數學-高數強化講義附錄全

考研高等主講：汪誠附錄一、微分學在經濟方面的應12400150元，每年庫存費為成本的6%，而每次訂貨費為100元。試求每批訂貨量為多少時，方使每月庫存費和訂貨費x，每公斤庫存費為1500.06 存費為1500.06x0.375x（元 2400100240000（元 y240000xy240000xy0x0 x0

x0800x0800yx8006008006002．某商品的成本每件3元，若另售價定為每件4元可賣出120件，如果每件售價減少0.120件，試求該商品每件售價定為多少時，方可獲得最大利潤？最大利潤是多少？xp元/Lp3xx120

204于是x920200pLp3920200LL

p21520p3.8

60，L

L400p3.8（元）L128（元）3p時，售出商品數量為Q

pb其中a,bcabcpp應取何值？最大銷售額是多少？（1）R，則 RpQ cpaR0a

R

abcpp cp0c

ab a

bc0bc當0pbc

aa當p

bcR0pa（2）由（1）可知，當p bac

bc時，銷售額R取得最大值，最大銷售額Rmax

cacab

a bc2ac（pc

b,Q

p

c

ca4a（元/件b（元ac件（a,b,c均為正常數，且b4a市 3解：設pxLx為總利潤，那么xb

0.4c則pb

bxx

Lxb

bx

a

xLx0，得惟一駐

Lx

x34x3b4ac L為

0x0pb3b1a82 82 5b1a（元

Lx0

c

5b4a2（元例5．設某商品需求量Q是價格p的單調減少函數 p，其需求彈性 2p 192p 0R

Q1p6（1）RppQppdRQp pdQQ1

dp

pdRR

Q1pQ111

2p192p1923p192p

p61%，則總收益將增加6．設某商品的需求函數為Q1005PP0,20QdEdEdddRQ1

（1）

20（2）RPQdRQPQ Q1 Q1Ed

20

1P10當10P20時

1dR0故當10P20二、多元函數微分學在經濟方面的應用（數學三和數學四x（萬元，報紙費y（萬元）有如下關系Rx,y1514x32y8xy2x210y2如果提供的費用為1.5萬元，求相應的策略（1）LRxy1513x31y8xy2x210y2L138y4x

318x20yx3y535Lxy4444435

3

5

15

31

8

10 44

39.25

4

4當電視費與報紙費分別為0.75萬元和1.25萬元時最大利潤為39.25（萬元，（2）求費用為1.5萬元的條件下的最佳策略，即為在條件：xy1.5下Lx,y的最大值令FxyLxyx1513x31y8xy2x210y2xyFx138y4x F318x20yxy1.5x0y1.5LxyL0,1.539（萬元）為最大值2x1x2Q為產出量；若生產函數Q2xx，其中為正常數，且11解：需要在產出量2xx

12PxP

1

1 2Fx,x,PxPx122xx 1 2 11 FP2x1x1

2F2

1F122xx1

1（2，得P2

x1，

P212 12（3，得P

Px61 P

，

62P

P62P

，

P61P

，Q1c2Q其中，Q表示該產品在兩個市場的銷售總量，1（1）2

2211

12

4Q1162Q210解得Q14Q25P110（萬元／噸P27（萬元／噸因駐點4,5唯一，且實際問題一定存在最大值，故最大值必在駐點處達到，最為L242521641055

（萬元（2）若實行價格無差別策略，則P1P2，于是有約束條件226構造拉格朗 2, 令F1162F210

解得Q15Q242P1P28L25242165104549（萬元（1（2）差分和差分方程概y

fx，記yx

fxyx1

fx

yx1yx

fx1f

2yy yx2yx1yx1yxyx22yx n

n1Cn

x差分性質（i）cyxx（ii）yxzxyx fx,y,y,,ny 或gxyxyx1,yxn一階常系數線性差分方程的求解方

yx1ayxxycax

（a0常數c

yx1ayx yyca

f

（a0常數cyx為非齊次方程的特解，先根據fx形狀確定其形狀，再用待定系數法fxb（常數若a1y

A（待定常數）y

1若a1yxfxb0若a1yxA0A1（b0,b1常數

yxyxb0b1若a1yAxAx

x b fxbd

1 x若ad0，設yAdx

dd（bd為常數x若ad0，設yAxdxfxb1cosxb2sinx

ybxdxb1,b2xDcosa2sin20，yxA1cosxA2sinx， A1bcosa

sin A1bcosabsin D0，設yxxA1cosxA2sin A1b1，A2b2或A1b1，A2fx若ayAAxAxn（bn正整數） 若a1yxAAxAxn 3、典型例 2y a2齊次方程通解為C

