應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系課件

§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1.

應(yīng)力的概念TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡(jiǎn)化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點(diǎn)，描述內(nèi)力的狀況。xyz1§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念1AA在P點(diǎn)取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點(diǎn)處定義：m-m截面上P點(diǎn)的正應(yīng)力m-m截面上P點(diǎn)的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點(diǎn)的全應(yīng)力應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2AA在P點(diǎn)取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面2變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過物體內(nèi)部的某一點(diǎn)的一個(gè)截面有關(guān)過物體內(nèi)部某點(diǎn)p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述3變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或32.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長(zhǎng)無限小的體積微元在直角坐標(biāo)系下，單元體為無限小正六面體xyz單元體的三對(duì)表面：正面：外法向與坐標(biāo)軸同向負(fù)面：外法向與坐標(biāo)軸反向單元體是變形體的最基本模型42.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體42)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的全應(yīng)力（力矢量），可分解為三個(gè)分量每對(duì)表面上的力矢量互為反作用力，共9個(gè)分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標(biāo)相同——正應(yīng)力兩腳標(biāo)不同——切應(yīng)力52)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面5故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則6故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則663)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量9個(gè)分量中，只有6個(gè)獨(dú)立分量！73)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,7§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡(jiǎn)化為平面單元體：xy8§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：8例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體9例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平91.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.斜截面應(yīng)力公式——解析法若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意外法線為n的斜截面上的應(yīng)力分量。101.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，10已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點(diǎn)外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,

切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAnt同理可得：11已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點(diǎn)外法線為n的斜截面11平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xyn12平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xy123.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(2.13)-~內(nèi)，得兩個(gè)值和，且主方向公式即這兩個(gè)主平面相互垂直133.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主13主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值即主應(yīng)力分別對(duì)應(yīng)于的極大值和極小值將P1，P2代入（2.12）得出主平面上的主應(yīng)力為：（2.15)主應(yīng)力公式14主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同14以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個(gè)主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力：按代數(shù)值大小排列為123分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力.15以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出15對(duì)任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零——該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有兩個(gè)主應(yīng)力不為零——該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力不為零——該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，極小值為316對(duì)任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主16單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)17單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)17172)某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(2.13)上式的兩個(gè)解S1，

S2為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向?yàn)镾1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：PS45oxPi182)某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式18注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即（2.20）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面19注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)19而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向。321max思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？=？20而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向20已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。解：xy例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：故三個(gè)主應(yīng)力分別為21已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫21求主方向：例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題22求主方向：例題1§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系22§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)力公式可得(b)(a)上兩式兩邊平方后相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標(biāo)系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)23§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)23圓心()圓的半徑：R應(yīng)力圓的畫法：xy已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標(biāo)Dx（）y面坐標(biāo)Dy（）兩點(diǎn)連線與軸的交點(diǎn)為圓心C以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓24圓心()圓的半徑24應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力xy角以逆時(shí)針為正R225應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上25因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對(duì)應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy226因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞26從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向：方向最大切應(yīng)力：27從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向27yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力28yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力2828幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮單拉-

單壓29幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮29(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-30(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-30某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題31某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元31解：例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題與2對(duì)應(yīng)主應(yīng)力為：與1對(duì)應(yīng)D32解：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題32主單元體：

例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題33主單元體：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系33已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題初始單元體xy半徑34已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。34主單元體：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy112.5°35主單元體：例題3§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系35已知某點(diǎn)兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力.單位：例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題36解：半徑已知某點(diǎn)兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫36例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題3760°例題4§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題3737xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡(jiǎn)介將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列因此根據(jù)每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個(gè)相互垂直的主應(yīng)力和3個(gè)正交的主方向xzy38xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡(jiǎn)介將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)38三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力K39三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所39求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題為一個(gè)主應(yīng)力40求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§240兩組載荷下某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy+41求兩組載荷共同作用下該點(diǎn)的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力.兩組載荷下某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2應(yīng)力應(yīng)變41例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+42解：半徑例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+442例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+43解：例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+443一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.5應(yīng)變的概念及一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)1.某點(diǎn)處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz正應(yīng)變——線段單位長(zhǎng)度的改變量，無量綱切應(yīng)變——直角的改變量，單位：弧度

