初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)幾何壓軸題

中考數(shù)學(xué)重難點題型---12道幾何探究題解析考點11a2a+=90°,”若h.”C>,乙A=60°,o;1,在Rth.ACB=,AC=4,BC=若ADBAC的平，h.D“試問在邊BC異千點，h.E？，請求出E；，請說明理由如圖2,在四邊形ABCD，AB=7,CD=12,BDj_CD, 乙ABD=2BCD,且h.求對角線的長ADABB CB圖2（l?AC，乙C>9°,A=6°,:.A=°,解得乙B=l5°.如答圖' 在t C:B＋C=9°,C=乙BD,B+2乙BAD=90°,.·.h.ABD是＂準(zhǔn)互余三角形”.:h.ABE互余三”,:．只有2乙B＋乙BAE=90°.B++L=90°,＝..:乙C=乙C=90°,.. E6 ,上2=·.E=1，．.5-

195 5 5

i二（，、、/、 ，，，2l圖Y2l圖B如2,將LBCDBC翻折得到LB:.CF=CD=乙BCF=LBCD, LCBF=LCBD.ABD=,CBD=90°,D+C+=18°,,,F共線，A乙ACF90°,乙紛:．只有2乙B＋=9°,＝乙F=乙F,FCB(./)FAC,FB·FA,FB=x，則有x(x+7)=氣:.x=9或x=-1舍去，占F=7+9=16,在t F中，C= 開2= 162+1笠＝2.一副三角尺按圖1DFAB,與AC相交千點G,BC=23cm.求；如圖2,將'6.DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過點C,另一直角邊DEACH,H,CAB的垂線，垂足分別為M,N,，猜想MDND(2)叢DEFDB方向平移得到D'E'F'，當(dāng)D'E(1)中的點G時，請直接寫出DD'的長度ADlvf ADlvf D NE

E

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-7FII，IBEB圖l 圖2

D(H)(K)圖3在.C中，？C=23，B=6°,.'.AC=BC-tan60°=6,AB=2BC=43,在中，AG= AD=4,cos30°:.CG=AC-AG=6-4=2.結(jié)論：DM +DN=23.M上B,N上B,:.乙皿＝乙DMH=乙CND=立 A＋B=90°,BCN=90°,氮:.A=BCN,cf.兇CBN, 氮同理可：6 DHM(f.)6

CN BNDN=CN＠MH DM0＠=,:＝BNAM DN'．.M ．.D ＝ AM

＝AM DN·:AD=BD, :.AM=DN,r，1勹IIr，1勹III))H)D'.E第2題答圖(3)如答圖，作GK//DE交AB千K在＾AGK中，AG=GK=4, 乙A＝乙GKD=作上AB于H.則AH=AG·cos30°=23,可得AK=2AH=43,此時K與B重合:.DD'=DB=23.考點2四邊形幾何探究3我們定義：有一 組鄰角相 等且對角線 相等的凸四邊形叫做鄰 對等四邊概念理解我們所學(xué)過的特殊四邊形中的鄰對等四邊形是矩形或正方形；性質(zhì)探究I中，乙乙DCB,AC=DB,求證:LBAC與乙CDB互補；拓展應(yīng)用2,ABCD中BCD=乙B,AC=BC=5,AB=6,CD=4在BC的延長線上是否存在一點E,使得四邊形ABED為鄰對等四邊形？如果存在，求出 DE的長；如 果不存，說明理由A,DBcBCBcB圖l 圖2解：矩形 或正 方形證明：如 答圖I' 延長CD至E,使CE=BA,連接BE.AB=EC,6ABC6ECB中，t ABC＝乙ECB,C=CB,:.L竺L(,).".BE=CA,乙BAC＝乙E.·:AC=DB,.".BD=BE,E,E＝CDBl80°，即乙AE互補AE＼E＼、＼、c2＼E＼、＼、c2圖＼cB解：存這樣一點E，使得四 邊形ABED 為鄰對等四邊形，如答圖2,在BC的延長線上取一點E,使得CE=CD=4,DE,AE,BD,ABED為鄰對等四邊形理由如下：·:cE=CD,乙=．D=2L,:.LABCLDEB,兇6 ACEBCD，『二 乙BCD,CE=CD,:.6ACE竺6BCD(SAS),.·.BD=AE,四邊形ABED為鄰對等四邊形A乙D,:.DEC,.B

· 24C 5 E .

