歷年西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育大作業(yè)答案-0044線性代數(shù)（匯編31份）

yyl＞西南大學(xué)2018年6網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育大作業(yè)答案-0044線性代數(shù)2、西南大學(xué)2018年6月網(wǎng)絡(luò)繼續(xù)教育大作業(yè)答案-0044線性代數(shù)3、西南大學(xué)2018年12月網(wǎng)絡(luò)教育大作業(yè)答案-［0044］《線性代數(shù)》4、西南大學(xué)2018年12月網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育［0044］《線性代數(shù)》答案5、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)繼續(xù)教育學(xué)院線性代數(shù)［0044］答案6、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育2018年春［0044］《線性代數(shù)》答案7、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育線性代數(shù)0044作業(yè)（1）8、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育線性代數(shù)0044作業(yè)9、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育2018年12月0044（線性代數(shù)）答案10、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院0044線性代數(shù)大作業(yè)答案11、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院2016年12月［0044］《線性代數(shù)》答案12、西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院課程考試試題卷線性代數(shù)［0044］答案13、2015年12月西南大學(xué)（0044）《線性代數(shù)》大作業(yè)A標(biāo)準(zhǔn)答案14、2015年12月西南大學(xué)［0044］〈線性代數(shù)〉大作業(yè)A標(biāo)準(zhǔn)答案15、2015年秋西南大學(xué)(0044)《線性代數(shù)》A標(biāo)準(zhǔn)答案16、2016年6月西南大網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院線性代數(shù)［0044］A卷答案17、2016年12月西南大網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院［0044］線性代數(shù)(2)參考答案18、2016年12月西南大網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院0044線性代數(shù)參考答案⑴19>2016年12月西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院《線性代數(shù)》［0044］大作業(yè)答案20、2016年12月西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院《線性代數(shù)》［0044］大作業(yè)答案21、2016年年12月西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育《線性代數(shù)》［0044］大作業(yè)答案22、2016西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育大作業(yè)《線性代數(shù)》0044答案23、2017年6月西南大網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院0044線性代數(shù)參考答案24、2017年6月西南大網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院0044線性代數(shù)大作業(yè)答案25、200年6月西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院［0044］〈線性代數(shù)〉大作業(yè)答案26、2017年6月西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院線性代數(shù)0044作業(yè)27、2017年秋西南大學(xué)繼續(xù)教育0044線性代數(shù)28、2018年6月西南大學(xué)網(wǎng)教［0044］《線性代數(shù)》 上傳29、2018年6月西南大學(xué)網(wǎng)教大作業(yè)答案-0044《線性代數(shù)》30、西南大學(xué)2017年12月網(wǎng)絡(luò)教育大作業(yè)答案-0044線性代數(shù)31、西南大學(xué)2017年12月網(wǎng)絡(luò)教育大作業(yè)答案-0044線性代數(shù)類別：網(wǎng)教專業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 2018年6月課程名稱【編號(hào)】：0044【線性代數(shù)】 A卷大作業(yè) 滿分：100分一、大作業(yè)題目xa...anX n1.計(jì)算行列式"*-.的值.ClCLa??X解：計(jì)算行列式Dnxa...aax...aaa???x把第2,3,???,n列都加到第1列，提出公因子x+(n?l)a,得1a...a1x...a1a…x第1行乘-1加到23,...,n行，得1a?..a0x-a...000...x-a這是個(gè)上三角形

所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)A(n-l).’20.已知P=01、0000、20,計(jì)算(P-JP。.02,.設(shè)線性方程組為X]一所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)A(n-l).’20.已知P=01、0000、20,計(jì)算(P-JP。.02,.設(shè)線性方程組為X]一-3x34-x4=1

2xt-2x2—5x3+3x4—4

4xj-4x2+3七+19%4=4

x1—x2—2x3+2x4=3(其中4為實(shí)數(shù)),(1)獨(dú)何值時(shí)，該方程組有解?(2)在有解的情況下，求出其特解/以及其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,進(jìn)而求出原方程組的通解.211、.給定矩陣A=020.「413；(1)求出A的特征值及特征向量;(2)矩陣A能對(duì)角化?說(shuō)明理由.解-211A=020-413入+2-1-1|AI-A|=0A-204?1X-3解得人=?1,2(兩?)格特征值-1代入特征方程(AI-A)x=01-1-10-304-1-4箕3行,娥去行x4二(人*1)(入-2)2=01-1-10-300301-1-10-30000國(guó)2行逼取公因子?31-1-101000010-101000010-1；0oiolo00ill01050

ooih得到廈于特征值-1的特征向■(LOJ)I將特征值2代人特征方程（AI-A）x=O4-1-10004-1-1M3行盛會(huì)1U行4-1-100000014-1-10004-1-1M3行盛會(huì)1U行4-1-10000001:11--OjO-4：401Oil00odoi8U行身障公四六口2行,加上箕2行心4010:1001=0010:10001；01之. iodii4 —24.。花400； 001：04|得到屬于特征值2的特征向墨（1,4,0。（L0,4）T得到特征向量矩陣P=111040104并且有P'1AP=A=diaq(-l,2,2)5.設(shè)向量組Q1,…4,線性無(wú)關(guān)，而向量組6,a,"線性相關(guān),則向量b可由9,生,…,明,線性表示，且表示法是唯一的.解：由于al,a2,...,am,B線性相關(guān)所以存在一組不全為0的數(shù)kl,k2,...,km,k使得klal+k2a2+...+kmam+kB=0則必有kWO.否則klal+k2a2+...+kmam=0,而al,a2,...,am線性無(wú)關(guān)，所以kl=k2=...=km=0這與kl,k2,...,km,k不全為0矛盾.故有B=(-l/k)(klal+k2a2+...+kmam)即B可由al,a2,...,am線性表示.設(shè)B=klal+k2a2+..+kmamB=kl*al+k2*a2+..+km,am則(kl-kl')al+(k2-k2*)a2+..+(km-km，)am=0由al,a2,am線性無(wú)關(guān)知ki-ki*=0,即ki=ki',i=l,2,...,m所以表示法唯一.二、大作業(yè)要求大作業(yè)共需要完成三道題：第1-2題選作一題，滿分30分;第3-4題選作一題，滿分30分;第5題必作，滿分40分。類別：網(wǎng)教專業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 2018年6月課程名稱【編號(hào)】：0044【線性代數(shù)】 A卷大作業(yè) 滿分：100分二、大作業(yè)題目Xx…".的值.CL??x…".的值.CL???X‘200、2.已知‘200、2.已知P=012。bA=020,計(jì)算(pT/jp)50.。2,IX］一—313+彳4=12x1-2x2-5x3+”=4中a為實(shí)數(shù))，4Xj-4x2+3.+19x4=z%)—x2—2x3+2x4=3⑴，取何值時(shí)，該方程組有解？(2)在有解的情況下，求出其特解屋以及其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,進(jìn)而求出原方程組的通解.'-211、.給定矩陣4=020「413,⑶求出A的特征值及特征向量;(4)矩陣A能對(duì)角化?說(shuō)明理由..設(shè)向量組外,%,...,a,“線性無(wú)關(guān)，而向量組，力線性相關(guān)，則向量b可由外,線性表示，且表示法是唯一的.二、大作業(yè)要求大作業(yè)共需要完成三道題：第1-2題選作一題，滿分30分；第3-4題選作一題，滿分30分；第5題必作，滿分40分。第一題答：計(jì)算行列式Dnxa...aax...aaa...x把第2,3,...?n列都加到第1歹U,提出公因子x+(n~l)a,得1a...ax...aa...x第1行乘-1加到2,3 n行，得a...a0x-a...000...x-a這是個(gè)上三角形所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)'(n-l).第四題：答：