44xy一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.4445某點(diǎn)處的應(yīng)變——二階對(duì)稱應(yīng)變張量45某點(diǎn)處的應(yīng)變——二階對(duì)稱應(yīng)變張量452.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的）xyxy462.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的）xyxy4646在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點(diǎn)各個(gè)方位應(yīng)變的情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)47在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令47應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析48應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析448類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向49類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向4949應(yīng)變花：可證明：對(duì)各向同性材料來說，任一點(diǎn)的主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的。可用于實(shí)驗(yàn)測(cè)定一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°50應(yīng)變花：可證明：對(duì)各向同性材料來說，任一點(diǎn)的主應(yīng)力與主應(yīng)變的5051競(jìng)賽題目：承受靜載和沖擊載荷的高壓輸電塔架結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)第5周3-31日發(fā)布海報(bào)（通告大賽題目、報(bào)名網(wǎng)址）在網(wǎng)上公布比賽細(xì)則，網(wǎng)上報(bào)名。第6周4-12日講座第7周4-15日?qǐng)?bào)名截止（統(tǒng)計(jì)、提交報(bào)名名單）第7周4-21日?qǐng)?bào)名參賽隊(duì)到指定地點(diǎn)遞交設(shè)計(jì)方案、計(jì)算書第8周4-25日公布參賽資格第9周4-28日發(fā)放材料第11周5-17日預(yù)賽第13周5-26日決賽51競(jìng)賽題目：承受靜載和沖擊載荷的高壓輸電塔架結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)51胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比§2.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.單向應(yīng)力狀態(tài)橫向應(yīng)變縱向應(yīng)變152胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量比例系數(shù)稱為泊52在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量

可證明2.純剪應(yīng)力狀態(tài)53在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量可53只有作用時(shí)3.廣義胡克定律只有作用時(shí)只有作用時(shí)只有作用時(shí)54只有作用時(shí)3.廣義胡克定律只有作用時(shí)只有作54故某點(diǎn)為任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：55故某點(diǎn)為任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：5555對(duì)主單元體56對(duì)主單元體5656已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變：求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題57已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變：求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例57解：則例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題設(shè)xy58解：則例題5§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系58整理后例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律59整理后例題5§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系59某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點(diǎn)測(cè)得與x軸夾角為-45?方向上的正應(yīng)變是，已知，求解：

例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy由該點(diǎn)主方向上的廣義胡克定律：由于純剪切的主方向?yàn)榕cx軸夾角±45o方向，主應(yīng)力為，0，-yx60某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點(diǎn)測(cè)得與x軸夾角為-45?方向上60取一體積為的單元體,受應(yīng)力作用變形。4.體積變形變形后的體積：各邊長(zhǎng)的改變量為：?jiǎn)挝惑w積的改變量代入廣義胡克定律體積應(yīng)變61取一體積為的單元體,受應(yīng)力作用變形。4.61令稱為該點(diǎn)應(yīng)力的平均應(yīng)力

設(shè)稱為體變模量

對(duì)非主單元體由于剪應(yīng)變不改變單元體的體積，上式仍成立。則或體積應(yīng)變定律此時(shí)62令稱為該點(diǎn)應(yīng)力的平均應(yīng)力設(shè)稱為體變模量對(duì)非主單元體由62證明彈性模量與切變模量、泊松比間的關(guān)系證明：取一純剪單元體（正方形）例題7§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題非零主應(yīng)力分別為：，-，主方向?yàn)椤?5o方向63證明彈性模量與切變模量、泊松比間的關(guān)系證明：取一純剪單元體6364拉伸實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：理學(xué)樓3段10464拉伸實(shí)驗(yàn)64656565§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1.