DE=.5Dc4ABCD繞點A<a<AEFGDccBAB,GcBAB如圖，當(dāng)點 E在BD上時求：FD=CD;aGC=GB?AEF=LDAB90°,EF=BC=AD,:.乙AEB=乙ABE.·:LABB＋乙EDA=90°=LAEB＋乙DEF,=L:DE=ED,:.LAED竺L.DF=AE,AE=AB=CD, :.(2)當(dāng)GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：句點G在AD右側(cè)，如答圖取BC的中點H,連接GH交AD千M,:oc=,:.上,M，:.AM=BH:.AM=BH:AD=:AG,2 2:.GM垂直平分AD,:.GD=GA=DA,:.h,G，=6°,a=6°;ByCDByCDLFE圖1 圖2當(dāng)點GAD2,同6.ADG三DAG=60°,旋轉(zhuǎn)角u=6°6°=0.綜上，a為60°或300°時，GC=GB如圖1,邊長為4的正方形D，點E在B（不與點,B，點F在BC邊上（不與點B,C重合）第一次操作：將線段EF繞點FEG;第二次操作：將線FG繞點GFH;依此操作下去．26EF的長；(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH?請判斷四邊形EFGHAEBFAE=BF＠以?中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x,EFGHy,求y與xAAA的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍AAAB C 圖1

F B----Y C圖2 備用圖解：（l如題圖2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知F=F=,則6.F為等邊三角形RtL'-CDF中，

PE=DF,占Rth.ADE蘭Rth.CDF(HL)..'.AE=CF.設(shè)AE=CF=x,則BE=BF=4-x:.h.BEF為等腰直角三角形.'.2BF=2(4-x)..'.DE=DF=EF= 在h.中，由勾股定理得2+D2=,即x2+42=[2(-x氣解得Xt43,x2=8+43舍去）．.·.EF=2(4-x)=46-4 DEF的形狀為等邊三角形，EF的長為4 6-4 2.DA JIDEGCl｀GCl第5題答圖EFGHAE=BF理由如下：依題 意畫出圖 形，如答圖所，連接 EM.

FH,作HN上BC千N,GM上AB于由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE,二四邊形EFGH 是菱形，由蘭叢EG=:．四邊形EFGH的形狀為正方形，:.乙HEF=90°..:乙1+乙2=90°,:乙3+L.490°,

乙2十乙3_乙2十乙3=_

:.乙l=乙3.:.乙2=乙＿：叢AEH竺叢BFE(ASA), :.AE=BF.，易證6 AEH,叢BFE,叢CGF,叢DHG均為全等三角形，.·.BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.:.y=S.iE方形co-4S61-1=4x4-4x·x·(4-x)=灶－8x+I6, .y=22-8x+16(0<x<4).·:y=2灶－8x+16=2(x-2)2+8,:．x2y取得最小值8x=O4時y=l6:.y<l6.6提出問 題如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點P是線段AD邊上的一動點（不與端點, D重合，連接,過點P作上C交B千點,在點P的運動過程中，圖中各角和線段之間是否存在某種關(guān)系和規(guī)律？特殊求解當(dāng)點E為AB的中點，且AP>AE時，求證：PE=PC深入探究當(dāng)點P在AD上運動時，對應(yīng)的點E也隨之在AB上運動，求整個運動過程中DADAE BBE的取值范圍DADAE BcBc備用圖cBc解：特殊求解? PE上PC,乙APE+L.DPC=.:乙D=90°,:.乙DPC＋乙DCP=90°.乙APE=?:乙A＝乙D=90°,.66 P, ._:_=DC DP設(shè)AP=x,則有DP=3-x.而AE=BE=l,:.x(3-x)=2xl,解得x1=2,x2=l.·:AP>AE, :.AP=2,AE=PD=1,:.6APE蘭6DCP,:.PE=PC.深入探究設(shè)AP=x,AE=y，由AP·DP=AE·DC,可得x(3-x)=2y....yx(-)=-lx+X=-(X92 2 2 2 2 8時，：在x<3范圍內(nèi)，當(dāng) x=3 y 9時，最大＝2 8＝，？當(dāng)AE=y取得最大值時，BE取得最小值為2-9 7＝，8 8:.BE的取值圍為 8已知兇OAB,L..OAB=90°,乙AB0=30°,斜邊OB=4,將0AB繞點0順時針旋轉(zhuǎn)如圖 1, 連接 BC(1)填空：乙OBC＝延；(1,AC,,垂足為P,OP的長度；(3)如圖 2, 點 M, N同時從點 0 出發(fā)，6 0CB邊上運動，M沿o c B路徑勻速運，N沿o B c路勻速運動，當(dāng)兩點相遇時運停止，已知點1.5秒，點N的運動速度為1xA的面積為y,當(dāng)x為何值y取得最大值．cCBcAA 0A圖1OB==