-(A*lXA-2)2-0解博人--1.2(RB)格特征值」代入特征方程(Al-A)x?01-1-10-304-1-41-1-10-30030■訪tC±M2<7i?i?i0-30000?2杼曲公■于31-1-101000091杼SUJI2I710-1010000加.此次?事io-iboiobooih?1行KJJOfTlodi010:0OOlil將到廈于特征值，的特征向■(LO.W將特iM2代入特征方程(Al-A)x=O41-10004.11?1杼■3d4-1-1000000齪：4■1?7 聽41.11441型才事1-7?為。44i90±■孫!4卜;■泗3U朽000000100|j01.1ooi!o14 E?劭?皿010:10001:0110(X1101*000110401000：10doi01博到屬于特征值29W征同?(1.40)1(L0.4)t得到特征向墨矩藥P=111040104并且有P1AP=A=diag(-L2.2)第五題答：由于al,a2,...,am,B線性相關(guān)所以存在一組不全為0的數(shù)kl,k2,...,km,k使得klal+k2a2+.?.+kmam+kB=O則必有kr0.否則klal+k2a2+.?.+kmam=O,而al,a2,...,am線性無(wú)關(guān)，所以kl=k2=...=km=O這與kl,k2,...,km,k不全為0矛盾.故有B=(T/k)(klal+k2a2+...+kmam)即B可由al,a2,??.，am線性表示.設(shè)B=klal+k2a2+..+kmamB=kl'al+k2'a2+.?+km'am則(kl-kl*)al+(k2-k2,)a2+..+(km-km,)am=O由al,a2,...,am線性無(wú)關(guān)知ki-ki'=0,即ki=ki',i=l,2,...,m所以表示法唯1（注：因?yàn)檫@里公式編輯器里面不能輸入矩陣,所以我只好用latex編輯后在這里插入圖片，為了避免爭(zhēng)議后面附上latex源碼）題1:解:根據(jù)題設(shè)（2EC （一得出:TOC\o"1-5"\h\zC(2E-C-lB}AT=CC-* (1)(2C- = E (2)((2C- = Et (3)A(2C- = ￡ (4)4=((2C-B)t)-* (5)于是.顯然這是一個(gè)單位下三角矩陣其行列式為對(duì)角線集積等于1.且存在逆矩陣使用高斯消元法求解：

題4：證明設(shè)A=(?1,?2,?3)-則H=AA=>!(<?!,(?2,<?3)=0,顯然.4<>,=0(?€{1,2,3}).所以A的每一列都是齊次線性方程組AX=0的解根據(jù)齊次線性方程組理論..4X=<1的基礎(chǔ)解系中.線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)(或者說(shuō)解空間的維數(shù))<“一，(4).而.4的列向量組{.，如，、}是解空間的一部分.所以A的列向量組中的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)(即，,(▲))一定$基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù).也就是<n-r(4),所以r(4)<n-r(.4),從而r(A}+r(4)=2r(4)<n=3,于是r(4)=1.題5:TOC\o"1-5"\h\z(1+A1 1 0\1 14-A 1 31 1 1+AA/轉(zhuǎn)換得到：(1+A1 1 0\1 14-A1 334-A3+A3+X34-A/顯然當(dāng)A=-3時(shí)有無(wú)窮多解.當(dāng)A#-3時(shí)：“ 1 1 o\t 1 1+A 1 3\ 1 1 1 1/(A00 -1 \0A0 200(A00 -1 \0A0 20011+A-1-2A-1/可見當(dāng)A=0時(shí)無(wú)解，否則當(dāng)八#一3時(shí)有唯一解.當(dāng)入=-3時(shí).原線性方程組與J-2xl+xa+r3=?同解X\—2^2+ ―3取了3為自由未知量令工3為（）得到特解7,.令，3=1.得到基礎(chǔ)解系于是通解為其中人為任意常數(shù)附答案latex源碼:解：根據(jù)題設(shè)$(2E-CA{-1}B)A"T=C，-1}$得出:\begin{align}C(2E-CA{-1}B)AAT&=CCA{-1}\\(2C-B)AAT&=E\\((2C-B)AAT)AT&=EAT\\A(2C-B)AT&=E\\A&=((2C-B)AT)A{-1}\end{align}于是，\begin{align}((2C-B)AT}A{-1}&=\left(\left(\begin{pmatrix}&2&0&1\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3&-2\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\O&O&0&1\end{pmatrix)\right)AT\right)A{-1}\\&=\left(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}AT\right)A{-1}\\&=\begin{pmatrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix}A{-1}\end{align)顯然這是一個(gè)單位下三角矩陣，其行列式為對(duì)角線乘積等于$1$,且存在逆矩陣.使用高斯消元法求解：\begin{align}(A|E)&=\left(\begin{matrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\\&=\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0w0&0&-1&1\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right)\\\end{align)得出$A=\begin{pmatrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix)$.\clearpage證明：i5$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.則$AA2=AA=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$,顯然$A\alphaJ=O$$(i\in\{1,2,3\!)$.所以$A$的每一列都是齊次線性方程組$人*=0$的解.根據(jù)齊次線性方程組理論,$AX=O$的基礎(chǔ)解系中，線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)(或者說(shuō)解空間的維數(shù))$\leqn-r(A)$.而$A$的列向量組$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$是解空間的一部分，所以$A$的列向量組中的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)(即$r(A)$)一定$\leq$基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)，也就是$\leqn-r(A)$,所以$r(A)\leqn-r(A)$,從而$r(A)+r(A)=2r(A)\leqn=3$,于是$r(A)=1$.\clearpage解：根據(jù)方程有增廣矩陣$B=\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3\\1&1&1+\lambda&\lambda\end{pmatrix}$轉(zhuǎn)換得到：$B\rightarrow\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda\end{pmatrix}$顯然當(dāng)$\lambda=-3$時(shí)有無(wú)窮多解.當(dāng)$\lambda\neq-3$時(shí)：$\rightarrow\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W1&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix)\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix}\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\0&0&1&1+\lambdaA{-1)-2\lambdaA{-1}\end{pmatrix)$可見當(dāng)$\lambda=0$時(shí)無(wú)解，否則當(dāng)$\lambda\neq-3$時(shí)有唯一解.當(dāng)$\lambda=-3$時(shí)，原線性方程組與$\left\{\begin{matrix)-2x1+x_2+x_3=0\\x_1-2x_2+x_3=3\end{matrix}$同解，取$x_3$為自由未知量，令$x_3$為$0$得到特解$\etaA*=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$.令$x_3$=1,得到基礎(chǔ)解系為$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.于是通解為$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix)1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix)-1W-2\\0\end{pmatrix)$,其中$k_1$為任意常數(shù).（注：因?yàn)檫@里公式編輯器里面不能輸入矩陣,所以我只好用latex編輯后在這里插入圖片，為了避免爭(zhēng)議后面附上latex源碼）題1:解:根據(jù)題設(shè)（2EC （一得出:TOC\o"1-5"\h\zC(2E-C-lB}AT=CC-* (1)(2C- = E (2)((2C- = Et (3)A(2C- = ￡ (4)4=((2C-B)t)-* (5)于是.顯然這是一個(gè)單位下三角矩陣其行列式為對(duì)角線集積等于1.且存在逆矩陣使用高斯消元法求解：

