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文檔簡介
一填空題（本題共10個(gè)小，每題分共40分．復(fù)數(shù)
的指數(shù)形式是（
2e
6
i
）．滿足
i
3
的復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)集的面積是（
3
）．區(qū)域D上函
f((x,)(x,)滿C條是函數(shù)
f()
在D上析的(必非充分
)條件．復(fù)積分
z
1(z)
n
dz
（是整數(shù)）的值是（
）．極限
limz
sinz
z
等于（
）．如果
z
上的解析函數(shù)
f()
在點(diǎn)
z0
處的
f
存在，那么
12
i
z
()
的值是（
1
f
）７．函數(shù)
f(z)
11
在
z
上的泰勒展開式為（
n
(nz
2n
）８．
sinzs()z
＝（
sin
）９．函數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)
nn!
z
的收斂半徑Ｒ＝（
）１０．
e
在閉園
z
上取得的最大值是（
e2
）二解題（本大題７個(gè)小題，共分．計(jì)算下列各題（每題5（1解方程解：z=Ln(-i)=ln1+iArg(-i)=i（2求
i(2k
2
)解：
)
i
=
e
iLn
=
e
i[ln(2k
)]（3計(jì)算積分
z
，其中Ｃ是從０到１的任意曲線/
1nn=1nn=解：
z
=
=ze/0
=11（4用逐項(xiàng)微分法求在z)
上的洛朗級(jí)數(shù)111解：()z)nz=z)znnn
nz
n
（
）分）討論函
fz)x
2
iy
2
的可微性和解析性，并且求
f
的值解：由
,
得到
xy
即x,
時(shí)可微，但是處處不解析；由于
f
2x
，得到
f
=2分）已知示圓周：
3，義(z)
求f
+f)的值解：
(2)
d
=0又
3
時(shí)，
f(z)(ezsinz)所以
f(zcosz)于是
f
=2
i
i)f
+
f(2e
=
2
i
i)分）設(shè)內(nèi)析函數(shù)的
f()
，在閉園上續(xù)，如果
f(0)
，計(jì)算積分：
1
i
1dz[z)]f(zkzz解：
1
i
11[k)]f(z)z2z
i
z
[
f(z)f()f()]dzzkz2=
f
1k
f
=
k
1k
f
/
____５分）利用留數(shù)計(jì)算積分
0
cosx2
dx解：
ei21
dx
=
iRes[
ei2
2
]
=
2
i
e2i
e
于是
cos2x
dx
=
cos2
dx
=
e
６分）設(shè)Ｄ是周線Ｃ的內(nèi)部，函數(shù)f()已知在Ｃ上恒為非零常數(shù)Ｍ．
f()
在區(qū)域Ｄ上解析，在閉域
D
上連續(xù)，試證明：如果
f()
不恒等于一個(gè)常數(shù)，那么在Ｄ內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。證明：如果對(duì)于任何
D使得f(z0那么
f(
是上解析函數(shù)由最大模原理，當(dāng)
D
時(shí)111maxmaxf()zf(zf(z)
=
同理由最小模原理，當(dāng)
D
時(shí)111minf(z)zf()f()矛盾。那么在Ｄ內(nèi)至少有一個(gè)零
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