應(yīng)力的概念TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡(jiǎn)化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點(diǎn)，描述內(nèi)力的狀況。xyz66§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念66AA在P點(diǎn)取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點(diǎn)處定義：m-m截面上P點(diǎn)的正應(yīng)力m-m截面上P點(diǎn)的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點(diǎn)的全應(yīng)力應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa67AA在P點(diǎn)取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面67變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過物體內(nèi)部的某一點(diǎn)的一個(gè)截面有關(guān)過物體內(nèi)部某點(diǎn)p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述68變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或682.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長(zhǎng)無限小的體積微元在直角坐標(biāo)系下，單元體為無限小正六面體xyz單元體的三對(duì)表面：正面：外法向與坐標(biāo)軸同向負(fù)面：外法向與坐標(biāo)軸反向單元體是變形體的最基本模型692.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體692)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的全應(yīng)力（力矢量），可分解為三個(gè)分量每對(duì)表面上的力矢量互為反作用力，共9個(gè)分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標(biāo)相同——正應(yīng)力兩腳標(biāo)不同——切應(yīng)力702)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面70故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則71故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則6713)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量9個(gè)分量中，只有6個(gè)獨(dú)立分量！723)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,72§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡(jiǎn)化為平面單元體：xy73§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：73例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體74例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平741.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.斜截面應(yīng)力公式——解析法若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意外法線為n的斜截面上的應(yīng)力分量。751.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，75已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點(diǎn)外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,

切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAnt同理可得：76已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點(diǎn)外法線為n的斜截面76平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xyn77平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xy773.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(2.13)-~內(nèi)，得兩個(gè)值和，且主方向公式即這兩個(gè)主平面相互垂直783.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主78主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值即主應(yīng)力分別對(duì)應(yīng)于的極大值和極小值將P1，P2代入（2.12）得出主平面上的主應(yīng)力為：（2.15)主應(yīng)力公式79主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同79以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個(gè)主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力：按代數(shù)值大小排列為123分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力.80以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出80對(duì)任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零——該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有兩個(gè)主應(yīng)力不為零——該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力不為零——該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，極小值為381對(duì)任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主81單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)82單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)17822)某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(2.13)上式的兩個(gè)解S1，

S2為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向?yàn)镾1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：PS45oxPi832)某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式83注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即（2.20）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面84注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)84而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向。321max思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？=？85而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向85已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。解：xy例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：故三個(gè)主應(yīng)力分別為86已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫86求主方向：例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題87求主方向：例題1§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系87§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)力公式可得(b)(a)上兩式兩邊平方后相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標(biāo)系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)88§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)88圓心()圓的半徑：R應(yīng)力圓的畫法：xy已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標(biāo)Dx（）y面坐標(biāo)Dy（）兩點(diǎn)連線與軸的交點(diǎn)為圓心C以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓89圓心()圓的半徑89應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力xy角以逆時(shí)針為正R290應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上90因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對(duì)應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy291因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞91從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向：方向最大切應(yīng)力：92從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向92yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力93yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力2893幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮單拉-

單壓94幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮94(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-95(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-95某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題96某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元96解：例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題與2對(duì)應(yīng)主應(yīng)力為：與1對(duì)應(yīng)D97解：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題97主單元體：

例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題98主單元體：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系98已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題初始單元體xy半徑99已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。99主單元體：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy112.5°100主單元體：例題3§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系100已知某點(diǎn)兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力.單位：例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題101解：半徑已知某點(diǎn)兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫101例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題10260°例題4§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題37102xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡(jiǎn)介將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列因此根據(jù)每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個(gè)相互垂直的主應(yīng)力和3個(gè)正交的主方向xzy103xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡(jiǎn)介將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)103三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力K104三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所104求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題為一個(gè)主應(yīng)力105求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§2105兩組載荷下某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy+106求兩組載荷共同作用下該點(diǎn)的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力.兩組載荷下某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2應(yīng)力應(yīng)變106例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+107解：半徑例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+4107例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+108解：例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+4108一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.5應(yīng)變的概念及一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)1.某點(diǎn)處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz正應(yīng)變——線段單位長(zhǎng)度的改變量，無量綱切應(yīng)變——直角的改變量，單位：弧度

109xy一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.109110某點(diǎn)處的應(yīng)變——二階對(duì)稱應(yīng)變張量45某點(diǎn)處的應(yīng)變——二階對(duì)稱應(yīng)變張量1102.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的）xyxy1112.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的）xyxy46111在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點(diǎn)各個(gè)方位應(yīng)變的情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)112在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令112應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析113應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析4113類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向114類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向49114應(yīng)變花：可證明：對(duì)各向同性材料來說，任一點(diǎn)的主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的?？捎糜趯?shí)驗(yàn)測(cè)定一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°115應(yīng)變花