題4：證明設(shè)A=(?1,?2,?3)-則H=AA=>!(<?!,(?2,<?3)=0,顯然.4<>,=0(?€{1,2,3}).所以A的每一列都是齊次線性方程組AX=0的解根據(jù)齊次線性方程組理論..4X=<1的基礎(chǔ)解系中.線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)(或者說(shuō)解空間的維數(shù))<“一，(4).而.4的列向量組{.，如，、}是解空間的一部分.所以A的列向量組中的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)(即，,(▲))一定$基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù).也就是<n-r(4),所以r(4)<n-r(.4),從而r(A}+r(4)=2r(4)<n=3,于是r(4)=1.題5:TOC\o"1-5"\h\z(1+A1 1 0\1 14-A 1 31 1 1+AA/轉(zhuǎn)換得到：(1+A1 1 0\1 14-A1 334-A3+A3+X34-A/顯然當(dāng)A=-3時(shí)有無(wú)窮多解.當(dāng)A#-3時(shí)：“ 1 1 o\t 1 1+A 1 3\ 1 1 1 1/(A00 -1 \0A0 200(A00 -1 \0A0 20011+A-1-2A-1/可見當(dāng)A=0時(shí)無(wú)解，否則當(dāng)八#一3時(shí)有唯一解.當(dāng)入=-3時(shí).原線性方程組與J-2xl+xa+r3=?同解X\—2^2+ ―3取了3為自由未知量令工3為（）得到特解7,.令，3=1.得到基礎(chǔ)解系于是通解為其中人為任意常數(shù)附答案latex源碼:解：根據(jù)題設(shè)$(2E-CA{-1}B)A"T=C，-1}$得出:\begin{align}C(2E-CA{-1}B)AAT&=CCA{-1}\\(2C-B)AAT&=E\\((2C-B)AAT)AT&=EAT\\A(2C-B)AT&=E\\A&=((2C-B)AT)A{-1}\end{align}于是，\begin{align}((2C-B)AT}A{-1}&=\left(\left(2\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3&-2\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\O&O&0&1\end{pmatrix)\right)AT\right)A{-1}\\&=\left(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}AT\right)A{-1}\\&=\begin{pmatrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix}A{-1}\end{align)顯然這是一個(gè)單位下三角矩陣，其行列式為對(duì)角線乘積等于$1$,且存在逆矩陣.使用高斯消元法求解：\begin{align}(A|E)&=\left(\begin{matrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\\&=\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0w0&0&-1&1\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right)\\\end{align)得出$A=\begin{pmatrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix)$.\clearpage證明：i5$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.則$AA2=AA=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$,顯然$A\alphaJ=O$$(i\in\{1,2,3\!)$.所以$A$的每一列都是齊次線性方程組$人*=0$的解.根據(jù)齊次線性方程組理論,$AX=O$的基礎(chǔ)解系中，線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)(或者說(shuō)解空間的維數(shù))$\leqn-r(A)$.而$A$的列向量組$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$是解空間的一部分，所以$A$的列向量組中的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)(即$r(A)$)一定$\leq$基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)，也就是$\leqn-r(A)$,所以$r(A)\leqn-r(A)$,從而$r(A)+r(A)=2r(A)\leqn=3$,于是$r(A)=1$.\clearpage解：根據(jù)方程有增廣矩陣$B=\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3\\1&1&1+\lambda&\lambda\end{pmatrix}$轉(zhuǎn)換得到：$B\rightarrow\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda\end{pmatrix}$顯然當(dāng)$\lambda=-3$時(shí)有無(wú)窮多解.當(dāng)$\lambda\neq-3$時(shí)：$\rightarrow\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix)\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\1&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix}\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\0&0&1&1+\lambdaA{-1)-2\lambdaA{-1}\end{pmatrix)$可見當(dāng)$\lambda=0$時(shí)無(wú)解，否則當(dāng)$\lambda\neq-3$時(shí)有唯一解.當(dāng)$\lambda=-3$時(shí)，原線性方程組與$\left\{\begin{matrix)-2x1+x_2+x_3=0\\x_1-2x_2+x_3=3\end{matrix}$同解，取$x_3$為自由未知量，令$x_3$為$0$得到特解$\etaA*=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$.令$x_3$=1,得到基礎(chǔ)解系為$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.于是通解為$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix)1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix)-1W-2\\0\end{pmatrix)$,其中$k_1$為任意常數(shù).q120n3al3anan知已知3階行列式如i4an6a23=6,則a2la22a23=().36i6a329色3色162a33答：1/652、為正父矩陣，則a=（ ）"=（ ）1731一遍6

173-2-na1萬(wàn)1一V6二V2

r I答,a=O,b=1/V253、TOC\o"1-5"\h\z/ \已知。=(1,2,3),則|0%|=\ 7答：「1 2：324 636 954、設(shè)上階方陣4扇三個(gè)特征值為1,2,3,則|A+E|=(24).‘200、設(shè)三階方陣乂=0x可逆，則x,A應(yīng)滿足條件（ ）.（023）答:3xW2y56、3-1f矩陣.4=-102所對(duì)應(yīng)的二次型是（ ）.1 223x；-2x,x,+2x,Xj+4x、巧答：若線性方程組 2x2!元答：058.(，P已知嗎=0.X?=4性方程組4"。有一個(gè)非答：口包59、p10若矩陣/=1k0、00k2答：K>160、N為3階方陣：且|/卜答：.461、A為5x3矩陣,R(A)=一電=2無(wú)解，則尤=( ).弓=2+2’是3元非齊次線性方程組小=b的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線零解向量，=是正定矩陣，則上滿足( )=-2,/是,4的伴隨矩陣，則|4/"+/1=( )'102、=3,B=020,貝ijR(AB)=( )、003,向量組日)：勺/2,…與向量組(3):4/2,…等價(jià)，目向量組(.4)線性無(wú)關(guān)，貝(Jr與s的大小關(guān)系是( ).答：r《63、).)?設(shè)向量組勺=1 =-2).)?一2答：364、設(shè)4為3階方陣，且|4|=-2,4?是.4的伴隨矩陣，則|4/7+/.卜(答：-465、f1-1n設(shè)/='24a，且.4的特征值為4=6,4=%=2如果/有屬于特征值2的兩1-3-35)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則。=( 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則。=( )-答：-266、%67、%設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1,2,它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為?!=則數(shù)2=( y答：-i68、設(shè).4=314"“3),8=(q+%+a力q+2a：+4%,%+3az+9a。，且⑷=L則圈=()-答：2

二次型曲,XI,3)=(XI-X2)2+(?-功?的矩陣A=(1-10、-12-1.1o-iij答：70、設(shè)線性方程組Ax=0,A是4x5階矩陣，如果K(A)=3,則其解空間的維數(shù)為(2).71、設(shè)4設(shè)4B為同階可逆矩陣，則O2/BO0 8")卜"°'答：,72、設(shè)a與/?的內(nèi)積(a,#)=2,|回|=2,則內(nèi)積(2a+//,/)=(-8).向量組％=。23,4),a,=(2,3,4,5),a,=(3,4,5,6),a4=(4,5,6,7)的秩為().答：2設(shè).4滿足3E+/-*=0,則/」=(答:設(shè)三階方陣.4的特征值為1,2,-1,貝”;/川的特征值為( )答：176、

