線代畢業(yè)論文

word文檔可自由復制編輯第四節(jié)行列式的性質(zhì)行列式有如下7條性質(zhì)n階行列式：，若把D的行變?yōu)榱械玫叫滦辛惺饺缦?，行列式DT(或D′)稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.注意:轉(zhuǎn)置行列式也可以看作以主對角線為軸,行列式翻轉(zhuǎn)180°的結(jié)果.性質(zhì)1行列式D=DT證明:,應(yīng)用數(shù)學歸納法,當n=2時,結(jié)論顯然成立,即假設(shè)n-1時結(jié)論成立,即n-1階行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,將n階行列式D按第一行展開,有將n階行列式DT按第一列展開,有所以n階行列式D=DT由行列式的性質(zhì)1可以看出,行列式的行和列的地位相同,行所具有的性質(zhì)對于列也成立,反之亦然.性質(zhì)2若行列式中有某一行(或列)為零,則這個行列式的值等于零.說明:把行列式按此行(或列)展開即可.性質(zhì)3行列式中任何兩行(或兩列)互換位置,行列式的值變號.證明:,第一行與第三行互換位置后,行列式變?yōu)閷按第一行展開,得將D1按第三行展開,得此性質(zhì)對于n階行列式也成立.推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式等于零.說明:交換這兩行(列)行列式D化為D1,由性質(zhì)2知,-D=D1,由于交換的兩行(列)相同,故D=D1,因此,-D=D,D=0性質(zhì)4行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)λ,等于用數(shù)λ乘此行列式.反之,行列式的某一行(列)中所有的元素有公因數(shù),則可以把這個公因數(shù)從行列式中提出來,即說明:上面兩個行列式若按第i行展開,結(jié)果是相同的.推論:行列式中如果有兩行(列)元素對應(yīng)成比例,則此行列式等于零.性質(zhì)5若行列式的某一行(列)的每個元素都是兩個數(shù)之和,例如第i行的元素都是兩數(shù)之和:即,則D等于下列兩個行列式之和:.說明:記三個行列式為D,D1,D2,則性質(zhì)6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去,行列式不變.即.說明:性質(zhì)5和性質(zhì)4可得性質(zhì)6,這個性質(zhì)在行列式的計算中非常重要.性質(zhì)7行列式每一行(或列)的每個元素與另一行(或列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零,即說明:n階行列式按第j行展開,于是得下面結(jié)論,或在處理和計算行列式時,常用上述7條性質(zhì),為了表達簡潔,引入下列記號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例如,例9計算行列式解:利用行列式的性質(zhì),把D化為相等的上(下)三角行列式,再寫出結(jié)果,這是計算行列式的常用方法.說明:(1)利用性質(zhì)6,先把a11下面的所有元素化為零;(2)再把a22下面的所有元素化為零;(3)重復操作,直到化為三角行列式為止;(4)對于列也可以采用同樣的處理方法,化為其它類型的三角行列式,再求值.求行列式的值時,常用的方法還有按某行(列)展開,達到降階的目的,從而化簡行列式,直到求出結(jié)果為止.例10計算行列式解:要善于用兩種方法求行列式的值:1.化為三角行列式(四種結(jié)果)2.按某一行(列)展開(選零較多的行(列)).例11計算行列式行列式是研究數(shù)學的重要工具之一.例如線性方程組（見文[1]-[5]）、多元一次方程組的解、三維空間中多個平面組或多個點組的相關(guān)位置(見文[2])、初等代數(shù)（見文[9]）、解析幾何（見文[6]-[8]）、維空間的投影變換、線性微分方程組等,用行列式來計算是很便利的.本文進一步研究探討了行列式在線性方程組、初等代數(shù)、解析幾何三個方面的應(yīng)用.1行列式在線性方程組中的一個應(yīng)用設(shè)含有個變元的個一次線性方程組為（1）設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩是,不失一般性,假定不等于零的階行列式是.行列式中的元素,就是矩陣中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它們的原有位置排列.我們把看作是未知數(shù),是已知數(shù),解方程組(1),得（2）式中是行列式的第列元素換以所成的行列式.也就是.把中第列移到第一列,得.上式右邊的行列式用表示,行列式是矩陣中去掉第列剩余下的元素所組成.故.代入（2）式,得,或.結(jié)論[2]:方程組（1）中的與成比例,式中是從矩陣中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2行列式在初等代數(shù)中的幾個應(yīng)用2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的關(guān)鍵,是把所給的多項式寫成行列式的形式,并注意行列式的排列規(guī)則.下面列舉幾個例子來說明.例2.1.1分解因式：.解.2.2用行列式證明不等式和恒等式我們知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上,行列式不變;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么這個行列式等于零.利用行列式的這些性質(zhì),我們可以構(gòu)造行列式來證明等式和不等式.例2.2.1已知,求證.證明令,則.命題得證.例2.2.3已知,求證.證明令,則而,則,命題得證.3行列式在解析幾何中的幾個應(yīng)用3.1用行列式表示公式3.1.2用行列式表示直線方程直線方程通過兩點和的直線的方程為.（4）證明由兩點式,我們得直線的方程為.將上式展開并化簡,得此式可進一步變形為此式為行列式(4)按第三行展開所得結(jié)果.原式得證.3.2行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用3.2.1三線共點平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點的充要條件是.3.2.2三點共線平面內(nèi)三點在一直線的充要條件是.3.2.3應(yīng)用舉例例平面上給出三條不重合的直線:,若,則這三條直線不能組成三角形.證明設(shè)與的交點為,因為,將第1列乘上,第2列乘上,全加到第3列上去,