.有r(A)

r(B).因A組線性無關(guān)，有r(A)

m;因B組線性相關(guān)，有r(B)

m

1.所以m

r(B)m

1，即有r(B)

m.由r(A)

r(B)

m,知方程組(1

,2

,,m)x

b有唯一解，即向量b

能由向量組A線性表示，且表示式唯一.證明

記A

(1

,2

,,m

),

B

(1

,2

,,m

,b),例5

已知向量組1，2，3

線性相關(guān)，2，3，4線性無關(guān)，問：（1）1可否由2

,

3線性表示，為什么？（2）4是否可由1，2，3

線性表示？為什