對(duì)于全等三角形旋轉(zhuǎn)難題

關(guān)于全等三角形旋轉(zhuǎn)難題關(guān)于全等三角形旋轉(zhuǎn)難題關(guān)于全等三角形旋轉(zhuǎn)難題旋轉(zhuǎn)，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠

ACB=90°，F(xiàn)是

AB的中點(diǎn)，直線

l經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C，分別過(guò)點(diǎn)

A、B作

l的垂線，即AD⊥CE，BE⊥CE，1〕如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；2〕如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD；3〕如圖3，當(dāng)CE在△ABC的外面時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)．專題：證明題；研究型．解析：

〔1〕利用同角的余角相等得出∠

CAD=∠BCE，進(jìn)而依照AAS證明△ADC≌△CEB．〔2〕依照AAS證明△ADC≌△CEB后，得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而獲取

ED=BE-AD．3〕依照AAS證明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，進(jìn)而獲取ED=AD+BE．解答：〔1〕證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE〔同角的余角相等〕．在△ADC與△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB〔AAS〕．2〕證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE〔同角的余角相等〕．在△ADC與△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB〔AAS〕．DC=BE，AD=CE．又∵ED=CD-CE，ED=BE-AD．3〕ED=AD+BE．證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE〔同角的余角相等〕．在△ADC與△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB〔AAS〕．DC=BE，AD=CE．又∵ED=CE+DC，ED=AD+BE．議論：此題觀察了全等三角形的判斷和性質(zhì)；利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量交換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3.如圖1、圖2、圖3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，1〕在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的地址關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明原由。2〕假設(shè)△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)必然角度后，到達(dá)圖2的地址，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎，還擁有那種地址關(guān)系嗎？為什么？3〕假設(shè)△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)必然角度后，到達(dá)圖3的地址，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎？還擁有上問(wèn)中的地址關(guān)系嗎？為什么？考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形．解析：〔1〕依照等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答．〔2〕證明△DOB≌△COA，依照全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行說(shuō)明．解答：解：〔1〕相等．在圖1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；〔2〕相等．在圖2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，BD=AC．議論：此題觀察了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角．4.〔2021河南〕．〔9分〕復(fù)習(xí)“全等三角形〞的知識(shí)時(shí)，老師部署了一道作業(yè)題：“如圖①，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，那么BQ=CP．〞小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他經(jīng)過(guò)對(duì)圖①的解析，證了然△ABQ≌△ACP，進(jìn)而證得BQ=CP此后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP〞依舊成立，請(qǐng)你就圖②給出證明．考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．專題：證明題；研究型．解析：此題的兩個(gè)小題思路是一致的；∠QAP=∠BAC，那么這兩個(gè)等角同時(shí)減去同一個(gè)角〔2題是加上同一個(gè)角〕，來(lái)證得∠QAB=∠PAC；而依照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ，且AB=AC，即可由SAS證得△ABQ≌△ACP，進(jìn)而得出BQ=CP的結(jié)論．解答：證明：〔1〕∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中，AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC，∴△BQA≌△CPA〔SAS〕；BQ=CP．2〕BQ=CP依舊成立，原由以下：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；在△QAB和△PAC中，AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，∴△QAB≌△PAC〔SAS〕，BQ=CP．議論：此題主要觀察了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答此題的要點(diǎn)．5.〔2021

山西太原〕將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開(kāi)，獲取圖①中的兩張三角形膠片

△ABC和△DEF．且

△ABC≌△DEF

。將這兩張三角形膠片的極點(diǎn)

B與極點(diǎn)

E重合，把

△DEF

繞點(diǎn)

B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)

AC

與DF

訂交于點(diǎn)