已知.4=P;］，求其特征值與特征向量.3Solution3Solution令A(yù)-)￡|=.二(3-狽1-/)+7=Jl2=Jl2-14z+40=(^-4X2-10)=0.得/的特征值為4=4./=10.當(dāng)2=4時(shí)，齊次線性方程組(A-4E)x=的基礎(chǔ)解系為于是對(duì)應(yīng)于2=4的特征向量為可當(dāng)2=4時(shí)，齊次線性方程組(A-4E)x=的基礎(chǔ)解系為于是對(duì)應(yīng)于2=4的特征向量為可；當(dāng)2=10時(shí),為兄妣方程組(A-10E)x的基礎(chǔ)解系3-10為I于是時(shí)應(yīng)于1=10的特征向量為后=0.77、400…0anaxb20 0 0計(jì)算行列式0a2b3 0 0?° 0 ° — bnSolutjon將所給行列式按第1行展開，有TOC\o"1-5"\h\zJj 0 0 …0 a.%與 0 … 0 00 a2 劣??? 0 0???? ???°oo…0的4=岫…4+(-l),*1aIaa78、'X]+M+x3?1當(dāng)4方為何值時(shí)，方程組, x2-x3=l 有無(wú)窮多解°并求出其結(jié)構(gòu)解.2xi+3x2+(。+2此=b+3Solnrig對(duì)電廣矩陣他行初等行交換化為顯然火(/)ML要使原線防程組有無(wú)窮多個(gè)解，必須泡足&4)?R&-2,進(jìn)而a?1「1020、5?“這時(shí)，2的行最簡(jiǎn)形郵為01-11.[0000,令巧=0,得特解/=[l]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)次線15方程組跑班續(xù)系為4=11,因而原線性方程組儲(chǔ)構(gòu)解為僅、僅、1(R中2為任it常數(shù))79、已知向量組G1,az,03線性無(wú)關(guān),fi/i=a\-ai,“產(chǎn)23-28+傷=01-02+2g.證明向量組加，即傷線性無(wú)關(guān).答Proof假設(shè)上/1-21一號(hào)4=0,9]"[(%-"：)+*；(2?[+la.+%)+居(4-a：+2a,)=0,于是，伏i+此+品)《1+(-瓦+%-&)%+(左：+2&)a；=0.因?yàn)?,a：,a；線性無(wú)'匕+%：+y=0 121關(guān)，所以-&+2壇-&=0.由于-12-1=8#0,所以公=與=k；=0,因此與+%=0 012A&A,線忸關(guān)80、A,B是同階對(duì)稱矩陣，證明：48為對(duì)稱矩陣的充要條件是A與8可交換.答Proof(=?)因?yàn)锳B是同階對(duì)稱矩陣，若AB為對(duì)稱矩陣,則.4B=(.4fi):=B*.4t=BA?u)因?yàn)?8是同階若稱矩陣，若」與8可交換，則AB=B.4=6：/：=UB)r單項(xiàng)選擇題TOC\o"1-5"\h\z若方程組］/+巧=0有非零解，貝代=( ).］ ［物一士=0r2r0r1C-1.1111方程I :=0的所有根為( ).1 2-x 1Ir%=(1,0,0),a2r%=(1,0,0),a2=(0,1,0),%=(0.0,1)2.r?1=(12,3),02=(2,4,5)3r%=(L2,2)c=(212)4=(2.2J)4rai=(LZ3),%=(456)9=(ZL0)”4如果4是〃階矩陣/的特征值：那么必有( )r0,1,2,3C1.2,3,4r0,1,,3下列各向量組線性相關(guān)的是( ).TOC\o"1-5"\h\z]「 |A- 0『 -4—4EhOC IA-AqE^Q “「 A-aoE=O已知人、兒是非齊次線性方程組小=。的兩個(gè)不同的解，,、％是其導(dǎo)出組—=0< 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，M后為任意常數(shù)，則方程組4\?=。的通解可表成（ ）.- kya]+心心+—~~—C 2左岡+一（4+2）+4：'1 2r瓦6+后%+"；跖' 2 〃l kiai+無(wú)式A+2）+—產(chǎn)A下列關(guān)于X1,W3國(guó)的二次型正定的是（ 工O,*]Cx；+2xjX3+2宕+x；urx；+2xjrx；+2xxx2+2xjCix；+2X]%+2x；一巖7、向量組ai,e,.…a：的秩為r,且Ys,貝女 ）.].rE.G，?，…,心中任意人1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)「ai,m,…,a：中任意尸+1個(gè)向量線性相關(guān)“.1勾，⑥，…,a：中任意r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)8、設(shè)45均為3階方陣，目/與3相似4的特征值為1,2,3,則（現(xiàn)“特征值為（ ）.111.r展7Y“r21-.「』33.1123r2,1,-29、下列矩陣為正交矩陣的是（）.rioo'-0103oo1niiin-iW_LT~210、矩陣a與8相似，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）.「style=Mtext-indent:32px"與8有相同的特征值

