離散數(shù)學(xué)：ch9習(xí)題課

第九章習(xí)題課主要內(nèi)容代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成：非空集合、封閉的二元和一元運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)二元運(yùn)算性質(zhì)和特異元素：交換律、結(jié)合律、冪等律、分配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元同類(lèi)型的與同種的代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)的定義與實(shí)例積代數(shù)的定義與性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)1計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院基本要求判斷給定集合和運(yùn)算能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)判斷給定二元運(yùn)算的性質(zhì)求而二元運(yùn)算的特異元素了解同類(lèi)型和同種代數(shù)系統(tǒng)的概念了解子代數(shù)的基本概念計(jì)算積代數(shù)判斷函數(shù)是否為同態(tài)映射和同構(gòu)映射2計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院練習(xí)11．設(shè)°運(yùn)算為Q上的二元運(yùn)算，x,yQ,x°y=x+y+2xy,(1)判斷°運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，并說(shuō)明理由.(2)求出°運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1)°

運(yùn)算可交換，可結(jié)合.任取x,yQ,

x°y=x+y+2xy=y+x+2yx=y°

x,任取x,y,zQ,(x°y)°z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx°(y°z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz3計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院(2)設(shè)°運(yùn)算的單位元和零元分別為e和，則對(duì)于任意x有x°e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于°運(yùn)算可交換，所以0是幺元.對(duì)于任意x有x°

=成立，即

x++2x=

x+2x

=0

=1/2給定x，設(shè)x的逆元為y,則有x°y=0成立，即

x+y+2xy=0(x≠1/2)因此當(dāng)x

1/2時(shí)，是x的逆元.解答計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院42．下面是三個(gè)運(yùn)算表(1)說(shuō)明那些運(yùn)算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的.(2)求出每個(gè)運(yùn)算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元練習(xí)2計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院5解解答(1)*滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，不滿(mǎn)足冪等律.

°不滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，滿(mǎn)足冪等律.

·滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，不滿(mǎn)足冪等律.(2)*的單位元為b，沒(méi)有零元，

a1=c,b1=b,c1=a

°的單位元和零元都不存在，沒(méi)有可逆元素.

·的單位元為a，零元為c，a1=a，b,c不是可逆元素.說(shuō)明：關(guān)于結(jié)合律的判斷需要針對(duì)運(yùn)算元素的每種選擇進(jìn)行驗(yàn)證，若|A|=n，一般需要驗(yàn)證n3個(gè)等式.單位元和零元不必參與驗(yàn)證.通過(guò)對(duì)具體運(yùn)算性質(zhì)的分析也可能簡(jiǎn)化驗(yàn)證的復(fù)雜性.6計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院練習(xí)33.設(shè)G為非0實(shí)數(shù)集R*關(guān)于普通乘法構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)，判斷下述函數(shù)是否為G的自同態(tài)？如果不是，說(shuō)明理由.如果是，判別它們是否為單同態(tài)、滿(mǎn)同態(tài)、同構(gòu).(1)