小升初競賽對接3

專題1列方程解應(yīng)用題例1一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位與十位上數(shù)字之和為9,如果把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，則所得到的新的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大9。求原來的兩位數(shù)。思路點(diǎn)撥：設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,則個(gè)位數(shù)字為9-x,這個(gè)兩位數(shù)就為10x+(9-x),新的兩位數(shù)的十位數(shù)字為(9-x),個(gè)位數(shù)字為xo新兩位數(shù)為10(9—x)+x,該題的等量關(guān)系式為：新的兩位數(shù)一原來的兩位數(shù)=9。解答：設(shè)十位上的數(shù)字為x,則個(gè)位上的數(shù)字為9—x,那么，就得到10X(9—x)+x—[10x+(9—x)]=990—10x+x—10x—9+x=981-18x=9X=4【跟蹤練習(xí)1】一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字少3,且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是這個(gè)兩位數(shù)的；,求這個(gè)兩位數(shù)。例2甲、乙兩個(gè)數(shù)，甲數(shù)X以乙數(shù)商2余17。乙數(shù)的10倍除以甲數(shù)商3余45。求甲、乙二數(shù)。思路點(diǎn)撥：被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系：被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)。如果設(shè)乙數(shù)為x,則根據(jù)甲數(shù)除以乙數(shù)商2余17,得甲數(shù)=2x+17。又根據(jù)乙數(shù)的10倍除以甲數(shù)商3余45得10x=3(2x+17)+45,列出方程。解答：設(shè)乙數(shù)為x,則甲數(shù)為2x+17,那么

10x=3(2x+17)+4510x=6x+51+454x=96X=242x+l7=2X24X17=65。答：甲數(shù)是65,乙數(shù)是24?！靖櫨毩?xí)2］被除數(shù)與除數(shù)的和是50,如果被除數(shù)與除數(shù)都減去7,那么被除數(shù)是除數(shù)的3倍，原來的被除數(shù)是o例3兄妹二人同時(shí)離家云上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即回家去取，往回走了180米和妹妹相遇。他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？思想占據(jù)：從圖2-1中可看出，如果設(shè)他們家到學(xué)校的距離為x米，那么哥哥走了(x+180)米，而妹妹走了(x-180)米。哥哥的速度是每分鐘90米,妹妹的速度是每分鐘60米，而他們同時(shí)從家中出發(fā)，所用時(shí)間相等。因此，利用關(guān)系式：時(shí)間里.可砒中方聶(x-180)米 用關(guān)系式：時(shí)間里.可砒中方聶(x-180)米 :學(xué)校180米圖27解答：設(shè)他們家離學(xué)校X米遠(yuǎn)，則x+180_x-18090=6060(x+180)=90(x-180)60x+60X180=90x-90X1803x=15X180x=900答：他們家離學(xué)校900米?！靖櫨毩?xí)3］有人用車把米從甲地運(yùn)到乙地，裝米的重車日行50里(1里=500米)，空車日行70里，5日往返3次。兩地相距多少里？(選自《九章算術(shù)》)例4一家三口人，年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍，問三人各是多少歲？思路點(diǎn)撥：設(shè)兒子的年齡是x歲，則媽媽的年齡是4x歲，爸爸的年齡是(4x+2)歲。解答：設(shè)兒子的年齡是x歲，則x+4x+(4x+2)=74x=8媽媽的年齡：4x=4X8=32爸爸的年齡：4x+2=4X8+2=34【跟蹤練習(xí)4】玲玲今年9歲，父親39歲，再過年，父親的年齡正好是玲玲的2倍。例5一個(gè)機(jī)床廠，今年第一季度生產(chǎn)車床198臺，是去年同期產(chǎn)量的2倍多36臺，去年第一季度產(chǎn)量是多少臺？思路點(diǎn)撥：設(shè)去年第一季度的產(chǎn)量為x臺，那么它的2倍就是2*臺，又因?yàn)槿ツ甑谝患径犬a(chǎn)量的2倍加上36臺跟今年第一季度的產(chǎn)量198臺相等。根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系就可以列方程。解答：設(shè)去年第一季度的產(chǎn)量為x臺，則2x+36=1982x=198-36x=81答：去年第一季度的產(chǎn)量是81臺?！靖櫨毩?xí)5】已知籃球、足球、排球平均每個(gè)36元，籃球比排球每個(gè)多10元，足球比排球每個(gè)多8元，每個(gè)足球多少元？例6“六一”兒童節(jié)，幾位同學(xué)一起去郊外登山。男同學(xué)都背著紅色的旅行包，女同學(xué)都背著黃色的旅行包。其中一位男同學(xué)說，我看到的紅色旅行包個(gè)數(shù)是黃色旅行包個(gè)數(shù)的1.5倍。另一位女同學(xué)卻說，我看到的紅色旅行包個(gè)數(shù)是黃色旅行包個(gè)數(shù)的2倍。如果這兩位同學(xué)說得都對，那么女同學(xué)的人數(shù)是。思路點(diǎn)撥：首先找出題中的等量關(guān)系，因?yàn)閮晌煌瑢W(xué)看到的旅行包都不包括自己背的。所以女同學(xué)要有x人，男同學(xué)有就2(x7)人或L5x+1人，根據(jù)題意即可列出方程。解答:2(x-1)=1.5x+l2x-2=l.5x+l2x-l.5x=2+l0.5x=3X=6答：女同學(xué)有6人。【跟蹤練習(xí)6］某鄉(xiāng)有5個(gè)飼養(yǎng)場，每個(gè)飼養(yǎng)場養(yǎng)雞的只數(shù)相等，如果每個(gè)飼養(yǎng)場都賣出600只雞，那么這五個(gè)飼養(yǎng)場剩下的雞，恰好與原來兩個(gè)飼養(yǎng)場養(yǎng)雞的只數(shù)相等。原來每個(gè)飼養(yǎng)場各養(yǎng)雞（ ）只。例7甲方每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米。甲、乙從A地，丙從B地同時(shí)相向出發(fā)，丙遇到乙后2分鐘又遇到甲。求A、B兩地的距離。思路點(diǎn)撥：由于路程=速度X時(shí)間，現(xiàn)已知速度求距離，故可以直接設(shè)距離為x,也可設(shè)時(shí)間為x,現(xiàn)用兩種方法解之。解答：解法一設(shè)乙、丙相遇用了x分鐘，則甲、丙相遇時(shí)用了（x+2）分鐘，故A、B兩地的距離等于乙、丙相遇時(shí)乙、丙所行程的和，也等于甲、丙相遇時(shí)甲、丙所行路程的和。乙、丙相遇時(shí)，乙、丙所行路程的和：（60+70）x=130x甲、丙相遇時(shí)，甲、丙所行路程的和：（50+70）X（x+2）=120x+240所以有方程130x=120x+240解這個(gè)方程得x=24,即乙、丙24分鐘相遇。所以A、B兩地距離：130X24=3120（米）答：A、B兩地的距離為3120米。解法二設(shè)A、B兩地的距離為x米。則乙、丙相遇所需時(shí)間為x+（60+70）分鐘，甲、丙相遇所需時(shí)間為x+（50+70）分鐘，由此得方程120~130"解這個(gè)方程，在原方程左右兩邊同時(shí)乘以120X130,得130x-120x=2X120X13010x=31200x=3120答：A、B兩地的距離為3120米?！靖櫨毩?xí)7】兩條公路成十字交叉，甲雙十字路口南1200米處向北直行,乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時(shí)出發(fā)10分鐘，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后100分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等，此時(shí)他們距離十字路口多少米？專題2工程問題例2某項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需36天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需45天完成。如果開工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合作，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問：甲隊(duì)干了多少天？