指數(shù)與指數(shù)冪上課

指數(shù)與指數(shù)冪運(yùn)算1.通過(guò)實(shí)際情景認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)模擬的廣泛應(yīng)用性。2.通過(guò)復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則奠定基礎(chǔ)。3.掌握n次方根的概念、掌握根式的概念。問(wèn)題1.根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來(lái)20年我國(guó)發(fā)展前景分析》判斷，未來(lái)20年，我國(guó)GDP（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）年平均增長(zhǎng)率可望達(dá)到7.3%。那么，在2001～2020年，各年的GDP可望為2000年的多少倍？【引例1】如果把我國(guó)2000年的GDP看成一個(gè)單位，2001年為第1年，那么1年后（即2001年），我國(guó)的GDP可望為2000年的(1+7.3%)倍；2年后（即2002年），我國(guó)的GDP可望為2000年的(1+7.3%)2倍；3年后（即2003年），我國(guó)的GDP可望為2000年的

倍；(1+7.3%)34年后（即2004年），我國(guó)的GDP可望為2000年的

倍；…………設(shè)x年后我國(guó)的GDP為2000年的y倍，那么即從2000年起，x年后我國(guó)的GDP為2000年的1.073x倍。

請(qǐng)同學(xué)們思考，正整數(shù)指數(shù)冪1.073x的含義是什么？它有哪些運(yùn)算性質(zhì)？(1+7.3%)4問(wèn)題2.生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”。根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系考古學(xué)家根據(jù)（*）式可以知道，生物死亡t年后，體內(nèi)碳14含量P的值，（1）當(dāng)生物體死亡了5730年，2×5730年，3×5730年，……，它體內(nèi)碳14的含量P分別是這些值可以根據(jù)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求出，當(dāng)年份是5730的正整數(shù)倍時(shí)，這個(gè)問(wèn)題仍然可以使用正整數(shù)指數(shù)冪的知識(shí)解決。但下面的問(wèn)題（2）當(dāng)生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)的碳14的含量P分別是這里的冪指數(shù)已經(jīng)不是正整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)，這些分?jǐn)?shù)指數(shù)冪應(yīng)該如何計(jì)算呢？這就是我們下面要研究的指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算，為此先學(xué)習(xí)根式相關(guān)的知識(shí)。探究點(diǎn)1n次方根的概念在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。例如±2就是4的平方根。如果x3=a,那么x叫做a的立方根。如(-3)3=-27，-3就是-27的立方根。類(lèi)似，(±2)4=16，則±2叫做16的四次方根；25=32，則2叫做32的五次方根。n次方根的概念：一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。這時(shí)a的n次方根用符號(hào)表示。當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。正數(shù)a的正的n次方根用符合表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)表示。可以合并記為。負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，0的任何次方根都是0，記作探究點(diǎn)2根式的概念根式的概念：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).根指數(shù)

被開(kāi)方數(shù)根式

分別等于什么？一般地等于什么？根據(jù)n次方根的意義，可得歸納總結(jié)結(jié)論:an開(kāi)奇次方根,則有結(jié)論:an開(kāi)偶次方根,則有探究點(diǎn)3根式的運(yùn)算性質(zhì)公式：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)歸納總結(jié)例1求下列各式的值:（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）注意符號(hào)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根（n>1，且n∈N*）.

根式的概念：

n次方根的概念：根式的性質(zhì)：

對(duì)于任意正整數(shù)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)根指數(shù)

根式被開(kāi)方數(shù)1.結(jié)合具體例子體會(huì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過(guò)程，體會(huì)引入數(shù)學(xué)概念的過(guò)程；2.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，會(huì)根據(jù)根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；3.了解可以由有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。1.正數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）（2）（3）復(fù)習(xí)回顧2.根式的運(yùn)算性質(zhì)如果n為奇數(shù)，an的n次方根就是a，即如果n為偶數(shù)，表示an的正的n次方根，所以當(dāng)，這個(gè)方根等于a，當(dāng)a<0時(shí)，這個(gè)方根等于-a，思考1:我們?nèi)菀椎玫侥敲?，?dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式呢？如探究點(diǎn)1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：注：在上述限制條件下，根式都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定：思考1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式有何關(guān)系？提示：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種形式，它們可以互化,通常將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,方便化簡(jiǎn)與求值.思考2.在互化公式中根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)分別對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的什么位置？提示：根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)分別對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的分母與分子的位置.已知：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）（2）（3）探究點(diǎn)2有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)我們能得到有理指數(shù)冪的哪些性質(zhì)？例2求值：解：例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中a>0):分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的關(guān)系，以及有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則解決.解：例4.計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）：分析：根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義求解.解：熟記運(yùn)算性質(zhì)1.計(jì)算下列各式的值：解：【變式練習(xí)】2計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù)).解:原式=注意:結(jié)果可以用根式表示,也可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示.但同一結(jié)果中不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,并且分母中不能含有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.3.計(jì)算下列各式：解：熟記運(yùn)算性質(zhì)1.對(duì)根式的運(yùn)算，應(yīng)先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果一般用根式表示.2.既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，如果根式中根指數(shù)不同，也應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，但最后結(jié)果還應(yīng)以根式為最終形式．【提升總結(jié)】1.用根式表示下面各式（a>0)答案：2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：3.計(jì)算下列各式的值：解：