中考數(shù)學(xué)壓軸題知識點(diǎn)集錦

第77頁目錄考點(diǎn)01：基本方法和結(jié)論1考點(diǎn)02：直角三角形5考點(diǎn)03：點(diǎn)到直線的距離8考點(diǎn)04：等腰三角形10考點(diǎn)05：多邊形的面積15考點(diǎn)06：相似三角形21考點(diǎn)07：梯形26考點(diǎn)08：平行四邊形33考點(diǎn)09：交點(diǎn)坐標(biāo)38考點(diǎn)10：旋轉(zhuǎn)40考點(diǎn)11：翻折45考點(diǎn)12：平移49考點(diǎn)13：對稱51考點(diǎn)14：角平分線性質(zhì)58考點(diǎn)01：基本方法和結(jié)論1、若要在平面直角坐標(biāo)系中求某一點(diǎn)的坐標(biāo)：⑴求一般的點(diǎn)的坐標(biāo)：過該點(diǎn)作軸或軸的垂線。⑵求函數(shù)及坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：①求函數(shù)及軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：令；②求函數(shù)及軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：令；⑶求兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)：將函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，方程組的一組解就是一個交點(diǎn)坐標(biāo)；⑷求函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)其坐標(biāo)為（,該函數(shù)的解析式）；2、拋物線的性質(zhì)：⑴配方為：⑵開口方向及最值：①當(dāng)時，函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)有最低點(diǎn)（，），當(dāng)時，函數(shù)有最小值為；②當(dāng)時，函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)有最高點(diǎn)（，），當(dāng)時，函數(shù)有最大值為；⑶對稱軸是：直線；⑷頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）；⑸拋物線及拋物線的形狀相同，是由拋物線的圖象向左平移個單位，向下平移個單位得到的；⑹拋物線及軸的交點(diǎn)情況：①當(dāng)△＞０時，拋物線及軸有兩個不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（，0）、（，0）；②當(dāng)△＝０時，拋物線及軸只有一個交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；③當(dāng)△＜０時，拋物線及軸沒有交點(diǎn)；3、求二次函數(shù)解析式的方法：⑴當(dāng)已知二次函數(shù)圖象上的一般三點(diǎn)時，設(shè)其解析式為一般式：；⑵當(dāng)已知二次函數(shù)及軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）、（，0）時，設(shè)其解析式為交點(diǎn)式：；⑶當(dāng)已知二次函數(shù)的對稱軸或最值或頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時，設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式：；4、由拋物線的大致圖象確定、、符號的方法：⑴a看方向：開口向上，a>0，開口向下，a<0。⑵b看左右：左同右異中為0。因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是_________，所以若拋物線的對稱軸在y軸的左邊，則a、b____，所以若拋物線的對稱軸在y軸的右邊，則a、b____；若拋物線的對稱軸是y軸，則c=0；⑶c看上下：上正下負(fù)中為0。拋物線及y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______，所以當(dāng)拋物線及y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上時，則c____0，當(dāng)拋物線及y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時，則c____0;當(dāng)拋物線及y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)時，則c=0;⑷交點(diǎn)個數(shù)看：因?yàn)閽佄锞€y＝ax2＋bx＋c及x軸交點(diǎn)的個數(shù)由一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解的個數(shù)確定，所以若拋物線及x軸有兩個交點(diǎn)，則b2－4ac___0，所以若拋物線及x軸有一個交點(diǎn)，則b2－4ac___0，所以若拋物線及x軸有0個交點(diǎn)，則b2－4ac___0。⑸當(dāng)x=1時，y=a+b+c,當(dāng)x=－1時，y=a－b＋c；當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c,當(dāng)x=－2時，y=4a－2b＋c；所以觀察x=1、－1、2、－2時所對應(yīng)的圖像上的點(diǎn)在軸的上方或下方，就可以判斷a＋b＋c、a－b＋c、4a＋2b＋c、4a－2b＋c的正負(fù)。5、在平面直角坐標(biāo)系中求多邊形面積時，應(yīng)首先求出（或表示出）多邊形的每個頂點(diǎn)坐標(biāo)⑴將多邊形分割成直角三角形及直角梯形的面積的和或差。⑵如圖：若要求△ABC的面積，則先過處于中間位置的頂點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)（或過點(diǎn)B作軸的垂線），交于點(diǎn)，則，其中，要求點(diǎn)M的坐標(biāo)，則需先求直線AB的解析式，然后將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入即可求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)。若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)未知，則設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（,直線AB的解析式）；6、平面內(nèi)兩點(diǎn)A（，）、B（，）之間的距離公式為：，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為。7、平面內(nèi)點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C＝0的距離為：8、若直線及直線互相平行，則；若直線及直線互相垂直，則。9、求最大值或最小值時，首先建立一個函數(shù)關(guān)系式：⑴若建立的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)：①當(dāng)時，由于隨的增大而增大，所以當(dāng)取最大值時，有最大值，當(dāng)取最小值時，有最小值；②當(dāng)時，由于隨的增大而減小，所以當(dāng)取最大值時，有最小值，當(dāng)取最小值時，有最大值；⑵若建立的函數(shù)關(guān)系式是二次函數(shù)，首先將解析式配方為：，①當(dāng)時，由于函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時，函數(shù)有最小值為；②當(dāng)時，由于函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為；10、在一次函數(shù)的一般式或二次函數(shù)的頂點(diǎn)式中，平移后的解析式的規(guī)律為：左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)。11、將拋物線的圖象繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o后的拋物線解析式為12、⑴如果點(diǎn)（，y）、（，y），即縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，那么；⑵已知點(diǎn)、的坐標(biāo)及直線的解析式，在直線上求點(diǎn)，使△的周長最小的方法：過點(diǎn)作⊥，并延長到，使，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，連結(jié)，交于點(diǎn)，則，若直線上另選取一點(diǎn)，則∴直線上的所有點(diǎn)中，存在點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和最小，而是定值，故所求作的點(diǎn)滿足△的周長最小。①作點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)，利用直線AB⊥直線及點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的解析式；②利用方程組求直線及直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；③利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)；④利用、坐標(biāo)求直線的解析式；⑤利用方程組求直線及直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；13、如圖：已知點(diǎn)、的坐標(biāo)及直線的解析式，在直線上求點(diǎn)，使的值最大的方法：作點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，作直線交直線于點(diǎn)，連結(jié)?！唿c(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對稱，∴PA＝PB，要使最大，即是使最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)D、B、P在同一直線上時的值最大．∴點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)。①作點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)，利用直線AB⊥直線及點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的解析式；②利用方程組求直線及直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；③利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)；④利用、坐標(biāo)求直線的解析式；⑤利用方程組求直線及直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；14、角平分線的性質(zhì)：如圖：若AD平分∠BAC，則有：15、三角形相似的分類方法：若∠A=∠D時，要使△ABC∽△DEF，則分為兩種情況16、已知梯形三點(diǎn)坐標(biāo)，求第四點(diǎn)位置的分類方法：⑴當(dāng)AD∥BC時，在直線AD上；⑵當(dāng)BE∥AC時，在直線BE上；⑶當(dāng)CF∥AB時，在直線CF上；17、已知平行四邊形ABCD四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（，）、B（，）、C（，）、D（，），則它們的坐標(biāo)分別滿足以下關(guān)系：⑴當(dāng)以AB為對角線時：則AB的中點(diǎn)和CD的中點(diǎn)是同一個點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:，即；⑵當(dāng)以AC為對角線時：則AC的中點(diǎn)和BD的中點(diǎn)是同一個點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:，即；⑶當(dāng)以AD為對角線時：則AD的中點(diǎn)和BC的中點(diǎn)是同一個點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:，即；18、若拋物線及軸交于A、B兩點(diǎn)，則⑵兩交點(diǎn)間的距離為：19、以點(diǎn)P（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為考點(diǎn)02：直角三角形1、（2010湖北荊門）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點(diǎn)P是OA邊上的動點(diǎn)（及點(diǎn)O、A不重合）．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．（1）設(shè)P（x，0），E（0，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（2）如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴．即．∴．且當(dāng)時，y有最大值．（2）由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為，則（3）由（2）知∠EPB=90°，即點(diǎn)Q及點(diǎn)B重合時滿足條件．直線PB為，及y軸交于點(diǎn)（0，－1）．將PB向上平移2個單位則過點(diǎn)E（0，1），∴該直線為．由得∴Q（5，6）．故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q（4，3）、（5，6）滿足條件．2、（廣安2010）如圖，直線及拋物線都經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、C（3，-4）．