思路點(diǎn)撥：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后兩隊(duì)合干需多少天完成任務(wù)？”解答：（1-2X18）+（4+[）45 36 459 1 3=7x20=12（天）答：甲隊(duì)干了12天?！靖櫨毩?xí)2]一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)干20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成。問：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12天完成，乙單獨(dú)做要10天完成，現(xiàn)在甲、乙合作經(jīng)過8天完成任務(wù)。已知這段時(shí)間甲休息了2天，那么乙休息了幾天？思路點(diǎn)撥：先求出甲、乙合作8天要超額完成任務(wù)的幾分之幾，超額數(shù)減去甲2天的工作量，所得之差除以乙的工作效率就是乙休息的天數(shù)。解答:[舄+12）X8-1-12X2]￡=K￡=3（天）答：乙休息了3天?！靖櫨毩?xí)3】甲、乙兩人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，兩共用了10天才完成。如果由甲單獨(dú)加工這批零件，需要多少天才能完成？例4一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。現(xiàn)在甲、乙、丙三人合作需多少天完成？思路點(diǎn)撥：設(shè)這一件工程總量為L則甲、乙的工作效率之和是：,乙、丙的工作效率之和是:,甲、丙的工作效率之和是2,從而甲、乙、丙的工作效y io率之和是（:+白）4-2,根據(jù)“工作總量+工作效率=工作時(shí)間”的關(guān)系oyio式求出合作完成所需的時(shí)間?！窘獯稹?4-[（:+： ）4-2]=5^（天）。6 9 15 3125答：甲、乙、丙三人合作需片7天。J1【跟蹤練習(xí)4]某工程，乙單獨(dú)做所需的天數(shù)為甲、丙合做所需天數(shù)的2倍，丙單獨(dú)做所需的天數(shù)為甲、乙合做所需天數(shù)的3倍，已知三個(gè)合做5天可以完成工程，甲、乙、丙單獨(dú)做各需多少天？例5有兩個(gè)同樣的倉庫A和B,搬運(yùn)一個(gè)倉庫里的貨物，甲需要10小時(shí),乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)，甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時(shí)開始搬運(yùn)，中途丙又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)，最后，兩個(gè)倉庫同時(shí)搬完，再幫助甲、乙各多少時(shí)間？思路點(diǎn)撥：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的工作量為“1”，從整體上看，相當(dāng)于共同完成的工作量為“2”。解答：①三人同時(shí)搬運(yùn)了：2舄毛毛）=8（小時(shí)）②丙幫甲搬了：（1-2X8）4=3（小時(shí)）③丙幫乙搬了：8-3=5（小時(shí)）答:丙幫甲搬了3小時(shí)，幫乙搬了5小時(shí)。【跟蹤練習(xí)5】甲、乙兩人加工相同數(shù)量的零件，甲每小時(shí)加工自己的任務(wù)端,乙每小時(shí)加工自己任務(wù)的M甲、乙同時(shí)開始加工，甲完成任務(wù)后立即幫乙加工，直到完成任務(wù)，甲幫乙加工了多少小時(shí)?例6一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，乙單獨(dú)做需要18小時(shí)。若甲做1小時(shí)后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)……兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時(shí)需共用多少小時(shí)？思路點(diǎn)撥：把2小時(shí)的工作量看做一個(gè)循環(huán)，先求出循環(huán)的次數(shù)。解答：①需循環(huán)的次數(shù)為1+*臉）/>7（次）②7個(gè)循環(huán)后剩下的工作量是11 11一（斤不）X7=—1Zlo ob③余下的工作量還需甲做的時(shí)間為白子.=I（小時(shí)）ob12o④完成任務(wù)共用的時(shí)間為2X7+1=14：（小時(shí)）答：完成任務(wù)時(shí)需共用14-小時(shí)?！靖櫨毩?xí)6］打印一部稿件，甲單獨(dú)打要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)打要15小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)；甲工作2小地，乙工作1小時(shí)；甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)……如此交替下去，打印這部稿件共要多少小時(shí)？9例7一項(xiàng)工程，甲、乙合作26$天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要多少天才能完成？思路點(diǎn)撥：由題意可推出“甲先”的輪流方式，完成時(shí)所用的天數(shù)為奇數(shù),否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪流方式完成所用的天數(shù)為奇數(shù)，兩種輪流方式做的情況表示如下:甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲 乙甲乙T甲豎線左邊所做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。從豎線右邊可以看出，乙做天等于甲做半天，即甲的效率是乙的2倍。解答：①甲每天能做這項(xiàng)工程的2 2 1^263Xr=15②甲單獨(dú)做完成的時(shí)間=40（天）答：這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要40天才能完成?！靖櫨毩?xí)7】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做,恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩60個(gè)不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3o甲、乙每天各做多少個(gè)？例8一個(gè)水池，地下水人四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水量是固定的。當(dāng)這個(gè)水池水滿時(shí)，打開A管，8h可將水池排空；打開B管，10h可將水池排空；打開C管，12h可將水池排空。如果打開A、B兩管，4h可將水池排空，那么打開B、C兩管，將水池排空需要多少時(shí)間？思路點(diǎn)撥：設(shè)這個(gè)水池的容量是“1”。A管每小時(shí)排水量是：1+每小時(shí)滲入水;OB管每小時(shí)排水量是需每小時(shí)滲入水;A、B兩管一起打開，每小時(shí)排水量是:+每小時(shí)滲入水。因此，每小時(shí)滲入水是:-（：+白）=白。4o1U4U解答：打開B、C兩管，將水池排空需要：【跟蹤練習(xí)8】一個(gè)蓄水池底部有一道裂縫，滿池水50小時(shí)全部漏完。有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，水池蓄滿水后，經(jīng)過40小時(shí)，開始打開兩個(gè)進(jìn)水管，10小時(shí)后水池注滿。經(jīng)過8小時(shí)，打開乙管，再過6小時(shí)后水池注滿。如果把水放掉，把池底裂縫堵好，甲、乙兩管分別注水，各需幾小時(shí)把水池注滿？例9（第六屆“華羅庚金杯”邀請賽試題）甲管注水速度是乙管的一半，同時(shí)開放甲、乙兩個(gè)水管向游泳池注水，12小時(shí)可以注滿?，F(xiàn)在先開甲管向游泳池注水若干小時(shí)后，剩下的由乙管注水9小時(shí)。將池注滿，甲管的注水時(shí)間是多少？思路點(diǎn)撥：通過“甲管注水速度是乙管的一半”這個(gè)條件我們可以看出：乙管的工作效率是甲管工作效率的2倍。也就是說：1個(gè)乙管等于2個(gè)甲管。因此，甲、乙兩管相當(dāng)于1+2=3（個(gè)）甲管。甲、乙同時(shí)注水12小時(shí)可將游泳池注滿，則甲管單獨(dú)注水需12X3=36（小時(shí)）方能注滿，而乙管單獨(dú)注滿水池則需36X：=18（小時(shí)）。所以此題就可以看成是乙管單獨(dú)注水9小時(shí)后，剩下的由甲管單獨(dú)注水，還需幾小時(shí)注滿水池。解答:S2x（T）x"I^=18（小時(shí)）答：甲管的注水時(shí)間是18小時(shí)?！靖櫨毩?xí)9］放滿一個(gè)水池的水，如果同時(shí)開放①②③號閥門，15小時(shí)可以放滿；如果同時(shí)開放①③⑤號閥門，10小時(shí)可以放滿；如果同時(shí)開放①③④號閥門，12小時(shí)可以放滿；如果同時(shí)開放②④⑤號閥門，8小時(shí)可以放滿。