O．①當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②地址，點(diǎn)B(E)，C，D在同素來(lái)線上時(shí)，AFD與DCA的數(shù)量關(guān)系是．②當(dāng)△DEF連續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③地址時(shí)，〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明原由．點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．專題：研究型．解析：〔1〕依照外角的性質(zhì)，得∠AFD=∠D+∠ABC，DCA=∠A+∠ABC，進(jìn)而得出∠AFD=∠DCA；2〕成立．由△ABC≌△DEF，可證明∠ABF=∠DEC．那么△ABF≌△DEC，進(jìn)而證出∠AFD=∠DCA；〔3〕BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可證得點(diǎn)B在AD的垂直均分線上，進(jìn)而證得點(diǎn)O在AD的垂直均分線上，那么直線BO是AD的垂直均分線，即BO⊥AD．解答：解：〔1〕∠AFD=∠DCA〔或相等〕．〔2〕∠AFD=∠DCA〔或成立〕，原由以下：方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF〔或BF=EC〕，∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-CBF，∴∠ABF=∠DEC．在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA．方法二：連接AD．同方法一△ABF≌△DEC，AF=DC．由△ABC≌△DEF，得FD=CA．在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．〔3〕如圖，BO⊥AD．方法一：由△ABC≌△DEF，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD．∴點(diǎn)B在AD的垂直均分線上，且∠BAD=∠BDA．∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，∴∠OAD=∠ODA．OA=OD，點(diǎn)O在AD的垂直均分線上．∴直線BO是AD的垂直均分線，BO⊥AD．方法二：延長(zhǎng)BO交AD于點(diǎn)G，同方法一，OA=OD．在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．BO⊥AD．議論：此題觀察了三角形全等的判斷和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).ADFBEC考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．解析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF〔SAS〕可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解題．解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF〔SAS〕，∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF〔SSS〕，∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°．答：∠EAF的角度為45°．議論：此題觀察了正方形各內(nèi)角均為直角，觀察了全等三角形的判斷，觀察了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，此題中求證∠EAG=∠EAF是解題的要點(diǎn)．B例2D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。〔1〕當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF?！?〕假設(shè)AB=2，求四邊形DECF的面積。

AEMCAFN考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：計(jì)算題．解析：〔1〕連CD，依照等腰直角三角形的性質(zhì)獲取CD均分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，那么∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，依照等角的余角相等獲取∠CDE=∠ADF，依照全等三角形的判斷易得△DCE≌△ADF，即可獲取結(jié)論；2〕由△DCE≌△ADF，那么S△DCE=S△ADF，于是四邊形DECF的面積=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，依照三角形的面積公式易求得S△ACD，進(jìn)而獲取四邊形DECF的面積．解答：解：〔1〕連CD，如圖，∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD均分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，∵∠DM⊥DN，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△DCE和△ADF中，AAA∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，EMBEMB∴△DCE≌△ADF，B∴DE=DF；FCD〔2〕∵△DCE≌△ADF，CDCDFFNE∴S△DCE=S△ADF，NN∴四邊形DECF的面積=S△ACD，M而AB=2，〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕∴CD=DA=1，∴四邊形DECF的面積=S△ACD=12CD?DA=12．議論：此題觀察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也觀察了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷與性質(zhì)．1、四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120o，∠MBN60o，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC〔或它們的延長(zhǎng)線〕于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)〔如圖1〕，易證AECFEF．當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論可否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)恩賜證明；假設(shè)不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．2、〔西城09年一?！?PA=2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)∠APB變化,且其他條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.3、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為VABC外一點(diǎn)，且MDN60,BDC120,BD=DC.研究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上搬動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3Q〔I〕如圖

1，當(dāng)點(diǎn)

M、N

邊

AB、AC

上，且

DM=DN

時(shí)，BM、NC、MN

之間的數(shù)量關(guān)系是

；此時(shí)L；〔II〕如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想〔〔III〕如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，假設(shè)AN=x，那么Q=〔用x、L表示〕．

I〕問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．解析：〔1〕由DM=DN，∠MDN=60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，爾后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN，此時(shí)

QL=23

；2〕在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易證得∠CDN=∠MDN=60°，那么可證得△MDN≌△M1DN，爾后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論依舊成立；3〕第一在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，爾后證得∠CDN=∠MDN=60°，易證得△MDN≌△M1DN，那么可得NC-BM=MN．解答：解：〔1〕如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN．此時(shí)QL=23．〔2分〕．原由：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，DM=DN，BD=CD，Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；∴AM=AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB=AM+BM，∴AM：AB=2：3，∴QL=23；〔2〕猜想：結(jié)論依舊成立．〔3分〕．證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，連接