⑴求拋物線的解析式；

⑵動點(diǎn)P在線段AC上，過點(diǎn)P作x軸的垂線及拋物線相交于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值；

⑶當(dāng)線段PE的長度取得最大值時，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PCQ是以PC為直角邊的直角三角形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

解：⑴∵A（-1，0）、C（3，-4）在拋物線上，

∴，

∴，，∴．

⑵設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），

∴PE=＝＝，

∴當(dāng)m=1時，線段PE最大且為4．

⑶假設(shè)存在符合條件的Q點(diǎn)；

當(dāng)線段PE最大時動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－2），

①當(dāng)PQ⊥PC時，設(shè)直線PQ的解析式為：y＝x＋b，

則有：－2＝1＋b，b＝－3；

∴直線PQ的方程為y=x-3，聯(lián)立

得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，），（，）．

②當(dāng)CQ⊥PC時，同理可求得直線CQ的解析式為y=x-7；

聯(lián)立拋物線的解析式得：，解得，（舍去），∴Q（1，-6）；

綜上所述，符合條件的Q點(diǎn)共有3個，坐標(biāo)為：Q1（，），Q2（，），Q3（1，－6）3、（廣東肇慶2011）已知拋物線及軸交干A、B兩點(diǎn)。（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)：（2）若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的解析式；（3）設(shè)拋物線及y軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面積．解：（1）證：∵?！鄴佄锞€的對稱軸在y軸的左側(cè)。（2）設(shè)拋物線及軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（2，0）。則∵。又。由（1）知，拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，代入得：（3）當(dāng)=0時，考點(diǎn)03：點(diǎn)到直線的距離1、（甘肅隴南）如圖，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．（1）求、的值；（2）求直線PC的解析式；（3）請?zhí)骄恳渣c(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓及直線PC的位置關(guān)系，并說明理由．（參考數(shù)：，，）解：（1）由已知條件可知：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)．解得．（2）∵，∴P（-1，-2），C．設(shè)直線PC的解析式是，則解得．∴直線PC的解析式是．（3）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E．設(shè)直線PC及軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．在Rt△OCD中，∵OC=，，∵OA=3，，∴AD=6．∵∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，∴△COD∽△AED．∴，即．∴．∴以點(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓及直線PC相離．2、（廣西玉林2011）已知拋物線及軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），及y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．⑴求A、B的坐標(biāo)；⑵過點(diǎn)D作DH丄軸于點(diǎn)H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式；⑶在第⑵小題的條件下，直線CD及軸交于點(diǎn)E，過線段OB的中點(diǎn)N作NF丄軸，并交直線CD于點(diǎn)F，則直線NF上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線CD的距離等于點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由＝0得，，∵≠0，∴，解得1＝－1，2＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（－1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）。（2）由，令＝0，得＝－3，∴C（0，－3）。又∵，得D（1，－4）?！郉H＝1，CH＝－4－（－3）＝－，∴－＝1，∴＝－1?！郈（0，3），D（1，4）。設(shè)直線CD的解析式為，把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，解得?！嘀本€CD的解析式為。（3）存在。由（2）得，E（－3，0），N（－，0）?！郌（，），EN＝。作MQ⊥CD于Q，設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（，m），則FM＝－m，EF＝，MQ＝OM＝。由題意得，Rt△FQM∽Rt△FNE，∴，即，整理得4m2＋36m－63＝0，解得m1＝，m2＝－，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（，），M2（，－）?？键c(diǎn)04：等腰三角形1、【2007雅安】如圖，已知的頂點(diǎn)A（3，0）、B（0，1），是坐標(biāo)原點(diǎn)．將繞點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到；⑴寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵求過三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶在線段上是否存在點(diǎn)使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）， 2分（2）設(shè)所求拋物線的解析式為（）在拋物線上yxOyxOABCDMEN 6分即．又． 7分（3）解：（法一）連接，作軸于，則， 9分 11分即在線段上存在點(diǎn)（即點(diǎn)）使得． 12分（法二）yxOABCDMNQ設(shè)在上存在點(diǎn)yxOABCDMNQ作于，對稱軸于． 8分則 9分則． 11分故在線段上存在點(diǎn)（即點(diǎn)）使得． 12分2、【2007廣安】如圖，已知拋物線y=－x2+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），及y軸交于點(diǎn)C。⑴求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)。⑵若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積。⑶連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)P使△ACP為等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）∵拋物線y=－x2+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)∴－x2+2x+3=0解之得：x1=3,x2=－1 ……………（1分）∴點(diǎn)A（－1，0），B（3，0） …………（2分）又∵拋物線y=－x2+2x+3交y軸于點(diǎn)C∴點(diǎn)C（0，3） …………（3分）（2）∵拋物線y=－x2+2x+3的頂點(diǎn)為M………（4分）∴M（1，4）∴過點(diǎn)M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1∴BE=OB－OE=3－1=2，OC=3∴S△BCM=S四邊形COBM－S△BOC=S梯形COEM+S△BEM－S△BOC==3 ………（7分）（3）存在點(diǎn)P。1）以AC為腰：①當(dāng)以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)P1，P2（P1在P2的右側(cè)）∴P1O=+1，P2O=－1∴點(diǎn)P1（－1,0），點(diǎn)P2（－－1,0）……（9分）②以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)AP3∴點(diǎn)P3及點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)P3坐標(biāo)為（1，0）…………（10分）E2）以AC為底邊：作AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P4，垂足為F，則AF=E∵∠AFP4=∠AOC=90o，∠CAO=∠P4AF∴△AOC∽△AFP4∴，即：∴AP4=5∴OP4=5－1=4∴P4（4，0）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（－1,0），P2（－－1,0），P3（1,0），P4（4,0） 3、（2010福建龍巖）如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；（3）探究：若點(diǎn)是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點(diǎn)，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請說明理由．解：（1）拋物線的對稱軸………2分（2）…………5分把點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得………6分……………7分（3）存在符合條件的點(diǎn)共有3個．以下分三類情形探索．設(shè)拋物線對稱軸及軸交于，及交于．過點(diǎn)作軸于，易得，，，①以為腰且頂角為角的有1個：． 8分在中， 9分②以為腰，且頂角為∠的有1個：．在中， 10分 11分③以為底，頂角為角的有1個，即．畫的垂直平分線交拋物線對稱軸于，此時平分線必過等腰的頂點(diǎn)．過點(diǎn)作垂直軸，垂足為，顯然．于是 13分………………14分4、（湖南邵陽2011）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系O中，已知點(diǎn)A（－EQ\f(9,4)，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B是軸上一點(diǎn)（位于點(diǎn)A的右側(cè)），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C．