生醫(yī)-高數(shù)xd9-6隱函數(shù)微分法

第九章第六節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)三、全微分法35-1本節(jié)

:方程（組）在什么條件下才能確定隱函數(shù).在方程（組）能確定隱函數(shù)時,

研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)公式問題

.35-2一、由一個方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式定理1.（隱函數(shù)存在定理Ⅰ）設(shè)函數(shù) 滿足：②

F

(x0

,

y0

)

0;則方程單值連續(xù)函數(shù)以及恒等式d

x

Fy(x,

y)③

Fy(x0

,

y0

)

0的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個①在點P(x0

,y0

)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);滿足d

x并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)d

y

Fx(x,

y)

,

簡記為

d

y

Fx

.Fy35-3兩邊對x求導(dǎo)d

y

Fxd

xFy在的某鄰域內(nèi)Fy

0則定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：Fxy35-4若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),則還有二階導(dǎo)數(shù):

FxFyxyd

2

y

2yF

2

Fxx

Fy

Fyx

FxyF

3Fxx

Fy

2

2Fxy

Fx

Fy

Fy

y

Fx

2

yF

2

Fx

y

y( )

(

x

)

y

Fydx

x

FyFx

F

d

ydx35-5例1.驗證方程可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)d

y

d

2

ydx

x

0

,

dx2

x

0在點(0,0)某鄰域并求解1:

令

F

(x,

y)

sin

y

ex

xy

1,

則①

F

exx②

F

(0,0③

Fy(0,

0)

1

0由定理1

可知,

在導(dǎo)的隱函數(shù)y

y,F

cos

y

x

連續(xù),的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且35-6dx

x

0d

yx

0Fy

Fx

ex

ycos

y

xx

0,

y

0x

0dx2d

2

y)dx

cos

y

x

d

(ex

y(

cos

y

x

)2

3xy

y

(

ex

y)(cos

y

x)

(ex

y)(sin

y

y

1)35-7y

x

0

3x

0dx2d

2

ysin

y

ex

xy

1

0,

y

y(x)兩邊對x

求導(dǎo)兩邊再對x

求導(dǎo)

sin

y

(

y)2

cos

y

y令

x

=

0

,

注意此時

y

0

,

y

1cos

y

x

(0,0)

ex

y解2：利用隱函數(shù)求導(dǎo)法35-8

z

Fx

,

z

FyFzFz

x

y的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),③

Fz(x0,

y0

,

z0

)

0.在點定一個單值連續(xù)函數(shù)以及①在點②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

0;則方程定理2.（隱函數(shù)存在定理Ⅱ）若函數(shù)F

(x,y,z)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確,

滿足并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)35-9F

(x,

y

,

f

(x

,

y

)

)

0兩邊對x求偏導(dǎo)x

zxz

z

F

xF

Fz

y同理可得

z

Fy定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:則xF

F

z

0Fzxy在的某鄰域內(nèi)Fz

035-10例2.

設(shè)

x2

y

2

z

2

4z

0,

（

z

）2，2求

z

.x2解1：

利用公式設(shè)則F

(x,

y,

z)

x2

y2

z2

4zFx

z

Fx

Fz

x兩邊對x求偏導(dǎo)得x

2

z

(

)2

2

z

xx3(2

z)2

x2(2

z)xxz

2 2

zFz

2z

4

0,35-11解法2

利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)2x

2z

z

4

z

0,

x

x再對x求偏導(dǎo)得z

xx

2

z2

4

2

0x

2

z2(x)1

zx2對

y2

z2

4z

0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)35-12F

x

Fz

z

x

z例3.

設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),已知解：利用公式.確定的隱函數(shù)，F(xiàn)y

Fz

y

x

F1

y

F2z

F

z

2

x

F1

y

F2z

F

1

dz

z

dx

z

d

y

x

yzF1

1z

21

2)

y

z

2F

(

x

)

F

(F2

1(F1dx

F2d

y)zx

F1

y

F2F1

(

x

)

F2

(

y

)z

2

z

2故35-13二、由方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即G(x,

y,u,

v)

0v

v(x,

y)F

(x,

y,u,

v)

0

u

u(x,

y)由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式(u,

v)J

(F

,G)

Fu

FvGu

Gv稱為F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.x,y取定值，可確定u,v35-14②

F

(x0

,

y0

,u0

,

v0

)

0,

G(x0

,

y0

,u0

,

v0

)

0;定理3.