rA=B/rMl=WlCR(A)=R(B)設(shè)/為〃階方陣，小-M2-幾且⑷黃0,即，4= 4，則//=(7I、I、X4：已知一4為肛階方陣，且滿足4=2￡,5為單位陣，則(/-幻"=( )12、rA-E.「E+A。13、設(shè)m,?是線性方程組.依=。的解，〃是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組,公=°的解，貝女13、設(shè)m,?是線性方程組.依=。的解，〃是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組,公=°的解，貝女).°C寸+（01?0?）是4r=0的解1。1+8是如:=?的解1廣。1是心=0的解4.已知線性方程組的系數(shù)矩陣M是4x5矩陣，且.4的行向量組線性無(wú)關(guān)，則下小列結(jié)論正確的是（ ）rF.A的列向量組線性無(wú)關(guān)C線性方程組的增廣矩陣的任意四個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)r線性方程組的增廣矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)r線性方程組的增廣矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)/15、下列各向量組線性相關(guān)的是（ ）.r=(1,2,3),Oj=(4,5,6),03=(2,1,0)0C%=(1,Z2).%=(2J2),%=(2.ZDr%=(L2,3),%=(2,4,5)1%=(1,0,0),%=(0,1,0),,=(0,0,1)設(shè)as為同階可逆矩陣，幺了0為數(shù)，則下列命題中不正確的是( ).r(5=才“r(4-1)"=/r =BlAl二次型=M+100宕+W+2演再西+第工是（ ）.1/、c負(fù)定的C正定的「半正定的style=Htext-indent:14px;line-height:150%”>不定的1S設(shè)4為x階方陣,.4的秩&4）=「<么那么在4的”個(gè)列向量中（ ）.1O\C必有r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)0C任意r個(gè)列向量都構(gòu)成最大線性無(wú)關(guān)組C任何一個(gè)列向量都可以由其它r個(gè)列向量線性表出C任意r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)TOC\o"1-5"\h\z19、設(shè)”階矩陣彳滿足4:=4,則.4的特征值為（ ）.r 0r 1C ±1C 0或1設(shè)45均為力階方陣,E為”階單位矩陣，則有( ).(A)(4+5)2=d+2AB+京 (B)(AB)3=4"(C)(A+3E\A-3E)=A2-9E (D)\-5A|=|-5\\A\20、]rA(A+3E\A-3E)=A2-9E0r\-5A\=\-5\\A\r(皿3=/好c(A+B)2=A1+2.4B+B1設(shè)/為三階矩陣，且H=2,則(/*尸|=( ).21、1.122.C4)3.「彳”4.11設(shè)〃階方陣4的行列式“|=0,則/中( ).1C.必有一列向量可有其余列向量線性表示”r必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例C任一列向量是其余列向量的線性組合C必有一列元素全為0”階方陣N與對(duì)角陣相似的充要條件是( )CD.A有n個(gè)互異特征值rA是實(shí)對(duì)稱陣CA有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量/rA的特征向量?jī)蓛烧?%設(shè)/是加X間矩陣，則齊次線性方程組Wt=O僅有零解的充分必要條件是（）.r1（】.B.style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent:I4px;line-height:150%H>A的行向量組線性相關(guān)A的行向量組線性無(wú)關(guān)r4的列向量組線性無(wú)關(guān)Cslyle="margin-top:7px：margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-heighl:150%">A的列向量組線性無(wú)關(guān)25、在下列矩陣中，可逆的是（ ）.Fo0、010L「I。?！薄?10、01121I—1,勺1o,2203.rI。。J。00、111主觀題2勾23q3已知3階行列式入214a心6a2326、3a316色29a33參考答案:alla126,貝ija2la22a23=()色1 色3設(shè)矩陣.4=±731一遍b173-2-V6a「存1瓶為正父矩陣，則4=( ),方=( ).27、參考答案:a=Qtb=1/V2已知a=(L2,3),則a%28、參考答案:1369,29、設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為1,2,3,則|A+E|=(參考答案:243()、(1設(shè)三階方陣x=0,00、y可逆，則x,J應(yīng)滿足條件(3,).參考答案：3x^2y'3-1f矩陣4=-102所對(duì)應(yīng)的二;欠型是（ ）.L122參考答案：3x{- +2%^3+4x2x3+2x；西—2x2+3x3=—1若線性方程組 2七一七=2無(wú)解，則）=（a, Ax,=2+2參考答案：0T、 。、已知巧=0,與=4是3元非齊次線性方程組4-1-M 15,性方程組Ax=0有一個(gè)非零解向蚩J .33、 '）參考答案：0‘110、若矩陣/=1k0是正定矩陣，則上滿足（*0巳34、參考答案：k>1）-=方的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線）_N為3階方陣，且|4|=-2,4?是4的伴隨矩陣，則|4k+/1=( )參考答案：-4'102、4為5x3矩年火(4)=3,B=Q2。，貝i」K(4B)=( )I。°3)參考答案：3向量組0)：%,%,…,凡與向量組(3):從：色,…等價(jià)，且向量組⑷線性無(wú)關(guān)，則尸與TOC\o"1-5"\h\z5的大小關(guān)系是( ).參考答案：r<sT] ,1]設(shè)向量組勺=1,%=-2,%=1線性相關(guān),則數(shù)。=( )1 1 -2WV1/Vx7參考答案：33?設(shè)/為3階方陣,且|崗=-2,/?是/的伴隨矩陣，則|4/-1+/卜( ).參考答案：-4::且，懶—―特征值由40、個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則。=(40、個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則。=().參考答案:設(shè)N=[]則4岫=41、參考答案：12009]01J42、則數(shù)2=（設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1,2,它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為?42、則數(shù)2=（參考答案:-1設(shè).4=，8=Qi+%+2a2+4%：佝+3a[+96）,且⑷=1,貝U\B\43、=（ ）參考答案：2二次型/1,X2,X3）=（X1-X2）2+任2-X3）：的矩陣A=參考答案：T-10、-12-1.<0-11>設(shè)線性方程組Ax=0,A是4x5階矩陣，如果&4）=3,則其解空間的維數(shù)為（ ）.參考答案:2設(shè)46為同階可逆矩陣，則46、46、參考答案:B"47、設(shè)a與“的內(nèi)積(a,#)=2,網(wǎng)=2,則內(nèi)積(2a+.,/)=().參考答案：-8向量組%=(1,2,3,4),02-(2,3.4,5),a,=(3,4,5,6).4=(4,5,6,7)的秩為參考答案：2TOC\o"1-5"\h\z設(shè).4滿足3E+4-4=0,則/"=( )參考答案：衿一與設(shè)三階方陣.4的特征值為1,2,-1,貝的特征值為( )50、 <2)參考答案：T,-2,1X]+X?+/=4-3當(dāng)a為何值時(shí)，線性方程組,xx^ax2+x3=-2有無(wú)窮多個(gè)解，并求出其通解當(dāng)a為何值時(shí)，線性方程組,A+叼+%=-251、51、參考答案:4.Solution將增廣矩陣5化為"(\113MM0-14-34.Solution將增廣矩陣5化為"(\113MM0-14-3、1-a1-%當(dāng)a=1時(shí)，原線性方程組與毛+巧+毛=-2同解.取右,天為自由未知量，令.（T巧=0,覆=0得特解為I；=0. （5分AI。）r-nr-r分別金[ ：I]；|的基砒解系為4=i,和=0- ?分"、°j 11?>于是通解為。20O-求矩陣.4=111的特征值和特征向量■參考答案:

2-A 03.Solution因?yàn)閨2-A 03.Solution因?yàn)閨.4一ZE|=1 1-z1-1=(2-A)1-A-113-2b—1 1 1 1二Q一或，3-廣QT）2]3一十（2-4'所以/的特征值為2《。分》對(duì)于；1=2時(shí)，齊次線性方程組（-4-2石）*=0與毛-x?+w=0同解，其基砒解系o,(io分)，'-r+k'-r+k20(1>,其中占，自不全為0.（10分A于是…4的對(duì)應(yīng)于2的特征向量為自16設(shè)2階矩陣.4可逆，且4?；],對(duì)于矩陣R=[3PLit；|，令5=P3B，求爐上53、參考答案：2.Solution由已知，有PJ=由于5=PV4P,,于是B-1=P「ATP」 (10分)。a2Ab1-a2Ab1-26]+b]ax-2al+%(10分A1114求4階行列式;；"的值一54、參考答案:54、參考答案:11141131Solution ?*12111111-1.+501001111(10分a3000C—J(10分w(10分w01101111=6 (10分)討論2為何值時(shí)，線性方程組(1+x)xj+巧+毛=0<再+(1+2)xj+巧=3毛+工？+Q+2)覆=2(1)有唯一解？(2)無(wú)解？(3)有無(wú)窮多解？并在此時(shí)求出其通解參考答案:-3、-2.于是0>'-1、+-2-3、-2.于是0>'-1、+-2,依為任意常數(shù))?矩陣為中1-21—巨陣為11°)°3To

(J100、1,由此可知0>1+A1 1Solution同=1 1+A1=(3+A)A2.1 1 1+A(1)當(dāng)2h-3且2H0時(shí)，有14|w0,方程組有唯一解.T出(4)=R(B)=2,方程組有無(wú)窮多解，解為x=k1■R(A)hR(B),原線性方程組無(wú)解.Xj+x2+2x3=—k上滿足什么條件時(shí)，方程組?X1+2X2+3=M有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解"2x,+x,+k:x,=056、 Lr》參考答案:

Solution由于一.fSolution由于一.f1Mt0ojI。i2一左)n1k-2后+無(wú)一0-1k2-42k)101 2 -k1 k-2 k2+k0(左一2X左+3)封4+3)」(1)當(dāng)k*2且k#-3時(shí)，線性方程組有惟一解.⑵當(dāng)無(wú)=2時(shí),有火(4)=2,及(6)=3,原線性方程組無(wú)解.(3)當(dāng)上代+3)=0時(shí)，有R(A)=R(B),原線性方程組有解.當(dāng)上=0時(shí),0-0120J100200-0120J10020、00J這時(shí)線性方程組只有零解.當(dāng)左=-3時(shí)，123、門1 2-3990,T0(01-16fo~-3990,T0(01-16fo~6Jk01-56,這時(shí)方程組有無(wú)窮多解.000,2已知矩陣.4=°057、000200020-308且.皿1=氐41+2￡,求3參考答案:Solution因?yàn)?4BA1=BA1+2E,右乘.4得至ijWB=6+24,進(jìn)而(4-E)B=2A,00、'1000、000 1001o，因此(/一￡尸=-1010,故c3c10L0—0—1 7 1010-310由于.4-E=]、°0001670040O406-74O-2O=5'-1 1 0、計(jì)算矩陣-4 3 0的特征值與特征向量58 I1° 4參考答案：Solution由于-IT1 0-4 3—2 0 =(2—2)((-】1 0 2-2于是/的所有特征值為1.2.當(dāng)2=1時(shí)，解線性方程組(4-E)x=0,Fl為占一2,其中用工0為任意常數(shù).當(dāng)2=2時(shí)，解線性方程組(N-2E)x=0為抬0,其中心工0為任意常數(shù).fl1f設(shè)三階方陣4=011',且/，一459、 10°J-^X3->i)+4)=(2-AXl-A)^f-q得基礎(chǔ)解系為,-2，對(duì)應(yīng)的所有特征向量,得基礎(chǔ)解系為0卜對(duì)應(yīng)的所有特征向量B=E,求矩陣B.參考答案:’1(4￡)=001-12、001-1100 1(1-12、所以/"=’1(4￡)=001-12、001-1100 1(1-12、所以/"=01-1I。。L’02-3、進(jìn)而6=002*00>設(shè)4階方陣.4、6、C滿足方程（2E-=C-i,試求矩陣.4,其中’12-3-2、012-3B=0012、000 1,60、 、 '參考答案："1201"0120C—0012,0001,Solution根據(jù)(2E-C1B)At=Cl,得C(2￡-C-15).4T=CC-1’1234、‘1-210123,因此（2（7-3尸=01-2由于2C—B=0012001、000、000(2C-B).4T=￡,所以/丁=(2C-B)-1.011)1 0 00、-2100Solution顯然4|=1*0,于是A可逆，因?yàn)?4*-AB=E,所以d-E=AB乘/T,得5=4—由于1-11001 fl101011010—>01001

01001J 100100-1

0

0因?yàn)槿砸?4），=0-1

0

0因?yàn)槿砸?4），=00、0101I0.(15分A[J]13a、-610,試確定當(dāng)，為何值時(shí)，向量012,5=022月N,6,X滿足(E-5-J)TbTX=E.求X,X“*61、參考答案：Z.Solution由于（七一6-14）1萬(wàn)3=七，即b（E-6J）『干=E,進(jìn)而（B-A）rX=E,所以X=［（B--I1.（15分一組a］，G，/，內(nèi)線性相關(guān)，并在線性相關(guān)時(shí)求它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組■62、參考答案:"1o0、0-1-2

0

0(33-1—7"1o0、0-1-2

0

0(33-1—7”9-1一35132-1t+2-2、-40-2、—6

100010一斤為-3-

—>-1-2

0

0'100、03-1-703-1—4t—7-2-40

t-2-2、-412工+6,(15分w于是火（勺,火,。3，《4）之3,只有在"2=0,即S2時(shí)長(zhǎng)（。卜的《3?4）=3,進(jìn)而外,%,%,4線性相關(guān).此時(shí)，可選外,%,%為極大戲組. （5分”向量組%=(1.3,2,0尸,％=(7,0,14,3)。6=(2,-L0,1)。&=(5,1,6,2/,%=(2,-1,4」尸，(1)計(jì)算該向量組的秩，(2)寫出一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極q 大無(wú)關(guān)組線性表示.參考答案：Solution及(%%%4,6)=3,%,%生為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，2 1 1 1A用正交變換化二次型/(、叼多)=2*；+3*+3*?+4々為為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出所作的變換-64、參考答案：‘200、■l.Solution所給二次型的矩陣.4=032."因?yàn)閨N-因?yàn)閨N-花|=002+q 5-A 2 1 2=(2—/) =(2-zX5-A) =(2—2X5—/XI—2),戶版4的特DXLjz? XJ~~zL征值為1,2,5.（10分），’0、當(dāng)；1=1時(shí)，齊次線性方程組（，-E）x=0的基砒解系為犬1=-1,單位化得（L0P\=(5分P\=(5分A1<a>當(dāng)』時(shí),_“9。3皿心皿(5分A當(dāng)；I=5時(shí)，齊次線性方程組（.4-5E）x=0的基砒聯(lián)系為芭3取P=S1，P”3）取P=S1，P”3）1o0，在正交變換X=凸?下得二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為f=y\+2y：+5y/.（5分）。已知向量組《i,a：,as線性無(wú)關(guān)，且兇=ai-az,代=2ai+2az-a”隹=ai-a?+2a3.證明向_量組隹，用線性無(wú)關(guān).參考答案：Proof假設(shè)無(wú)必+k2fl2+k3fl3=0,則左］（勺-a2）+k2（2ax+2a2+g）+Ar3（a1—a1+2a3）=0,于是，g+2冬+&網(wǎng)+（飛+2右一號(hào)）0+&+2號(hào)）a3=0.因?yàn)閍1,名,外線性無(wú)'及+2&+號(hào)=0 121關(guān)，所以一自+2無(wú)2-自=0.由于-12—1=8*0,所以左1=e=&=0,因此的+2&=0 012匹魚血線性無(wú)關(guān)―48是同階對(duì)稱矩陣，證明：48為對(duì)稱矩陣的充要條件是A與8可交換.參考答案:Proof(=>)因?yàn)?5是同階對(duì)稱矩陣，若一必為對(duì)稱矩陣，則.4B=(皿T=5/T=R4(U)因?yàn)?3是同階對(duì)稱矩陣，若4與5可交換，則AB=B.A 4T=(AB)T.設(shè)2=-5是”階可逆矩陣A的一個(gè)特征值：證明：*=士是E+-4"的一個(gè)特征值，5其中E是”階單位矩陣.參考答案：1 4Proof因?yàn)榱x=-5是”階可逆矩陣.4的一個(gè)特征值，根據(jù)特征值的性質(zhì)知."mI+oMg—55是E+N"的一個(gè)特征值.1設(shè)向量組4 …41n線性無(wú)關(guān)，向量從可由向量組N線性表示，而向量生不能由向蚩組<線性表示.證明向量組勺,…,a./1+2必線性無(wú)關(guān).2.證明：(1)可逆方陣無(wú)特征根0.(2諾冬為可逆方陣A的一個(gè)特征根，則是4"的一個(gè)特征根.參考答案：LProof假設(shè)勺M,…%.M+魚線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)曷,自，自，…心,左，使得左1al+k2a2+k3a3…+kmam+k(fll+^2)=0,可證>#0,否則q,a：,…a”線性相關(guān)，矛盾”由于2#0,因此生=-：(&q+抬a?+依田…+院%+媯)，又因?yàn)橄蛄?可k由向量組幺線性表示，而向量生不能由向量組.線性表示，與已知條件向量必不能由向量組d線性表示矛盾.所以外,%.…a”/1+生線性無(wú)關(guān).Proof(1)設(shè)/為”階可逆矩陣，.4的”個(gè)特征值為乙，4，…，兒,則有|.4|=4A2…4H0,故.4無(wú)特征值0.(2)設(shè)x為屬于特征值4的特征向量，則有-=4乂A-l-Ax=^A~1xx=^A1x.由(1燦一工0,于是八=小,即有是的一個(gè)特征值.