DM1．〔4分〕∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，QL=23；3〕證明：在CN上截取CM1=BM，連接DM1．〔4分〕可證△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，〔5分〕可證∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，〔7分〕．∴NC-BM=MN．〔8分〕．議論：此題觀察了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的要點(diǎn)是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．例8．〔2005年馬尾〕用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的極點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).〔1〕當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，〔如圖13—1〕，經(jīng)過(guò)觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；〔2〕當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)〔如圖13—2〕，你在〔1〕中獲取的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明原由.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判斷與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解析：〔1〕利用全等三角形的判斷得出△ABE≌△ACF即可得出答案；2〕依照能夠得出∠BAE=∠CAF，進(jìn)而求出△ABE≌△ACF即可；3〕利用四邊形AECF的面積S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．解答：解：〔1〕得出結(jié)論是：BE=CF，證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即：∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，∴∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，∴△ABE≌△ACF〔ASA〕，∴BE=CF，〔2〕還成立，證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，即∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，∴△ABE≌△ACF〔ASA〕，∴BE=CF，3〕證明：∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE=S△ACF，∴四邊形AECF的面積S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC；而S△ABC=12S菱形ABCD，S=12S菱形ABCD．議論：此題主要觀察了全等三角形的判斷以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判斷求出是解題要點(diǎn)．解：〔1〕BE=CF.證明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF.AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF〔ASA〕.BE=CF.2〕BE=CF依舊成立.依照三角形全等的判斷公義，同樣能夠證明△ABE和△ACF旋轉(zhuǎn)型1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)G與C、D不重合〕，以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H。D求證：①△BCG≌△DCEAH②BH⊥DEGFBEC考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；線段垂直均分線的性質(zhì)．專題：動(dòng)點(diǎn)型．解析：〔1〕依照正方形的邊的性質(zhì)和直角可經(jīng)過(guò)SAS判斷△BCG≌△DCE，進(jìn)而利用全等的性質(zhì)獲取∠BGC=∠DEC；〔2〕連接BD，解題要點(diǎn)是利用垂直均分線的性質(zhì)得出BD=BE，進(jìn)而找到BD=2，CE=BE-BC=2-1，依照全等三角形的性質(zhì)求解即可．解答：解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD、GCEF都是正方形，BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC∴△BCG≌△DCE〔3分〕∴∠BGC=∠DEC〔4分〕2〕連接BD若是BH垂直均分DE，那么有BD=BE〔6分〕BC=CD=1，BD=2〔8分〕CE=BE-BC=2-〔19分〕CG=CE=2-1即當(dāng)CG=2-1時(shí)，BH垂直均分DE．〔10分〕議論：此題主要觀察正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和線段的垂直均分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段的垂直均分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．特別圖形的特別性質(zhì)要熟練掌握．2、兩個(gè)大小不同樣的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，線上，連接DC．〔1〕請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并恩賜證明〔說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未表記的字母〕；〔2〕證明：DC⊥BE．

B，C，E在同一條直考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)

；等腰直角三角形．DABCE專題：證明題．圖1圖2解析：〔1〕此題依照△ABC與△AED均為等腰直角三角形，簡(jiǎn)單獲取全等條件證明△ABE≌△ACD；〔2〕依照〔1〕的結(jié)論和條件能夠證明DC⊥BE．解答：證明：〔1〕∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．即∠BAE=∠CAD，在△ABE與△ACD中，∵AB=ACBAE=CADAE=AD∴△ABE≌△ACD．2〕∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°．又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°．∴DC⊥BE．議論：此題是一個(gè)實(shí)質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，利用全等三角形的性質(zhì)與判斷來(lái)解決實(shí)責(zé)問(wèn)題，要點(diǎn)是理解題意，獲取所需要的條件．3、〔1〕如圖OCD，連接

7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AC和BD，訂交于點(diǎn)E，連接BC．求∠AEB的大??；