設(shè)函數(shù)①在點導(dǎo)數(shù)；滿足:的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏③

J

(F

,G)

0PP

(u,v)則方程組

F

(x,

y,

u,

v)

0,

G

(x,

y,

u,

v)

0

在點(x0

,

y0

)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件

u0

u(x0

,

y0

),v0

v(x0

,

y0

)的單值連續(xù)函數(shù)

u

u(x,

y),

v

v(x,

y),

且有偏導(dǎo)數(shù)公式

:35-15u

1

(F

,G)x

J

(

x,

v

)u

1

(F

,

G)

y

J

(

y,

v

)v

1

(F

,

G)定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式見下頁

y J

(

u

,

y

)x J

(

u,

x

)

v

1

(F

,

G)J

(F,G)(u,v)先介紹二元線性代數(shù)方程組解的公式35-16G(x,

y,u,

v)

0設(shè)方程組

F

(x,

y,

u,

v)

0

有隱函數(shù)組則

0,故得FvGu

Gv這是關(guān)于u

,

v

的線性方程組,

在點P

的某鄰域內(nèi)x

x系數(shù)行列式

J

Fu兩邊對

x

求導(dǎo)得

uvxxuxGx

Gu

xvx

uF

Fv

F

0v

G

035-17同樣可得

uxx

u

1

(F

,

G)

y J

(

y

,

v

)

v

1

(F

,

G)

y J

(

u

,

y

)Fx

FvGx

GvFu

FvGu

Gv1

1

(F,G)J

(

x,

v

)FxGxFu

FvGu

Gv

v

1

FuGu

1

(F,G)J

(u,

x

)35-18例4.設(shè)

x

y

x

yx

u

y

v

0,

y

u

x

v

1,求u

,u

,v

,v

.分析：若令

F

x

u

y

v

,

G

y

u

x

v

1,

則并可用定理3中的計算公式求出

u

,

u

,

v

,

v

.x

y

x

y但由于計算公式較難記，一般情況下，可采用公式推導(dǎo)過程來解.(F,

G)

x

y

x2

y2

0.

((u,

v

)

y

xy

u

x

v

1)故由

x

u

y

v

0

,

y

u

x

v

1,

可確定隱函數(shù)u

u(x,

y),

v

v(x,

y),35-19解得y

u

x

v

u

y

yx

u

y

v

v

y

yx

u

y

v

0

,

y

u

x

v

1,x2

y2

u

yu

xv

y

v

xu

yv

y

x2

y2x2

u

x

u

yv

x

y2

v

xv

yux2

y2同理，在方程組兩邊對

y求偏導(dǎo)，并整理得

x

解:在方程組兩邊對x

求偏導(dǎo)，并整理得y

u

x

v

v

解得x

xx

u

y

v

ux

x35-20例5.設(shè)函數(shù)在點(u,v)的某1)證明函數(shù)組(x,

y)的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組2)求對x,y

的偏導(dǎo)數(shù).鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且J

(x,y

)

0.

(

u,

v

)在與點(u,v)對應(yīng)的點35-21則有

(F

,

G)

(

x,

y

)

J

0,

(

u,

v

)

(

u,

v

)由定理3可知結(jié)論1)成立.2)解:

1)

令

F

(x,

y,

u,

v)

x

x

(u,

v)

0G(x,

y,

u,

v)

y

y

(u,

v)

01

u

1

(F,

G)

10

x

v

1

y

,

同理，

yJ

v

xJ

vJ

(x,

v)

v

1

y

,

x

J

u

u

1

x

,

y J

v

v

1

x

.

y

J

u35-22定理4.（隱函數(shù)存在定理Ⅳ）②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

0

,

G(x0

,

y0

,

z0

)

0;設(shè)函數(shù)①在點滿足:的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；③

(F

,

G)0確定兩個滿足

y0

y(x0

)

,

z0

z(x0

)

的單值可導(dǎo)函數(shù)y

y

(x),z

z

(x),

使得0

0(

y,

z

)MG

(

x,

y,

z

)

0則方程組

F

(

x,

y

,

z

)

0在點

x

的某一鄰域內(nèi)可唯一35-23dxdx

(F

,

G)