69、5.設(shè)pi,p＞依次為n階矩陣.4的屬于特征值z(mì)i，z：的特征向量，且小，右,證明p\-pi不是4的特征向量69、參考答案：5.Proof假設(shè)一八是.4的對(duì)應(yīng)于力的特征向量，即.451-八）=/3一八）一由于2-4（6—八）=Ap\~Ap-y=4Pl~~，所以4Pl-4八=z（n-尸。，于是（4-^）P\+（-4+^）Pi=o.（20分）~根據(jù)特征值的性質(zhì)，知4一五=一4+；1=0,進(jìn)而4=4，矛盾.（io分”設(shè)外n是矩陣N的不同特征值的特征向量.證明外+小不是N的特征向量?70、參考答案：5.Proof令pi,2是/的對(duì)應(yīng)于不同特征值4,否的特征向量，即Apx=X1p1,Api=A2P＞（10分9假設(shè)Pi+八是4的對(duì)應(yīng)于/的特征向量，即.431+尸2）=/（巧+尸）由于。-4（「1+P。=珈+Ap：=4Pl+4P2，。所以4Pl+4P2=A(pj+p2)>于是(4-a)Pi+(Aj-a)p2=o.(20分a根據(jù)性質(zhì)4,知4一2=22-2=0,進(jìn)而4=4，矛盾.(io分“).若方程組有非零解，則2=().[foq-x2=0@A.-1。B.1OC.2OD.011111-X 1 1 y一,TOC\o"1-5"\h\z方程，，C,=0的所有根為( ).1 2—x 11 1 1 3-x◎A. 0, 1,2OB.1, 2,3OC. 0, 1,2, 3OD.1, 2,3, 43、下列各向量組線性相關(guān)的是(B).rA.%=(20)?2=(010)，6=。0，1)rB.%=(必3)?=(456)9=(ZLO)3,1c.勺=(93)4=(24,5)41D?i=(1,2,2), =(2,1,2),a3=(2,2,1)4、如果4是〃階矩陣/的特征值，那么必有( )@A.14-4引=0@B.|-4-x^E|*0，C.A-^E=Q已知阮、內(nèi)是非齊次線性方程組4=。的兩個(gè)不同的解，■、是其導(dǎo)出組速，=0TOC\o"1-5"\h\z的一個(gè)基礎(chǔ)解系，也依為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解可表成（ ）.左阿+做A+A）+左YOA. 2左畫+號(hào)（4+%）+>:“'6、下列關(guān)于巧，巧，毛的二次型正定的是（ ）-..a.x；+2沖2+2宕+x；@B.X；+2x；CX；+2xjX3+lx；OD.1x；+2xiW+2x”W7、向量組G,e,…‘心的秩為r,且Ys,貝" ）.a\,a：,…,a：線性無(wú)關(guān)ai,公，…,a：中任意r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)?c.a】，公，…，處中任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)D.?,0,…,a：申任意廠-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)8、設(shè).4、5均為3階方陣，且.4與5相似〃的特征值為1,2,3,則（”）一1特征值為（ ）.A.229、下列矩陣為正交矩陣的是（）.L1-2.rioo'-0103L00Iriirgiii?c.[111.T-21在⑥D(zhuǎn).L52-10、矩陣A與8相似.則下列說(shuō)法不正確的是( )@A.R(A)=R(B)?B.A=B?C.Ml=忸I(lǐng)D.style="text-indent:32px">>4^SW相同的特征值設(shè)/為設(shè)/為？!階方陣,m-?2-ms=ns且⑷*0,即A=4 1則/“=（）.（4JTOC\o"1-5"\h\z4”4蝴A.14 J、A=A~l?B,、 石L'I 、A=A~l?C. 、 4t' 1、A=dj[-1?D.14 ）12、已知4為〃階方陣，且滿足4=2￡,E為單位陣，則（/_e）-i=（ ）?A.E+AOB.E-AQC.A-E0D.413、設(shè)G,0是線性方程組Ax=A的解，〃是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Av=0的解，則（A."+8是念=0的解?b_V+（ai-?2）是￡v=0的解?1+公是Av=b的解?-公是4r=〃的解已知線性方程組的系數(shù)矩陣.4是4x5矩陣，且彳的行向量組線性無(wú)關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（ ）?A.A的列向量組線性無(wú)關(guān)€>B.線性方程組的熠廣矩陣的任意四個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)@C.線性方程組的增廣矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)?D.線性方程組的增廣矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)下列各向量組線性相關(guān)的是（ ）.A%=Q2,3),%=(2,4,5)%=Q22),4=(2J2),%=(2,2,1)C.%=(LO,O),Oj=(0,1,0), =(0,0,1).D=(1.2,3),Oj=(4.5,6),03=(2,1,0)16、設(shè)45為同階可逆矩陣，為數(shù)，則下列命題中不正確的是( ).OA.{A'lYx=A(S)B.(5=訝(AS)-1=BXA-X17、二次型/=4+10。宕+行+2毛毛-再毛+毛毛是(?A.正定的B.負(fù)定的?C.半正定的style=,'text-indent:14px;line-height:150%,'>不定的18、設(shè)4為”階方陣,4的秩R⑷=r<n,那么在A的〃個(gè)列向量中(⑥A.必有r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)OB.任意r?個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)-C.任意r?個(gè)列向量都構(gòu)成最大線性無(wú)關(guān)組?D.任何一個(gè)列向量都可以由其它r個(gè)列向量線性表出19、設(shè)”階矩陣/滿足Z'=.4,則.4的特征值為( ).?A.1OB.±1OC.0@D.0或1設(shè)4B均為n階方陣,E為n階單位矩陣，則有( ).(A)(1A+B)~= +2.4B~B' (B)(AB)'=A:B:(C)(A+3EXA-3E)=A2-9E (D)|一541=|-51|41vu、A(A+B)2=A2+2.4B+B2(--tB)3=A:B:.c(Z+BEX/TE)"-9E0D.\-5A\=\-5\\A\21、設(shè)4為三階矩陣，且⑷=2,則1（/*）力=（ ）.1?A.4。B.1OG2OD.422、設(shè)?階方陣/的行列式M=0,則4中（）.@A.必有一列向量可有其余列向量線性表示?B.任一列向量是其余列向量的線性組合C.必有一列元素全為0?D.必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例〃階方陣.4與對(duì)角陣相似的充要條件是（ ）?A.A是實(shí)對(duì)稱陣dB.A有n個(gè)互異特征值@C.A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量D.A的特征向量?jī)蓛烧?4、設(shè)/是Rx"矩陣，則齊;誼戔性方程組Ax-0僅有零解的充分必要條件是（）.?A./的行向量組線性無(wú)關(guān)OB.style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-height:150%”>.4期亍向量組線性相關(guān)⑼C..4的列向量組線性無(wú)關(guān)D.style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-height:150%”>.4脅i］向量組線性無(wú)關(guān)在下列矩陣中，可逆的是（ ]q10、2201000、011b2L勺00、111?C.V10”勺00、0100D."°426、設(shè)/、5是〃階方陣，則K為用=|（亞）4|=萬(wàn)⑷|鞏（（jaJ@B.x“設(shè)4,B為”階方陣，則H+5TI+網(wǎng)OA.V@B.x28、設(shè)向量組勺，叼，…人的秩為萬(wàn)則—-A.a/⑥B.x_Q若/與5相似，^\A-/￡=B-/￡.QaJ@B.xTOC\o"1-5"\h\z30、方陣/可對(duì)角化的充要條件是.4有〃個(gè)不同的特征值.（ ）?A.y-B.x31、若向量組?,ai,as,G中姓，m,cu線性相關(guān)，貝ijai,a：,03,a,線性相關(guān).（ ）€）B.x設(shè).4、方為同階方陣，則必有0+初/-而=--嚴(yán)（ ）32、@B.k33、若”階方陣./=￡?,貝k4=E或4=-E （ ）k.J?B.x3/若線性方程組4t=0有非零解，則。=0有無(wú)窮多個(gè)解.（ ）⑥AJB.x35、設(shè)3階方陣.4=(ai,g,as),且固=2,則B=(-2ai+3m, 可逆.( )?AJOb.x36、若4r=6(b#0)有無(wú)窮多解，則4r=0也有無(wú)窮多解 ( )⑥A.J-B.x-11TOC\o"1-5"\h\z設(shè)4=1 1,則二次型/(XI,功=24T是負(fù)定的一 ( )3/\ —L?AJ(JB.X若名,久,…,科為線性方程組擊=0的基礎(chǔ)解系，則與％/2,小等價(jià)的向量組也為38、 此線性方程組的基礎(chǔ)解系. ( )?>A.a/Ob.x4 i39設(shè)a=2是矩陣.4的特征值，則尤=：是矩陣的特征值.( )@AJOb.x設(shè)4、5為兩個(gè)不可逆的同階方陣，則⑶=網(wǎng)( )⑥AJOB.x轉(zhuǎn)置運(yùn)算不改變方陣的行列式、秩和特征值. ( )⑥AJ若=0只有零解，則/r=b?b豐0)有唯一解.?AJOB.x43、已知4、5為〃階方陣，貝=-A.a/<?B.xTOC\o"1-5"\h\z44、若”階方陣45都可逆，則/+6與H5也都可逆.（ ）QaJ（&B.x設(shè)”階實(shí)矩陣z=（%）?“,44…4,是它的“個(gè)實(shí)特征值，則有45 4%…4=14L （ ）與AJOB.x如果〃維向量組勺,外,外,對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)I上2,招，總有46、占用+左2々2 成立,則向量組勺,火,々3線性無(wú)關(guān) （ ）⑥AJOB.x47、設(shè)4、5為mx”矩陣，目尺0）=五（力，則存在可逆矩陣P、Q,使P4Q=A（ ）@AJ