問：如果同時(shí)開放5個(gè)閥門，幾小時(shí)可以放滿這個(gè)水池？例10某工廠的一個(gè)生產(chǎn)小組生產(chǎn)一批零件，當(dāng)每個(gè)工人在自己原工作崗位工作時(shí)，9小時(shí)可完成這項(xiàng)工作；如果交換A和B的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時(shí)，可提前1小時(shí)完成該項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)；如果換C和D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時(shí)，也可以提前完成小時(shí)完成該項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)；如果同時(shí)交換A和B、C和D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，可以提前多少分鐘完成該項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)？思路點(diǎn)撥：題中所給的幾種情況，都是由于工作效率改變了，工作時(shí)間也相應(yīng)變化，但工作總量卻沒有改變。因此可以先求出各種情況下的工作效率，然后再研究工作時(shí)間的變化。解答:設(shè)工作問題為單位“1”，則原來全部工作效率為:。A與B交換，全部工作效率為:,由于其他工人的效率不變，所以A與B的工作效率提高了:一O O：=5。同理，C與D交換后，他們兩人的工作效率也提高了5。若A與B、C與D同時(shí)交換，他們四人的工作效率提高了5+5=/全組人每小時(shí)完成1x_Ar9+36=360因此，完成這項(xiàng)任務(wù)，全組人需要：1/=7：（小時(shí)）比原來提前了：9-7-=1-（小時(shí)）=1小時(shí)48分=108（分鐘）答：可以提前108分鐘完成該項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)。【跟蹤練習(xí)10】加工一批零件，甲單獨(dú)做需75小時(shí)完成，乙單獨(dú)做需50小時(shí)完成。已知每小時(shí)乙比甲多做12個(gè)零件，如果甲的工作效率提高50%,而乙每小時(shí)原來多做8個(gè)零件，那么兩人合作這批9零件的7需要多少小時(shí)？O專題3分?jǐn)?shù)的應(yīng)用例2學(xué)校圖書室里的故事書占總數(shù)的六一”期間，婦聯(lián)又贈送給學(xué)D2校600本故事書，這時(shí)圖書室里的故事書占現(xiàn)有圖書總數(shù)的彳o求圖書室原來O共有多少本圖書。TOC\o"1-5"\h\z3 2思路點(diǎn)撥：題中?是以原來的圖書總數(shù)為單位“1”，是以后來的圖書總b o數(shù)為單位“1”，單位“1”不統(tǒng)一，就要想辦法統(tǒng)一單位“1”，從題目可以看出：故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生了變化，而其他書的本數(shù)沒有變，可以以其他書的本數(shù)為單位“1”，根據(jù)故事書占總數(shù)的V,故事書相當(dāng)于其他書的33,同0 0 0Z理，故事書增加后，相當(dāng)于其他書的2倍。解答:其他書的本數(shù)=600+(2-11)=1200(本)圖書室原來共有圖書312004-(1--)=3000(本)答：圖書室原有圖書3000本。7【跟蹤練習(xí)2】紅星小學(xué)五年級學(xué)生中，男生占色,后來又轉(zhuǎn)來了15名男生，這樣男生占五年級總?cè)藬?shù)的孩，五年級原有學(xué)生多少人？□例3某車間原有男工人數(shù)是女工人數(shù)的11倍，后來又調(diào)來2名女工，現(xiàn)在男工人數(shù)是女工人數(shù)的11倍，這個(gè)車間有男工多少人？思路點(diǎn)撥：與11雖然都是以女工人數(shù)國單位“1”的，但女工人數(shù)發(fā)生了變化，所以前后兩個(gè)女工人數(shù)并不是同一個(gè)數(shù)量。由于男工人數(shù)沒有發(fā)生變化，所以可以用轉(zhuǎn)化的方法，求出原來女工人數(shù)是男工人數(shù)的幾分之幾，調(diào)來2人后女工人數(shù)又是男工人數(shù)的幾分之幾，進(jìn)而得到調(diào)來的2名女工是男工人數(shù)的幾分之幾，求出男工人數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z1 4由“原來男工人數(shù)是女工人數(shù)的1-倍“知原來女工人數(shù)是男工人數(shù)的目，同樣知，調(diào)來2名女工后，女工人數(shù)是男人數(shù)的a,故調(diào)來的2名女工相當(dāng)于64 54男工人數(shù)的（髀焉），所以男工人數(shù)有2+（1高）=60（人）。5 654 1解答：24-（ --- ） =24-- =60 （人）。5 30答：這個(gè)車間有男工60人?！靖櫨毩?xí)3】甲數(shù)是乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和的;,乙數(shù)是甲數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)之和的〈，丙數(shù)是甲數(shù)、乙數(shù)、丁數(shù)之和的;o已知丁數(shù)是260,求甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)、丁數(shù)的和。4例4學(xué)校閱覽室里有36名學(xué)生在看書，其中女生占W,后來又有幾名女9生來看書，這時(shí)女生人數(shù)占所有看書人數(shù)的卷o問后來又有多少名女生來看書？思路點(diǎn)撥：女生人數(shù)在變，總?cè)藬?shù)在變，但男生人數(shù)始終未變，抓住這一不變量即可找到解題的突破口。男生人數(shù)占原來36名學(xué)生4的(1-弓)，這可求出男生人數(shù)；再利用男生人數(shù)占后來的分率，求出后來的總?cè)藬?shù)。4 Q解答：36X(1--)4-(1--)-36=36X1 -36=38-36=2(名)。yiy答：后來又有2名女生來看書?！靖櫨毩?xí)4]一塊西紅柿地今年獲得豐收。第一天收下全部的I,裝了3筐還余12kg,第二天把剩下的全部收完，正好裝了6筐。這塊地共O收了多少千克西紅柿？例7耕一塊地，第一天耕的比這塊地的1多2公頃，第二天耕的比剩下的地的;少1公頃，這時(shí)還剩下38公頃沒有耕。這塊地共有多少公頃？思路點(diǎn)撥：把這塊地的公頃數(shù)看做“1” ■\>公￡ 題中的數(shù)量關(guān)系可用線段圖表示，如圖4-1。 <第一天第一天耕完后，剩下的公頃數(shù)是(38-1) 第二天1公頃圖4-14-(1-1)=74(公頃)，再用類似的思路求出這塊塊共有多少公頃。解答：(38-1)4-(1-1)-374-1=74(公頃)，(74+2)4-(1-1)O

2=76+-=114(公頃)。答：這塊地共有114公頃。2【跟蹤練習(xí)7］某商店有一批布，第一天賣出g,第二天賣出第一天剩下的7，第三天補(bǔ)進(jìn)第二天剩下的;，這時(shí)還有698米，原來有布多少米？I 乙例9某市數(shù)學(xué)競賽，共有407人參加決賽。獲獎的男生、女生人數(shù)正好同圖4-216人樣多。沒有獲獎的女生占參賽女生的:，沒有獲獎的男生有16人，參賽男生有多少人?圖4-216人思路點(diǎn)撥：以女生人數(shù)為單位“1”,依題意畫線段圖，如圖4-2所示。如果男生少16人參賽，參賽人數(shù)407-16=391人相當(dāng)于女生參賽人數(shù)的o391人除以對應(yīng)率1-,商是女參賽選手人數(shù)，進(jìn)而求出男生參賽人數(shù)。1 O解答：女參賽選手人數(shù)：(407-16)4-(1+1--)=3914-1-=207(人)y y