A 0備用圖cDOBCcBA第7題答圖lAl，-.·oB=4,乙AB0=30°,1OA=OB=2,2AB= 30A=23,:·OA 1 .sc= x2x:·OA 2 2·:!:::.BOC是等邊三角形，:．乙OBC=60°，乙ABC＝乙ABO＋乙OBC=90°,:.AC= AB2+2\r(3) 2+42=27,2SC_43_2 21:.OP=

＝ ＝ ．AcBAC 27 7AcB

第7題答圖28O<x::;M在ocN在OBN作NE上oc83且交oc于點如答圖2,3則NE==_Jx,2l l 3:.0MN=:·O:x1.5xx_x,2 2 2:.y=33x2,

x 8 y 83ccMA 0M第7題答圖38<x54時，M在BCNOB上運動如答圖3,3MH上OB于

3BM=8-MH== 2

1.5x),:.y=lxQNxMH=－33 23x.2 8當(dāng)x 8 83＝時，y取得最大值，最大值為c3 3cGMGMA第7題答圖4＠當(dāng)4<4.8時，M,N都在BC上運，作 OG上BC千G如答圖MN=l2-OG=AB=23,1 53·y=OG=123- x,2 2當(dāng)x=4y有最大值，23.

83有最大值，最大值為38在菱形ABCD中，乙ABC=60°,點P是射線BD上一動，以AP為邊向右側(cè)作6 點E的位置著點P的位置變化而變化．如圖當(dāng)點 E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上，連接BP與CE的數(shù)量關(guān)系是PB=CE與AD的位置關(guān)系是CEJ_AD;當(dāng)點E在菱形D外部時，l)中的結(jié)論 是還立若請予證明若不成，請說明理由（ 選擇圖2,圖3中的一種況予證或說理；如圖 4,當(dāng)點 P在線段BD的延長上，連接若AB=23,BE=2求四邊形ADPE的面積c圖4AA A E E c圖4A/B、.,－,,,..,. ,.、 ，

產(chǎn)pC C B圖l 圖2A

C圖3DBDC8題答圖l解PBEC,CE.lAD.理由：如答圖1中，連接AC.？四邊形ABCD是菱，乙ABC=.·.L都是等邊三角乙CBD=·:LAPE是等邊三角形，:.AB=AC,AP=AE,乙BAC＝乙PAE=60°,:.DBAP蘭DCAE,:.BP=CE,乙ABP=L.ACE=30°,延長ADH,·:LCAH=60°,:.乙CAR+乙ACH=90°,=即AD.DB,(、DB圖2第8題答圖2結(jié)論仍然成立理由：如 答圖2,連接AC交BD千0,設(shè)CE交AD千？四邊形是菱' LABC=60°, :.LABC,LACD都是等邊三角形，乙ABD＝乙=飛 E是等邊三角形，．=C, P=E, 乙C=乙E=6°,:.LBAP竺LCAE,BP=CE,ABP＝ACE=30°,·;LCAH=60°,:．乙CAH+乙ACH=90°,乙AHC=90°,CE上AD.EB('圖4第8題答圖3如答圖3,BD0,CEADH,由(2)可知EC上AD,CE=BP,在菱形ABCD中，ADI/BC,.'.BC.'.'BC=AB=23,BE=219,:．叢BCE中，EC= 2\r(19) 2- 2\r(3) 2=8,.'.BP=CE=8.?AC與BD是菱形的對角線，D