AD的同側(cè)作等邊三角形

OAB和等邊三角形CBEDOA圖7〔2〕如圖8，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)〔OAB和OCD不能夠重疊〕，求∠AEB的大小.BCEOAD圖84、如圖，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，∠B=∠E，求證：〔1〕BD=CE；〔2〕BD⊥CE．．證明：〔1〕AE⊥AB，AD⊥AC∠BAE=∠CADBAD=∠CAE．而AB=AE，∠B=∠E，∴△ABD≌△AEC．∴BD=CE．2〕由△ABD≌△AEC知∠B=∠E．而∠AGB=∠EGF，∴∠EFG=∠EAB=90°，∴BD⊥CE．如圖，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，訂交于點(diǎn)E，連接BC．求∠AEB的大小．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．專題：計(jì)算題．解析：由于△BOC和△ABO都是等邊三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA，進(jìn)而求出∠BDA與∠CAD的大小及關(guān)系，那么可求解∠AEB．解答：解：∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，OD=DC=OC=OB=OA，∴△ACD≌△DBA，∴∠BDA=∠CAD．又∵∠BDA+∠OBD=∠BOA=60°，而∠ODB=∠OBD，∴∠BDA=30°．∴∠CAD=30°．∵∠AEB=∠BDA+∠CAD，∴∠AEB=60°．議論：此題觀察了全等三角形的判斷與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論搜尋全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判斷線段相等，求得角的度數(shù)是正確解答此題的要點(diǎn)．答題：yeyue5、以以下圖，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFFEAMBC6、正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).ADFBEC考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．解析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADFSAS〕可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解題．解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF〔SAS〕，∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，B又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF〔SSS〕，A∴∠EAG=∠EAF，E∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°MCAF∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°．答：∠EAF的角度為45°．議論：此題觀察了正方形各內(nèi)角均為直角，觀察了N全等三角形的判斷，觀察了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，此題中求證∠EAG=∠EAF是解題的要點(diǎn)．7、D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。①當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。②假設(shè)AB=2，求四邊形DECF的面積。10、如圖，

AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形

ABCDE的面積考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)．專題：應(yīng)用題．解析：可延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)變成兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．解答：解：延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF，在Rt△ABC與Rt△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴Rt△ABC≌Rt△AEF〔SAS〕，AC=AF，在△ACD與△AFD中，AC=AFCD=DFAD=AD∴△ACD≌△AFD〔SSS〕，SABCDE=2S△ADF=2×12?DF?AE=2×12×2×2=4．議論：此題主要觀察了全等三角形的判斷及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG那么GE=GB+BE=DF+BE=EFAD又AE=AE，AF=AG，F(xiàn)因此三角形AEF全等于AEG因此∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90BEC因此∠EAF=45度〔1〕如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角極點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線、DC分別交于點(diǎn)E、F．請(qǐng)你經(jīng)過(guò)觀察、測(cè)量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明原由．2〕將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的地址，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明原由．3〕若是將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的地址，PE、PF之間可否還擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系？若是有，請(qǐng)說(shuō)明原由．若是沒(méi)有，那么點(diǎn)P在AC的什么地址時(shí)，PE、PF才擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．解析：〔1〕證明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．〔2〕此題要借助輔助線的幫助．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．〔3〕PE、PF不擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)

P在

AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才擁有〔

2〕中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：〔1〕如圖1，AE=AF．原由：證明△ABE≌△ADF〔ASA〕2〕如圖2，PE=PF．原由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，那么PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF〔ASA〕，進(jìn)而證得PE=PF．〔3〕PE、PF不擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才擁有〔

2〕中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．解析：

〔1〕證明△

ABE≌△ADF可推出AE=AF．〔2〕此題要借助輔助線的幫助．過(guò)點(diǎn)

P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△

PME≌△PNF可推出

PE=PF．3〕PE、PF不擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：1〕如圖1，AE=AF．原由：證明△ABE≌△ADF〔ASA〕2〕如圖2，PE=PF．原由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，那么PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF〔ASA〕，進(jìn)而證得PE=PF．〔3〕PE、PF不擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才擁有〔2〕中的數(shù)量關(guān)系．議論：此題觀察的是正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷．例8．〔2005年馬尾〕用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的極點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).1〕當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，〔如圖13—1〕，經(jīng)過(guò)觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；2〕當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線訂交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)〔如圖13—2〕，你在〔1〕中獲取的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明原由.解：〔1〕BE=CF.證明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF.AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF〔ASA〕.BE=CF.2〕BE=CF依舊成立.依照三角形全等的判斷公義，同樣能夠證明△ABE和△ACF1、用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD把.一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的極點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).〔1〕當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD訂交于點(diǎn)E、F時(shí)〔如圖所示〕，經(jīng)過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你AD的結(jié)論；F〔2〕當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線訂交于點(diǎn)時(shí)〔以以下圖〕，你在