男參賽選手人數(shù)：207X（1-：）+16=200（人）y答：參賽男生200人。2【跟蹤練習(xí)91水果店來蘋果和梨共1300千克，蘋果賣出*,梨賣出20□千克后，剩下的梨和蘋果的質(zhì)量恰好相等。原來運(yùn)來蘋果和梨各多少千克？例10（全國預(yù)賽試題）甲、乙、丙、丁四人共同生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)TOC\o"1-5"\h\z9 1的占其他三人生產(chǎn)總數(shù)的殘，乙生產(chǎn)的占其他三人生產(chǎn)總數(shù)的;丙生產(chǎn)的, 4 、占其他三人生產(chǎn)總數(shù)的五o已知丁生產(chǎn)了60個(gè)，那么甲、乙、丙三人共生產(chǎn)零件多少個(gè)?解答：甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別占總數(shù)的2_2_ 1 1 4解答：甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別占總數(shù)的13+2=15*4+1=5*H+44159 1 49 1 4甲、乙、兩共生產(chǎn)了總數(shù)略+廣運(yùn)3i。三人共生產(chǎn)零件6。+（1-TOC\o"1-5"\h\z3 3 3-）X - =60X-=90 （個(gè)）0 b Z答：甲、乙、丙三人共生產(chǎn)零件90個(gè)?！靖櫨毩?xí)10］（吉林省競賽試題）甲、乙兩個(gè)盒子共裝了400多個(gè)球。如果甲給乙x個(gè)，甲比乙少白；如果乙給甲x個(gè)，乙比甲少白o(hù)則原來甲盒中有多少個(gè)球，乙盒中有多少個(gè)球？4例11紡織工廠第一車間的人數(shù)比第二車間的人數(shù)的募少30人。如果從□第二車間調(diào)10人到第一車間，這時(shí)第一車間的人數(shù)是第二車間人數(shù)的7o原4來兩個(gè)車間各有多少人？第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的幾分之幾？思路點(diǎn)撥：把第二車間人數(shù)看做單位“1”，題中的數(shù)量關(guān)系可用線段圖表30人示如圖4-3所30人第一車間i第二車間L第一車間i從圖中可看出，原第一車間人數(shù)加30是兩車間總?cè)藬?shù)與30人的和的TOC\o"1-5"\h\z4 Q3=□;現(xiàn)第一車間人數(shù)是兩車間人數(shù)的急=不。根據(jù)現(xiàn)第一車間人數(shù)與原第一車間人數(shù)相差10人，可列方程。解答：設(shè)兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)為X人。4 、 3-（x+30）-30=-x-10y （解得：x=420即可求出兩個(gè)車間的人數(shù)問題。第一車間人數(shù)為：420X--10=170（人）第二車間人數(shù)為：420-170=250（人）171704-250=—Zb答：第一車間原來有170人，第二車間原來有250人。第一車間人數(shù)是第17二車間人數(shù)的去?！靖櫨毩?xí)11】隆盛雜貨店運(yùn)來一級茶葉和二級茶葉一批，其中二級茶葉的重量是一級茶葉的\,一級茶葉的買進(jìn)價(jià)是每千克20元，二級茶葉的買進(jìn)價(jià)的是每千克18元，如果現(xiàn)在照買進(jìn)價(jià)各加價(jià)\出售，當(dāng)二級茶葉全部賣完O時(shí)，一級茶葉還剩1,共盈利480元，該雜貨店運(yùn)來多少二級茶葉？專題4百分?jǐn)?shù)應(yīng)用例3一桶汽油，第一次用了全桶的20%,第二次用了20kg,第三次用了前兩次的和，這時(shí)桶里還剩下8kg汽油。問這桶汽油有多少千克？思路點(diǎn)撥：由已知條件，第三次前兩次的和，就是全桶的20%加上20kg,因此前三次共用了兩個(gè)20%和兩個(gè)20kg,桶內(nèi)還剩8kg汽油，這說明兩個(gè)20%,兩個(gè)20kg,再加上一個(gè)8kg就是整桶汽油的質(zhì)量。由已知三次共用汽油是兩個(gè)全桶的20%再加上兩個(gè)20kg,桶內(nèi)還剩8kg,因此20X2+8=48(kg),相當(dāng)于全桶的1-40對60%。解答：(20X2+8)-r(l-20%X2)=80(kg)答：整桶汽油質(zhì)量為80kg?！靖櫨毩?xí)3】李剛看一本書，第一天看了全書的《，第二天看了24頁,第三天看了前兩天看的總數(shù)的150%,這時(shí)還剩下全書的!沒有看。全書共有多少頁？例4小明家電熱水器貯滿了水。一天晚上，小明媽媽用去了20%,水上明的爸爸又用去了18L,小明用去了剩下水的10%,最后剩下的水只有貯存量的一半還少3L。問小明家的電熱水器貯水量是多少升？思路點(diǎn)撥：小明的媽媽用的水是20%,小明的爸爸用水量是18L,小明的爸爸、媽媽用水后剩下貯水量的80%少18Lo這樣小明的用水量是(80%X10%)=8%少(18X10%)=1.8Lo三人用水的總量是20%+8%再加(18-1.8)=16.2(L),三人用水的總量也應(yīng)該是50%多3LO(本題關(guān)鍵是小明用水的理解與處理)解答：(1-2解)X10%=8%,18X10%=1.8(L),(18-1.8-3)4-[50%-(20%+8%)]=13.24-22%=60(L)o答：這個(gè)電熱水器貯水量是60L?！靖櫨毩?xí)4】某次會議，昨天參加會議訴男代表比女代表多700人，今天男代表減少了10%,女代表增加了5%,共1995人出席會議。那么昨天參加會議的人有多少人？【跟蹤練習(xí)5】某商品按定價(jià)的80%(八折)出售，仍能獲得20%的利潤，定價(jià)時(shí)，期望的利潤百分?jǐn)?shù)是多少？例6某工廠一車間人數(shù)占全廠的25%,二車間人數(shù)比一車間少!，三車間□人數(shù)比二車間多云,三車間是156人，這個(gè)工廠全廠共有多少人？思路點(diǎn)撥：本例中除全廠外，還有兩個(gè)單位“1”：一個(gè)是一車間另一個(gè)是二車間。但通過轉(zhuǎn)化可能統(tǒng)一到全廠為單位“1”上來。進(jìn)而直接求出全廠人數(shù)。解答：1 31564-[25%X(1--)X(1+—)15 10=600(人)【跟蹤練習(xí)6]興趣小學(xué)四年級學(xué)生比三年級多25%,五年級學(xué)生比四年級少10%,六年級學(xué)生比五年級多10%,如果六年級學(xué)生比三年級多38人，那么三至六年級共有學(xué)生多少人？例7某班有學(xué)生48名，女生占全班人數(shù)的37.5%,后來又轉(zhuǎn)來了若干名2女生，這時(shí)女生人數(shù)恰好是全班人數(shù)的：，問共轉(zhuǎn)來了多少名女生？5思路點(diǎn)撥：我們可抓住“變中不變”的量，即男生人數(shù)前后不變，抓住了這個(gè)不變量，問題便容易解了。首先求出男生占全班人數(shù)的幾分之幾，再求全班的男生人數(shù)，然后求轉(zhuǎn)來幾名女生后男生占全班人數(shù)的幾分之幾。接著，可以求出現(xiàn)在全班人數(shù)，最后求轉(zhuǎn)來了幾名女生。(1)原來班級里有男生48X(1-37.5%)=30(名)；9Q(2)轉(zhuǎn)來幾名女生后男生占全班的分率為1-7=i;□□(3)現(xiàn)在全班有30?1=50(名)同學(xué)；□(4)轉(zhuǎn)來女生人數(shù)50-48=2(名)?！窘獯稹縏OC\o"1-5"\h\zz、 , 2、48X(1-37.5%)-r(1--)-4853=48X-4---48=50-48=29(名)5答：又轉(zhuǎn)來了2名女生?！靖櫨毩?xí)7］有一堆糖果，其中奶糖45%,再放入16塊水果糖后，奶糖就只占25%,那么這堆糖中有奶糖多少塊？例8一輛車從甲地開往乙地，如果把車速提高20樂可以比原定時(shí)間提前1小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%,則可提前40分鐘到達(dá)；那么甲、乙兩地相距多少千米?思路點(diǎn)撥：根據(jù)公式“距離=速度X時(shí)間”，當(dāng)距離一定時(shí)，速度與時(shí)間成反比。車速提高20%時(shí)，即為原速度的（1+20%）=Io在同一距離中所花時(shí)間5R R 1為原時(shí)間的I,提前的1小時(shí)恰好占原來所花時(shí)間的（1- 1）= *。這就可6 6 6以求出按原來速度行駛所花的時(shí)間為1+（=6（小時(shí)）。6同樣道理，當(dāng)車速提高25%時(shí)，新車速與原車速的比是（1+25%）；1=5：4,如果車從甲地出發(fā)時(shí)就用這個(gè)速度，那么全程所花時(shí)間為原TOC\o"1-5"\h\z4 4 1時(shí)間的7,全程可提前6X（1--）=1-（小時(shí)）。5 5 51 O R現(xiàn)在只提高40分，即a時(shí)，少提前1---=-（小時(shí)），這是因?yàn)閺募? 5 3 15地出發(fā)行駛的120千米是按原速度行駛的。這一段路（120千米）若按速度提高O25%行駛，可提前不小時(shí)，據(jù)此可解。10解答：以原速度行駛?cè)趟〞r(shí)間為1 5 11+（1一5二）=1+（1_7）=1+鼻=6（小時(shí)）。1+20% 6 6車速提高25%時(shí)，全程可提前6X(1-1^5%)=6X5=15(小時(shí))?，F(xiàn)設(shè)全程為x千米，則66-5x=270答：全程為270千米。【跟蹤練習(xí)8】去年實(shí)驗(yàn)小學(xué)參加各種體育興趣小組的同學(xué)中，女生占總數(shù)的《o今年全校的學(xué)生數(shù)與去年一樣，參加各種體育興趣小組的學(xué)生比去年增□加了20%,其中女生占總數(shù)的1o那么，今年女生參加各種體育興趣小組的人數(shù)比去年增加百分之多少？例10（“希望杯”邀請賽試題）小紅和小明幫劉老師修補(bǔ)一批破損圖書，小紅修補(bǔ)了破損圖書的40%少2本。小明修補(bǔ)了破損圖書的;多3本。劉老師修補(bǔ)了20本。問：小紅、小明一共修補(bǔ)圖書多少本?思路點(diǎn)撥：可知小紅和小明一共修補(bǔ)破損圖書為：40%-2+；+3=40%+25%+1=65%+1,則這批破損圖書一共有(20+1)4-(1-65%)=60(本)。