⑴求∠ACB的度數(shù)；⑵已知拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；⑶線段BC上是否存在點(diǎn)D，使△BOD為等腰三角形．若存在，則求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：⑴∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C，∴∠ACB=900。⑵∵△AOC∽△ABC，∴OC2=AO·OB。∵A（－EQ\f(9,4)，0），點(diǎn)C（0，3），∴AO=EQ\f(9,4)，OC=3?！?2=EQ\f(9,4)OB，∴OB=4。∴B（4，0）?！嘣O(shè)拋物線的解析式為把C點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得∴拋物線的解析式為，即。⑶存在。分兩種情況討論：①OD=OB,D在OB的中垂線上，過D作DH⊥OB,垂足是H，則H是OB中點(diǎn)。DH=OC，OH=OB?！郉（2，）。②BD=BO，過D作DG⊥OB,垂足是G，則OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1，∵DG∥CO∴OG:OB=CD:CB，即OG:4=1:5，∴OG=；∵DG:CO=BD:BC，即DG:3=4:5，∴DG=?！郉（，）。綜上所述，線段BC上存在點(diǎn)D，使△BOD為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)D有兩個，分別為（2，），（，）。5、（2009龍巖）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4）.⑴若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；⑵若P為拋物線上異于C的點(diǎn)，且△OAP是直角三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶若拋物線頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)M,探究：拋物線對稱軸上是否存在異于D的解：⑴∵點(diǎn)B（2，4）及點(diǎn)C關(guān)于軸對稱∴C（2，-4）設(shè)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為，將C（2，-4）代入，得，∴拋物線的解析式為⑵存在。點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，-4）⑶存在點(diǎn)Q使得△DQA為等腰三角形。由⑴拋物線的解析式為，可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，），則由兩點(diǎn)間的距離公式可得：①若則由對稱性可知：滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，），記為（5，）②若則結(jié)合圖形，可求得滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5,），（5,）③若則設(shè)Q（5,y），由解得y=,所以滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，），記為Q4（5,）所以，滿足條件的點(diǎn)Q有四個，分別為Q1（5,）,,（5，）?？键c(diǎn)05：多邊形的面積1、（2008宜賓）已知:如圖,拋物線及x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D.⑴求該拋物線的解析式；⑵若該拋物線及x軸的另一個交點(diǎn)為E.求四邊形ABDE的面積；⑶△AOB及△BDE是否相似？如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由.（注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為）解：（1）由已知得：，解得∴拋物線的線的解析式為（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）所以對稱軸為x=1,A,E關(guān)于x=1對稱，所以E（3,0）設(shè)對稱軸及x軸的交點(diǎn)為F所以四邊形ABDE的面積==9（3）相似如圖，BD=BE=DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且,所以.2、（2010達(dá)州）如圖，對稱軸為的拋物線及軸相交于點(diǎn)、.⑴求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵連結(jié)AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線l.，點(diǎn)P是l上一動點(diǎn)。設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，當(dāng)0＜S≤18時，求的取值范圍；⑶在⑵的條件下，當(dāng)取最大值時，拋物線上是否存在點(diǎn)，使△OP為直角三角形且OP為直角邊.若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）∵點(diǎn)B及O（0，0）關(guān)于x=3對稱,∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0）.將點(diǎn)B坐標(biāo)代入得：36+12=0,∴=.∴拋物線解析式為.當(dāng)=3時，,∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3）.（說明：可用對稱軸為,求值,用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)A坐標(biāo).）（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.∵A（3，3），B（6，0），∴解得,∴.∵直線∥AB且過點(diǎn)O,∴直線解析式為.∵點(diǎn)是上一動點(diǎn)且橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)坐標(biāo)為（）當(dāng)在第四象限時（t＞0），=×6×3+×6×=9+3.∵0＜S≤18,∴0＜9+3≤18,∴-3＜≤＞0,∴0＜≤3.當(dāng)在第二象限時（＜0）,作PM⊥軸于M，設(shè)對稱軸及軸交點(diǎn)為N.則=-3+9.∵0＜S≤18,∴0＜-3+9≤18,∴-3≤＜3.又＜0,∴-3≤＜0.∴t的取值范圍是-3≤＜0或0＜≤3.（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.3、（2009樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線及軸交于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若的長分別是方程的兩根，且（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)任作直線交線段于點(diǎn)求到直線的距離分別為，試求的最大值．解：（1）解方程得，而則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為 1分過點(diǎn)作軸于則為的中點(diǎn)．的坐標(biāo)為又因?yàn)榈淖鴺?biāo)為 2分令拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為拋物線過點(diǎn)則得故拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為（或?qū)懗桑?4分（2） 5分又令點(diǎn)的坐標(biāo)為則有 6分點(diǎn)在拋物線上， 7分化簡得解得（舍去）．故點(diǎn)的坐標(biāo)為 8分（3）由（2）知而 9分過作 10分 11分即此時的最大值為 13分4、（2008重慶）已知：如圖，拋物線及y軸交于點(diǎn)C（0，4），及x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）。⑴求該拋物線的解析式；⑵點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ。當(dāng)△CQE的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；⑶若平行于x軸的動直線及該拋物線交于點(diǎn)P，及直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）。問：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，得解得 （2分）所求拋物線的解析式為：． （3分）（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．由，得，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．，． （4分），．，即．． （6分）又，當(dāng)時，有最大值3，此時． （7分）（3）存在．在中．（?。┤簦?，．又在中，，．．．此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，．此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或． （8分）（ⅱ）若，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得：，，在等腰直角中，．．由，得，．此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或． （9分）（ⅲ）若，，且，點(diǎn)到的距離為，而，此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形． （10分）綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或5、（2008瀘州）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點(diǎn)A，B，C，它的頂點(diǎn)為M，又正比例函數(shù)的圖像及二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D、E，且P是線段DE的中點(diǎn)。⑴求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；⑵已知點(diǎn)E，且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，試根據(jù)函數(shù)圖像求出符合條件的自變量的取值范圍；⑶當(dāng)時，求四邊形PCMB的面積的最小值。解：（1）由，則得，解得故函數(shù)解析式是：。由知，點(diǎn)M（1，4）。