I乙ABC=30°,AC上BD,2.·.BD=2BO=2AB·cos30°=6,OA=AB=3,DP=BP-BD=S-6=2,2:.OP=OD+DP=5,在Rt AOP中，AP= 吁OP2=27,:.s四邊形

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十 3x(27)2=83.E=6P+6P=+_,·2= x2x32 4 2 4考點3三角形、四邊形混合幾何探究9我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為中垂三角形”1'2,3AF,BE是D.ABCBE,P,像設(shè)BC=a,AC=b,AB=c特例探索如圖當(dāng)ABE=45°,c=2心時，5,b=2 如圖當(dāng)乙=30°,c=4時，a＝2旦，b＝2工歸納證明猜想abc2并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式拓展應(yīng)用如圖4,中，點E,F, G分別是AD,BC,的中點，上EG,AD,AB=3,AF的長圖1 圖2 圖3 圖4解1)·;F上，乙E=4°,---'!...:'.:.P=P= B=.---'!...:'.2·:AF,BE是 ABC的中線，扭 FIIAB,EF= AB=-{2,2:.LLPEF=:.PE=PF=1.在Rt FPB和叢PEA中，AE=BF={尸；＝ ':.C=C=森==2 .如答圖連接EF.同理可得EF=1x4=2.2·;EF//AB,:.6 PBA,．.F＝E＝F AP PB 在Rt ABP中，AB=4,乙ABP=30°,:.P=2,B=F=l,歸在Rt APE和Rt 中，AE＝寸，BF=-)13,:.a=213,b=2 7.猜想：a氣護證明如下如答圖 2, 連接 EF設(shè)乙ABP=a,:.AP=csinu,PB=ccosu,

1PA=

csma l,

ccosa，2 2 2 2:.AE2=AP2+PE2=c2sin2a+c2cos2a，4BF2=PB2+PF2=c2cos2a+C2Sl·n2a，4b c2sa a 2a 2.

2=

c

（2=

+c2cos2a,2 4 2 4．＋.a2 護 c2sin．＋

c,2,s.in,2,a+,c-cos2-a，4.'.a2+b2=5c2.DEB（．.B圖1 圖2 DEB（．.B3,連接AC,EFH,ACBE交千點Q,BEAF的交點P.？點,G分別是,DGii'.'BE上EG, .'.BE上AC.？四邊形DD/C,2'.'E,F分別是AD,BC的中點，l l:·AE= AD,BF=2 2.".AE=BF=CF=5.2·:AEIIBF,FE扭 F=AB=3,AP=PF.FCH,在LAEHLCFHAHE==CF,:A竺D,.".H=H, .".P,H分別DE的中由(2)的結(jié)論得AF2+EF2=5AE2,.".AF2=5( 5)2-EF2=16, .".AF=4或連接FAB的中點M,MF垂直BP,構(gòu)造”，AB3,1BC=AD= (2)210!::,.ABCAB繞點Aa(0<a<得到AB'，把AC繞點AAC'當(dāng)ap=我們稱叢AB'C'!::,.ABC的旋補三角“心AB'C'邊B'C'上的中線AD叢ABC的旋補中線，點A”.特例感知2,3l::,.AB'C'!::,.ABC的旋補三角形”,AD!::,.ABC中'2,!::,.ABCADBC