再減去劉教師修補(bǔ)的圖書20本，則為小紅和小明一共修補(bǔ)的圖書。解答:(20+1)-V-E1-(；+40%)]-20=214-[1-65%]-20=21+35%-20=60-20=40(本)答：小紅、小明一共修補(bǔ)圖書40本?！靖櫨毩?xí)101A種酒精中純酒精的含量為40%,B種酒精中純酒精的含量為36%,C種酒精中純酒精的含量少為35%O它們混合得到了純酒精的含量為38.5%的酒精11升，其中B種酒精比C種酒精多3升，那么A種酒精有多少升？例11某班男生數(shù)占全班的40樂后來又轉(zhuǎn)出10名女生，這時(shí)男生人數(shù)占全班的50%。這個(gè)班原有男生多少人？思路點(diǎn)撥：根據(jù)前后男生人數(shù)不變這一等量關(guān)系列出方程來解。解答:設(shè)班里共有學(xué)生x人，則后來有(x-10)人。40%x=50%(x-10)4x=5x-50X=50男生人數(shù)：50X40%=20(人)答：這個(gè)班原有男生20人。【跟蹤練習(xí)11】筑路隊(duì)4天修完一條路，第一天修了全長的32%,后3天修的長度比為6：7：4,最后一天比第一天少修8千米。這條公路全長多少千米？專題5時(shí)鐘問題例1現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？思路點(diǎn)撥：3點(diǎn)時(shí)分針指12,時(shí)針指3,分針在時(shí)針后5X3=15格，每分鐘分針比時(shí)針多走（1-5）格，要使分針與時(shí)針重合，也就是分針bUTOC\o"1-5"\h\z1 4比時(shí)針要多走15格，需要15+（1--）=16—（分鐘）1L4 1.k1 4解答：15+（1--）=16—（分鐘）?L4 1.1.4答：3點(diǎn)16吉分時(shí)時(shí)針與分針第一次重合。【跟蹤練習(xí)1】現(xiàn)在是5點(diǎn)鐘，再過多少分鐘，時(shí)針與分針第一次重合？例2在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，鐘面上的時(shí)針與分針在什么時(shí)刻垂直？思路點(diǎn)撥：分針在時(shí)針的后面相隔15小格。4點(diǎn)鐘分針與時(shí)針相隔5X4=20小格，分針只要比時(shí)針多走20-15=5小格就行了。每分鐘分針比時(shí)針多走（1-白）小格，由追及問題計(jì)算方法，得出第一次垂直的時(shí)1.乙間。分針超前時(shí)針15小格，就是分針比時(shí)針多走20+15=35小格，再根據(jù)追及問題的計(jì)算方法，求出第二次垂直的時(shí)間。解答：5X4=20（小格）

TOC\o"1-5"\h\zi 5（20-15）4-（1--）=5—（分鐘）J.乙 ￡X1 2（20+15）-r（l--）=38—（分鐘）?L4 JL1.R 9答：在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，4點(diǎn)5五分和4點(diǎn)38—分時(shí)分針與時(shí)針垂直?！靖櫨毩?xí)2】深夜12：00到中午12：00之間，鐘表上的分針和時(shí)針幾次成直角？例34小時(shí)15分時(shí)，鐘面上時(shí)針與分鐘的夾角是多少度？思路點(diǎn)撥：4時(shí)15分，分針指著3,但時(shí)針的位置很難確定，所以我們從4時(shí)整考慮。4時(shí)時(shí)，時(shí)針指著4,過15分，分針走了15小格，時(shí)針從4開始順1R R時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了15X^=2（個(gè)）小格，即6X?=7.5（度），時(shí)針位置確定后不可求解。解答：6X5+6X（15X^）=37.5（度）。答：4時(shí)15分鐘面上時(shí)針與分針的夾角是37.5%【跟蹤練習(xí)3】在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間（包含7點(diǎn)與8點(diǎn)）的什么時(shí)刻，兩針之間的夾角為12（??例4小明做作業(yè)用了不到了1小時(shí)的時(shí)間，當(dāng)他做「 士

完作業(yè)看表時(shí)，發(fā)現(xiàn)分針與時(shí)針正好和開始做作業(yè)時(shí)交換位置。問小時(shí)做作業(yè)用了多少時(shí)間？思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意，小明做作業(yè)不到1小時(shí)，所以開始做作業(yè)時(shí)，時(shí)針在分針后后面，到做完作業(yè)，時(shí)針就旋轉(zhuǎn)到開始時(shí)分針的位置，而分針旋轉(zhuǎn)到原來時(shí)針的位置，如圖6-1所示，時(shí)針與分針總共旋轉(zhuǎn)了一周。根據(jù)路程+速度和=時(shí)間即可求出本題的解。1 5解答：604-（1+&）=55—（分鐘）答：小時(shí)做作業(yè)用了55名分鐘。1.0例5小朋家的掛鐘走起來每小時(shí)慢1.5mino早上8點(diǎn)小朋把鐘對準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，那么，這只鐘走到中午12點(diǎn)的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？【思路解析】這里慢1.5分實(shí)際上是指：小朋家掛鐘與準(zhǔn)確的鐘相比較，準(zhǔn)確的鐘1小時(shí)走60小格，而小朋家掛鐘只有58.5個(gè)小格。當(dāng)準(zhǔn)確鐘走到12點(diǎn)時(shí)，小朋家掛鐘離12點(diǎn)還有1.5X4=6個(gè)小格，但是小朋家的掛鐘再走這6小格，準(zhǔn)確的鐘則要走的比6小格多（準(zhǔn)確鐘的速度較快）。這需要求出小朋的掛鐘走6小格時(shí)，準(zhǔn)確的鐘要走多少小格。解答：解：設(shè)小朋的掛鐘走6小格時(shí)，準(zhǔn)確的鐘走x小格。258.5：60=6：xx=6-9答：標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是12點(diǎn)6—分。【跟蹤練習(xí)51小明晚上9點(diǎn)整將手表對準(zhǔn)，可早晨8點(diǎn)到校時(shí)卻遲到了lOmin,那么，小明的手表每小時(shí)慢幾分鐘?

例6小明家有兩舊掛鐘，一個(gè)每天快20min,一個(gè)每天慢30min?，F(xiàn)在將這兩個(gè)舊掛鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，它們至少要經(jīng)過多少天才能再次同時(shí)顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間？【思想解析】由時(shí)鐘的特點(diǎn)知道，每隔12h,時(shí)針與分針的位置重復(fù)出現(xiàn),所以快鐘和慢鐘分別快或慢12h的整數(shù)倍時(shí)，將重新顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。解答：快鐘快12h,需經(jīng)過（60X12）4-20=36（天）即快鐘每經(jīng)過36天顯示一次標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。慢鐘慢12h,需經(jīng)過（60X12）4-30=24（天）即慢鐘每經(jīng)過24天顯示一次標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，24與36的最小公倍數(shù)是72,所以兩個(gè)鐘同時(shí)再次顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，至少要經(jīng)過72天?！靖櫨毩?xí)6］甲表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快Imin,乙表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢2mino若將兩表同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24h內(nèi)，甲表顯示9點(diǎn)整時(shí)，乙表恰好顯示8點(diǎn)整。將兩表同時(shí)調(diào)準(zhǔn)的時(shí)刻是多少？例7一只鐘的時(shí)鐘與分針均指在4和6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時(shí)針與分針的正中央，問這時(shí)是什么時(shí)刻？思路點(diǎn)撥：因?yàn)楫?dāng)時(shí)的時(shí)刻可以是4點(diǎn)多，也可以是5點(diǎn)多，如果此時(shí)是5點(diǎn)多：TOC\o"1-5"\h\z5點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針指5,分針指12。從5點(diǎn)整 '一/10 2\到現(xiàn)在的“5在時(shí)針與分針的正中央”，分針走 / \的格數(shù)多于20格少于25格，時(shí)針走的格數(shù)不足 \o'：5格，由于5到分針的格數(shù)等于5到時(shí)針的格數(shù),所以時(shí)針與分針在這段時(shí)間內(nèi)共走25格。因此,從5點(diǎn)整到圖6-3鐘面上這種狀態(tài)共用了25+（1嶗）=23話（分鐘）。圖6-3如果此時(shí)是4點(diǎn)多：4點(diǎn)整，時(shí)針指4,分針指12。從4點(diǎn)整到現(xiàn)在，“5在時(shí)針與分針的