（2）由點(diǎn)E（2，3）在正比例函數(shù)的圖像上得，解得：，故由解得D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），由圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，自變量的取值范圍是。（3）解得，點(diǎn)D、E坐標(biāo)為D（，）、E（，）則點(diǎn)P坐標(biāo)為P（，）由，知點(diǎn)P在第一象限。由點(diǎn)B（3，0），C（0，3），M（1，4），得則整理，配方得。故當(dāng)時，四邊形PCMB的面積值最小，最小值是。圖126、（2010福州）如圖12，已知直線及雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．圖12（1）求的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求的面積；（3）過原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4,∴當(dāng)=4時，=2.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）.∵點(diǎn)A是直線及雙曲線的交點(diǎn),∴k=4×2=8.（2）過點(diǎn)C、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，∵點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)=8時，=1.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,8）.∵點(diǎn)C、A都在雙曲線上,∴S△COE=S△AOF=4?！郤△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA.∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15,∴S△COA=15.（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱圖形,∴OP=OQ，OA=OB.∴四邊形APBQ是平行四邊形.∴S△POA=S平行四邊形APBQ=×24=6.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（>0且）,得P（,）.過點(diǎn)P、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，∴S△POE=S△AOF=4.若0＜＜4，如圖12-3，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴.解得=2，=-8（舍去）.∴P（2，4）.若＞4，如圖12-4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴，解得=8，=-2（舍去）.∴P（8，1）.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2，4）或P（8，1）.考點(diǎn)06：相似三角形1、【2006瀘州】如圖，已知二次函數(shù)的圖象及x軸交于點(diǎn)A和B，及y軸交于點(diǎn)C。⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)；⑵若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），求二次函數(shù)的解析式；⑶在⑵的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形及△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．（2）∵二次函數(shù)過點(diǎn)A（1，0），得m=2，即所求二次函數(shù)的解析式為．（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（如圖所示），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），當(dāng)時，有x1=1，x2=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），即OP=|y|，OA=1，OB=3，OC=3．①當(dāng)△POB∽△AOC時，y=±1；②當(dāng)△BOP∽△AOC時，y=±9；③當(dāng)BP∥AC時，△BOP∽△AOC，這時|y|=9．∵這時的y＜0，∴y=-9，及②中的第二個解相同．綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形及△AOC相似，這樣的點(diǎn)有四個，分別是P1（0，-1）、P2（0，1）、P3（0，-9）、P4（0，9）．2、（2010漳州）如圖，直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△DOC，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．⑴填空：A（，）、B（，）、C（，）；⑵求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；⑶E為拋物線的頂點(diǎn)，在線段DE上是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形及△DOC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）A（－1，0），B（0，－3），C（3，0）…3分（2）∵拋物線經(jīng)過B點(diǎn)，∴∵拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，∴解得………………5分∴………………6分（3）解：過點(diǎn)E作EF⊥y軸垂足為點(diǎn)F.由（2）得∴E（1，—4）?！遲an∠EDF=，tan∠DCO=.∴∠EDF=∠DCO………7分∵∠DCO+∠ODC=90°，∴∠EDF+∠ODC=90°.∴∠EDC=90°，∴∠EDC=∠DOC.……8分①當(dāng)時，△ODC∽△DPC，則，∴DP=…9分過點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為點(diǎn)G.∵tan∠EDF=，∴設(shè)PG=x，則DG=3x在Rt△DGP中，.∴，∴（不合題意，舍去）………………10分又∵OG=DO+DG=1+1=2，∴P（，）．…………………11分②當(dāng)時，△ODC∽△DCP，則∴DP=.∵DE=，∴DP=（不合題意，舍去）…………13分綜上所述，存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形及△DOC相似，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．……………………14分3、（2010包頭）已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，直線（）及軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線（）上有一點(diǎn)（點(diǎn)在第四象限），使得為頂點(diǎn)的三角形及以為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求出的值及四邊形的面積；若不存在，請說明理由．yxyxOBADC(x=m)(F2)F1E1(E2)解得．（2）當(dāng)時，得或，當(dāng)時，得，∵點(diǎn)在第四象限，∴．當(dāng)時，得，∴，∵點(diǎn)在第四象限，∴．（3）假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，則，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴，∴，∴，∴（舍去），當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴，∴（舍去），，∴，4、（2010晉江）已知：如圖，把矩形放置于直角坐標(biāo)系中，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，把沿軸的負(fù)方向平移的長度后得到.（1）試直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)及點(diǎn)在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié).①若以、、為頂點(diǎn)的三角形及相似，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的值最大.解：（1）依題意得：；（2）①∵，，∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)及點(diǎn)∴解得：∴拋物線的解析式為.∵點(diǎn)在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn).1）若∽，則，，解得：（舍去）或，∴點(diǎn).2）若∽，則，，解得：（舍去）或，∴點(diǎn).②存在點(diǎn)，使得的值最大.拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線及軸的另一個交點(diǎn)為，則點(diǎn).∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴要使得的值最大，即是使得的值最大，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時，的值最大.設(shè)過、兩點(diǎn)的直線解析式為，∴解之得：∴直線的解析式為.當(dāng)時，.∴存在一點(diǎn)使得最大.考點(diǎn)07：梯形1、（常州）已知及是反比例函數(shù)圖象上的兩個點(diǎn)．（1）求的值；（2）若點(diǎn)，則在反比例函數(shù)圖象上，是否存在點(diǎn)，使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由，得，因此．（2）如圖1，作軸，為垂足，則，，，因此．由于點(diǎn)及點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，因此軸，從而．當(dāng)為底時，由于過點(diǎn)且平行于的直線及雙曲線只有一個公共點(diǎn)，故不符題意．當(dāng)為底時，過點(diǎn)作的平行線，交雙曲線于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，交于點(diǎn)．由于，設(shè)，則，，由點(diǎn)，得點(diǎn)．因此，解之得（舍去），因此點(diǎn)．此時，及的長度不等，故四邊形是梯形．如圖2，當(dāng)為底時，過點(diǎn)作的平行線，及雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為．由于，因此，從而．作軸，為垂足，則，設(shè)，則，由點(diǎn)，得點(diǎn)，因此．解之得（舍去），因此點(diǎn)．此時，及的長度不相等，故四邊形是梯形．