2024～2025學年度八年級數(shù)學上冊第1課時 等邊三角形的性質和判定教學設計

13.3.2等邊三角形第1課時等邊三角形的性質和判定教學目標課題13.3.2第1課時等邊三角形的性質和判定授課人素養(yǎng)目標1.探索等邊三角形的性質和判定方法，提高推理能力.2.合理利用等邊三角形的性質和判定方法解決問題，發(fā)展應用意識.教學重點探究等邊三角形的性質與判定方法,并進行簡單的應用.教學難點等邊三角形的性質與判定的應用.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，引入新知設計意圖通過回顧等腰三角形的知識，為后面的探究學習做準備.【復習導入】我們知道，等邊三角形是三邊都相等的特殊的等腰三角形.回顧前面課時的內容，試著填一填下面的表格.那等邊三角形又有什么特殊的性質呢？讓我們開始今天的學習.【教學建議】回顧完等腰三角形的相關知識后，可任意畫一個等邊三角形，讓學生說說它的腰和底，讓學生體會等邊三角形的特殊性.活動二：運用舊知，推理新知設計意圖由等腰三角形的性質得出等邊三角形的性質，加強推理能力.探究點等邊三角形的性質和判定問題1把等腰三角形的性質用于等邊三角形，能得到什么結論？（1）從邊的角度比較兩者，等邊三角形的三條邊有什么數(shù)量關系？由定義可知：等邊三角形的三條邊都相等.幾何語言：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC.（2）從角的角度比較兩者，等邊三角形的三個內角有什么數(shù)量關系？角度是多少？你能得到什么結論？試著證明下.【教學建議】等邊三角形的每一條邊都可以作為底或腰，每一個角都可以作為頂角或底角，讓學生根據(jù)不同的劃分方式，自然地找出更多的等量關系，推理出等邊三角形的各種特殊性質.教學步驟師生活動設計意圖探索等邊三角形的判定方法，加強推理能力.結論：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB＝AC＝BC，求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對等角)．同理∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.(3)從“三線合一”的角度比較兩者，等邊三角形的“三線”有怎樣的關系？等邊三角形有幾條對稱軸？等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”．等邊三角形有三條對稱軸．(4)結合以上幾點，請你完成下面的表格內容.問題2通過前面的學習，我們知道從邊的角度可以判斷一個三角形是等邊三角形，那么從角的角度如何判斷呢？(1)通過上面性質的學習，我們很容易聯(lián)想到：三個角都相等的三角形是等邊三角形．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求證：△ABC是等邊三角形．證明：由∠A＝∠B，得BC＝AC.由∠B＝∠C，得AC＝AB.所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等邊三角形．(2)對于一個等腰三角形，如果有一個角是60°，那么它是等邊三角形嗎？有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝60°，求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°，∴60°＋2∠B＝180°.∴∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.由(1)中結論可知，△ABC是等邊三角形.【教學建議】為了說明有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，除了由頂角∠A＝60°證得結論外，還需由底角∠B＝60°(或∠C＝60°)證得△ABC是等邊三角形，教師可根據(jù)課堂教學情況，選2位學生分別上臺板演另外兩種情況的證明．教學步驟師生活動【對應訓練】教材P80練習第1～2題．活動三：鞏固提升，綜合運用設計意圖與其他知識結合，加強對等邊三角形的性質和判定的掌握.例(教材P80例4)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等邊三角形.追問：想一想，本題還有其他證法嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C，∠A＝60°.∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE(等角對等邊).∴△ADE是等腰三角形.又∠A＝60°，∴△ADE是等邊三角形.【變式訓練】變式1若點D，E分別在邊AB，AC的延長線上，且DE∥BC，結論還成立嗎？解：成立．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式2若點D，E分別在邊AB，AC的反向延長線上，且DE∥BC，結論依然成立嗎？解：依然成立．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E.∴∠D＝∠E＝∠BAC＝∠DAE.∴△ADE是等邊三角形.【教學建議】給學生說明，等邊三角形中角的等量關系經常與平行線的性質結合，通過同位角(內錯角)相等進行轉化，從而得到新的等量關系，以此來判定其他三角形是等邊三角形.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.等邊三角形有什么特殊性質？2.怎樣判定一個三角形是等邊三角形？【知識結構】教學步驟師生活動【作業(yè)布置】1.教材P83習題13.3第12，14題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計13.3.2等邊三角形第1課時等邊三角形的性質和判定 1.等邊三角形的性質. 2.等邊三角形的判定.教學反思本節(jié)課利用等腰三角形的知識，推出等邊三角形的特殊性質和判定方法，鞏固了學生舊知的同時，也提升了學生的推理能力，并讓他們掌握了有關等邊三角形的新知識．部分學生在推導等邊三角形的性質和判定方法時，依靠直觀感受，欠缺用數(shù)學知識嚴格推理的理念，今后要對他們的思維習慣進行適當引導.解題大招一利用等邊三角形求角度等邊三角形的每一個內角都為60°.解題時要仔細觀察圖形特點，結合其他條件靈活解題．看到垂直可想到互余，看到三角形可想到三角形內角和定理及外角．有時題目未直接給出等邊三角形，需要先判定三角形是等邊三角形再解題．例1如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（B）A．92°B．102°C．112°D．114°解析：如圖，設AB，AC分別交直線a于點D，E.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°.又∠ADE＝∠1＝42°，∴∠DEC＝∠ADE＋∠A＝102°.又a∥b，∴∠2＝∠DEC＝102°.故選B.例2如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫出射線OB，則∠AOB＝（C）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如圖，連接AB，根據(jù)題意得OB＝OA＝AB，∴△AOB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°.故選C.解題大招二利用等邊三角形求線段長等邊三角形的三條邊相等．實際解題時，常常需將等邊三角形的判定與性質結合起來，先判定三角形是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質求解．判定等邊三角形的關鍵是找出題中的相等線段和60°角．例3由于木質衣架沒有柔性，所以在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，套進衣服后松開即可．如圖①，衣架桿OA＝OB＝18cm.若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖②，則此時A，B兩點之間的距離是（C）A．9cmB．16cmC．18cmD．20cm解析：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形．∴AB＝OA＝OB＝18cm，故選C.例4如圖是一個殘缺不全的三角形紙片，小明通過測量發(fā)現(xiàn)AB＝10cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，則三角形紙片破損前的周長為30cm.解析：如圖，延長AC，BD相交于點E.∵∠CAB＋∠DBA＋∠E＝180°，∠CAB＝∠DBA＝60°，∴∠E＝60°.∴∠CAB＝∠DBA＝∠E.∴△ABE為等邊三角形．∴AE＝BE＝AB＝10cm.∴△ABE的周長＝AE＋BE＋AB＝30cm，即三角形紙片破損前的周長為30cm.例5將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C對應的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為2cm.解析：∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．例6如圖，在△ABC與△DBC中，AB＝AC＝10cm，DB＝DC，連接AD交BC于點E.若∠ABC＝60°，求BE的長．解：∵AB＝AC＝10cm，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴BC＝AB＝AC＝10cm.∵AB＝AC，DB＝DC，∴點A，D都在BC的垂直平分線上．∴AD是BC的垂直平分線．∴BE＝eq\f(1,2)BC＝5cm.培優(yōu)點等邊三角形、全等三角形的綜合問題例1如圖，C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交NC于點F.求證：(1)AN＝BM；(2)△CEF為等邊三角形．分析：證明：(1)∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠NCB＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(S