正中央”，分針走的格數(shù)多于25,少于30,時(shí)針圖6-3走不足5格。由于5到分針的格數(shù)等于5到時(shí)針的格數(shù)，所以時(shí)針與分針在這段時(shí)間內(nèi)共走30格。又由于時(shí)針的速度是分針的白,所以從4點(diǎn)整到圖6-4鐘面上這種狀態(tài)共用了：30+（1+*）=27卷（分鐘），所以這時(shí)9是4點(diǎn)27逅分。解答：如果是5點(diǎn)多，用25+（喘）=23表（分鐘）1Q如果是4點(diǎn)多，用30+（1-h^）=27-（分鐘）9 1答：這時(shí)可能是4點(diǎn)27運(yùn)分，也可能是5點(diǎn)23逼（分鐘）。【跟蹤練習(xí)7］現(xiàn)在是3點(diǎn)整，再過多少時(shí)間，時(shí)針和分針恰好在“3”字兩邊，并且與“3”字距離相等？例8一只舊鐘的分針和時(shí)針每65分鐘重合一次。問這只舊鐘一天（標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間24小時(shí)）慢或快幾分？思路點(diǎn)撥：因?yàn)榉轴樑c時(shí)針每重合一次，分針比時(shí)針比多60小格,每分鐘分針比時(shí)針多走系格，則604-H=652（分），即標(biāo)準(zhǔn)鐘J.4JL/ J.乙 J.J.每65。分時(shí)針、分針重全一次，舊鐘每65分重合一次，顯然舊鐘快。本題難點(diǎn)在于從舊鐘兩針的旋轉(zhuǎn)速度（每標(biāo)準(zhǔn)分旋轉(zhuǎn)多少個(gè)小格），進(jìn)面推算出舊鐘的分針24標(biāo)準(zhǔn)小時(shí)旋轉(zhuǎn)多少個(gè)小格，它與標(biāo)準(zhǔn)鐘的分針用24標(biāo)準(zhǔn)時(shí)所走的格數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標(biāo)準(zhǔn)鐘快的時(shí)間讀書。解答：設(shè)舊鐘分針每標(biāo)準(zhǔn)分走x小格。那么，每1個(gè)小格用工標(biāo)準(zhǔn)分。舊X鐘分針走60個(gè)小格，時(shí)針走5個(gè)小格，時(shí)針?biāo)俣瓤偸欠轴樀陌?所以舊鐘時(shí)針?biāo)俣葹樯蟈（格/標(biāo)準(zhǔn)分鐘）。每次重合耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時(shí)針60小格，列方程:604-(x-r^x)=65JL4TOC\o"1-5"\h\z1、 60(1 ) x=—127 6512X12X=13XII標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘一天分針走60X24=1440（格），一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為12X12百方7X60X24o但是我們只需求出舊鐘分針比標(biāo)準(zhǔn)鐘多分針多走了多少個(gè)小LoAll格即可，所以有:X60X24-60X2412X12(12X12(13X11-1)X60X24144X14313X11144X14313X11X60X2460X24"13X11（格）。答：這只舊鐘在一天內(nèi)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1瑞分（按舊鐘上的時(shí)間）?！靖櫨毩?xí)8］爺爺?shù)睦鲜綊扃姷臅r(shí)針與分針每隔66min重合一次，如果早晨8點(diǎn)將鐘對準(zhǔn)，到第二天早晨時(shí)鐘再次指示8點(diǎn)時(shí)，實(shí)際時(shí)間是多少？專題6濃度問題例1現(xiàn)在有濃度為20%的糖水300g,要把它變成濃度為40%的糖水，需要加糖多少克？思路點(diǎn)撥：濃度為20%的糖水300g,則里面有糖300X20%=60(g),有水300-60=240(g)0現(xiàn)在要往里面加糖，增加后糖占40%,水占60%。而注意到水在這里面是不變的，均為240g,故后來溶液的總質(zhì)量為240+60%=400(g)。所以需加糖400-300=100(g)o【解答】300X(1-20%)4-(1-40%)-300=2404-60%-300=400-300=100(g)答：需加糖100g?！靖櫨毩?xí)1］在一桶含鹽量10%的鹽水中加入100克食鹽，溶解后，桶中鹽水的濃度增加到20%,桶中原有多少克鹽水？例2有含鹽20%的鹽水36千克要制出含鹽45%的鹽水,需蒸發(fā)掉水多少千克？思路點(diǎn)撥：首先尋找不變量，顯然，蒸發(fā)前含鹽量=警蒸發(fā)后含鹽量，以此國依據(jù)列方程。解答:設(shè)需蒸發(fā)水x千克，則有36X20%=(36-x)X45%x=20答:需蒸發(fā)掉20千克水?！靖櫨毩?xí)2】有濃度為2.5%的鹽水200g,為了制成濃度為5%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？例3現(xiàn)有濃度為10%的鹽水20kg,再加入多少千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水？思路點(diǎn)撥：這是一個(gè)溶液混合問題，混合前后溶液的濃度改變了，但是總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有改變，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中溶質(zhì)的量。20kg濃度為10%的鹽水中含鹽的量為：20X10%=2(kg)；混合后溶液的濃度為22%,此時(shí)20kg溶液中含鹽的量為：20X22%=4.4(kg)0解答：方法一：用原溶液中增加溶質(zhì)的質(zhì)量除以加入溶液降低的濃度。所以需要加入濃度為30%的鹽水溶液的質(zhì)量為：(20X22%-20X10%)4-(30%-22%)=(4.4-2)4-8%=2.4+8=30(kg)答需加入30kg濃度為30%的鹽水才能得到濃度為22%的鹽水。方法二：這個(gè)問題可以用方程來解：設(shè)需加入濃度國30%的鹽水xkg,依據(jù)混合前后溶質(zhì)的質(zhì)量不變，列方程得：20X10%+xX30%=(20+x)X22%X=30答：需加入濃度為30%的鹽水30kg?！靖櫨毩?xí)3】在濃度為40%的酒精溶液中加入5kg水，濃度變?yōu)?0%,再加入多少千克酒精，濃度變?yōu)?0%?例4一容器內(nèi)有濃度為15%的鹽水，若再加入20kg的水，則鹽水的濃度變?yōu)?0%,問這個(gè)容器內(nèi)原來含有鹽多少千克？思路點(diǎn)撥：由于加水前、后容器中所含有的鹽的質(zhì)量沒有改變，所以只要將加水前、后容器中所含鹽的質(zhì)量用等量關(guān)系式表示出來，就可求得結(jié)果。解答：假設(shè)容器中原有鹽水xkg,那么加水前后容器中所含鹽的質(zhì)量相等,即：x?15%=(x+20)?10%解得：x=40???容器中鹽水含有鹽的質(zhì)量為40X15%=6(kg)答：容器中原來含鹽6kg?！靖櫨毩?xí)4］向濃度為10%,質(zhì)量為300g的食鹽水中加入多少克水，就可以得到濃度為8%的食鹽水？例5甲容器中有10%的酒精溶液600g,乙容器中有15%的酒精溶液200g。往甲、乙兩個(gè)容器分別倒入等量的水，使兩個(gè)容器中酒精溶液的濃度相同。每個(gè)容器中應(yīng)倒入水多少克？思路點(diǎn)撥：先分別求出兩個(gè)容器中純酒精的質(zhì)量，再分別用兩個(gè)容器中純酒精的質(zhì)量除以兩個(gè)容器中加入等量的水后酒精溶液的質(zhì)量，就可以求出兩個(gè)容器中現(xiàn)在酒精溶液的濃度。根據(jù)濃度一樣，列方程解答。先求出兩個(gè)容器中純酒精的質(zhì)量分別是：甲容器中酒精質(zhì)量：600X10%=60(g)乙容器中酒精質(zhì)量：200X15%=30(g)解答：設(shè)每個(gè)容器中應(yīng)倒入xg水，則有：60_30600+x 200+x60X(200+x)=30X(600+x)解得：x=200答：每個(gè)容器中應(yīng)加水200g?！靖櫨毩?xí)5］容器中有鹽水。老師讓小強(qiáng)再倒入濃度為5%的鹽水800g,以配成濃度為20%的鹽水，但小強(qiáng)卻錯(cuò)誤的倒入800g水。老師發(fā)現(xiàn)后，說：不要緊，你再將400g第三種濃度的鹽水倒入容器內(nèi)，就可得到濃度為20%的鹽水了。第三種鹽水的濃度是百分之多少？例6有含鹽25%的鹽水400克，要使鹽水的濃度變?yōu)?0%,應(yīng)加入5%的鹽水多少克?