如圖3，當(dāng)過點(diǎn)作的平行線，及雙曲線在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為時，同理可得，點(diǎn)，四邊形是梯形．綜上所述，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．2、（2010杭州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y=+1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（–4，0），平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，AB及y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q（x，y）在拋物線上，點(diǎn)P（t，0）在x軸上.（1）寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時.①求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求t的值.解：（1）∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，∴A，B的橫坐標(biāo)分別是2和–2，代入y=+1得，A（2,2），B（–2，2），∴M（0，2），（2）①過點(diǎn)Q作QHx軸，設(shè)垂足為H，則HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：,即：t=x–2y,∵Q（x,y）在y=+1上，∴t=–+x–2.當(dāng)點(diǎn)P及點(diǎn)C重合時，梯形不存在，此時，t=–4，解得x=1,當(dāng)Q及B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x=2∴x的取值范圍是x1,且x2的所有實(shí)數(shù).②分兩種情況討論：1）當(dāng)CM>PQ時，則點(diǎn)P在線段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍，即2=2（+1），解得x=0，∴t=–+0–2=–2.2）當(dāng)CM<PQ時，則點(diǎn)P在OC的延長線上，∵CM∥PQ，CM=PQ，∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍，即+1=22，解得：x=.當(dāng)x=–時，得t=–––2=–8–,當(dāng)x=時，得t=–8.3、（2008成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且=3，sin∠OAB=.（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（-2k,0）、點(diǎn)R（5k，0）（k>1的常數(shù)），設(shè)過Q、R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線及y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為，△QNR的面積，求∶的值.解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，yxFyxFP3BECDAP2P1O又由勾股定理，得．點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 2分設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為由經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為． 2分（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．①點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線及拋物線交于點(diǎn)．則直線的函數(shù)表達(dá)式為．對于，令或．而點(diǎn)，．在四邊形中，，顯然．點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)． 1分②若．．③若．．綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形． 1分（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．①當(dāng)拋物線開口向上時，則此拋物線及軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．yxQOyxQOGRMN如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．． 2分②當(dāng)拋物線開口向下時，則此拋物線及軸的正半軸交于點(diǎn)．同理，可得． 1分綜上可知，的值為． 1分4、（襄陽2011）如圖，在平面直角坐標(biāo)系o中，AB在軸上，AB=10，以AB為直徑的⊙O'及軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，AC．CD是⊙O'的切線，AD丄CD于點(diǎn)D，tan∠CAD=，拋物線過A，B，C三點(diǎn)．（1）求證：∠CAD=∠CAB；（2）①求拋物線的解析式；②判斷拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線CD上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA是直角梯形．若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：連接O′C，∵CD是⊙O的切線，∴O′C⊥CD?！逜D⊥CD，∴O′C∥AD?！唷螼′CA=∠CAD?！逴′A=O′C，∴∠CAB=∠O′CA?！唷螩AD=∠CAB。（2）①∵AB是⊙O′的直徑，∴∠ACB=90°?！逴C⊥AB，∴∠CAB=∠OCB。∴△CAO∽△BCO。∴，即OC2=OA?OB?！遲an∠CAO=tan∠CAD=，∴AO=2OC。又∵AB=10，∴OC2=2OC（10﹣2OC）?！逤O＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2。∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4）?！邟佄锞€過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，∴=4，由題意得：，解得：?！鄴佄锞€的解析式為：。②設(shè)直線DC交軸于點(diǎn)F，∴△AOC≌△ADC（AAS）?！郃D=AO=8。∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD?！唷！?（BF+5）=5（BF+10）?！郆F=，F(xiàn)（，0）。設(shè)直線DC的解析式為，則，解得：?！嘀本€DC的解析式為。由得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，），將E（﹣3，）代入直線DC的解析式中，右邊==左邊。∴拋物線頂點(diǎn)E在直線CD上。（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，圓的切線的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系。5、（張家界2011）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（—4，0）、B（—2，2），連接OB、AB，（1）求該拋物線的解析式.（2）求證：△OAB是等腰直角三角形.（3）將△OAB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°，得到△OA′B′，寫出A′B′的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，試判斷點(diǎn)P是否在此拋物線上.（4）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形ABOM成直角梯形，若存在，請求出點(diǎn)M坐標(biāo)及該直角梯形的面積，若不存在，請說明理由.解：（1）由A（—4，0）、B（—2，2）在拋物線圖象上，得：，解之得，，?！嘣摵瘮?shù)解析式為：。（2）過點(diǎn)B作BC垂直于軸，垂足是點(diǎn)C。易知：線段CO、CA、CB的長度均為2，∴△ABC和△OBC為全等的等腰直角三角形。∴ＡＢ＝ＯＢ且∠ABO=∠ＡＢＣ＋∠ＯＢＣ＝900?！唷鱋AB是等腰直角三角形。（3）如圖，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°，得到△OA′B′其中點(diǎn)B′正好落在軸上且B′A′∥軸．又∵ＯB′和A′B′的長度為A′B′中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，顯然不滿足拋物線方程。∴點(diǎn)P不在此拋物線上。（4）存在。過點(diǎn)O，作OM∥AB交拋物線于點(diǎn)M易求出直線OM的解析式為：聯(lián)立拋物線解析式得：解之得，點(diǎn)M（—6，—6）。顯然，點(diǎn)M（—6，—6）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)M′（2,—6）也滿足要求，故滿足條件的點(diǎn)M共有兩個，坐標(biāo)分別為（—6，—6）和（2，—6）?！郤ABOM=S△ABO＋S△AOM=×4×2+×4×6=16?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系，等腰直角三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。【分析】（1）將A（－4，0）、B（－2，2）代入拋物線解析式，列方程組求、的值即可。（2）根據(jù)所求拋物線解析式求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷三角形的形狀。（3）根據(jù)△OAB的形狀，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，畫出圖形，可求A′、B′的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求P的坐標(biāo)，代入拋物線解析式進(jìn)行判斷。（4）存在．過點(diǎn)O，作OM∥AB交拋物線于點(diǎn)M，根據(jù)△OAB為等腰直角三角形，可求直線OM的解析式，及拋物線解析式聯(lián)立，可求M點(diǎn)坐標(biāo)，同理，過點(diǎn)A，作AM′∥OB交拋物線于點(diǎn)M′，聯(lián)立方程組可求M′的坐標(biāo)，由圖形的特殊性可知，兩種情況下，梯形面積相等，根據(jù)梯形面積公式求解。6.（福建泉州）如圖1，在第一象限內(nèi)，直線y=mx及過點(diǎn)B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點(diǎn)A，半徑為r的⊙Q及直線y=mx、x軸分別相切于點(diǎn)T、E，且及直線l分別交于不同的M、N兩點(diǎn)．