(

y,

z

)(F

,

G)(

y,

z

)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:

(F

,

G)

(F

,

G)d

y

(

x,

z

)

,

d

z

(

y,

x

)F

(x,

y(x),

z(x))

0,

G(x,

y(x),

z(x))

0.（證明從略）35-24z

x2

y2

,x2

2

y2

3z2

15,例6.設(shè),dy

dzdx

dx．求解法1：記時，則當(dāng)

J

(F,G)

4

y

6

4

y(1(

y,

z)(F

,

G)d

y

(x,

z)dxJ(F

,G)dx2x4

y(1

3z

x(1

6z)

,2

y(1

3z)dz

(

y,

x)J2

y

2x2x

4

y4

y(1

3z).35-251

3zx兩邊關(guān)于x

求導(dǎo)，有dy

dzdx

dx

dz

2x

2

y

dy

,

dx

dx2x

4

y

6z

0,dy

x(1

6z)

,dx

2

y(1

3z).dx

1

3zdz

x則當(dāng)y(1

3z)

0

時，解得解法2：分別在35-26三、全微分法全微分法就是利用全微分形式不變性，在多元復(fù)合函數(shù)或隱函數(shù)（組）方程的兩邊，同時求全微分，再根據(jù)全微分與（偏）導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求出多元復(fù)合函數(shù)以及隱函數(shù)（組）的（偏）導(dǎo)數(shù)或（全）微分.特別是當(dāng)變量關(guān)系圖比較復(fù)雜，甚至畫不出時，利用全微分法可以非常方便地求出多元復(fù)合函數(shù)以及隱函數(shù)（組）的（偏）導(dǎo)數(shù)或（全）微分.35-27例7.利用全微分法又解例3.解：

在方程 兩邊求微分:1F

z2z

d

x

x

d

z

()z

2xF1

yF2

dz

F1dx

F2

d

yzd

(

)xz2z

F

d

(

y

)

01F

所以(F1dx

F2d

y)zx

F1

y

F2dz

z2zd

y

y

d

z()2

F

035-28內(nèi)容小結(jié)隱函數(shù)(組)存在定理隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.代公式.方法2.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算;方法3.利用全微分法;35-29綜合練習(xí)1．設(shè)有三元方程xy

z

ln

y

exz

1，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點0,1,1

的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程（

）．只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z

z(x,y)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y

y(x,z)和z

z(x,y)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x

x(y,z)和z

z(x,y)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x

x(y,z)和y

y(x,z)解：令F

(x,y,z)

xy

z

ln

y

exz

1，則xF

y

e

xz

z，yF

x

zy

，

zF

ln

y

exz

x，故

Fx￠(0,1,1)

=

2

?

0

，

Fy￠(0,1,1)

=

-

1

?

0

，

Fz(0,1,1)

0

．由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x

x(y,z)和y

y(x,z)，故應(yīng)選（D）．35-302.設(shè)和是由方程所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對

x

求導(dǎo),

得(1

y)消去

y

可得y(F

xfzd

z

(

f

Fy

xf

Fzd

x35-31解法2

微分法.z

x

f

(x

y),

F

(x,

y,

z)

0對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去d

y

可得d

z

(

f

xf

)Fy

xf

Fxd

x

x

f

d

y

F2

dyFy

xf

Fzy(F

xfz35-323．設(shè)函數(shù)u

f

(x,

y,

z)

有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

z

z(x,

y)由方程

xex

yey

zez

所確定，求

du

．解法

1：在

xex

yey

zez

兩邊求微分得exdx

xexdx

yeydy

eydy

zezdz

ezdz

，故dz

1

x

ex

zdx

1

y

ey

zdy

，所以1

z

1

zdu

f

dx

f

dy

f

dzx

y

z

(

f

f

1

x

ex

z

)

dx

(

f

f

1

y

ey

z

)

dyxzyz1

z1

z．35-33解法2：設(shè)F(x,y,z)

xex

yey

zez

，則xyzF

ex

(1

x)

F

ey

(1

y)

F

ez

(1

z)，

，

，F(xiàn)zx

1

zFzy

1

zz

F

1

x

z

F

1

y從而

x

exz

，

y

ey

z

，又x

zu

f

f

zx

x

，y

zu

f