思路點(diǎn)撥：設(shè)應(yīng)加入5%的鹽水x克?；旌虾篼}的含量等于混合前兩種溶液中鹽的和，列方程求解。解答：400X25%+xX5%=(400+x)X20%x=133：【跟蹤練習(xí)6］在濃度為20%的10千克食鹽水中加入5%的食鹽水和白開水各若干千克，加入的食鹽水是白開水質(zhì)量的2倍，得到濃度為10%的食鹽水，求加入白開水多少千克。例7甲、乙兩種酒精濃度分別為70%和55%,現(xiàn)要配制濃度為65%的酒精3000g,應(yīng)當(dāng)從這兩種酒精中各取多少克？思路點(diǎn)撥：根據(jù)配制溶液的過程中，前、后溶液中的溶質(zhì)沒有改變，可利用這個(gè)關(guān)系列出方程求解。解答：設(shè)甲種酒精取了xg,則乙種酒精取了(3000-x)go根據(jù)純酒精的質(zhì)量不變，可以列出方程：x?70%+(3000-x)?55%=3000?65%解得：x=2000(g)從而甲種酒精取2000g,乙種酒精取了1000g?！靖櫨毩?xí)7］含糖70%的糖水2000g和含糖60%的糖水3000g混合后的濃度是多少？例8把濃度為20%、30%和45%的三種酒精溶液混合在一起，得到濃度為35%的酒精溶液45kg。已知濃度為20%的酒精用量是濃度為30%的酒精用量的3。原來每種濃度的酒精溶液各用了多少千克？思路點(diǎn)撥：從“濃度為20%的酒精用量是濃度為30%的酒精溶液用量的3倍”這個(gè)條件可以知道，這兩種酒精混合后得到一種新的酒精溶液，其濃度為：(3X2O%+1X3O%)4-(3+1)=22.5%,這樣原題就變?yōu)榘褲舛葹?2.5%和45%的兩種酒精溶液混合在一起，得到濃度為35%的酒精溶液45%kg。求每種濃度的酒精溶液各用了多少千克就顯得容易多了。解答：濃度為20%與30%的兩種酒精按3：1的比例混合后所得到酒精溶液的濃度為(3X2O%+1X3O%)4-(3+1)=22.5%濃度為45%的酒精用量為：(45X35245X22.5%)4-(35%-22.5%)=25(kg)濃度為30%的酒精用量為(45-25)4-(3+1)=5(kg)濃度為20%的酒精用量為5X3=15(kg)答：濃度為20%、30%、45%三種酒精溶液分別用了15kg、5kg、25kg0【跟蹤練習(xí)81A種酒精中純酒精的含量為40%,B種酒精中純酒精含量為36%,C種酒精中純酒精的含量為35%,它們混合在一起得到了純酒精的含量為38.5%的酒精14，B種酒精比C種酒精多3L,那么其中的A種酒精有多少升？例9有甲、乙、丙三個(gè)容器。甲容器有濃度為40%的鹽水400克，乙容器中有清水400克，丙容器中有濃度為20%的鹽水400克。先把甲、丙兩容器中的鹽水各一半倒入乙容器攪勻后，再把乙容器中的鹽水200克倒入甲容器，200克倒入丙容器。這時(shí)甲、乙、丙三個(gè)容器中鹽水的濃度各是多少？思路點(diǎn)撥：此題用列表法求解比較直觀方便?！窘獯稹考兹萜饕胰萜鞅萜鏖_始40%的鹽水400克水400克20%的鹽水400克第40%的鹽水200克錯(cuò)誤!15%的鹽水800克20%的鹽水200克次第次錯(cuò)誤！27.5的鹽水400克15%的鹽水400克錯(cuò)誤！17.5%的鹽水400克答：最后甲容器中鹽水的濃度是27.5%,乙容器中鹽水的濃度為15%,丙容器中鹽水的濃度是17.5%o【跟蹤練習(xí)9】有甲、乙兩個(gè)容器，其中甲裝了960克純酒精，乙裝了640克水。第一次將甲的一半倒給乙，混合后再把乙的一半倒給甲，這樣連續(xù)三次后，甲中的溶液有多少克？其中含純酒精多少克？例10兩個(gè)杯中分別裝有40%與10%的食鹽水,倒在一起后混合食鹽水濃度為30%,若再加入300g、20%的食鹽水，則濃度變成25%,那么原有40%的食鹽水多少克？思路點(diǎn)撥：濃度為30%的食鹽水的質(zhì)量設(shè)為xg,那么再加入300g、20%的食鹽水得到濃度為25%的食鹽水共(300+x)g,xg、30%的食鹽水含鹽xX30%g,300g,20%的食鹽水含鹽300X20%g,(300+x)g、25%的食鹽水含鹽(300+x)X25%g,列方程：xX30%+300X20%=(300+x)X25%解出x=300,問題就變成為“把濃度40%與10%的食鹽水倒在一起，得到濃度為30%的食鹽水300g,求原有濃度40%的食鹽水多少克？”，設(shè)原有濃度40%的食鹽水yg,貝U10%的食鹽水有(300-y)g,同樣可列出方程解：解答：第一步：設(shè)濃度30%的食鹽水的質(zhì)量為xg,依題意得：xX30%+300X20%=(300+x)X25%解得：x=300第二步：設(shè)濃度40%的鹽水yg,10%的鹽水(300-y)goyX40%+(300-y)X10%=300X30%解得：y=200答:原有40%的鹽水200g?！靖櫨毩?xí)10】容器里裝有濃度為15%的酒精1000g,現(xiàn)在又分別倒入100g和400g的甲、乙兩種酒精，容器里的酒精濃度變?yōu)?4%,已知甲種酒精的濃度是乙種酒精的2倍，求甲種酒精的濃度。例11(第五屆“希望杯”邀請寒試題)一杯鹽水第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分之變?yōu)?5%；第二次又加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?2%；第三次加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比將變?yōu)?0思路點(diǎn)撥：這道題中沒有給溶液是多少克這個(gè)條件，也沒有給出加水前的濃度，但是我們看到每次加水都是一樣多的，在稀釋的過程中，溶質(zhì)沒有發(fā)生變化在。解答：設(shè)原有鹽水a(chǎn)克，每次加水b克，第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度為X%o[15%(a+b)=12%(a+2b),>12%(a+2b)=(a+3b)Xx%。化簡得r15(a+b)=12(a+2b),①112(a+2b)=(a+3b)x。②由①得15a+l5b=12a+24b3a=9ba=3b把③代入②得12(3b+2b)=(3b+3b)x60b=6bxX=10因此，第三次再加入同樣多的水b克，鹽水的含量為10%?！靖櫨毩?xí)11】從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？

專題7 比和比例例2光明小學(xué)將六年級的140名學(xué)生，分成三個(gè)小組進(jìn)行植樹活動。已知第一小組和第二小組人數(shù)的比是2：3,第二小組和第三小組人數(shù)的比是4：5o這三個(gè)小組各有多少人？思路點(diǎn)撥：先把兩兩的比轉(zhuǎn)化為三個(gè)小組人數(shù)的連比，再按求出的連比進(jìn)行分配。這是兩個(gè)比組成連比的常用方法。一、二兩組人數(shù)的比為2：3=8：12,二、三兩組人數(shù)的比為4：5=12：15,這樣一、二、三組人數(shù)的比為8：12：15o解答：總份數(shù)為8+12+15=35,O第一組有1：140X—=32（人）,第二組有：140X在=48（人）,第三組有：140X嬴=60（人）。答：第一小組有32人，第二小組有48人，第三小組有60人。例3如圖8-2所示，一塊長方形地被兩條公路分成四個(gè)長方形，其中三個(gè)的面積分別是20畝、25畝和30畝。問另一塊（圖中的陰影部分）長方形地的面積是多少畝？圖8-2例3如圖8-2所示，一塊長方形地被兩條公路分成四個(gè)長方形，其中三個(gè)的面積分別是20畝、25畝和30畝。問另一塊（圖中的陰影部分）長方形地的面積是多少畝？圖8-2思路點(diǎn)撥：圖中面積是20畝與30畝的兩個(gè)長方形的長相等，其面積比為20：30=2：3,所以它們寬的比為2：3,而面積為25畝和陰影部分兩個(gè)長方形的長相等，寬的比也是2：3,所以它們的面積比是2：3o解答：20：30=2：3325X-=37.5（畝）乙也可以列比例解：設(shè)另一個(gè)長方形的面積是X畝。20：25=30：xx=37.5答：另一個(gè)長方形的面積是37.5畝。【跟蹤練習(xí)3】一個(gè)長方形長與寬的比是14：5,如果長減少13cm,寬增加13cm,則面積增加182cm2,那么原長方形面積是多少平方厘米？例4兩個(gè)服裝廠，一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的西服數(shù)量是6：5,兩廠西服價(jià)格價(jià)格的比是11：10。已知這個(gè)月兩廠的總產(chǎn)值為6960萬元。兩廠的產(chǎn)值各是多少萬元？思路點(diǎn)撥：產(chǎn)值=價(jià)格X數(shù)量甲產(chǎn)值：乙產(chǎn)值=（甲產(chǎn)量X甲價(jià)格）：（乙產(chǎn)量X乙價(jià)格）解答：兩廠的產(chǎn)值比為（6X11）：（5X10）=66：5566甲廠產(chǎn)值：6960X77777=3960（萬元）66+50乙廠產(chǎn)值：6960-3960=3000（萬元）答：兩廠的產(chǎn)值分別是3960萬元和3000萬元。【跟蹤練習(xí)4】有一筐大蘋果和一筐小蘋果，大蘋果與小蘋果的單價(jià)比是5：4,其質(zhì)量比是2：3,把兩筐蘋果混在一起成100千克的混合蘋果，單價(jià)為每千克4.4元，兩筐蘋果原單價(jià)各是多少元？