⑴當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，p）時，①填空：p=___，m=___，∠AOE=___．②如圖2，連接QT、QE，QE交MN于點(diǎn)F，當(dāng)r=2時，試說明：以T、M、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；⑵在圖1中，連接EQ并延長交⊙Q于點(diǎn)D，試探索：對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c，a的值會變化嗎？若不變，求出a的值；若變化．請說明理由．解：（1）①1，，60°。②如圖，連接TM，ME，EN，QN，QM，∵OE和OP是⊙Q的切線，∴QE⊥x軸，QT⊥OT，即∠QTA=90°。而l∥x軸，∴QE⊥MN。∴MF=NF。又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1?！嗨倪呅蜵NEM為平行四邊形，即QN∥ME。∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN為等邊三角形?！唷螻QE=60°，∠QNF=30°。在四邊形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°?！唷蟃QE+∠NQE=120°+60°=180°?！郥、Q、N三點(diǎn)共線，即TN為直徑。∴∠TMN=90°?！郥N∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE?！嘁訲、M、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形。（2）對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c，a的值不會變化。理由如下：如圖，連DM，ME，∵DM為直徑，∴∠DME=90°。而DE垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。∴MF2=EF?FD。設(shè)D（h，k），（h＞0，k=2r），則過M、D、N三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=a（x-h）2+k。又∵M(jìn)、N的縱坐標(biāo)都為1，當(dāng)y=1時，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=?！郙N=2。∴MF=MN=?！??！??！郺=－1?！鄬、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c，a的值不會變化，a=－1。【考點(diǎn)】一次、二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，平行的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?？键c(diǎn)08：平行四邊形1、（南寧2011）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，－3），點(diǎn)P是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積．（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）把A（3，0），B（0，-3）代入，得，解得?！鄴佄锞€的解析式是。設(shè)直線AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入，得，解得?！嘀本€AB的解析式是。（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）,則M（,）?！唿c(diǎn)P在第四象限，∴PM=，∴當(dāng)PM最長時，此時。（3）存在。P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系，待定系數(shù)法，解二元一次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)。2、（河源2011）如圖，已知拋物線及x軸交于兩點(diǎn)A、B，其頂點(diǎn)為C．（1）對于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-2）是否在該拋物線上?請說明理由；（2）求證:△ABC是等腰直角三角形；（3）已知點(diǎn)D在軸上，那么在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）對于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-2）都不在該拋物線上。理由如下：∴當(dāng)。而-2<-1，∴對于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-2）都不在該拋物線上。（2）令，解得，?！帱c(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）。由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，－1）。過C作CE⊥X軸于E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）?！郃E=2－1=1，EB=3－2=1，CE=1?！郃C=BC=?！郃C2＋BC2=。而AB2=22=4，∴AC2+BC2=AB2?！唷鰽BC是等腰直角三角形。（3）存在。首先BD為平行四邊形邊的情況是不可能的，這是因?yàn)镃是拋物線的頂點(diǎn)，它不可能及拋物線上的其它點(diǎn)構(gòu)成及BD（軸）平行的線段。因此只能是BC為邊構(gòu)成平行四邊形?！唿c(diǎn)D，B在軸上，點(diǎn)C到軸的距離為1，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1。則由解得，。∵由（2）知∠CBO=450，∴∠PDB=450?！郟，D兩點(diǎn)橫縱標(biāo)之差等于P點(diǎn)的縱坐標(biāo)。當(dāng)時，D點(diǎn)橫縱標(biāo)為；當(dāng)時，D點(diǎn)橫縱標(biāo)為。因此以B、C、D1（，0）、P1（，1）和B、C、D2（，0）、P2（，1）為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。即所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）和（，1）。3、（湛江2011）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D（﹣1，﹣4），及軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），及軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；（3）若點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得，解得：=2，=﹣3，則解析式為：。（2）令，解得=1或=﹣3。由題意點(diǎn)A（﹣3，0）。由AC2＋CD2=AD2，所以△ACD為直角三角形。（3）分兩種情況討論：①E，F(xiàn)在軸同側(cè)。 要求A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形即要AB平行且等于EF。由已知E點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，由（2）AB=4，有F點(diǎn)橫坐標(biāo)為－5或3。所以F點(diǎn)縱坐標(biāo)為（－5）2＋2（－5）－3=12或32＋2×3－3=12。即當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為（－5，12）或（3，12）時，A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，12）。②E，F(xiàn)在軸兩側(cè)。 要求A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形即要AE=BF，AF=BE。設(shè)E（－1，），F(xiàn)（，2＋2－3），則有，解之，得=－1，2＋2－3=－4。即當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－4）時，A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，4）。綜上所述，當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為（－5，12），（3，12）或（－1，－4）時，A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)頂點(diǎn)，直角三角形的判定，勾股定理，平行四邊形的判定。【分析】（1）由二次函數(shù)頂點(diǎn)列式計算，從而得到，的值而得解析式。（2）由解析式求解得到點(diǎn)A，得到AC，CD，AD的長度，而求證。（3）分E，F(xiàn)在軸同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論。當(dāng)E，F(xiàn)在軸同側(cè)時，應(yīng)用對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，列式可求F點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)E，F(xiàn)在軸兩側(cè)時，應(yīng)用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形的判定，列式可求F點(diǎn)坐標(biāo)。4、（衡陽2011）已知拋物線QUOTE．（1）試說明：無論m為何實(shí)數(shù)，該拋物線及軸總有兩個不同的交點(diǎn)．（2）如圖，當(dāng)拋物線的對稱軸為直線=3時，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，直線=﹣1及拋物線交于A、B兩點(diǎn)，并及它的對稱軸交于點(diǎn)D．①拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；②平移直線CD，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．解：（1）∵當(dāng)=0時，得關(guān)于的一元二次方程該方程根的判別式△=m2﹣4m+7=（m﹣2）2+3＞0∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即拋物線及軸總有兩個不同的交點(diǎn)。（2）①由直線=﹣1及拋物線交于A點(diǎn)，且在軸上，∴點(diǎn)A（1，0）代入二次函數(shù)函數(shù)式則m=3?！喽魏瘮?shù)式為：。QUOTE當(dāng)拋物線的對稱軸為直線=3時，則=﹣2，即頂點(diǎn)C為（3，﹣2）。把=3代入直線=﹣1則=2，即點(diǎn)D（3，2）。則AD=AC=2QUOTE。設(shè)點(diǎn)P（，QUOTE），由直線AD的斜率及直線PC的斜率相等，得。解得：=3或=5則點(diǎn)P（3，2）（及點(diǎn)D重合舍去）或（5，0）。經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)（5，0）符合，所以點(diǎn)P（5，0）。