1AD=-BC;2＠如圖3,當(dāng)乙BAC=90°,BC=8時，則AD長為1.猜想論證在圖1中，6 為任三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明拓展應(yīng)用如圖4,在四邊形ABCD, LC=D=150°,BC=12,CD=2,DA=6在四邊形內(nèi)部是存在點,6 C6B的旋補三角形？ 若存在給證，并求^的旋補中線＇；若 不存，說明理由cC'B' C'cBBcBC B C ABBcB圖l 圖2 圖3 圖4解：（l)(D·:LABC是等邊三角形，:.AB=BC=AC=AB'=AC'.·:DB'=DC',:.AD上B'C'.=6°,＋'=8°,'=l2°,＝'=°,:.=:'=:2 2L:.LB'AC'＝乙BAC=90°.._.AB=AB',AC=AC',:.l:::.BAC竺l:::.B'AC',:.BC=B'C'.._.DC',,'.AD= 2 2BC.2證明如下：如答圖1,延長AD到M,使得AD=DM,連接B'M,C'M._.=,=,'==M,l\II\、C'BCB第10題答圖1立+LAB'M:.乙BAC＝乙MB'A.·:AB=AB',蘭D:.BC=AM,:.AD=BC.2如答圖2,延長ADM,作于E,作線段BCBEP,BCF,PA,PD,PC,作PN,B＿＿＿P/／夕-＼I＼B＿＿＿P/／夕-＼I＼7－、--N．連接DF交PC千0=15°,1YIDC=30°.在DCM中，CD=23,90°,乙MDC=30°,:.CM=2,DM=4,乙M=60°.在

=90°,BM=14，MBE=30°,:.EMl7,DE2=EM-DM=3.·:AD=6,:.PA=PD,

AEDE.._.BE上AD,PB=PC.在t 中，CD=23,:.CDF= 3,:.CDF=60°＝乙CPF,易證FCP6 :.CD=PF.._.．＼CDPF是矩形，:.乙CDP=＝－=6°,LADP乙ADP60°.=乙CPF=

:.乙BPC=l20°,C、C、I.L+=18I:PDC6 PAB的旋補三角”在PDN，PDN=,PD=AD=6,DN=3,:.DN2+PD2=\r(3) 2十爐＝39.考點4 多邊形幾何探究.n邊形繞點A60°0，連接O,我們稱O；“O點A60°P,連接PO,OAB為疊”,6AOP【探究證明】請在圖1和圖2中選擇其中一個證：＂疊弦三角是等邊三角形如圖2,求證乙;【歸納猜想】圖l、圖2中的疊的度數(shù)分別為＄；圖n＂是等邊三角形；(5)圖n＂60°180nA勹（）AB'圖1(n=4)

.（n的式子表示）DI'言 cII,,, 、A-_＿＿- D'B'圖2(n=5)（f D

EP,,--FI,;

＾....、II1三 ')D'B' C'圖3(n=6)ABCD是正方形，

、

、DE'D'由旋轉(zhuǎn)知，AD=AD'，乙D＝乙D'=90°,乙DAD'＝乙OAP=60°,:．DAP=LD'AO,6 APD6 AOD'(ASA),二AP=AO.．P=6°, .6 P是等邊三角形；義勹壞 ＼、、、 ,cAI`n'\`\，/ -,、n'B'第11題答圖如答圖，作AM_j_DE 千M，作 AN_j_CB千了五邊形ABCDE是正五邊形，由旋轉(zhuǎn)知，AE=AE', LE＝E'=108°,EAE'=LOAP=60°,:.乙EAP＝乙E'AO.在Rt叢AEM和RtL:.ABN中，乙AEM＝乙ABN=72°,AE=AB,:.Rt叢AEM竺RtL:.ABN(AAS),M=,在RtL:.APM和RtL:.AON中，AP=AO,AM=AN,:.R邑APM蘭Rt心AON(HL),=,E＝乙,:.L.OAE'＝乙OAB.由LLAOD',在兇O和O中，

D'＝A,BAO=AO,:.RtLAD'O竺Rt叢ABO(HL),.由旋轉(zhuǎn)得，／DA