.B.x48、設(shè)』、防〃階方陣，且IB=0,但⑷*0,則5=0. （ ）@AJOb.x49、若.4可逆，則.4的伴隨矩陣449、⑥AJCB.x

50、方陣43abla一定不可逆?OaJ<&B.x0n2123勾3anan93已知3階行列式24r214a口6a23=6,則a：la21a23=(3a316a329a33a3la31a33)-1731忑b1V3-2一V6a/721A1幣1一76772g為正父矩陣，則a=( ),*=( ).已知a=(l,2,3),則=53、f123]246、369,54、設(shè)三階方陣a的三個(gè)特征值為1,2,3,則區(qū)+￡]=( ).24(2設(shè)三階方陣，4=0(2設(shè)三階方陣，4=0x、0200、可逆，則匕N應(yīng)滿足條件(3xh2y3xh2y3矩陣"3矩陣"-156、L102所對(duì)應(yīng)的二次型是（223x{-2巧巧+2xjX3+4x2x3+2xfA-2x2+3x3=-1若線性方程組＜ 2x?-否=2無(wú)解，則2=( )Ax3=之+20已知占=0,士=［是3元非齊次線性方程組.公=b的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)開次線性方程組4r=0有一個(gè)非零解向量廣58、 （159、fl若矩陣59、fl若矩陣.4=110k0是正定矩陣，則上滿足（0段.4為3階方陣，且|4|=-2,4?是.4的伴隨矩陣，貝lj|44"+/|=( )-4"102)N為5x3矩陣,滅(4)=3,5=020,貝i"(AB)=( )10。3,

向量組(H)：勺42,…,a,與向量組(5):從/力…等價(jià)，且向量組(.4農(nóng)戔性無(wú)關(guān)，則r與TOC\o"1-5"\h\zs的大小關(guān)系是( ).7] /I) T、）.設(shè)向量組勺=1，=一2,%=1線性相關(guān)>則數(shù)”(）.Lv 11) 1-2,3設(shè)4為3階方陣，且［41=一2,4?是.4的伴隨矩陣，則|44"+4*卜( ).-4T-1n設(shè).4=2 4a,且4的特征值為4=6.& =2如果.4有屬于特征值2的兩1-3-35)65、個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，貝必=( ).p2009]101J設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣/的特征值為1,2,它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為%=則數(shù)k=(設(shè),4=31，%,々3），5=（。1+%+%，。1+2%+4%，。1+3%+9々3）,且⑷T,則\B\TOC\o"1-5"\h\z68、=（ ）?2_ I一次型作bX2,⑼n（Xl?X2）2+S-X3）?的矩陣/= .T-10、—12—1.、o-i L70、設(shè)線性方程組￡r=0,.4是45階矩陣，如果火(，)=3,則其解空間的維數(shù)為( ).2設(shè)46為同階可逆矩陣，則=| )72、設(shè)a與倜內(nèi)積(a,m=2,|同|=2,則內(nèi)積(2a+.,/)=().-8向量組，=(L2,3,4),a,=(2,3,4,5),%=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7)的秩為73、( )?274、設(shè)/灑足3E-4?/=0,則/"M( ).-(A-E).(] 、-1設(shè)三階方陣/的特征值為1,2,-1,貝的特征值為( )75、 12 )-1,-2,1已知4=；::,求其特征值與特征向量.76、Solution令|Z-AE|=-A-17 11-z=(3-zXH-A)+7=A2-14A+40=(2-4Xa-10)=0,得/的特征值為尤=4〃Solution令|Z-AE|=-A-17 11-z=(3-zXH-A)+7=A2-14A+40=(2-4Xa-10)=0,得/的特征值為尤=4〃=10.當(dāng)/=4時(shí)，齊次線性方程組G4-4E)x=的基礎(chǔ)解系為(二)，于是對(duì)應(yīng)于2=4的特征向量為同二)，面x0.當(dāng)/=10時(shí)，齊次線性方程組(4-10E)x=(3；10的基礎(chǔ)解系C)4oo…oaaxb200 0計(jì)算行列式0a2b3…0 0::.....77、0 0 0 -4*1bn為11J,于是對(duì)應(yīng)于x=10的特征向量為kzSolution將所給行列式按第1行展開，有“00…0anal b2 ° …?！? a2 b3 — 0 00 0 0 …—bnb. 0b2a200-- 0b3- 0o0%=b向…4+(-1嚴(yán)。四2…4-X1+X2當(dāng)X1+X2當(dāng)a,匕為何值時(shí)，方程組， 孫*X3=1-X3=l 有無(wú)窮多解"并求出其結(jié)構(gòu)