②設(shè)直線CD平移個單位可使得C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則M（3＋，＋2），N（3＋，QUOTE（3＋）2﹣3（3＋）＋QUOTE）。根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的判定，只要MN=DC=4。（?。┊?dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，得（＋2）－[QUOTE（3＋）2﹣3（3＋）＋QUOTE]=4，整理，得2－2=0，解得，=0（及DC重合，舍去），=2。（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，得[QUOTE（3＋）2﹣3（3＋）＋QUOTE]－（＋2）=4整理，得2－2－16=0，解得，=。綜上所述，直線CD向右平移2或個單位或向左平移個單位，可使得C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。5、（涼山2011）如圖，拋物線及軸交于（，0）、（，0）兩點(diǎn)，且，及軸交于點(diǎn)，其中是方程的兩個根。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在（1）中拋物線上，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。解（1）∵，∴，。又∵拋物線過點(diǎn)、、，故設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得?！鄴佄锞€的解析式為。（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)（如圖（1））。∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0），yxOyxOBEA圖（2）D∴當(dāng)時，有最大值4。此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）。（3）∵點(diǎn)（4，）在拋物線上，yxOBA圖（3）D∴當(dāng)時，，∴點(diǎn)yxOBA圖（3）D如圖（2），當(dāng)為平行四邊形的邊時，，∵（4，），∴（0，），。∴，。··········9分如圖（3），當(dāng)為平行四邊形的對角線時，設(shè)，則平行四邊形的對稱中心為（，0）。·∴的坐標(biāo)為（，4）。把（，4）代入，得。解得?？键c(diǎn)09：交點(diǎn)坐標(biāo)1、（2010紹興）如圖,設(shè)拋物線C1:,C2:,C1及C2的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2.（1）求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過C2頂點(diǎn)Ｍ的直線為,且及x軸交于點(diǎn)N.①若過△DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,2），求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；②若及△DHG的邊DG相交,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）∵點(diǎn)A在拋物線C1上，∴把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得=1.∴拋物線C1的解析式為,設(shè)B（－2,b），∴b＝－4,∴B（－2,－4）.（2）①如圖1，∵M(jìn)（1,5），D（1,2）,且DH⊥x軸，∴點(diǎn)M在DH上，MH=5.過點(diǎn)G作GE⊥DH,垂足為E,由△DHG是正三角形,可得EG＝,EH＝1，∴ME＝4.設(shè)N（x,0）,則NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得,∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)Ｄ移到及點(diǎn)A重合時,如圖2，直線及DG交于點(diǎn)G,此時點(diǎn)Ｎ的橫坐標(biāo)最大．過點(diǎn)Ｇ,Ｍ作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)Ｑ,F,設(shè)Ｎ（x，0），∵A（2,4）,∴G（,2）,∴NQ=，ＮF=,GQ=2,MF=5.∵△NGQ∽△NMF，當(dāng)點(diǎn)D移到及點(diǎn)B重合時,如圖3，直線及DG交于點(diǎn)D,即點(diǎn)B,此時點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小.∵B（－2,－4）,∴H（－2,0）,D（－2,－4）,設(shè)N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴，∴,∴.∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為≤x≤.2、（2008資陽）如圖10，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，過A、B、C三點(diǎn)作拋物線．⑴求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；⑵點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，連結(jié)BD，求直線BD所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；⑶在⑵的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．解：⑴∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OCA=∠OBC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴ΔAOC∽ΔCOB，∴．又∵A（–1，0），B（9，0），∴，解得OC=3（負(fù)值舍去）．∴C（0，–3），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x–9），∴–3=a（0+1）（0–9），解得a=，∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x–9），即y=x2–x–3．⑵∵AB為O′的直徑，且A（–1，0），B（9，0），∴OO′=4，O′（4，0），∵點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，連結(jié)O′D交BC于點(diǎn)M，則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴D（4，–5）．∴設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0）∴解得∴直線BD的解析式為y=x–9.⑶假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，分兩種情況（如圖所示）：①當(dāng)DP1∥CB時，能使∠PDB=∠CBD．∵B（9，0），C（0，–3）．∴用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y=x–3．又∵DP1∥CB，∴設(shè)直線DP1的解析式為y=x+n．把D（4，–5）代入可求n=–，∴直線DP1解析式為y=x–．解方程組得（不合題意，應(yīng)舍去）②在線段O′B上取一點(diǎn)N，使BN=DM時，得ΔNBD≌ΔMDB（SAS），∴∠NDB=∠CBD．由①知，直線BC解析式為y=x–3．取x=4，得y=–，∴M（4，–），∴O′N=O′M=，∴N（，0），又∵D（4，–5），∴直線DN解析式為y=3x–17．解方程組得（不合題意，應(yīng)舍去）∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為（14，25），∴符合條件的點(diǎn)P有兩個：P1（，），P2（14，25）．考點(diǎn)10：旋轉(zhuǎn)1、（2010重慶）已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)xOy中，邊長為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨即停止.⑴求在運(yùn)動過程中形成的△OPQ的面積S及運(yùn)動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值范圍；⑵在等邊△OAB的邊上（點(diǎn)A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；⑶如圖⑵，現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別及OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由．解：（1）如圖，過點(diǎn)Q作QE垂直x軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF垂直x軸，垂足為F，在Rt⊿OQE中，∵OQ＝t，∠EOQ＝30°，，第一種情況，點(diǎn)P運(yùn)動到O點(diǎn)前：在△OQP中∵OP＝2－3t，第二種情況，點(diǎn)Q運(yùn)動到C點(diǎn)前：在⊿OQP中，∵∠AOQ＝30°，∠BOA＝60°，∴∠POQ＝90°∴（2）如圖可以看到有三個點(diǎn)：，,，（3）如圖將△CNA繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°（及O重合）使得△CNA落到△CN處．則△CNA≌△CN（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）∴＝CN，＝AN，∠NCA＝∠，∴∠NCM＝∠在和中∠NCM＝∠，＝CN，CM＝CM，∴≌，∴＝，即＝＋，∴＝AN＋OM，則△BMN的周長為：BM＋BN＋MN＝BM＋BN＋AN＋OM＝OB＋AB＝4所以則△BMN的周長為定值，這個定值是4．2、（2011株洲）孔明是一個喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊及該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，請解答以下問題：（1）若測得OA=OB=（如圖1），求的值；（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過B作軸于點(diǎn)F，測得OF=1，寫出此時點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)線段AB及軸的交點(diǎn)為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點(diǎn)，OA=OB=，∠AOB=900，AC=OC=BC=2。B（2，－2）。將B（2，－2）代入拋物線得，。（2）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，B（1，）。BF=。又∠AOB=900，易知∠AOE=∠OBF。又，∠AEO=∠OFB=900，△AEO∽△OFB，。AE=2OE。設(shè)點(diǎn)A（，）（），則，，。