AAxAx2

2

x3Ax25x23A223A12A23AAA A5

10，A

y5x210x

C2x5x210xx

（1）yt3，試計算y2y yt1

2求差分方程2yt16

3t（1）

yt1

t13t33t23tyt1yt2yt1t23t133t29tytt2t

yt1

6tt t t2 t t ttt 3y2 2tt 對應齊次方程通解為C3t（C為任意常數）yx1非齊次方程通解

C3t對應齊次方程2yt1

0a3，通解為

3y13t，a3，d3，bt ad0

At3t，Ab

1t3t63．設某種商品tStDtPtSt32Pt；

Dt，且當t0Pt求價格隨時間t變化的規(guī)律解：3

Dt即P3 2t a31，213P235t512 3

3對應齊次方程通解為C 2

C 又t0PP確定常數CP1 1 3

5P052 附錄（數學一和數學二的補充資料一、曲率（數學一和數學二y

fx，它在Mx,y處的曲率k

，若k0R1DR為半徑的圓周稱為曲率圓。例、ylnx（數學一和數學二

MDRDylnxy1y x

ylnxxk(x)

y''1(y')2y''1(y')23/xx

(1x2)3/k'(x)

(1x2)3/23x2(1x2)1/

12x(1x2)5/k'(x)0，在lnx的定義域(0,x

x222

2k'(x)02k(x)x

2k'(x)0k(x單調增加，故知k(xx2

2ylnx上，曲率最大的點為

2 2 二、平面曲線的弧長（數學一和數學二直角坐標設光滑曲線yyxaxb[也即yx有連續(xù)的導數b弧長S 1yxb2而dS

1yx2dx也稱為弧微極坐標設光滑曲線rrr在上有連續(xù)導數弧長S 參數方程所表曲線的弧 yt設光滑曲線C t[xt，yt在,上有連續(xù)的導數曲線C的弧長S 例1、x3y3a3的周長（a0常數xacos3tyasin3t,(0t2周長l4000

[x'(t)]2[y'(t)]2dt12a2sintcos06asin2t|2例2、求心形線ra(1cos02l

[r()]2[r'()]2d2a0

[1cos]2[sin]22a2cosd 例3、yab

aa2xb

0xba4a2x21(y')1(y')2

dx

1 (a2x2ba2x2 2a0a2x2dx0[a2x2a

|bbalnabaaaa三、繞坐標軸旋轉的旋轉曲面的面積（數學一和數學二設平面曲線C

xxSAByyxaxS2ba

1yx2rrS2r

ABxxtyyttS2yt

xt2yt2ABSxx(syy(s(0slS20l例1、求下列旋轉面的面積ysinx(0xy0xra(1cos)(a0yysin1cos21cos2S2

1y'2dx2sin

1cos2xd(cos112

1u2du401u21ln(u2

1u201u2)]0222

（2）r()a(1cosr()r(，曲線關于極軸對稱，在極軸上方ra(1cos),0S20r(a2(1cos)2a2a2(1cos)2a2sin2

r2()[r'()]2

2a2(1cos)2d(1cos

2a

2(1cos)2|05505

512coscos2sin2[注：(1cos)212coscos2sin2rra(1cos xacos3例2、求由星形線yasin3

(0t2yx旋轉一周所得旋轉體的側（表解：考慮t[4

3]，而t

2asin3t2asin3tacos3曲線上一點M(t)(x(t),y(t))它到直線yxd(t)