例5甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，出發(fā)時(shí)他們的速度比是3：2,他們第一次相遇后，甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有14km,那么A、B兩地的距離是多少千米？3份 23份 2份?T?A B相遇后，甲、乙兩人的速度比為[3X(1+20%)]：[2X(1+30%)]=3.6：2.6=18：13。當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，甲又走了2份的路TOC\o"1-5"\h\z13 4程，這時(shí)乙的路為2Xg=1￡(份)。而乙從相遇后到達(dá)A還要走3份的路程,ioy45 R還剩下3-玲王(份)，正好還剩下14km,所以1份這樣的路程是14+噂=9yy y(km)oA、B兩地有這樣的.3+2=5(份)，因此，A、B兩地的總路程可求出。解答：[3X(1+20%)]：[2X(1+30%)]=18：13144-(3-2x||)=144-=9(km)9X(3+2)=45(km)答：A、B兩地的總路程為45km。例6師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5min,徒弟加工一個(gè)零件用9min,完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？思路點(diǎn)撥：師傅加工一個(gè)零件用5min,每分鐘可加工看個(gè)零件，徒弟加工□一個(gè)零件用9min,每分鐘可加工零件:個(gè)，師徒兩人效率的比是：：:=9：5,y &y由于兩人的工作時(shí)間是一定的，根據(jù)或募=工作時(shí)間(一定)，工作量與工作效率成正比例。解答：設(shè)師傅加工X個(gè)，徒弟加人(168-X)個(gè)。x9168-x=55x=168X9-9x解得：x=108168-x=168-108=60(個(gè))答：師傅加工108個(gè)，徒弟加工60個(gè)。【跟蹤練習(xí)6】加工一個(gè)零件，甲需3min,乙需3.5min,丙需4min,現(xiàn)在有1825個(gè)零件需要加工。如果規(guī)定三人同樣的時(shí)間完成任務(wù)，分別應(yīng)該各做多少個(gè)？例7李師傅原定若干小時(shí)內(nèi)加工一批零件。他又估算了一下，如果按照原定計(jì)劃加工120個(gè)零件后，工作效率提高25%,可提前40min完成，如果一開始工作效率就提高20%的話，就可提前l(fā)h完成。他原計(jì)劃每小時(shí)加工多少個(gè)零件？思路點(diǎn)撥：如果按計(jì)劃加工120個(gè)零件后，加工余下的零件時(shí)工效提高了25%,即工效與原來的工效比為(1+25%)：1=5：4,加工余下零件所用的時(shí)間與原來的比為何：5,則原來加工余下零件所用的4 1時(shí)間是：404-(1--)=200(min)=3-(h)o假設(shè)一開始工作效率0 6就提高20%,則提高后的工效與原來的工效比為(1+20%)：1=6：5,這樣所需時(shí)間與原來所需時(shí)間比為5：6,原來加工這批零件所用的時(shí)間就是1+(1-焉)=6(h)0則原來加工120個(gè)零件所用的時(shí)間就是6-3|=2|(h),原來每小時(shí)加工零件個(gè)數(shù)可知。解答：(1+25%)；1=5:4404-(1-1)=200(min)=3-(h)(1+20%)；1=6:5514-(1-t)=6(h)61204-(6-3g)=1204-2|=45(個(gè))答：他原計(jì)劃每小時(shí)加工45個(gè)零件。例8甲容器中有純酒精的11L,乙容器中有水9LO第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精和水混合；第二次將乙容器中的一部分混合液例入甲容器。這樣，甲容器中酒精含量為62.5%,乙容器中酒精含量25%,那么，第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？思路點(diǎn)撥：關(guān)鍵在乙容器。第二次將乙容器中一部分混合液倒入甲容器中，并沒有改變乙容器中酒精濃度。這是問題解決的突破口。由“乙容器中酒精含量為25%”，這說明倒混合液之前，乙容器中酒精的含量為25%。所以第一次將甲容器中一部分酒精倒入乙容器，乙容器中酒精與水的比國25%：(1-25%)=1：3o原來乙容器有水9L,可知第一次甲容器倒入乙容器的酒精為9X1+3=3(L),因此甲容器剩下的酒精為11-3=8(Do第二次操作后，甲容器中酒精與水的比為62.5%：(1-62.5%)=5：3。這時(shí)把甲容器的液體看成兩部分：一部分是原來的8L純酒精，另一部分是從乙容器倒過來的混合液。由乙容器中酒精與水的比為1:3,便可以求出混合液的體積。所以，甲容器中的純酒精與溶液質(zhì)量的比是5：8。解答：設(shè)第二次從乙容器中倒入甲容器中的混合液是xL,依題意更方程：xX25%+⑴-3)x+(11-3) 一62.5%解得：x=8答：第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是8L。【跟蹤練習(xí)8】甲桶油比乙桶油多3.6千克，從兩桶中各取出1千克油后,1 2乙桶里剩下油的5相當(dāng)于甲桶里剩下的荷，那么甲桶中現(xiàn)有多少千克？例9某工地用三種型號的卡車運(yùn)送土方，已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10：7：6,速度之比為6：8：9,運(yùn)送土方的路程之比是15：14：14,三種土方的重量比是10：5：7?工程開始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入。直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了25天完成任務(wù)。那么，甲種車完成的工作量與總的工作量之比是多少？思路點(diǎn)撥：先求出甲、乙、丙三種車工作時(shí)間的比，再求出三種車完成的工作量之比，問題可解。解答：甲種車的一半干25天，另一半干15天，相當(dāng)于所有甲種車都干20天，所以甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比為：20：25：25=4：5：5相同時(shí)間內(nèi)，三種車各一輛完成的工程量之比為：

10X6157X8~\A10X6157X8~\A-TT-=4：4：—=28：28：27■L4 i甲、乙、丙三種車完成的工作量之比為：(28X10X4)：(28X5X5)：(27X7X5)=32：20：27甲種車完成的工程量與總工作量之比為：32：(32+20+27)=32：79答：甲種車完成的工作量與總工作量之比為32：790【跟蹤練習(xí)9】甲、乙兩桶中都盛有酒精的水溶液，甲桶中有14千克，乙桶中有10千克。甲桶中純酒精與水之比為3：4,乙桶中純酒精與水之比為2：3o現(xiàn)將兩桶的溶液混合，求所得溶液中純酒精與水之比是多少？例10獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10m元的前方有一只奔跑著的野兔，立刻追趕。獵犬的步子大，它跑2步的路程，野兔要跑3步；但是野兔的動作快，獵犬跑3步的時(shí)間，野兔能跑4步。問獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？思路點(diǎn)撥：從獵犬開始追趕野兔到追上野兔，獵犬和野兔所用的時(shí)間相等,即時(shí)間一定，因此他們跑的速度與距離成正比例。要求出獵犬跑的距離，關(guān)鍵是求出獵犬與野兔的速度之比。野兔速度=2距離單位3時(shí)間單位解答：因?yàn)橐巴?步距離等于獵犬2步距離，不妨設(shè)野兔一步為2距離單位，則獵犬一步為3距離單位；又因?yàn)橐巴?步的時(shí)間等于獵犬3步的時(shí)間，所以可設(shè)野兔每跑一步需3時(shí)間單位，獵犬每跑一步需4野兔速度=2距離單位3時(shí)間單位9而距離單位/時(shí)間單位港犬辣南一3距離單位獵犬速度一4時(shí)間單位距離單位/時(shí)間單位所以野兔與獵犬的速度比為設(shè)獵犬至少要跑過xm才能追上野兔，則此時(shí)野兔跑過(x-10)m,根據(jù)時(shí)間一定，速度和距離成正比：8：9=(x-10)：x8x=9(x-10),8x=9x-90,x=90答：獵犬至少要跑過90m才能追上野兔。【跟蹤練習(xí)10】一段路全長30千米，分成上坡、平路、下坡三段路，各段路程長的比是1：2：3,某人走各段路程所用的時(shí)間之比是4：5：6,已知他上坡的速度是每小時(shí)3千米。問此人走完全程共用了多長時(shí)間？專題8 大小的比較例1比較下面幾個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。?g1史1處23、17、19°思想點(diǎn)撥：三個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分相同，因而只要比較分?jǐn)?shù)部分即可。三個(gè)分母兩兩互質(zhì)且較大，通分較繁瑣。三個(gè)分子的最