，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－4。（3）設(shè)A（，）（），B（，）（），設(shè)直線AB的解析式為：，則，得，，。又易知△AEO∽△OFB，，，。。由此可知不論為何值，線段AB恒過點(diǎn)（，－2）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，拋物線的對稱性，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，解二元一次方程組?！痉治觥浚?）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線得的值。（2）過點(diǎn)A作AE⊥軸于點(diǎn)E，可證△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程點(diǎn)A的橫坐標(biāo)。（3）設(shè)A（，）（），B（，）（），易知△AEO∽△OFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點(diǎn)（0，－2）。3、（2011蕪湖）平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形。（1）若拋物線過點(diǎn)C，A，，求此拋物線的解析式；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形重疊部分△的周長；（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，間：點(diǎn)M在何處時△的面積最大?最大面積是多少?并求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：（1）∵由ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）。所以拋物線過點(diǎn)C（-1，0），A（0，3），（3，0）設(shè)拋物線的解析式為，可得解得∴過點(diǎn)C，A，的拋物線的解析式為。（2）因?yàn)锳B∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°?！?又.,∴又,∴,又△ABO的周長為。∴的周長為。（3）連接OM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)M在拋物線上，∴。因?yàn)?，所以?dāng)時，?！鰽MA’的面積有最大值所以當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）時，△AMA’的面積有最大值，且最大值為。4、（2010南充）已知拋物線上有不同的兩點(diǎn)E和F．⑴求拋物線的解析式．⑵如圖，拋物線及x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．⑶當(dāng)m，n為何值時，∠PMQ的邊過點(diǎn)F．解：（1）拋物線的對稱軸為．∵拋物線上不同兩個點(diǎn)E和F的縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則，且k≠－2．∴拋物線的解析式為．2）拋物線及x軸的交點(diǎn)為A（4，0），及y軸的交點(diǎn)為B（0，4），∴AB＝，AM＝BM＝．在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．∴∠BCM＝∠AMD．故△BCM∽△AMD．∴，即，．故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為（m＞0）．（3）∵F在上，化簡得，，∴k1＝1，k2＝3．即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．①M(fèi)F過M（2，2）和F1（－2，0），設(shè)MF為，則解得，∴直線MF的解析式為．直線MF及x軸交點(diǎn)為（－2，0），及y軸交點(diǎn)為（0，1）．若MP過點(diǎn)F（－2，0），則n＝4－1＝3，m＝；若MQ過點(diǎn)F（－2，0），則m＝4－（－2）＝6，n＝．②MF過M（2，2）和F1（－4，－8），設(shè)MF為，則解得，∴直線MF的解析式為．直線MF及x軸交點(diǎn)為（，0），及y軸交點(diǎn)為（0，）．若MP過點(diǎn)F（－4，－8），則n＝4－（）＝，m＝；若MQ過點(diǎn)F（－4，－8），則m＝4－＝，n＝．故當(dāng)或時，∠PMQ的邊過點(diǎn)F．考點(diǎn)11：翻折1、（2010蕪湖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（－3eq\r(3)，1）、C（－3eq\r(3)，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（－eq\r(3)，1）、F（－eq\F(4\r(3),3)，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′．（1）求折痕所在直線EF的解析式；（2）一拋物線經(jīng)過B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長最??？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．2.（漳州2011）如圖1，拋物線y＝mx2－11mx＋24m（m＜0）及x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠BAC＝90°．（1）填空：OB＝_▲，OC＝_▲；（2）連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當(dāng)四邊形OACD是菱形時，求此時拋物線的解析式；（3）如圖2，設(shè)垂直于x軸的直線l：x＝n及（2）中所求的拋物線交于點(diǎn)M，及CD交于點(diǎn)N，若直線l沿x軸方向左右平移，且交點(diǎn)M始終位于拋物線上A、C兩點(diǎn)之間時，試探究：當(dāng)n為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．解：（1）OB＝3，OC＝8。（2）連接AD，交OC于點(diǎn)E，∵四邊形OACD是菱形，∴AD⊥OC，OE＝EC＝eq\f(1,2)×8＝4?！郆E＝4－3＝1。又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE。∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(CE,AE)?！郃E2＝BE·CE＝1×4＝4?！郃E＝2?！帱c(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）。把點(diǎn)A的坐標(biāo)（4，2）代入拋物線y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－eq\f(1,2)。∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(11,2)x－12。（3）∵直線x＝n及拋物線交于點(diǎn)M，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，－eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－12）。由（2）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，－2），則由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CD的解析式為y＝eq\f(1,2)x－4?！帱c(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，eq\f(1,2)n－4）?！郙N＝（－eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－12）－（eq\f(1,2)n－4）＝－eq\f(1,2)n2＋5n－8?！郤四邊形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝eq\f(1,2)MN·CE＝eq\f(1,2)（－eq\f(1,2)n2＋5n－8）×4＝－（n－5）2＋9。∴當(dāng)n＝5時，S四邊形AMCN＝9。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，解一元二次方程，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值。3、（懷化2011）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個動點(diǎn)（不及B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象及AC邊交于點(diǎn)E．（1）求證：AE?AO=BF?BO；（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）是否存在這樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出此時的OF的長：若不存在，請說明理由．解：（1）證明：∵E，F(xiàn)點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，，∴AE?AO=BF?BO。（2）設(shè)經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式為，∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），∴AE?AO=BF?BO=8?！連O=6，∴BF=，∴F（6，），把O、E、F三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式得：，解得：?！嘟?jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式為。（3）如果設(shè)折疊之后C點(diǎn)在OB上的對稱點(diǎn)為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點(diǎn)G，則根據(jù)折疊性質(zhì)、相似三角形、勾股定理有：設(shè)BC'=，BF=，則C'F=CF=．∴點(diǎn)的坐標(biāo)F（6，，4）。EC'=EC=，∴在Rt△C'BF中，①。∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（）：（）=4：=（）：②。解得：，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，）?！郞F=?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)及方程的關(guān)系，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）的性質(zhì)，勾股定理。【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，即可得出AE?AO=BF?BO。（2）利用E點(diǎn)坐標(biāo)首先求出BF=，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可。4、（2010瀘州）已二次函數(shù)及一次函數(shù).（l）求該二次函數(shù)