M(tM(tdt)一段弧長為dl [x'(t)]2[y'(t)]2dt3asintcostdt(cos2tsin2t則微元側（表）dS2d(t)dl

2a2sin3tcos3tsintcost則整個側面面積（這個問題也是表面積）S

4

sin3tcos3tsintcost23a225

（積分時，為了去掉絕對值符號還必須分成4上cost是負的

和

四、微分學的應用（數學一和數學二解：設油桶的直徑為 ，高為 ，容積為 。V

(x)2y,

A2

x2

2

xyx

xy由后一式解出y

x代入前一2Vx2(Ax)Ax

(x 求導，有VA3x2令V0 A3x2 2解得駐點x （負根舍去。又V''3x,24

2A]0,故x 是V(x)的222 2222yA222 2(3)222(3)22 2 2lr和h，使所能通過的光線最為充足。解：本題實際是求窗的面積最大時的圓半徑rhSSr22rh滿足條件lr2r2解出h1(lr2r)代入S中得S1r2r(lr2r)(0r S'(r)rl2(2)rl4)rS'(r)0

h

S（1）S(x

(ax4

4

x2ax2 2

(0x（2）S(xS4xa0x

S4

0x

S(x)

4

4唯一極小值點，它也是S(x)的最小值點。因此，當鉛絲兩段長分別為a4aa4

4

22a

yb2

標軸所圍圖形的面積為最?。╝0b0P(x0,y0)為所求的點，則可得此點處的切線方程為xx0yy2a b22x0yb22y0x21a2b2 S2

x0(0,aa2x0Saa2x0

ba22x2a2x20aaa2x20aaa得(0ax0

222aAx0222a

222ASS(222

S的極小值。因此所求之點為(

,b五、積分學的應用（數學一和數學二1yx2y4x2y軸旋轉一周構成一旋轉拋物面的容器（H圖H

2解：設水的為，圖中陰影部分的水重量yydy344 44 dW3yH4H HW 4

2yHydy

H球的為1）任取RR中的小區(qū)間xxdx相應的球體中的薄片，其重量為R2x2dx，在dWRxR2x2WRRxR2x2dxRRR2x2dx2RRR2x2dx4R ，，例3．某的形狀與大小其中直線l為對稱軸的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成。當水面與的上端相平時，欲使矩形部分承受的水壓力與下部承受的水壓力之比為5：4矩形部分的高h，應為多少m（米）？，，解：如圖建立坐標系，則拋物線的方程為yx2。矩形部分承受的水壓1P2h1gh111g21g

y222

gh2其中為水的密度，g為重力加速度。下部承受的水壓P2

1gh10

4g1h

2151554

h

215

5h24h1（舍去，故h2。 矩形部分的高應為2m34AB，其長為lMABBamN1解：建立坐標系如圖，積分變量為x，積分區(qū)間為0l，細桿在x,xdx這一段的質dMMdx，lMdx該小段對位于N處的質點的引力為dFk ， la其中kABN1lF l

dxkMm

lla

al六、微分方程的應用（數學一和數學二1、幾何方例1P(xy處的曲率等于此曲線在該點法線行y

f(xP(x,yK (1y'2)

(1y'2

（y0y

f(xP(x,yYy1(X

(y'X軸的交點Q的坐標Q(xyy',0(yy')2(yy')2y由題設K 1，

1y(1y'2),y'' , (1y'2) y(1y'2) yy''1y'2－這是不顯含x的方程，初始條件為y ypyp

ypdp1p2

1p

dpy1ln(1p2)lnyC,代入 0,得C p2y21py212 x 1 y21)(x1)C,代入y 1,得2 x 1y2y2y y21

ex1y1(ex1ex1))y21y21

e(x1)例2、(1,1Py軸的交點記作Q解：作草圖（見圖y

f(xYyy'(XPQy軸的交點Q的坐標為Q(0yMPQ的中點，坐標為2

,y

yy'1y211

MF

y|x1y2Z，則方程（*）1y21y21 Z'2Z22, Z'2ZdZ2dxlnZ2lnxlnC,Z ZC(x)x2為（**）C'(x)x222C'(x)2 x

C(x)2 x

故（**）Z2 x

C)x22x1Cx2即方程的通解為y22x1Cx2,代入初值y 1,得Cy22x例3、Lrr(，M(r,LM0(2,0L點。若極徑OM0,OMLLM0、M兩點L的方程。S1r2)d。又弧微分dS

r2r'2d21r2()d1

r2()r'()22 2兩邊對求導，即得rr4rr4r

r21

d（它與原方程等價rr2rr2rr2rr21r1r

r

r(0)2可知CLr

) 2、微分方程在物理力學方面的應1y（從海平面算起，下沉速度v，下沉過程中受到阻力和浮力，儀器質量m，體積B，海水，阻力與v成正比（比k0）y與vyyv。d2 mgBkvdt2vdyd2ydv vdt 則dy

dv，

0mgB y y

mvmmgBln k2

mgBkvmgB現有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h。經測試，傘打開m9000kg，著陸時的水平速度v0700kmh觸跑道開始計時，設t時刻飛機的滑行距離為xt，速度為vt。mdvkv dvdvdxvdv dx dxmdvk

k由于v0v0x00故得Cmv 從而xtm

vt當vt0時xtk

90007006.0所以，飛機滑行的最長距離為1.05kmmdvkv所 dvkdt k兩端積分得通解vCem，代入初始條件k

t

v0解得Cv0故vtv0em t kx vtdt 0e

k

1.05kmd2mdt

kdxd2x

dx0dt m其特征方程為2k0，解之得

0，

k故xC1C2由 0，

mkm

kC2

kt

vt

t

t

t 得

mv0kmv

kt于是xt 01emk 當txtmv0k所以，飛機滑行的最長距離為1.05km七、方向導數與梯度（數學一1、平面情zf(xy在P0(x0y0沿方向l(coscosf limf(x0tcos,y0tcos)f(x0,y0l(x0,y0

t zf(xyP0(x0y0f(x0,y0)f(x0,y0)gradf(x0,y0)

f

(x0,y0

[gradf

,

gradf(x0,y0)cos(gradf(x0,y0)?,由此可見，當l的方向與gradf

,

)的方向一致時，

|(x0,y0

為最大，這時等于gradf(x0,y0f f(x0,y0)cosf(x0,y0)cosl(x0,y0 2、空間情uf(xyzP0(x0y0z0沿方向l(coscoscosf limf(x0tcos,y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0l(x0,y0,z0

t uf(xyzP0(x0y0z0f(x0,y0,z0

f(x0,y0,z0

f(x0,y0,z0)gradf(x0,y0,z0)

f

(x0,y0,z0

[gradf

,

,

gradf(x0,y0,z0)cos(gradf(x0,y0,z0),由此可見，當lgradfgradf(x0,y0,z0

,

,

|(x0,y0,z0

f f(x0,y0,z0)cosf(x0,y0,z0)cosf(x0,y0,z0)l(x0,y0,z0 001zlnx2y2P00

,

沿與此點的等位線外法線方向上的方向導數解：等位線方程為lnx2y2lnc2x2y2P0x0,y0的外法線方向的方向余x2y x2y x2y x2y x2y zx2y x2y lx0, xx0, yx0, 2 x2y xx2y x2y

x2y2 0x2x2y

0

2 x,y x2y2x2y2 0202z1x2y2P20

,1x2y212220x2y21P20

12 222cos1，cos12211222 22

1

122因此z2l 2

1

22

22

222

2gradz22

,

2211

2,2x2y2x2y2z

,

,

處梯度的大小和方向u1 2

xu u

3 3

,3 3 03x2yx2y2z

130030

y

1z220120012002coscosgradu,i202coscosgradu,j20

cosgradu,k202八、多元函數微分法的幾何應用（數學一曲面上一點處的切平面和法Fxyz0，點x0y0z0Fxx0y0z0xx0Fyx0y0z0yy0Fzx0y0z0zz0

x Fxx0,y0,z0

y Fyx0,y0,z0

zz0Fzx0,y0,z0空間曲線上一點處的切線和法平xxtyytzzt，點x0y0z0x0xt0y0yt0z0zt0xx0xt0

yy0yt0

zzt0法平xt0xx0yt0yy0zt0zz0典型例1x22y23z221上某點的切平面的方程，要求zL:x62

y3 1 Fxyzx22y23z2210Pxy 2